太赫兹波段简介

电磁波频谱的频率范围横跨大约 15 个数量级，几乎所有的电磁波段已被成功地应用到从远程通信到癌症治疗等各个领域。然而，由于太赫兹波的产生和检测存在技术困难，因此，频率范围大约在 0.1 THz 到 10 THz 之间，常被称作电磁频谱 “最后的前沿”太赫兹波段，一直未能实现大规模应用。直到最近，由于与太赫兹波产生和检测相关的技术创新在过去几十年里取得重大进展，太赫兹波段的商业应用似乎将要普及。事实上，6G 技术的运行频率可能就在太赫兹范围内。

图 1 太赫兹光谱位于微波和红外波谱范围内。

太赫兹波段的吸引力不仅仅在于通过更高的频率实现更大的带宽。许多材料，例如织物和纤维素等，对太赫兹辐射的吸收并不强烈，因此太赫兹成像技术能够“透视”衣物和包装材料的内部信息。另一方面，由于许多分子具有太赫兹能量的旋转和振动态，会强烈吸收太赫兹辐射，因此在正确的设置下，可以通过太赫兹图像获取准确的化学成分信息。此外，太赫兹波是非电离的，因此对人体安全无害。由于这些原因，太赫兹成像技术在安检类应用中成为 X 射线的理想替代品。

光导天线是许多太赫兹器件的基本组件，因此，本文将重点讨论光导天线模拟，即使用 COMSOL 附加产品半导体模块和RF模块建立一个光导天线模型，来预测太赫兹器件的发射光谱和指向性。尽管光导天线在太赫兹波的产生和检测中均有应用，但为了简化分析，我们将重点关注光导天线作为发射器的情况。本文采用的设置主要来自参考文献 1。

光导天线是如何工作的？

光导天线的工作原理相当简单。在由低导电性半导体（如低温砷化镓，LT-GaAs，由砷化镓在低温下结晶时产生，具有大量晶体缺陷）制成的基板上，在导电终端之间施加直流偏置电压，然后采用快速脉冲激光照射终端之间的间隙，就可以触发光电效应。当激光的光子能量大于半导体的带隙时，激光脉冲就会激发产生电子-空穴对，从而迅速提升材料的导电性。在终端之间流动的瞬态电流脉冲，即 光电流，将激发产生电磁辐射脉冲。如果激光脉冲持续时间处于飞秒量级，此脉冲的频谱通常会落在太赫兹波段。一旦激光脉冲结束，由于低温砷化镓材料内部高度缺陷，载流子会迅速重组，导致电流密度呈指数级衰减。光导天线的示意图如下图所示。

图 2 发射模式下的光导天线。

使用 COMSOL^® 模拟光导天线

在这个模拟应用中，我们使用半导体模块中的 半导体 接口计算激光脉冲产生的瞬态电流密度，并通过RF模块中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲的产生。模型的设置如图 3 所示。为了最大程度的提高计算效率，我们使用了两个二维组件。在组件 1 中，首先求解 xz 平面上的电流密度，使电流主要在z 方向上流动。(该组件的坐标默认仍为 x 和 y，电流将沿 y 方向流动。）如下所述，组件 1 将被映射到组件 2）。然后，在组件2中模拟太赫兹波在 xy 平面上的传播，以使源电流密度能垂直施加在模型平面。

图3 光电导天线模型使用的几何结构。通过 半导体 接口（图中为 semi）求解 xz 平面（绿色）上的光电流，通过 电磁波，瞬态  接口（图中为 temw ）在 xy 平面（红色）上模拟瞬态太赫兹脉冲。沿 xz 平面和 xy 平面的交叉线施加光电流密度，作为边界源电流密度。

