静电放电器件损伤的类型

静电放电事件最常见且最明显的例子就是闪电，但并不是所有静电放电事件都会产生明显的火花。物体上积累的静电电荷量取决于其材料、表面积和周围环境的相对湿度。静电放电也可能由静电感应引起，当带电物体在远离地面的导电物体周围产生静电场时，就会发生静电放电。

图 1 有明显火花的静电放电事件。照片由 P. Mikołajek 拍摄，通过 Wikimedia Commons，遵循 Attribution-Sharealike 4.0 国际许可协议。

这些静电放电可释放几伏到几千伏的电压；然而，无论是简单二极管还是复杂集成电路电子元件,即使是低压放电也可能对电子元器件造成严重损伤。（一个人身上携带的电荷足以对电子器件和元件的性能造成损伤，从而导致数据丢失、文件损坏和系统崩溃！）因此，在这些器件的制造、组装和运输过程中,以及对于成品器件而言，预防静电放电事件都非常重要。

理解和预防静电损伤

为避免静电放电事件对电子器件和系统造成损伤，必须对元件、印刷电路板和系统各个层面进行各种测试。然而，这些测试只能在元件或系统制造完成后才能提供帮助。COMSOL Multiphysics^® 软件能够帮助工程师在设计阶段发现静电放电问题，同时还能提供有关电磁场分布的详细信息，从而准确测试。这些知识对于理解静电放电损伤发生的原因以及如何修复损伤至关重要。

静电放电事件可能导致芯片绝缘故障或逻辑错误。当本应处于低电平状态（0）的引脚在超过 1 ns 的时间内承受振幅高于 1.5 V 的电压，或在超过 5 ns 的时间内承受振幅高于 0.3 V 的电压时，就会发生逻辑错误，从而导致引脚错误地转入高电平状态（1）。

接下来，让我们来看看静电放电如何导致印刷电路板上的微芯片出现逻辑错误。

模拟电路板中的静电放电

RF 模块是 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品，包括用于静电放电电流研究的物理场接口。静电放电电流通常是非线性的，需要进行三维瞬态分析。电磁波、瞬态 接口包括四个预定义的静电放电电流，用于满足不同的测试标准，并支持预定义和参数化的时间脉冲函数，这些函数常用于描述静电放电和闪电。工程师可以在运行仿真前即刻绘制脉冲形状，以确保所选函数参数合适，方便检查。

在示例的模型中，静电放电电流是使用 集总端口 功能和扩展的人体模型（HBM）标准生成的，以测试极端条件下的性能（图2）。

图 2 基于扩展的人体放电模型的静电放电电流。

请注意，我们不会在此介绍如何设置该模型的细节，欢迎点击文末链接下载此模型的 MPH 文件和相关说明。

仿真结果

模型计算了微芯片上两个引脚（1、2）的感应电压，以评估静电放电是否会导致误差。下图左侧显示了 t = 1.2 ns 时静电放电电流引起的表面电流密度，右侧显示了通过仿真计算的芯片的两个引脚（1、2）上的感应电压。

图 3 微芯片上两个引脚处的感应表面电流和电压。图中添加了一个虚拟的手指供参考。

可以看出，引脚 2 上的感应电压振幅高于 1.5 V，极有可能导致逻辑错误。

表面电流密度的模随时间变化，以对数刻度显示。

预防静电放电损伤的策略

静电放电是一种常见现象，也是导致电子器件损坏和故障的主要原因。随着器件尺寸的不断缩小和电路密度的持续增加，制造商越来越需要密切关注静电放电损伤的预防。

数值仿真提供了一种深入理解这些微型器件的方法，以及在需要建立物理原型之前准确模拟和优化设计的方法。它还可以作为一种预兼容测试，对各种测试进行有效补充。仿真测试的通过可以高度增强设计人员对物理实验的信心。仿真还可以帮助探究故障机理和电流分布，并提供有效的解决方案。

下一步

想尝试自己动手模拟文中示例的静电放电模型吗？您可从 COMSOL 案例库中下载包括分步说明在内的所有模型文件。

编者注：这篇博客最初发布于 2016 年 7 月 4 日。现已更新，以反映软件的后处理新功能。

2 种 RF 仿真方法简介

在今天的博客中，我们将讨论 2 种仿真方法：渐近波形估计（AWE）法和频域模态（FDM）方法。这两种方法都旨在帮助用户解决采用超精细频率分辨率，或通过常规的 频域 研究运行超宽带仿真时，求解时间过长这一常见问题。当涉及描述具有单一谐振或无谐振的平滑频率响应时，AWE 方法非常有效。而 FDM 方法则适用于快速分析多级滤波器，或者目标通带内有多个谐振的大量元件的滤波器。接下来，我们将讨论这两种方法的典型设置和应用场景。

需要说明的是，AWE 和 FDM 方法几乎都不依赖于所选的频率步长。您可以自由地减小频率步长的值，获得分辨率良好的结果绘图，而不会出现明显的速度减慢或额外的内存消耗。不过，这种做法也存在缺点：降低频率步长值可能会影响最终解中保存的数据量。在本文末尾的数据管理部分，我们将给出能显著减小输出文件大小的建议。

请注意，在使用精细分辨率进行 AWE 或 FDM 计算之前，最好先使用较粗的频率分辨率运行一个初步的 特征频率 和常规的 频域 仿真。这可以帮助您快速地估算谐振位置，总体了解系统的频率趋势，包括实际通带和所需的频率分辨率。

AWE 方法促进降阶模拟

AWE 是一种先进的降阶模拟技术，由于其数值特征和数学算法技术性太强，我们在此不过多赘述，只演示如何在 RF 模块中使用此方法。 自 COMSOL Multiphysics 6.2 版本开始，软件新增了有一个专门的 自适应频率扫描 研究步骤，可以实现 AWE 方法。使用此功能时，需要指定目标输出的频率范围，并选择一个表达式用于对AWE 算法进行误差估计。该方法求解器可执行快速频率自适应扫描，默认情况下，使用 Padé 近似。

自适应频率扫描 研究设置。使用查看默认的 渐近波形估计（ AWE） 表达式。

在模拟谐振电路，尤其是包含许多频率点的带通滤波器类器件时，AWE方法非常有用。例如，COMSOL 案例库中的消失模圆柱腔滤波器模型先运行了一个常规的 频域研究，以 5 MHz 的频率步长对 3.45 GHz 到 3.61 GHz 之间的仿真频率进行初始扫频。

消失模圆柱腔滤波器教程模型 (左) 及其离散频率扫描结果 (右)。谐振频率附近的 S 参数图看起来并不平滑。

假设以更高的频率分辨率再次运行仿真，例如使用100 kHz的频率步长进行扫描，即分辨率提高 50 倍。可以预计，完成仿真所需的时长将提升50倍。但是，在此特定的示例中，使用 自适应频率 扫描研究完成仿真所需的时长几乎与频率扫描仿真所需的相同，并且能获得以100 kHz 频率步长计算的所有因变量解。

求解时间可能会在一定程度上受用户输入的 AWE 表达式的影响。任何模型变量都可以作为 AWE 表达式，只要能生成一个平滑的结果图，如高斯脉冲或平滑的曲线作为频率的函数，但最明显和典型的选择是基于s参数的全局表达式。例如，对于双端口带通滤波器，将S21 的绝对值 （abs(comp1.emw.S21)） 作为 AWE 表达式的输入可以获得非常好的结果。如果 AWE 表达式的频率响应包含无限梯度，例如在单个频率点具有良好阻抗匹配的天线的S11值，完成仿真则需要更长的时间。如果天线损耗可以忽略不计，使用 sqrt(1-abs(comp1.emw.S11)^2) 表达式可能结果更好，且能缩短计算时间。上述表达式是默认的 物理场控制 选项的 渐近波形评估 (AWE) 表达式。作为合理的检查方式，我们始终可以先以较粗的分辨率运行一个频域 扫描，绘制表达式，并选择最平滑的结果。

开始运行 自适应频率 扫描前，需要在研究中设置所需的更精细的频率步长。当仿真完成后，模拟所需时长几乎与离散频率扫描的相同。对比求解出的S参数。由于AWE求解器运行的频率扫描分辨率提高了50倍，因此其频率响应（S参数）结果绘图看起来也更平滑。使用这种方法，不仅可以节省宝贵的时间，还可以获得准确且出色的结果，而且谐振频率的定位也更加准确，如下图所示。如果您对此感兴趣，可以使用相同的分辨率运行一次常规扫描来进行验证，并检查结果是否一致。

分别运行 自适应频率 (AWE) 和离散 频域仿真 计算出的 S 参数图。使用 AWE 方法模拟的结果绘图的分辨率提高了 50 倍。

使用频域模态方法模拟电路谐振

无源电路的带通频率响应由多个谐振组合而成，因此 FDM 方法是提升其仿真效率的最佳选择。此方法通常包含两个步骤。特征频率分析是模拟任意形状器件共振频率的关键。从特征频率分析中获得所有必要信息后，就可以在频域模态研究中重复使用。当需要更精细的频率分辨率来更准确地描述频率响应时，这样做能够提升仿真效率，如AWE方法所示。

为了无缝执行 FDM 分析，有几个方面需要注意。一方面，需要过滤掉 特征频率 解中可能存在的所有不需要的非物理低频结果。另一方面，需要考虑目标频率范围内所有可能影响器件性能的物理模式，以获得正确的结果。要满足这两个要求，需要对 特征频率 研究设置进行一些调整（如下方屏幕截图所示）。首先，建议选择 更大的实部 作为 围绕偏移量的搜索方法 的设置。其次，对于 搜索特征频率 设置，最低通带频率可作为一个参考值。最后，必须调整 所需特征频率数 设置（例如根据初步测试），以包含必要的模式数量。

为模型添加包含两个步骤的 频域模态 研究，图中突出显示了 特征频率 设置。

让我们来看一个 耦合线带通滤波器教程模型，尝试使用 FDM 方法进行仿真分析。先以 50 MHz 的频率步长对 3.00 GHz 和 4.20 GHz 之间的仿真频率进行扫描，运行一个常规的 频域研究 。

耦合线带通滤波器教程模型（左）及以 50 MHz 频率分辨率进行离散频率扫描的仿真结果（右）。整个目标通带内的 S 参数图看起来并不平滑。

接下来，运行 频域模态 研究，并按照上文所述设置每个研究步骤。使用分辨率提高了50 倍的频率步长运行研究，并检查结果是否有更优。与 AWE 方法一样，FDM 方法研究得到的 S 参数图看起来更平滑，包含的信息量更大。例如，它显示了最初缺失的所有 S11 参数波纹。如果您对此方法的验证感兴趣，可以运行相同分辨率的常规扫描，并检查结果是否一致。

请注意，特征频率分析包含一个集总端口，作为额外的载荷因子影响仿真，因此计算出的 S 参数的相位与常规频率模型计算的相位不同。计算结果仅和不包含相位的 S 参数值兼容，如以dB为单位的值、绝对值、反射率或透射率。

分别由 频域，模态（FDM）和离散 频域 仿真计算出的 S 参数图。使用 FDM 方法计算的结果精度提高了 50 倍。

这与本文的主题并无直接关系，但在最后一张图中，可以看到到特殊的图形标记，它可以突出显示 S11 参数图的所有局部极小值以及 S21 参数图的通带。COMSOL Multiphysics 最近对结果评估功能进行了另一项改进，即从图表中提取交互式结果，将结果的信息性和交互式价值提升到了一个新的水平。

使用精细频率分辨率时的数据管理

如前所述， AWE 或 FDM 方法对如何细化频率扫描并没有真正的限制。不过，如果分辨率真的很高，解中将包含大量数据，从而导致在保存模型文件时，文件大小将大幅增加。在大多数无源RF和微波器件设计中，我们通常只对 S 参数感兴趣，因此在这种情况下，没有必要存储所有的场解。在研究的 在输出中存储 部分选择适当的选项，就可以控制模型保存计算的解。例如，可以只添加包含 S 参数计算边界的一个或多个选择。指定这些边界为 端口 或 集总端口，与整个仿真域相比，这些选择通常很小，因此总文件大小可以大幅减小。

请注意，在设置端口时，可以在指定选区后单击 边界选择 部分中的 创建选择 图标添加这种显式选择。然后，可以在相关研究步骤的 在输出中存储 部分添加由端口创建的所需的显式选择。

选择了2个 集总 端口的频域，模态 研究步骤的 在输出中存储 部分。您可以在 图形 窗口中查看这些选择的位置。

案例库中的教程模型

这篇博客介绍了COMSOL 软件中的 2 个强大的仿真功能，可以帮助您更快、更高效地模拟无源 RF 和微波器件。下列为 COMSOL 案例库中的一些相关教程模型，您可以浏览下载，进一步了解这些方法的使用：

• AWE 方法
  • 消失模圆柱腔滤波器
  • 电路量子电动力学 CPW 谐振器
  • 微带贴片天线
  • 采用SMA 连接的Wilkinson功分器
• FDM 方法
  • 级联矩形腔滤波器
  • 耦合线带通滤波器
  • 共面波导带通滤波器
  • 波导虹膜带通滤波器

文中演示的方法和研究是 通用的，不仅适用于RF仿真，在涉及如声学、力学、微机电系统(MEMS)和波动光学计算中，这些方法也尤其有用。

下一步

了解 COMSOL 中可用于RF和微波仿真的其他专用功能:

太赫兹波段简介

电磁波频谱的频率范围横跨大约 15 个数量级，几乎所有的电磁波段已被成功地应用到从远程通信到癌症治疗等各个领域。然而，由于太赫兹波的产生和检测存在技术困难，因此，频率范围大约在 0.1 THz 到 10 THz 之间，常被称作电磁频谱 “最后的前沿”太赫兹波段，一直未能实现大规模应用。直到最近，由于与太赫兹波产生和检测相关的技术创新在过去几十年里取得重大进展，太赫兹波段的商业应用似乎将要普及。事实上，6G 技术的运行频率可能就在太赫兹范围内。

图 1 太赫兹光谱位于微波和红外波谱范围内。

太赫兹波段的吸引力不仅仅在于通过更高的频率实现更大的带宽。许多材料，例如织物和纤维素等，对太赫兹辐射的吸收并不强烈，因此太赫兹成像技术能够“透视”衣物和包装材料的内部信息。另一方面，由于许多分子具有太赫兹能量的旋转和振动态，会强烈吸收太赫兹辐射，因此在正确的设置下，可以通过太赫兹图像获取准确的化学成分信息。此外，太赫兹波是非电离的，因此对人体安全无害。由于这些原因，太赫兹成像技术在安检类应用中成为 X 射线的理想替代品。

光导天线是许多太赫兹器件的基本组件，因此，本文将重点讨论光导天线模拟，即使用 COMSOL 附加产品半导体模块和RF模块建立一个光导天线模型，来预测太赫兹器件的发射光谱和指向性。尽管光导天线在太赫兹波的产生和检测中均有应用，但为了简化分析，我们将重点关注光导天线作为发射器的情况。本文采用的设置主要来自参考文献 1。

光导天线是如何工作的？

光导天线的工作原理相当简单。在由低导电性半导体（如低温砷化镓，LT-GaAs，由砷化镓在低温下结晶时产生，具有大量晶体缺陷）制成的基板上，在导电终端之间施加直流偏置电压，然后采用快速脉冲激光照射终端之间的间隙，就可以触发光电效应。当激光的光子能量大于半导体的带隙时，激光脉冲就会激发产生电子-空穴对，从而迅速提升材料的导电性。在终端之间流动的瞬态电流脉冲，即 光电流，将激发产生电磁辐射脉冲。如果激光脉冲持续时间处于飞秒量级，此脉冲的频谱通常会落在太赫兹波段。一旦激光脉冲结束，由于低温砷化镓材料内部高度缺陷，载流子会迅速重组，导致电流密度呈指数级衰减。光导天线的示意图如下图所示。

图 2 发射模式下的光导天线。

使用 COMSOL^® 模拟光导天线

在这个模拟应用中，我们使用半导体模块中的 半导体 接口计算激光脉冲产生的瞬态电流密度，并通过RF模块中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲的产生。模型的设置如图 3 所示。为了最大程度的提高计算效率，我们使用了两个二维组件。在组件 1 中，首先求解 xz 平面上的电流密度，使电流主要在z 方向上流动。(该组件的坐标默认仍为 x 和 y，电流将沿 y 方向流动。）如下所述，组件 1 将被映射到组件 2）。然后，在组件2中模拟太赫兹波在 xy 平面上的传播，以使源电流密度能垂直施加在模型平面。

图3 光电导天线模型使用的几何结构。通过 半导体 接口（图中为 semi）求解 xz 平面（绿色）上的光电流，通过 电磁波，瞬态  接口（图中为 temw ）在 xy 平面（红色）上模拟瞬态太赫兹脉冲。沿 xz 平面和 xy 平面的交叉线施加光电流密度，作为边界源电流密度。

半导体接口设置

首先，我们来详细了解如何利用组件 1 中的 半导体 接口模拟光导天线的载流子动力学。采用二维方法是指，我们假定激光脉冲在砷化镓衬底内衰减极快，因此无需解析 y 方向上的光电流，而且可以从模拟域中移除被终端覆盖的衬底部分。为便于缩放，将面外厚度设定为 1 µm。除了如图 3 中所示的设置两个金属触点外，还需要添加一个 光跃迁 节点，来模拟激光脉冲产生的电子-空穴对。我们选择了一个简单的高斯分布在空间和时间上描述电场振幅。光束半径设定为 5 µm，以匹配间隙大小；时间脉冲宽度（高斯函数的标准偏差）设定为 100 fs，并具有 0.5 ps 的延迟。最后，需要考虑低温砷化镓中大量晶体缺陷（即陷阱）集中所导致的快速重组过程。这可以通过添加 陷阱辅助复合 节点，指定载流子寿命来实现。材料属性来自参考文献 1。运行瞬态仿真 5 ps，以充分模拟重组过程的复合。

将半导体模拟获得的主要结果作为终端之间的瞬态光电流密度。为了将其作为边界源电流密度施加在沿组件 2 中的两个几何图形的交线位置，需要设置一个 线性拉伸算子。指定各自几何图形中恰当的终点和起点后，可以使用 _comp1.linext1()_ 算子将组件 1 中的任意变量映射到组件 2 中。

电磁波，瞬态接口设置

获得光电流之后，就可以使用组件 2 中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲。该组件的几何结构仅包括一个衬底的横截面切面（假设衬底的总厚度为 5 µm），周围是一个圆形空气域。由于源电流将沿平面外方向流动，为提高计算效率，可以只求解电场的面外分量。为了抑制非物理反射，我们在外部边界应用了 散射边界条件 特征。要获得远场频谱，需要添加一个 远场域 节点（需要同时运行 时域到频域FFT 研究步骤），并在模型外部边界进行远场计算，该节点仅应用于空气域。最后，使用 表面电流密度 节点，将组件1 映射的光电流用作电流源。为了确保在频域中获得足够的分辨率，在 10 ps 条件下运行这项研究，而不是半导体接口中使用的 5 ps 条件。