半导体接口设置

首先，我们来详细了解如何利用组件 1 中的 半导体 接口模拟光导天线的载流子动力学。采用二维方法是指，我们假定激光脉冲在砷化镓衬底内衰减极快，因此无需解析 y 方向上的光电流，而且可以从模拟域中移除被终端覆盖的衬底部分。为便于缩放，将面外厚度设定为 1 µm。除了如图 3 中所示的设置两个金属触点外，还需要添加一个 光跃迁 节点，来模拟激光脉冲产生的电子-空穴对。我们选择了一个简单的高斯分布在空间和时间上描述电场振幅。光束半径设定为 5 µm，以匹配间隙大小；时间脉冲宽度（高斯函数的标准偏差）设定为 100 fs，并具有 0.5 ps 的延迟。最后，需要考虑低温砷化镓中大量晶体缺陷（即陷阱）集中所导致的快速重组过程。这可以通过添加 陷阱辅助复合 节点，指定载流子寿命来实现。材料属性来自参考文献 1。运行瞬态仿真 5 ps，以充分模拟重组过程的复合。

将半导体模拟获得的主要结果作为终端之间的瞬态光电流密度。为了将其作为边界源电流密度施加在沿组件 2 中的两个几何图形的交线位置，需要设置一个 线性拉伸算子。指定各自几何图形中恰当的终点和起点后，可以使用 _comp1.linext1()_ 算子将组件 1 中的任意变量映射到组件 2 中。

电磁波，瞬态接口设置

获得光电流之后，就可以使用组件 2 中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲。该组件的几何结构仅包括一个衬底的横截面切面（假设衬底的总厚度为 5 µm），周围是一个圆形空气域。由于源电流将沿平面外方向流动，为提高计算效率，可以只求解电场的面外分量。为了抑制非物理反射，我们在外部边界应用了 散射边界条件 特征。要获得远场频谱，需要添加一个 远场域 节点（需要同时运行 时域到频域FFT 研究步骤），并在模型外部边界进行远场计算，该节点仅应用于空气域。最后，使用 表面电流密度 节点，将组件1 映射的光电流用作电流源。为了确保在频域中获得足够的分辨率，在 10 ps 条件下运行这项研究，而不是半导体接口中使用的 5 ps 条件。

在研究设置中，首先需要运行瞬态研究来模拟太赫兹脉冲的传播。为了计算远场频谱，必须通过 时域到频域 FFT 研究步骤将时域数据转换为频域数据。

结果

先来看半导体计算的结果。图 4 的动画显示了在模拟的第一个 2.5 ps 内，由于激光脉冲、电场和电流密度产生的电子-空穴对产生率密度。此外，图 5 还显示了终端电流和总产生率的一维曲线图。可以看出，由于脉冲持续时间远小于载流子寿命，因此光电流的衰减速度比产生率更慢。

图 4 从左到右依次为：半导体模拟的第一个 2.5 ps 内的产生率、电场和电流密度。

图 5  终端电流和总产生率与时间的相关性。在 0.5 ps 时达到激光脉冲的峰值功率。

现在，我们来看看太赫兹脉冲。图 6 中的动画显示了脉冲是如何从光导天线传播的。源电流密度通过线图显式在衬底表面（下边界）。图 7 绘制了两个不同点的脉冲波形。从这些图中可以看到，衬底的反射如何在初始波前之后产生额外的波纹。

图 6 衬底下边界上的源电流密度及其产生的出射太赫兹脉冲。圆的半径为 250 µm。

图 7 距离光导天线 100 µm 和 250 µm 处的电场（Ez）。

最后，结合 远场计算 节点与 时域到频域 FFT 研究，绘制出光导天线的远场频谱图。我们发现，在大约 0.75 THz 处，脉冲达到最强峰值，且一直到接近 5 THz 处都有明显的功率。此外，在比较正向（y 方向）和侧向（x 方向）的远场光谱时，我们看到由于衬底的原因，有轻微的指向性。

图 8 运行 时域到频域 FFT 研究获得的太赫兹脉冲远场频谱。在比较 y 方向和 x 方向的频谱时，发现由于衬底的存在而产生轻微的指向性。

我们应该注意到，这种简单的光导天线模拟方法有一定的局限性：

• 我们假设 GaAs 衬底内的激光强度衰减得足够快，可以进行二维处理，因此无法求解 z 方向上的光电流密度。
• 我们只模拟了终端之间平面上的太赫兹脉冲，因此忽略了金属终端对脉冲频谱和指向性的影响。这也意味着没有根据计算出的太赫兹带宽对天线形状进行优化。
• 我们模拟了只包括一个薄衬底的简单模型，不足以提供强大的指向性。更接近真实应用的模型应该包括更厚的衬底域和/或硅超半球透镜，来引导太赫兹光束。

在太赫兹脉冲模拟中，可以考虑建立天线几何结构的全三维模型来克服这些局限性。

结语

在这篇博客中，我们通过建立一个具有实际预测能力的简单模型，探讨了如何利用半导体模块和 RF 模块，基于第一性原理模拟太赫兹设备。文中介绍的模型模拟了光导天线太赫兹发射的频谱和指向性。您可以点击下面的按钮下载光导天线模型，尝试自己动手模拟！

参考文献

1. J. Zhang et al., “Numerical analysis of terahertz generation characteristics of photoconductive antenna,” 2014 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI), pp. 1746–1747, 2014; https://ieeexplore.ieee.org/document/6905199.

扩展学习

• 了解有关太赫兹模拟的更多信息，请查看太赫兹超材料仿真网络研讨会相关视频:
  • 用 COMSOL Multiphysics^® 模拟太赫兹超材料

量子力学与原子结构

原子由带正电的原子核和围绕核运动的带负电的电子云构成，它的存在和稳定性无法用经典物理学解释。按照经典物理学，加速运动的带电粒子（如围绕原子核运动的电子）应当会产生电磁辐射，从而逐渐失去能量，最终导致电子不可避免地坍缩到原子核中。量子力学通过确定束缚电子只能拥有某些固定的能量值，禁止电子通过辐射导致能量逐渐损失，从而解决了这个难题。这在数学上与驻波类似：波必须是单值的，这仅对于某些固定波长（即能量）是可能的。


COMSOL Multiphysics^® 用户界面与显示氢原子模型（将在下一节深入讨论）的 图形窗口。

量子力学能量的一个早期证明是通过光谱测量对氢的结果（见下文）进行实验确认。自那以后，量子力学就成为了物理学中得到验证最多的理论。

与多电子原子不同，只有一个电子的氢原子可以由与时间无关的薛定谔方程近似描述:

式中， 和 分别是约化普朗克常数、电子质量（约化质量）、基本电荷和真空介电常数。要求解的因变量 是波函数：一个复杂的标量场，其范数 给出找到电子的概率 。左边的算子 是哈密顿量，基本上对应于系统的总能量。拉普拉斯算子给出了电子的动能，而势能则简单地由原点处带正电的原子核（在这里指只有一个质子）引起的库仑势给出。薛定谔方程以未知总能量 的特征值问题的形式存在，并且可以通过该行业的常用方法精确求解：变量分离和级数展开。得到的本征态由三个整数，或量子数 和 标记，其中 和 。使用分别表示极角 和方位角 的球极坐标（与在 COMSOL^® 中使用的定义相同)，将它们表示为

式中， 是径向波函数，使用勒让德多项式 表示的 称为球谐函数。本征能量仅取决于主量子数，:

式中， 称为里德伯常量。下表给出了前几个本征态的显式表达式。

本征态

在这里，我们使用玻尔半径 作为一个方便的长度尺度。 从上表可以看出，对于更高的主量子数，存在多个具有相同能量的态。这种简并性源于势能的高度对称形式。

超出氢的情况会变得非常复杂。如果没有确切的结果，微扰计算会变得极其繁琐，因此数值计算是最可行的前进方向。传统的原子和分子结构的数值研究是基于变分法和处理电子费米子性质的方进行的，例如 Hartree–Fock 方法。应该选择一组基函数来展开本征态，然后将展开系数上的能量最小化。

COMSOL Multiphysics^® 中的氢原子

对于氢原子的示例，薛定谔方程只是 3D 中复值标量场的偏微分方程，因此允许基于有限元法求解特征值问题。COMSOL Multiphysics^® 的附加产品半导体模块内置的 薛定谔方程 接口（也称为 schr，如下表所示）可用于创建氢原子模型，所需设置非常简单。