在研究设置中，首先需要运行瞬态研究来模拟太赫兹脉冲的传播。为了计算远场频谱，必须通过 时域到频域 FFT 研究步骤将时域数据转换为频域数据。

结果

先来看半导体计算的结果。图 4 的动画显示了在模拟的第一个 2.5 ps 内，由于激光脉冲、电场和电流密度产生的电子-空穴对产生率密度。此外，图 5 还显示了终端电流和总产生率的一维曲线图。可以看出，由于脉冲持续时间远小于载流子寿命，因此光电流的衰减速度比产生率更慢。

图 4 从左到右依次为：半导体模拟的第一个 2.5 ps 内的产生率、电场和电流密度。

图 5  终端电流和总产生率与时间的相关性。在 0.5 ps 时达到激光脉冲的峰值功率。

现在，我们来看看太赫兹脉冲。图 6 中的动画显示了脉冲是如何从光导天线传播的。源电流密度通过线图显式在衬底表面（下边界）。图 7 绘制了两个不同点的脉冲波形。从这些图中可以看到，衬底的反射如何在初始波前之后产生额外的波纹。

图 6 衬底下边界上的源电流密度及其产生的出射太赫兹脉冲。圆的半径为 250 µm。

图 7 距离光导天线 100 µm 和 250 µm 处的电场（Ez）。

最后，结合 远场计算 节点与 时域到频域 FFT 研究，绘制出光导天线的远场频谱图。我们发现，在大约 0.75 THz 处，脉冲达到最强峰值，且一直到接近 5 THz 处都有明显的功率。此外，在比较正向（y 方向）和侧向（x 方向）的远场光谱时，我们看到由于衬底的原因，有轻微的指向性。

图 8 运行 时域到频域 FFT 研究获得的太赫兹脉冲远场频谱。在比较 y 方向和 x 方向的频谱时，发现由于衬底的存在而产生轻微的指向性。

我们应该注意到，这种简单的光导天线模拟方法有一定的局限性：

• 我们假设 GaAs 衬底内的激光强度衰减得足够快，可以进行二维处理，因此无法求解 z 方向上的光电流密度。
• 我们只模拟了终端之间平面上的太赫兹脉冲，因此忽略了金属终端对脉冲频谱和指向性的影响。这也意味着没有根据计算出的太赫兹带宽对天线形状进行优化。
• 我们模拟了只包括一个薄衬底的简单模型，不足以提供强大的指向性。更接近真实应用的模型应该包括更厚的衬底域和/或硅超半球透镜，来引导太赫兹光束。

在太赫兹脉冲模拟中，可以考虑建立天线几何结构的全三维模型来克服这些局限性。

结语

在这篇博客中，我们通过建立一个具有实际预测能力的简单模型，探讨了如何利用半导体模块和 RF 模块，基于第一性原理模拟太赫兹设备。文中介绍的模型模拟了光导天线太赫兹发射的频谱和指向性。您可以点击下面的按钮下载光导天线模型，尝试自己动手模拟！

参考文献

1. J. Zhang et al., “Numerical analysis of terahertz generation characteristics of photoconductive antenna,” 2014 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI), pp. 1746–1747, 2014; https://ieeexplore.ieee.org/document/6905199.

扩展学习

• 了解有关太赫兹模拟的更多信息，请查看太赫兹超材料仿真网络研讨会相关视频:
  • 用 COMSOL Multiphysics^® 模拟太赫兹超材料

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

你听说过这些独特的加热方法吗？

自从有食物以来，人们就一直在研究加热食物的最佳方法。对于那些仍在寻找理想的加热方法的人来说，自制太阳能烤箱以及其制作烤棉花糖饼干的功能是不二之选。我们来做一个有趣的实验，首先将铝箔和保鲜膜加入一个定制的纸板箱中，然后把纸板箱移到阳光下，它就能发挥太阳能烤箱的功能，慢慢地把里面的点心烤得酥脆可口。利用这种创造性的能量，我们使用了一种颠覆常规的方式加热麦芬蛋糕。

天线通常用于如移动设备或飞机上传输电视信号。在这些应用中，天线中的电荷运动产生的电磁波无害，且没有很大的热效应。然而，在特定频率下，天线能够使物体产生分子间摩擦并将其加热。如果调谐正确，天线应该可以替代我们假设的烤箱很好地工作。

一只栖息在天线上的红隼正在享用一块巧克力麦芬蛋糕。谁知道这些鸟对烘焙食品情有独钟呢？照片由 Regine Tholen 拍摄，来自 Unsplash。原作已经被修改。

微波炉（不是家用电器）仿真

在这个有趣的仿真示例中，我们希望避免使用全向天线，因为它的 360° 辐射方向图和相对较低的增益。这些特性使得这类天线使用起来，没有定向天线那么安全和有效。因此，我们选择了模拟八木-宇田天线。

无论是定向天线还是全向天线，在烹饪时都会受到限制。例如，天线只能通过辐射产生热量。与常规的厨房电器相比，这是一个缺点，因为常规的厨房电器可以依靠对流和传导产生热量。尽管如此，我们还是希望我们的天线能够产生足够的强度和方向控制的电场，以克服这一局限。

借助 COMSOL Multiphysics^® 软件，我们建立了包含 1 个驱动元件（通过馈电线供电）、1 个反射器（位于电磁场的相反方向）和4个定向器（可使天线功率更大、方向性更强）的天线模型。我们还使用了 COMSOL Multiphysics^® 的附加产品 RF 模块，它提供了专用于 RF 仿真的功能。通过该模块，用户可以轻松地地根据指向性和辐射模式的增益确定辐射元件（例如我们示例中的天线）的性能。

COMSOL Multiphysics^® 软件中的 Yagi-Uda 天线底部有 4 个定向器，顶部附近有1个驱动元件和1个反射器。这些元件被连接到聚四氟乙烯（PTFE）制成的杆上，并都被视为完美电导体（PEC）。

对于八木-宇田天线这种应用，我们应该确定我们的参数。仿效常规的市售微波炉，我们将八木-宇田天线调谐到 2.45 GHz，这样就能产生加热食物所需的分子间摩擦力。我们还让麦芬通过传送带通过天线的电磁场，以降低其过热的风险。毕竟，我们是要重新加热麦芬，而不是烤焦它们。在这次仿真中，我们模拟了两块麦芬蛋糕，它们具有以下特性：

• 相对介电常数 = 65-j20
• 电导率 = 0
• 导热系数 = 0.55 W/(m*K)
• 恒压下的热容量 = 3640 J/(kg*K)
• 密度 = 1050 kg/m³

在仿真过程中，我们执行了参数扫描来考虑麦芬的运动，同时还执行了一个瞬态研究，以观察 12 s 内的温度变化。借助瞬态研究的传热变量，仿真显示了天线产生的使我们能够直观地看到麦芬蛋糕温度分布的电磁场。

如果把这个仿真搬到现实中，我们就会看到一对美味的麦芬蛋糕沿着传送带，从天线下方一边移动到另一边。下面是这个过程的动画演示：

两块麦芬蛋糕在 12 s 内穿过电磁场。

随着模型的建立和求解，我们可以查看仿真结果来看看点心是否已经被适当地加热。

传输一种有效但非常规的热信号

仿真结果表明这对麦芬是热的。每个麦芬的部分温度都超过了 45 °C，而且正如预期的那样，最靠近天线的区域产生的热量最多。将麦芬暴露在电磁能下后，在规定时间内，两块麦芬的平均温度变化都超过了 40 °C。两块麦芬经历的最大温度变化也都超过了 110 °C。其中，第二块麦芬的平均温度和最高温度更高，后者超过了 120 °C。

随时间变化的麦芬蛋糕的平均温度（左）和最高温度（右）。在这两幅图中，第一块麦芬蛋糕用蓝线表示，第二块麦芬蛋糕用绿线表示。

以上仿真结果表明，八木-宇田天线可以快速地、显著地加热松饼。虽然我们的仿真取得了成功，但从短期或长期来看，这些天线都无法取代厨房中的烤箱。相反，您也许还是应该把八木-宇田天线放在屋顶上，把麦芬蛋糕放在烤箱里。

了解更多关于这个示例的信息

建模和仿真是研究天线和相关不同物理场之间相互作用的绝佳方法。正如文中所讨论的，您可以将八木-宇田天线的常规功能转换为一个加热应用，并模拟电磁波和固体中的热量传递。想要了解有关此示例的更多信息，请参阅 COMSOL^® 案例库中的相关 PPT 演示。

渴望获取更多内容？

想要了解更多有关食品应用仿真的信息，请浏览以下博客:

• 了解烈火阿拉斯加蛋糕背后的物理原理: 为什么烈火阿拉斯加蛋糕内的冰淇淋不会融化？
• 了解如何使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟意大利面条的压制过程: 使用 COMSOL^® 模拟意大利面压制机
• 阅读这篇关于制作煎饼的博客，尝试将仿真添加到您的烹饪工作流程中: 通过流体动力学研究煎饼制作的最佳方法