设置一个半径为 的球体，并在薛定谔方程 接口修改默认节点（有效质量和电子势能) ，使有效质量等于 （在这个模型中我们没有周期性晶格），电子势能等于原子核的库仑势。这里唯一需要的边界条件是 且 ，即由于我们正在寻找束缚态，所以用薄层包围球体并将其定义为无限元域。为了提高计算速度，我们使用了在径向方向上逐渐变粗的网格。 最后，我们将能量标量指定为 eV，并以 -15 eV 作为特征值搜索的起点。

下表显示了前两个主量子数获得的本征能量以及它们的理论值。

	解析法()	COMSOL® 求解 (,schr)
１	-13.6057	-13.6108
２	-3.4014	-3.4014

请注意，特征值取决于所使用的网格，为获得可靠的结果，我们始终建议运行网格细化研究。为了了解本征态或轨道的形状，使用 3D 等值面绘图，如下图所示。

未受扰动的氢的轨道形状，使用一系列位移的 3D 等值面图进行可视化。

我们采用了原子物理学中广泛使用的标记: 。可以看到 s 态是径向对称的，而每个 p 态沿三个相互垂直的一个轴具有圆柱对称。对于波函数为球对称的 s 态，径向概率密度有一个简单的解析形式，其定义如下:

解析结果与模拟结果的比较如下图所示。

状态（基态）的径向概率：精确结果（线）和使用 COMSOL^® 获得的数值结果（点)。

状态（第一激发态）的径向概率：精确结果（线）和使用 COMSOL^® 获得的数值结果（点)。

斯塔克效应

假设有一个沿 z 轴方向的外部电场，提升了前文讨论的简并性，那么应该在哈密顿量中添加下列项:

由此产生的薛定谔方程无法再精确求解，因此我们不得不求助于微扰理论。对于初级， 和 状态不会改变能量（或形状)。然而，外部场引起 和 状态混合，导致两个分裂的能级；这是一个斯塔克效应的例子，可以在光谱测量中通过实验观察到。对能级的修正可以用下式计算:

另一方面，使用 COMSOL^® 在数值上找到 Stark 分裂就像没有外部场一样简单：如果简单地添加另一个电子势能 节点到我们的模型，可以很容易地获得分裂能级以及相应的轨道形状。为了使效果清晰可见，我们使用了非常高的外场 。

费米能级	扰动理论(eV)	COMSOL® 软件(eV)
	-3.3714	-3.3715
	-3.4314	-3.4315

在 z 轴方向上存在外部电场时的轨道形状。

结束语

这篇博客，我们通过氢原子讨论了量子力学的一些基础知识，并了解了如何使用 COMSOL Multiphysics^® 中的 薛定谔方程 接口再现结果。然而，文中介绍的模型不仅仅具有教学意义，还可以作为一个验证软件功能的有用示例，并且此模型与半导体物理学直接相关，其中掺杂态通常使用类氢波函数建模。您可以将这个模型和这篇博客作为参考，在 COMSOL^® 中创建更加精确的量子力学模拟。

如果您对进一步探索氢原子感兴趣，请单击下面的按钮，下载文中讨论的案例模型:

拓展学习

模型结构

跨桥开尔文电阻器结构通常用于表征金属-半导体接触的接触电阻。本文，我们选用了参考文献1中描述的一系列特定测试结构进行研究。

用于接触电阻测量的跨桥开尔文电阻器的电势（颜色）和电流密度（箭头和流线）模拟。

所研究结构的核心是一个 5000 Å 厚的 n⁺ 掺杂的多晶硅层，其图案是一个“L”形，如上图所示。给“L”的左臂通入电流，并通过一个方形的接触窗口流出到上面的金属层，如箭头所示（金属层在图中没有明确显示）。桥式电压表用于测量“L”的右臂和金属层之间的电压降。

这个结构产生一个可以直接测量的量，即开尔文接触电阻 （SI 单位：Ω），它可以通过将电压降除以流过接触窗口的总电流获得。但是这个电阻值并不是表征接触的一个很好的量，因为它会根据测试结构的尺寸而变化。这是由于通过接触窗口的电流密度分布不均匀（电流拥挤效应，如上图中箭头的不同长度所示）。