目录

1. 简介
2. 通过电磁波接口求解
3. 通过电流接口求解
4. 通过磁场和电场接口求解
5. 其他2种方法
6. 结束语

简介

在开始电磁仿真时，使用 COMSOL Multiphysics^® 中的哪个接口?这个问题有时会引起很大的争议。在博客文章《在 COMSOL 中可以使用哪个模块进行电磁模拟？》中，我们对此做了一些较深入地介绍。然而，有时不同接口适用的频率范围存在明显的重叠，因此使用不同的建模方法可能会产生相同的结果。知道这一点很重要，因为不同的方法有不同的优势。例如，一些方法具有较低的计算成本，而计算成本较高的方法可以提供更多的结果。

需要强调的是，这些重叠的频率范围可能非常具体，我们应该仔细地相互验证。为了证明这一点，这篇博客，我们将讨论一个可以使用不同方法求解的示例。下图为我们将要模拟的系统。

模拟系统：一个同轴探头插入一个充满了有损耗的介电材料样品的金属腔中。

如上图所示，RF 源通过同轴电缆与插入金属圆柱形腔体（高 2 cm， 直径 2 cm）中的简单探头相连，该腔体内充满了我们想要加热的有损材料。探头是同轴电缆的延伸，绝缘层和导体暴露在腔体外并且做了光滑处理。 我们将考虑的频率范围是 100 kHz–1 GHz。

空腔内的材料是有损耗的介电材料，在所有要求解的频率范围内，相对介电常数为 50，电导率为 30 mS/m。虽然没有一种材料可以在所有频率下都具有恒定的特性，但我们可以假设材料在某些范围内几乎具有恒定的特性。腔壁和同轴电缆的金属电导率为 6e7 S/m，与铜的电导率相同。同轴电缆内部和周围绝缘体的相对介电常数为 1.75，电导率为 1e-12 S/m 。内导体半径为 0.25 mm，外导体半径为 0.75 mm，形成一根具有 50 欧姆阻抗的低损耗同轴传输线。

使用电磁波物理场接口求解

我们将从最高频率 1 GHz 开始建模。因为该频率接近于腔体谐振频率，所以需要使用 RF 模块的电磁波，频域 物理场接口建模。关于特征频率，我们可以通过对这个有损耗的电介质填充的腔体进行特征频率分析，严格地得出这个结论。还有一个必须更加严谨地考虑的问题是：我们使用该接口可以求解多低的频率，以及应该使用哪些边界条件？

关于边界条件，我们知道金属的集肤深度在大部分频率范围内都非常小，因此应该先建立阻抗 边界条件，而不是模拟金属域内部的电磁场。最终，我们希望在最低频率范围内更仔细地检查该条件是否适用，因为在 100kHz 时集肤深度与同轴电缆的厚度差不多。通过表征无损耗的电连接的 完美电导体 边界条件将同轴电缆的外导体与腔壁进行电连接。

经常会有人认为空腔壁和外导体是接地的，但是正如我们在博客文章《模拟波状电磁场中的电压和接地》中所讨论的那样，我们应该使用更严谨和准确的术语，简单来说，就是不应该将导电材料看作是接地的，而是低阻抗的导电表面。

对于激励边界条件，我们通过同轴电缆 类型的集总端口 边界条件，将源 类型设置为功率，来模拟同轴传输线和源之间的连接。该条件被应用在内导体和外导体之间的环形边界上，也可以使用这个条件模拟任何其他类型的横向电磁 (TEM) 传输线，详细可以参考我们学习中心的文章《模拟 TEM 和准 TEM 传输线》。

应用集总端口 边界条件模拟延伸至无穷远的无损传输线的连接，向集总端口 添加激励意味着无穷远处有一个源向线路发送信号并进入模拟域。该信号的一部分在域和阻抗边界条件内以热量的形式耗散，另一部分被反射回来。我们最终想要通过模型计算的是耗散的热量。了解有多少输入信号被反射回来也很有用，它可以由 S 参数量化。

介电材料样品在 100MHz 时的损耗，箭头表示电场。

我们将在整个感兴趣的频率范围（100 kHz–1 GHz）内求解该模型，并计算样品介电材料的 S 参数和总温升。但是，在更低的频率下，将会出现一个我们无法再解析出的点。这是可以预测到的，因为电场开始接近静态极限。因此，全波公式不再适用，我们必须寻找其他方法。

通过电流接口求解

在非常低的频率（远低于 100 kHz）下，这就变成了一个可以用电流 物理场接口求解的问题，它求解的是（标量）电势而不是（矢量）电场。 让我们研究一下在仍然能获得相似结果的情况下，使用这个接口可以求解的最高频率是多少。

使用电流 物理场接口时，边界条件是不同的。首先，当接近静态极限时，需要设置一个接地 边界条件，并且需要对此条件进行清晰的定义：沿着该边界上两点之间的任何路径的电场积分为零。有关直流情况的详细讨论，请参阅我们的博客文章《电压和接地存在吗?》虽然我们知道这个接地 边界条件在非常高的频率下是没有物理意义，但我们仍然会使用它，并想看看随着频率的上升，它与电磁波解的吻合程度如何。接地 条件适用于外导体的所有表面、腔壁以及连接二者的表面。

COMSOL Multiphysics^® 用户界面，显示了 终端 > 终止类型。

内导体的表面通过终止 类型的终端 边界条件进行激励，用于创建与指定阻抗的传输线的连接，如上图所示。它在物理上的解释类似于我们之前在电磁波 接口中使用的集总端口 边界。其余的边界条件，即内外同轴导体之间绝缘体的环形边界，设置为电绝缘。这意味着电场将与该边界平行，这是同轴电缆内部电场的预期解。

我们根据填充腔体的样品材料随频率变化的总损耗来比较这两种方法。下图显示了这两个模型在非常宽的频带上具有一致的结果；从 100 kHz 到近 100 MHz，解都非常一致。预计这两种方法将在非常高的频率下具有不同的结果，但需要注意的是，很难提前估计发生这种情况的频率，具体取决于几何形状、材料属性和边界条件。在实践中，如果您有任何疑问，推荐的方法是建立两个模型并进行结果比较。

电磁波和 电流物理场接口的模拟结果比较。在很宽的频带范围内二者具有一致的解。

关于这个模型，我们应该有一个问题，那就是关于我们之前所做的一个假设。 我们曾假设，在电磁波 模型中，金属中的集肤深度与导体的尺寸相比较小，进而假设金属域的体积内的场是均匀的，因此不需要求解。所以我们在之前的两个模型中都是通过边界条件对金属域进行建模的。在下一个例子中，我们可以检查这个假设是否正确，并求解导体内的集肤效应。

通过磁场和电场物理场接口求解

第三种方法，我们使用磁场和电场 物理场接口求解。简单的说，这个接口可以被认为是前两个接口的组合，尽管它有一个更加正式的名称：A-V 公式（A-V formulation），并且它对电场具有的独特的定义，详细请阅读博客文章《理论介绍：什么是规范固定》 ”。从计算复杂性的角度来看，这种方法的计算成本最高，因为它在所有域中求解标量电势场和磁矢量势场，如果想在集肤深度非常小的频率下求解金属域，则需要边界层网格。在这篇博客中，我们将避免划分边界层网格，只在 100kHz – 1MHz 频率范围内求解。如果在这个范围内与其他两种方法的结果一致，那么我们就可以合理地推断其他计算量较小的方法是合适的。

关于边界条件，我们可以再次在圆柱体壁上使用阻抗 边界条件，其余边界在同轴电缆的横截面处都是磁绝缘 类型，这意味着磁场将平行于这些边界，并且电场没有与边界相切的分量。磁绝缘 边界条件还包括一些额外指定了边界法向电场分量条件的子功能。

磁场和电场接口中的边界条件示意图。

首先，在内导体的边界上应用终止 类型的终端 条件，这与电流 物理场接口的情况类似。接下来，在同轴电缆内部绝缘体的边界上应用电绝缘 ，最后，在外导体的环形边界以及同轴电缆外部绝缘的周围环形边界上应用接地 条件。这样就完成了腔壁和外导体之间的电连接。

在逐渐降低的频率上，使用 磁场和电场接口方法与使用其他方法的结果比较。

在 100 kHz – 1 MHz 频率范围求解这个问题，并将结果与之前的结果进行比较，如上图所示。我们看到了近乎完美的一致性，因此有理由说使用电流 物理场接口或电磁波 物理场接口是等效的，而且通常更优越，因为它们的计算成本较低。通过磁场和电场 模型，我们可以应用电压和接地边界条件，正确理解这些术语在非零频率下的解释，并可以获取金属域中的损耗。该数据证实了以下假设是正确的，即与充满空腔的介电材料内的损耗相比，金属中的损耗相对较小，同时也进一步验证了其他方法的正确性。

其他方法

在这篇博客中，我们介绍了三种不同的建模方法，它们在一定频率范围内生成了相同的结果。现在，我们来看看两种其他方法。

使用电磁波，频域 物理场接口的第一种建模方法可以在 AC/DC 模块中的磁场 物理场接口精确地再现。该接口提供了相同的阻抗 和集总端口 边界条件。磁场 接口中的磁绝缘 边界条件在功能上与电磁波 接口的完美电导体 边界条件相同。对于这个特定问题，这两个物理场接口将给出相同的结果。这就提出了一个问题，为什么我们应该使用电磁波，频域 接口而不是磁场 接口。

当需要应用不同的边界条件时，两者之间的区别就会出现。我们在这里考虑的情况是，电磁波被限制在一个空腔内，能量只能通过传输线馈入或离开这个空腔。 (这种现象包含在集总端口 特征中。) 这种特殊情况可以使用两个接口等效处理。相反，如果我们想考虑电磁波没有被限制或完全消散在域内，而是可以向周围辐射的情况，那么需要电磁波 物理场接口的一组独特的非反射条件来截断建模域。我们可以使用散射 边界条件，或者完美匹配层 域条件来模拟非反射边界，相关例子可以参阅我们的博客文章《使用完美匹配层和散射边界条件解决电磁波问题》。

还值得注意的是，无论是电磁波，频域 物理场接口还是磁场 物理场接口，我们都可以求解金属域内的场和损耗，并在 100 kHz – 1 MHz 频率得到与磁场和电场 物理场接口相同的解。这就提出了一个问题，为什么我们应该使用磁场和电场 物理场接口？在可能存在明显感应电流的模型中，它的优势在于可以求解 100 kHz 及以下的较低频率。就像我们这篇文章中的示例模型中显示的那样，仅考虑传导电流和位移电流则可以很好地通过电流 物理场接口求解。

最后，让我们看看是否可以通过电流 物理场接口更简单的解决这个问题。虽然我们模拟的是绝缘体和有损介电材料中的电场和电流，但现在让我们来看看是否可以忽略绝缘体中的场。尽管绝缘体中存在位移电流，但这些电流尤其在较低频率下并不占主导。也就是说，如果频率范围足够低，电流 模型可以仅在介电材料样品中求解。默认情况下，现在绝缘材料的边界全部为电绝缘。

下图显示了文中介绍的所有 5 种方法的比较。可以看到，最简单的方法在较宽的频带上可以得到与其他方法基本相同的解，而且计算成本更低。

所有 5 种方法的比较。

结束语

通过文中演示的建模示例，我们可以得出以下结论：针对某些特定问题，用于求解麦克斯韦方程组的不同物理场接口（不同方法）可以在较宽频率范围内产生几乎相同的结果。但需要注意，这些接口之间重叠的频率适用范围很大程度上取决于材料属性、边界条件和所模拟的几何形状。

当您不知道应该使用哪个电磁物理场接口进行求解时，需要比较几种不同的方法，就像我们在这篇博客中所做的一样。这样做的好处是，您可以为您的仿真找到一种计算效率更高的方法。

文中介绍的模型文件可从 COMSOL 案例库中下载:

LoS 通信

要理解 LoS 通信，知道天线是如何接收功率的很重要。这可以通过著名的 Friis 传输方程（单位：dB）获知：

式中， 是发射功率；是接收功率； 和 分别是发射天线和接收天线的增益； （单位：dB）由方程（2）给出

其中， 是工作波长， 是天线之间的距离，这个距离通常代表菲涅尔区域中天线之间的最短距离（这个区域是天线之间形成的一个椭圆区域，不包含任何可能干扰信号传输的物理障碍物）。

图1.典型的 LoS 通信链接路径的描述。

对方程(1)进行变形得到如下所示的方程(3)，这样，我们可以将方程(3)等号右边的项与通过仿真得到的 S 参数进行比较，

式中，等号左边代表 S₂₁（单位：dB）。

发射器和接收器天线仿真

从 Friis 方程中 可以很好地理解， 可以通过最小化路径损耗来实现最大化，因为通常路径损耗随着工作频率和/或发射器和接收器天线之间距离的增加而增加。如图2 所示，在有限元域中对发射器和接收器进行建模，并通过预定义的 FEM-BEM 接口进行耦合。请注意，发射器是一个微带贴片天线，在电磁波，频域3：Tx 和 Rx 天线 (emw3) 接口（也称为 emw3 接口）中，使用集总端口1 电压激励。接收器是一个八木-宇田天线，在emw3 接口中使用无激励的集总端口2。

图2. 使用 电场耦合多物理场接口耦合emw3 和 embe 接口。

您还可以借助动画 功能（如下图所示），可视化电磁波从发射器传输到接收器的过程。

电磁波从发射器到接收器的传输。这个仿真使用了 FEM-BEM 耦合功能。

在 Friis 公式中，需要知道两个天线的远场天线增益。这些都可以使用远场域 节点来计算。

• 电磁波，频域：八木-宇田天线(Rx)(emw) 接口 (简称为emw 接口 ）
• 电磁波，频域 2：微带贴片天线(Tx)(emw2) 接口（简称为emw2 接口 ）

您可以在下面的图片中看到这些接口。

图3.emw 和 emw2 接口被用于计算八木-宇田天线和微带贴片天线的远场增益。

为了进行比较，我们创建了一些变量来定义 Friis 公式(图4)，用于计算天线间距增加时与 S 参数有关的接收功率(图5)。

图4.用于定义 Friis 方程的远场表达式。其中，lda0 和 dist 分别代表在自由空间工作的波长和 Rx 和 Tx 天线之间的距离。为了获取通过 phi 角参数定义的特定坐标上的远场增益，使用了预定义的 at3() 函数。

图5. Friis 方程与不同距离的接收功率的比较。

此外， 可以通过调整天线辐射模式的主瓣来增大，让我们通过旋转接收器天线的方位角来验证这一点。方位角度可以从 -90^o 变化到 90^o，换句话说，我们正在模仿天线增益的测量设置。从图6 可以看出，接收到的功率在 0^o 时达到最大。这种配置对应于沿 x 轴具有最大增益的两个天线。

图6. Friis 方程与不同方位角度下的接收功率的比较。

更方便地进行 EMI/EMC 测试

波动光学模块内置的波束包络法克服了对与波长相当尺寸的几何进行非散射电磁建模的障碍，非常适合于波导介质建模。不过，我们也可以使用 FEM-BEM 耦合来模拟散射电磁问题，从而避免处理网格剖分要求或几何尺寸限制的问题。建立 EMI/EMC 测试台模型就是这样一个应用示例。例如，为了执行 RE102 军事标准（高达 18GHz 的频率）的发射测试，被测设备（DUT）和天线之间的距离是 1m。对于频率为 18GHz 的信号，1m 的距离是波长的 60 倍，通过有限元建模这样一个巨大的空间在计算上是非常耗时的。我们可以将被测设备和天线分离成两个有限元域（当然，波长大小相当），并与 BEM 耦合，而不是在单个有限元中建模，如图7所示。天线上检测到的功率可以作为被测设备辐射电磁信号强度的一个衡量标准。

图7.用于发射分析的 EMI/EMC 测试台设置图。

结语

由于网格要求和计算资源限制，电磁仿真会受到限制，FEM-BEM 耦合为更广泛的电磁仿真提供了可行的方法。在研究被测设备的 EMI/EMC 分析中的发射和抗扰度测试应用中，对 Friis 传输方程进行验证使结果更加可靠。

下一步

点击下面的按钮，进入 COMSOL 案例下载页面，尝试自己动手建立验证 Friis 传输方程与 FEM-BEM 耦合的教程模型。

(提示：想要进行更多的建模练习吗？请查看微带贴片天线的 FEM-BEM 耦合教程模型）。

本文是关于电磁仿真形状优化系列博客的第二篇博客。第一篇博客侧重于波动光学中的形状优化。点击此处，阅读第 1 部分内容。

背景信息

在深入研究形状优化之前，我们需要了解为什么可能会使用它而不是参数优化。形状优化和参数优化之间的主要区别在于，形状优化通过对网格进行变形来实现，这使得网格与基于梯度的优化兼容。这样可以提高方法的效率，并可以在标准工作站上以合理的计算时间优化数千个控制变量。虽然参数优化有它自身的好处，但由于它与基于梯度的优化不兼容，所以计算速度也很慢。正如这个系列的第一篇文章”电磁仿真中的形状优化：第 1 部分”中所解释的那样，这“限制了优化变量的数量，从而限制了设计自由度”。这就是我们在本系列中介绍形状优化的主要原因。

本文介绍的案例将使用移动渐近线(MMA)的方法作为优化算法来求解。特别地，我们将使用这个方法的全局收敛法，GCMMA，因为它通常能为最小最大值问题提供精确的结果。该方法还支持移动限制，从而降低了出现反转单元的可能性。基于这两个原因，形状优化是大多数形状优化问题的首选优化方法。但是请注意，也可以使用二阶方法(如 IPOPT 或 SNOPT)进行优化，对于简单的问题，其收敛可能比移动渐近线更快。

案例 1：滤波器

首先，我们以波导虹膜带通滤波器的优化 — 变换版本模型为例考虑形状优化。使用参数优化解决这个问题相对简单，但是形状优化更快。这个模型在概念上与第一部分博客中的滤波器案例相似，并且这两个案例都使用了变换 功能。但是，本示例中的几何形状不同，并且使用了最小最大值目标：

其中 是通过频率， 和 是 S 参数的对数值。

该几何结构由四个虹膜组成，通过使用变换 功能控制其中两个虹膜的大小来优化这些虹膜。在相邻的边界上使用对称/辊支承 功能，以便更改虹膜的位置。请注意，两个虹膜可以彼此独立地变化，因为如果选择由不共享点的不同组组成，变换 功能就会自动拆分选择。当有许多对象需要优化时，这一点特别方便，就像本系列博客文章的第一部分所演示的那样。在这个示例中，通过使用广义拉伸 算子复制变形来保持双重对称性。生成的几何设计和 S 参数绘制在下图中。

用黑线绘制的设计是形状优化后的 RF 滤波器(左)。灰色椭圆中的线条被优化，并将形状变化复制到其他线条，以保持双重对称性。相应的 S 参数作为频率的函数被绘制在右侧图形中。图中的点表示用于优化的频率。