金属-半导体接触的性质可以由另一个量更好地表征，即 比接触电阻率 （SI 单位：Ω m²），它被定义为：局部电压降除以无限小的接触面积单元内的法向电流密度。这个量不能直接测量，必须使用数值模拟从测量的 值中提取。

提取比接触电阻率

由于测试结构尺寸的变化，参考文献1报道了两组测量值 。在第一组实验中，接触窗口的尺寸（）在 5.0 到 65 μm 之间变化，而“L”的两个臂的宽度（扩散抽头宽度，） 始终比 大 5 μm。在另一组实验中，扩散抽头宽度 在 7.5 到 60 μm 之间，而接触窗口尺寸 保持在 5 μm 不变。这些实验产生的数据 – 和 – 可用于提取比接触电阻率 ，通过使用不同的 值进行数值模拟，并找出实验数据和模拟数据 – 曲线和 – 曲线之间的最佳拟合。

参考文献1的作者选择了二维近似模型进行数值模拟。参考文献2中对这个二维模型进行了详细描述，简单来说，类似于 COMSOL 半导体模块提供的模型，从三维模型开始，忽略了肖特基带弯曲和少数载流子效应（假设理想欧姆接触），只考虑多数载流子。金属的电导率远高于半导体，因此假定金属内的电势在整个接触窗口上是均匀的。

近似二维模型

为了将三维模型简化为近似二维模型，假设半导体的电导率在面内方向上是均匀的，并且电导的厚度方向依赖性被归结为一个参数，薄层电阻 （SI 单位：Ω）。在假设金属接地和传输长度 （，SI 单位: m） 大于 n⁺ 掺杂层的厚度的情况下, 用一个简单的二维方程可以推导出一个新的变量,电导率加权平均电位 （SI 单位：V）。该方程是

(1)

在接触窗口下，该方程为

(2)

式中，拉普拉斯算子的下标 表示面内（切线）方向。对于这个二维模型，面内电流密度可以被评估为

(3)

并且通过接触窗口的正常电流密度由下式给出

(4)

在这个教程示例中，构建了三维和二维模型并比较了二者的结果。

三维模型设置

使用半导体 接口可以直接设置三维模型，在接触窗口处的 金属接触 边界条件启用接触电阻 选项。

接触窗口的 接触电阻 选项被激活。

对于左侧终端的边界条件的设置，不使用输入电流，而是施加一个小电压 V0，以便于收敛。使用内置变量求解后，可以轻松评估输入电流。对于右边的终端，假设电桥电压表具有无穷大的阻抗，因此对金属触点施加零电流边界条件，测得的电压降对应于求解后的终端电压。

按照默认的有限体积离散化的要求使用扫掠网格。网格被参数化，以便在扫描测试结构的尺寸时保持接触窗口周边的分辨率。

模型中使用的网格示例。

二维模型设置

使用一般形式边界偏微分方程 数学接口，在用于三维模型的同一几何图形的顶面上轻松创建自定义方程1~方程4的二维模型。由于这个数学接口“存在”在表面上，因此“域”是二维表面，“边界”是一维边。将因变量命名为 V2D 来表示方程中的变量 。

方程1和方程2的左侧是相同的，可以使用默认的一般形式偏微分方程域条件来实现，从保守通量的默认表达式中删除减号，并将 源项 和阻尼系数 设置为零以与方程的左侧匹配，如下面的屏幕截图所示。（保守通量向量 {V2DTx,V2DTy,V2DTz} 表示电导加权平均电位的切向梯度 )

默认的一般形式偏微分方程域条件的设置窗口。

对于方程1 的右侧，在接触窗口中添加源 域条件，并在 源项 输入中 输入 V2D/lt^2 表达式，对应于公式右边的 。

使用 Dirichlet 边界条件对左侧纵端施加与三维模型中相同的小电压 V0。为了根据等式3 获得准确的电流密度，启用使用弱约束 复选框。这将指示软件在边界上创建和求解拉格朗日乘数V2D_lm。我们可以使用它通过表达式 等式 V2D_lm[V/m]/Rs 来计算法向输入电流密度，对应于等式3中给出的公式。然后可以通过使用积分算子对边界上的电流密度进行积分来计算端子处的总输入电流。