优化的设计可以被拉伸，以便在三维组件中被验证性能，如上图中的线条所示。

就像波导虹膜带通滤波器的优化 — 多项式版本案例中所演示的那样, 还可以通过将多项式边界 功能与不同的初始几何形状结合来设计滤波器。这增加了 33% 的控制变量和稍好的目标(用于三维验证)，但它也有更加尖锐的角。我们很难事先预测特定应用的最佳策略，并且通常会以更大的设计自由度实现更高的性能，但这在设计过程的后期可能会付出高昂的代价。因此，必须经常在高性能和成本之间做出妥协。COMSOL^® 能够以不同的方式轻松设置同一问题，并具有不同的设计自由度，从而为用户提供了做出明智决策所需的数据。

示例 2：双工器

第二个案例是双工器，这个想法是接受一个输入信号并将它路由到不同频率的不同输出端口。这类似于第一篇博客中的第二个示例，只是这里我们将使用多项式边界 功能。几何图形中顶点的坐标已经被优化了，但由于使用了一阶多项式，因此线条仍保持直线。此外，虽然目标函数的规范遵循与前面概述的相同思路，但希望输出频谱在带外抑制范围内没有峰值(共振)。强制执行这一点需要某种复杂的表达。目标函数的表述可以在使用形状优化为 5G 移动网络设计波导双工器案例中看到。在与输入和输出端口相邻的线路上应用对称/辊支承 功能，使这些线可以更改长度，但不能更改方向。下面的动画演示了优化过程。

动画显示了优化期间两个通频的电场的 z 分量。它还显示了相关的 S 参数。

用于优化的频率在下图中被绘制为点，而线条表示基于变形构型中生成的网格具有更精细分辨率的频率扫描。

如上图中的点所示，该问题需要计算 26 个频率，但每个频率使用两个目标函数——因此计算灵敏度需要解决 52 个线性问题。这是一个令人尴尬的并行问题，下图演示了如何使用集群功能减少计算时间。

对集群上的 1、2、4 和 8 个节点的单个优化迭代的计算时间进行了说明。即使模型只有 8.5 k 的自由度，在 4 个节点上也可以观察到良好的扩展性。但是，除了这一点，增加的通信成本超过了节省的计算时间，因此总计算时间实际上会增加。

良好的扩展性意味着使用 6 个节点可以在 30 分钟内解决优化问题。

结束语

在这个系列博客中，我们讨论了执行形状优化的好处，并介绍了电磁仿真中的几个示例。请注意，虽然本系列侧重于二维形状优化，但也可以对三维波传播问题进行形状优化。

后续步骤

有兴趣使用其他关于形状优化的教学模型吗？建议阅读下列案例：

• 要了解如何使用多项式边界 功能设计具有三角形虹膜的滤波器，请下载 波导虹膜带通滤波器的优化 — 多项式版本模型。
• 如果您有兴趣使用广义拉伸 算子在模型中保持一定的壁厚和/或在满足特定条件后停止优化，请查看热水器的形状优化案例模型。
• 要查看对三维波传播问题进行形状优化的示例，请下载模型中矩形扬声器喇叭的形状优化—三维。

目录

1. 什么是模式分析？
2. 模式分析时如何设置模型
3. 模式分析的教程模型示例
4. 频域波导计算中传播模式的激发或终止
5. 结论

什么是模式分析？

在分析任意一个三维波导结构时，了解在给定的频率下允许传播哪些类型的电磁波非常重要。波态是由在波导的二维横向截面上被激发的共振模式决定的。模式可以由全局复值传播常数和电场的所有三个分量的空间分布（也称作振型）完全描述。具有恒定横截面的波导中的传输机制可以完全基于这些电磁特性来定义。我们还可以利用这些信息对更复杂结构中的散射特性进行频域研究。

众所周知，分析解只有在文献中可用于一些射频设计，例如同轴线和具有矩形或圆形截面的空心波导。对于其他具有任意形状和材料组合的任何其他配置，包括所有典型的光纤和集成波导，都必须使用数值模式分析。图1 显示了 COMSOL 软件设置 窗口中方程 部分的数值模式分析 的表述。要进行模式分析，需要将给定的频率代入电场的亥姆霍兹方程中，然后以在面外方向传播的波的形式搜索解。为此，我们可以使用有限元方法（FEM）和一个特征值求解器。

注意：模式分析不应与更一般的模态分析相混淆。后者称为特征频率分析，可用于在任何可能维度（包括二维、二维轴对称和三维）的系统中寻找共振或固有模式和特征频率。

我们可以使用 COMSOL Multiphysics 的附加产品—— RF 模块或波动光学模块中的特征：用于二维或二维轴对称几何结构的电磁波、频域 多物理场接口和模式分析 研究进行模式分析。

图1. COMSOL ^® 中光波导的模式分析。电磁波，频域多物理场接口的 设置窗口中的 方程部分显示了这类研究的描述。

进行模式分析时如何设置模型

几何和材料设置

在建立模式分析模型时，首先应该构建波导结构的横截面。我们可以直接制作二维模型，也可以使用横截面操作 缩小三维模型。

然后，可以指定材料属性并将它们分配给相应的几何部分。对于射频模型，通常需要电导率、相对介电常数和相对磁导率。对于波动光学模型，通常需要折射率。COMSOL^® 可以自动将材料数据从一种表示形式转换为另一种表示形式。

使用非零电导率、复值相对介电常数和复折射率将会在模型中引入阻尼，这可以在后处理中观察到。

物理场设置

我们的目标是找到一个在面外方向传播的波。为此，可以使用二维中的电磁波，频域 物理场接口，打开物理场接口的设置 窗口，并确保在组件 部分选择了三分量矢量 选项。

模式分析是一个特征值研究，因此不需要使用任何源条件。但是，我们仍然应该定义适当的边界条件，因为它们会对振型以及振型阻尼和泄漏产生影响。请注意，外部边界可以是金属的或开放的。如果使用金属边界，我们可以使用默认的理想电导体 或阻抗边界条件。为了描述开放边界，我们可以使用散射边界条件 或完美匹配层。

散射边界条件 和完美匹配层 的默认设置适用于电磁波沿法线方向朝边界移动的情况。这种默认设置对于模式分析来说不是最优的，因为感兴趣的波矢量由与边界相切的传播常数和剩余的法向分量组成。对于散射边界条件， 我们应该手动调整完美匹配层 特征中有效波长的设置，或者启用设置 窗口的模式分析 部分中的从材料波数中减去传播常数 复选框。您可以在微结构光纤中的漏模教程模型的 PDF 文档中的中找到有关如何执行此操作的详细说明。

图2. COMSOL ^® 中同轴电缆的模式分析。使用 阻抗边界条件可以计算传播和衰减常数。

使用阻抗边界条件、散射边界条件 或完美匹配层 特征将在模型中引入阻尼。

网格和研究设置

下面的图3 显示了电磁学问题的模式分析 研究设置的一个变体。默认情况下，选择有效模式折射率 变换，这通常是电磁波的最佳选择。通过这样的变换，我们就可以假设有效模式指数（或有效折射率）将被用作模式的说明性特征。

在模式分析频率 字段，我们应该输入要查找谐振模式的频率。如下所示，列出的下一个研究设置是模式搜索方法。如果这里选择了手动 搜索，那么应根据模式搜索基准值 字段中的有效折射率和所需模式数 设置初始猜测。求解器将搜索该猜测附近的模式，并在可能的情况下返回不同模式的预期数量。对于区域 搜索，我们应该指定模式的大致数量和复杂有效折射率的区域。

您可能想知道如何为成功的计算做出一个好的初始猜测。这实际上是因人而异的，但如果你使用由芯和包层组成的典型波导结构，我有一个基本建议：在这种情况下，感兴趣的模式具有介于两种材料的折射系数之间的有效模式折射率，而基模折射率最高。因此，在模式搜索基准值 时，将初始猜测值设置为接近芯层折射率可以保证求解器找到基模。换句话说，典型波导结构基模的有效折射率接近于模式能量受限区域的折射率。

我们可以添加参数化扫描，选择任何预定义参数（例如几何尺寸、材料属性或频率）并在指定范围内更改其值。这样，将获得所谓的色散曲线。我们甚至还可以为不同的模式定义截止条件。

图3. 模式分析和 参数扫描 研究步骤的设置。可以在展开的求解器 配置 部分看到本研究使用了一个 特征值求解器。

虽然我们在这里跳过了网格设置并首先选择了研究设置，但是请注意，在模式分析频率 字段中输入的频率值也用于生成物理场控制的网格。默认情况下，软件为每种材料在每个波长使用五个单元。为了获得更好的分辨率，我们可以对网格进行细化。对于二维模型，网格细化不会消耗过多的内存。

后处理和结果解释

接下来，我们来讨论运行模式分析 研究后可以获得的典型结果。

对于每个计算的模式，我们可以绘制局部场或功率流分布。可以选择 x-、y- 或 z- 分量或模值作为表达式。这将使我们能够轻松地定义场分布和偏振。我们还有几个基于每个模式的特征值 lambda 的全局变量，包括传播常数、衰减常数和有效模式折射率。我们可以通过全局计算功能或使用 1D 全局图获得它们的确切数值。下表总结了可用变量的名称和定义：

对于 TEM（或准 TEM）模式，我们可以通过电流和电压的积分手动计算特征阻抗。详细信息在之前的一篇关于射频分析中数值端口的使用博客文章中进行了讨论。

通常，模式分析的后处理很简单，但在以下情况经常会出现关于结果正确解释的问题：

• 模式分析是一种特征值研究，因此确切的场大小是相当随意的，只有相对比例才是重要的。在后处理中，我们可以为每种模式执行额外的归一化。
• 如果两种不同模式的特征值非常接近，那么计算后会得到它们的任意线性组合。
• 计算的模式只是按有效模式折射率排序的正交解集。由于软件无法检测模式的确切物理场类型，因此它不“知道”，例如第一个模式是 TE₁₁，第六个模式是 TM₂₀。这意味着我们需要通过手动分析场分布来自己识别模式的物理场类型。
• 对参数化扫描 中对每个参数值进行模式排序，因此可以在从一个参数移动到另一个参数时交换模式顺序。为此，最好将色散曲线绘制为一组点而不是一组线。
• 有些模式可能是非物理的，但我们可以根据它们的场分布文件来识别它们。在这些情况下，分布可能非常参差不齐，或者可能在外部边界附近具有最大值。
• 有时，模式具有非常小的传播常数（接近于零）和小的有效折射率。我们可以将它们定义为非传播或消逝。如果通过相关的控制参数（例如频率）执行扫描，那么我们可以跟踪这种模式的截止条件。
• 有效模式折射率可以是复值。我们可以在两种主要情况下获得较大的虚部：如果模式是衰退的，或者如果系统中有一些阻尼源。阻尼可以通过材料属性、具有有限电导率的金属化和/或开放边界引入。

模式分析的教程模型案例

让我们来看一些模型案例，这些模型演示了在 COMSOL^® 中进行模式分析的两种不同方法，包括扩展设置和后处理。我们可以在下面的演示中找到有关这些设置的更多信息。

如果您想直接开始自己构建这些模型，可以点击此处下载：电磁波导的模式分析。

示例1：同轴电缆的模式分析

我们从一个RF示例开始，计算一个典型同轴电缆的模式。被观察的电缆内半径 r_i= 0.5 mm；外半径 r_o= 3.43 mm；绝缘体相对介电常数， eps_r= 2.4；包含由铜制成的导体部件。我们的目标是在 10 到 20 GHz 的频率范围内定义主 TEM 模式和第一个高阶 TE₁₁ 模式的特性。

设置模型非常简单。首先，我们定义没有金属部件的几何形状。然后，为二维域添加通用绝缘体 材料。接下来，在电磁波，频域 接口中，为外部边界设置阻抗边界条件，并为其指定内置铜 材料。在模式分析 研究步骤中，我们的设置是：模式分析频率 f0，所需的模式数量 2，以及模式搜索基准值 sqrt(eps_r)。我们还添加了一个参数扫描 f0 作为参数并以 0.2 MHz 的小步长输入频率范围。

模式分析为每个频率提供两个解。我们可以通过空间分布和全局变量来研究它们。这两个解中，有效折射率最接近 sqrt(eps_r)≈1.55 的那一个就是 TEM 模式。在我们的频率范围内，它有一个单调增长的传播常数和一个低于 1dB/m 的小衰减。另一个具有较小折射率的解是 TE₁₁ 模式。它的有效折射率和传播常数在频率范围的开始阶段都非常小；相反，衰减常数非常高。所有这些因素表明，这种模式在频率范围的开始阶段是不传播的。

图4.同轴电缆几种模式的空间分布。图中我们可以看到 10 GHz（左上）和 20 GHz（右上）的 TEM 模式以及 10 GHz（左下）和 20 GHz（右下）的 TE₁₁ 模式。表面图绘制了功率流的 Z分量，红色流线表示电场，蓝色表示磁场。注释用于突出显示传播和衰减常数。请注意，10 GHz 的 TE₁₁ 模式具有非常小的有效折射率，它是衰退状态的指标。

为了定义截止频率，我们可以创建 emw.beta 和 emw.dampzdB 的全局一维图，并使用 f0 作为 x-轴数据的表达。TE₁₁ 曲线在 15.6GHz 附近的急剧突变是对截止条件的良好估计。

图5.传播常数和衰减常数是 TEM 模式和 TE₁₁ 模式的频率函数。

对于 TEM 模式，我们还可以评估特性阻抗。TE₁₁ 模式的特征阻抗和截止频率值是 COMSOL^® 中数值模式分析的良好验证因素，因为我们可以将它们与大家熟悉的解析表达式 进行比较。

示例2：脊型波导的模态分析

让我们继续以波动光学为例，计算一个典型的集成波导的模式。所观察的脊型波导有一个由硅 制成的芯、由 SiON 制成的上覆层和由 SiO₂ 制成的下覆层。这些材料的折射率分别为 n_core= 3.48、n_clad_upper= 1.51 和 n_clad_lower= 1.44。我们的目标是在一定的波长下定义所有可能的模式，lda0= 1.55 um；对于固定的芯层高度，h_core= 700 nm；以及不同的芯层宽度值 w_core。

与前面的示例一样，为这个案例设置模型也很简单。首先，我们定义了一个几何结构，其中包含芯层、上覆层和下覆层的三个域。然后，我们将它们指定给具有光学特性的材料（如上一段所述）。接下来，在电磁波，频域 接口，我们为外部边界设置散射边界条件，并启用从材料波数中减去传播常数复选框。在模式分析 研究步骤中，设置模式分析频率 f0= c_const/lda0；10 表示所需的模式数量 ；n_core代表模式搜索基准值。我们还添加了参数化扫描， w_core作为参数，并将其从 300 nm 更改为 1000 nm。

模式分析为每个频率得到十个解，我们可以通过空间分布和全局变量来检查它们。我们可以使用箭头或流线来可视化每种模式的偏振并定义其类型- E^y _MN 或 E^x _MN。上标表示主要偏振方向，第一和第二下标变量分别表示 x 和 y 方向上峰的数量。对于参数 w_core 较大的值，我们还可以观察高阶模式，例如 E^y ₂₂和 E^y ₃₁ 。

图6. 几种脊型波导模式的空间分布。上排是芯宽为 400 nm 的 E^y₁₁ 模(左)和芯宽为 400 nm 的 E ^x₁₁模（右），下排是芯宽为 1000 nm 的 E^x₁₁ 模(左)和的芯宽为 1000 nm 的 E^y₂₁ 模(右)。表面图是功率流的 Z 分量，黑色箭头代表电场。注释用于突出显示有效模式折射率和传播常数。

我们还可以使用带 w_core*ewfd.k0 的 ewfd.neff 的全局一维图作为x 轴数据 的表达式来获得典型的色散曲线。使用这些图，我们可以跟踪脊型波导中非常复杂的行为。可以定义不同模式发生“交换”的确切点；例如，E^y₁₁ 和 E^x₁₁（大约w_core*ewfd.k0= 2）、E^y ₂₁ 和 E^x ₂₁（大约 w_core*ewfd.k0= 3.5）等。

图7. 脊型波导的色散曲线。许多模式“交换”是可见的，例如，E ^y ₁₁ 和 E^x₁₁ 在 w_core*ewfd.k0= 2 附近以及 E^y₂₁ 和 E^x₂₁ 在 w_core*ewfd.k0 = 3.5 附近有偏移。

请注意，对于较小的芯宽值，我们还获得了几种有效折射率低于覆层折射率的模式。它们的空间分布表明，能量并不局限于芯内部和周围。我们可以忽略非物理模式，甚至可以通过删除解研究功能将其删除。

其他模型案例

除了上面介绍的两个模型之外，你还可以从 COMSOL 案例库中探索以下示例：

• 弯曲的阶跃折射率光纤
• 槽波导
• 光学各向异性波导
• 光波导中的应力-光学效应

频域波导计算中传播模式的激发或终止

找到传播模式后，我们可能希望在频域分析中在一个波导横截面激发或终止一个或几个传播模式。这样，我们就能够计算复杂电磁设备中的反射和传输特性。使用 COMSOL 软件的 RF 模块或波动光学模块，我们可以进行这些操作。

对于这些类型的建模场景，我们可以使用电磁波、频域 或电磁波、波束包络 物理场接口。然后，通常会在每个相关模式的每个相关横截面上添加端口边界条件。之后，我们将为每个端口 启用数值 选项。为简单起见，我们将具有此类修改的端口 特征称为数值端口。计算时，对于每个数值端口和频域研究，我们可以结合使用边界模式分析。

使用数值端口意味着模式剖面及其传播常数将在边界模式分析 研究步骤中计算，这与模式分析几乎相同。还有一个额外的端口名称 设置，我们应该在其中指定确切的端口名称，并且研究将对此端口 的所有边界进行模式分析。请注意，我们需要为每个端口找到一种确切的模式，因此应该将所需模式数 设置为 1，并在模式搜索基准值 场中输入一个非常准确的有效模式折射率估计值。如果我们对模式特征没有任何先验知识，最好进行初步模式分析并为所有需要的模式定义全局值——这在使用多模态时尤其重要，也可能是在自动化端口的后续设置中。

这个设置非常强大。首先，我们可以直接在三维中使用它而无需创建二维横截面，此外，还可以在二维中将其用于一维端口。其次，在后处理中，我们会收到 S 参数以及设备的反射和透射系数。第三，我们可以为完美匹配层 定义典型波长，或使用直接来自边界模式分析 的传播常数在电磁波、波束包络 物理场接口的波矢量 设置中指定相位。

注意：对于微带线或共面线等射频设备，为了接收 TEM 或准 TEM 模式，数值端口有一些特殊设置。

图8. 带有散射体的光波导频域分析。这个模型中使用了 4 个数值端口。您可以看到用于终止基本模式的第二个数值端口的 边界模式分析的设置窗口。通过初步研究获得有关其有效折射率的信息。