对于右终端，也施加一个具有弱约束的狄利克雷边界条件，现在具有一个未知的施加电压 V2D_ode。添加一个全局方程 节点来求解未知数 V2D_ode，使得终端电流为零（假设电桥电压表的阻抗在三维模型中是无限的）。终端电流是用拉格朗日乘数以与左终端类似的方式计算的。

最后，根据等式4 中的公式，流出接触窗口的法向电流密度的表达式为 V2D/rho_c。

研究和结果

在参考文献1中的两组实验之后，使用参数扫描创建了两个研究来改变接触窗口的大小 和扩散抽头宽度 。（请注意，不能使用辅助扫描来改变几何形状或网格）。

使用特定接触电阻率的最佳拟合值 (4.5e-8 Ω cm²) 作为模型的输入，模拟的开尔文接触电阻 与接触窗口面积 和扩散抽头宽度 绘制在下面的两个图中。

模拟的开尔文接触电阻 与接触面积 和扩散抽头宽度 。实曲线：二维模型；虚线：三维模型。

我们看到，二维和三维模型的模拟结果非常相似，并且与论文中的数值非常吻合。

结语

在这篇博文中，我们演示了在金属接触 边界条件中使用 接触电阻 特征。我们还展示了使用软件内置接口进行基于方程的建模是多么简单！欢迎您在下方评论中留言，告诉我们您是如何利用 COMSOL Multiphysics 的灵活性和多功能性进行仿真工作的！

自己尝试

单击下面的按钮，进入 COMSOL “案例库”，下载 MPH 文件，尝试自己模拟跨桥开尔文电阻器，并提取特定的接触电阻率：

参考文献

1. W. M. Loh, S. E. Swirhun, E. Crabbe, K. Saraswat and R. M. Swanson, “An accurate method to extract specific contact resistivity using cross-bridge Kelvin resistors”, IEEE Electron Device Letters, vol. 6, no. 9, pp. 441–443, 1985, doi: 10.1109/ EDL.1985.26185.
2. W. M. Loh, S. E. Swirhun, T. A. Schreyer, R. M. Swanson and K. C. Saraswat, “Modeling and measurement of contact resistances”, IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 34, no. 3, pp. 512–524, 1987, doi: 10.1109/T-ED.1987.22957.

超越硅光伏：开发用于光电化学电池的新材料

太阳能电池板已经在全球范围内广泛应用，但是为了加速取代化石燃料，将太阳光转化为能量的过程必须能以燃料（即氢气）的形式储存能量，并且越来越便宜和高效。

利用太阳光从水中提取氢气和氧气的光电化学（PEC）太阳能水分解装置是进一步研究的可行性路径。工程师们正在探索能够改进 PEC 技术的新材料和新工艺，设计 SolCelSim 旨在帮助他们模拟 PEC 太阳能水分解装置。在投入时间和资金制作实际原型之前，研究人员可以使用 SolCelSim 来测试新的设计概念。

PEC 太阳能水分解装置利用光将水分解成氢气和氧气。研究人员目前正重点研究该工艺中的各种半导体和催化材料。图像通过 Energy.gov 已进入公有领域。

太阳能电池仿真的切入点

João Vieira 将他的仿真 App 描述为 “模拟 PEC 太阳能电池装置漂移-扩散的一个切入点”。他的目标是为研究人员提供可以用来模拟太阳能水分解装置的工具，即使他们不熟悉仿真软件。

任何一个使用 SolCelSim 的用户都能够使用与现场原型测试相同的指标来评估模拟的设计。通过在模拟阶段缩小设计方案的选择范围，研究团队可以对他们选择的设计更加自信。根据他们的设计在现场测试生成的新数据，可以轻松地对 SolCelSim 进行重新校准以获取最新的结果，不需要在 COMSOL Multiphysics 中重新运行完整的模型。