COMSOL 案例库中有几个很好的示例演示了数值端口条件和边界模式分析 研究的使用，例如：

• 光学环形谐振腔陷波滤波器模型
• 定向耦合器模型
• RF 波导适配器模型
• 马赫-曾德尔 调制器模型

结论

在这篇博文中，我们介绍了如何使用RF模块或波动光学模块在波导结构的横截面中找到谐振模式并获得它们的定性和定量特征，这些特征可用于进一步的全波研究，用于激发或终止这些模式。此外，我们通过模式分析 研究和数值端口查看了模型的典型设置。有了这些信息，我们可以提高RF和波动光学计算的效率。

这里讨论的技术还可以用于研究声学和力学应用中的波行为。有关详细信息，请查看以下模型：具有刚性和弹性壁的消声器横截面的模式分析、弹性波在铝板中的传播研究以及航空发动机导管气动声学计算。

下一步

尝试使用电磁波导模式分析教程模型自己对同轴电缆或脊型波导模型进行模式分析：

简介

石墨烯是一种仅由单层碳原子组成的材料，这些碳原子以六边形晶格的形式排列。长期以来，物理学家一直假设存在一种具有单个原子层的材料。几十年前，人们普遍认为，由于热力学不稳定性，像石墨烯这样的材料不可能在自然界中存在。2004年，由曼彻斯特大学的 Konstantin Novoselov 和 Andre Geim领导的一个物理学家团队首次通过实验证明了石墨烯的存在。这一发现被认为是非常重要并具有革命性，因此很快在 2010 年获得了诺贝尔奖。

当前，这种材料已经被全球的物理学、材料学等领域科学家和工程师广泛研究。此外，越来越多的单层材料，如六方氮化硼、黑磷、二硫化钨等，多年来相继被发现。如今，对包含二维材料器件的需求持续上升，因此需要对这些材料进行多物理场建模。

在此，我们将讨论在高频电磁场中对石墨烯等非常薄的材料建模的不同方法。如果你对包含二维材料或其他薄层的光电或光子器件的模拟感兴趣，应该会从以下讨论中受益。

左图显示了石墨烯的六边形晶格结构，其中灰色圆圈代表碳原子。右图显示了石墨烯中的线性能量–动量色散关系，通常被称为 狄拉克锥。带内和带间电子跃迁都对石墨烯的导电性有贡献。

石墨烯的光学电导率

由于线性能量-动量色散，石墨烯中的电子表现得好像没有质量，这使其具有非常独特的光学和电子特性。石墨烯层的电磁特性可以通过其二维表面电导率来表征。带内和带间电子跃迁都对总电导率有贡献，即。使用 Kubo 公式，带内跃迁贡献由下式给出

其中， 是玻尔兹曼常数， 是简化的普朗克常数， 是温度， 是电子电荷， 是费米能量， 是角频率。这种贡献在光子能量较低（射频、微波和太赫兹范围）时占主导地位。当光子能量增加到红外和光学频率时，电子带间跃迁开始。带间电导率由下式给出

函数可以写为

COMSOL Multiphysics^® 软件内置众多物理常数，例如 ， 和 。这些常数可以写为 k_B_const、hbar_const 和 e_const。此外，当在一个方程中使用不同单位系统中的不同量时，在 COMSOL 中也可以很方便地进行单位自动转换。带间电导率的积分可以使用 COMSOL^® 中的内置积分算子计算。请注意，积分的上限是无穷大。在数值上，我们必须把它截断为一个有限值。在该模型中，数值取 rad/s 时结果趋于稳定。

用于计算石墨烯电导率的变量和解析函数。内置常量和算子的使用大大简化了实现。

下图显示了在低频 (THz) 和高频 (IR) 下不同费米能量的石墨烯表面电导率计算结果。在低频下，带内跃迁占主导，电导率遵循类-Drude 响应。在非常高的频率下，电导率接近普遍值 ，是普朗克常数。在这里，我们还可以通过电调控或化学掺杂改变费米能量，可以看到石墨烯出色的可调性。这使得石墨烯成为电子和光电器件中非常理想的材料。最后，如果我们想将石墨烯视为三维平板，则可以由二维表面电导率计算出三维电导率 ， 是石墨烯的（有效）厚度。

左图显示了在太赫兹频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带内跃迁是主要效应。右图显示了在红外频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带间跃迁的贡献变得很重要。在这两个图中，实线代表电导率的实部，虚线代表电导率的虚部。

在射频和波动光学模块中对石墨烯进行建模

那么，我们应该如何在电磁仿真中模拟石墨烯呢？由于其原子厚度，将它明确建模为实际厚度约为 0.34 nm 的三维薄板，计算量很大，而且很可能是不必要的。接下来，我们将演示三种不同的方法：分别使用过渡边界条件、表面电流密度 边界条件和一个有效厚度的三维板。我们发现，就远场光谱而言，这三种方法都能得到几乎相同的结果。请注意，这里所讨论的技术是通用的。它们不仅适用于石墨烯，而且适用于任何几何薄层。作为一个具体的例子，我们将构建一个参考文献1中提出的基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器。

在下图所示的吸收器结构中，由两个石墨烯层制成的网状图案被嵌入聚合物介质中。结构底部的金属接地层用作反射面。地平面和石墨烯之间有效地形成了一个 Fabry–Perot 谐振器。我们很容易注意到，单元格中有两个镜像对称。因此，可以使用 COMSOL 中的完美电导体 和完美磁导体 边界条件来描述这些对称平面，因此只需对四分之一的单元格进行建模。当我们考虑太赫兹辐射的法向入射时，这是适用的，在这个示例模型中就是这种情况。

基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器，由石墨烯层制成的网装结构被嵌入聚合物介质中。模型的底部是金属接地层。

在 COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块中，内置的过渡边界条件 可用于模拟内部边界上的几何薄层。在物理上，它表示由于感应表面电流密度导致的切向电场的不连续性

和

其中，， 和 。指数 1 和 2 指的是表面的两侧。默认情况下，过渡边界条件 假设薄层中的正常传播，这在我们的模型中得到满足，同时仍然假设层具有有限的厚度。石墨烯的（有效）厚度 可以设置为任意小的值，例如 1 nm，只要将三维电导率相应地缩放为 。由于在这个特定模型中有两层石墨烯，我们将在过渡边界条件设置中输入厚度 （详情请见相关模型，链接在本文的末尾）时，三维电导率计算为 。（有关详细信息，请参阅本博文末尾链接的相关模型）。请注意，两个单独的石墨烯层紧密放置在一起，与双层石墨烯之间存在明显差异。当两个单独的石墨烯层紧密地放置在一起时（如该模型），每一层的电导率都不会改变。另一方面，双层石墨烯是由范德华力限制的两个石墨烯层。这种边界可以明显改变石墨烯的性质，有多个影响因素，例如堆叠顺序、扭转角度等。也就是说，在对双层石墨烯或三层石墨烯进行建模时，需要以不同的方式计算电导率。

我们模拟的器件在不同费米能量下的模拟吸收光谱如下图所示。结果与参考文献1一致。在 0.5 eV 费米能量下，存在宽吸收带，在 2.8 THz 附近获得完美吸收。高吸收是由石墨烯和底部接地平面之间形成的 Fabry–Perot 谐振器引起的。当满足共振条件时，在石墨烯中获得高吸收。该器件的吸收可以主动调整，例如通过调整石墨烯上的栅极电压。

石墨烯基超材料在各种费米能量下的吸收光谱。使用 过渡边界条件对石墨烯进行建模。

作为使用过渡边界条件 的替代方案，我们可以使用 表面电流密度边界条件 直接对石墨烯进行建模，如上一篇博文中所简要讨论的那样。这样，我们可以真正将石墨烯视为没有任何厚度的二维层。这里，x 和 y 方向上的电流密度分别设置为 和 的吸收光谱与过渡边界条件 示例的结果相同，如下图所示。

前面讨论的侧重点是通过特定边界条件对石墨烯进行建模，避免对石墨烯层进行全尺寸三维建模。这样，模拟速度和 RAM 使用率都大大提高了。原则上，我们也可以对石墨烯进行三维建模。为了使模型尽可能逼真，一种选择是将石墨烯创建为厚度为 0.34 nm 的三维平板。然而，在这个特定模型中，我们关注的是太赫兹辐射，其波长约为 100 μm。只要石墨烯的厚度远小于波长，就其光学响应而言，没有实际差异。同样，假设三维电导率与有效厚度适当缩放。为方便演示，我们在模拟中使用了 100 nm 的有效厚度（结果可以在下面的散点图中看到）。我们可以看到，即使我们使用了比例放大的厚度，结果仍然与正确的值基本相同。选择一个较大有效厚度是合理的，因为它有助于网格剖分并避免过度网格奇异。但是对 CPU 时间和 RAM 的要求仍然比之前的方法要大得多。

使用三种不同方法： 过渡边界条件、表面电流密度和具有有效厚度的三维体积，模拟石墨烯基超材料的吸收光谱。结果基本一致，三维体积需要更长的模拟时间。

结语

总之，几何薄层在电磁建模中无处不在。除了二维材料，常见的薄层还包括光学元件上的抗反射涂层、电子元件上的导电涂层、PCB 上的薄金属层等。COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块内置了过渡边界条件 和表面电流密度 等功能，可以帮助降低几何薄层建模时的计算复杂性。适当使用这些功能可以大大加快仿真速度，同时确保准确性。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库下载教程模型，动手尝试自己建立石墨烯超材料完美吸收器模型。

参考文献

1. A. Andryieuski and A. V. Lavrinenko, “Graphene metamaterials based tunable terahertz absorber: effective surface conductivity approach”, Opt. Express, vol. 21, pp. 9144–9155, 2013.