SolCelSim 可用于设置和调整传统光伏太阳能电池模型的参数，包括：

• 层数
• 电荷传输类型
• 接触条件

用户通过该仿真 App 还能够模拟漂移-扩散方程，获得以下数值：

• 光电流-电压特性
• 光电转化效率
• 阻抗谱

最后，用户使用该仿真 App 还能够导出模拟结果，并将其与导入的实验结果进行比较。此外，还可以在模型开发器中进一步调整仿真 App 中嵌入的模型来耦合其他物理过程。

SolCelSim 仿真 App 简介

该仿真 App 在用户界面上显示了4个选项卡：

1. 层堆叠
2. 研究类型
3. 全局条件
4. 结果

接下来，我们简要介绍每个选项卡的功能。

层堆叠

这个选项卡提供了单独添加额外层的功能，以匹配正在模拟的太阳能电池设计。网格划分可以由用户控制或物理场控制。App 用户还可以为模型选择欧姆接触或肖特基接触，指定金属和半导体之间的整流或非整流结点。

默认层名为 Cu20 的层堆叠选项卡，用作 P 型半导体。使用时应将名称和参数更改为所需的主吸光层。

研究类型

使用 研究类型 选项卡下的 参数化扫描 设置，可以使用下列任意一个研究类型来扫描任意图层的任何参数：

• 光电伏安特性（IV）
• 热平衡 (TE)
• 电化学阻抗谱 (EIS)
• 光电效率 (IPCE)
• 电容电压 (CV)

第一个下拉菜单 (Cu20) 包含层列表，第二个下拉菜单 (NDoping) 包含该层的可用参数。

全局条件

全局条件 选项卡的下拉菜单可以为太阳能电池的各个层选择不同的连续性模型。App 用户还可以导入光谱辐照度文件。

可以选择相邻两个层之间的载流子传输使准费米能级强制连续,或允许载流子通过热离子发射在界面之间传输。

结果

结果 选项卡显示了用于 IV，TE，EIS，IPCE 和 CV 研究类型的能级图。用户可以在同一研究中的绘图类型之间切换选择，无需重新计算。对于某些研究类型，用户能够使用 SolCelSim 将模拟结果与从 .csv 文件导入的实验数据进行比较。

帮助更多研究人员探索清洁能源

通过太阳能发电或制氢，传统太阳能电池或 PEC 太阳能水分解装置可以帮助更多的人获得清洁能源。通过开发一个仿真 App 并拓展其应用范围，João Vieira 正在使更多的研究人员方便地使用他开发的宝贵分析工具，帮助全球过渡到低碳经济。点击此处，免费下载该仿真 App，您需要 COMSOL Multiphysics 5.2 版本或更高版本才能运行它。

推荐阅读

如果您想尝试自己创建一个仿真 App，请查看下面这些资源，了解如何操作：

• 视频：基于 COMSOL Multiphysics^® 模型创建仿真 App
• 博客：
  • 使用布局模板进行仿真 App 设计
  • 使用编辑器工具简化 App 开发过程

参考文献

1. J. Vieira, SolCelSim – A COMSOL App for Charge Transport in a Multilayer Solar Cell, master’s report, Faculdade de Ciencias e Tecnologia, Universidade de Coimbra, Portugal, 2019.
2. J. Vieira and P. Cendula, “SolCelSim: simulation of charge transport in solar cells developed in COMSOL Application Builder,” International Journal of Modelling and Simulation, 2021, https://doi.org/10.1080/02286203.2021.1963144.
3. P. Cendula et al., Analytical Model for Photocurrent-Voltage and Impedance Response of Illuminated Semiconductor/Electrolyte Interface under Small Voltage Bias, Phys. Chem. C, vol. 124, no. 2, pp. 1269–1276, 2020, https://doi.org/10.1021/acs.jpcc.9b07244.

哈密顿矩阵

当波函数具有多个分量时，哈密顿算子（the Hamiltonian）变为对波函数分量的矢量进行运算的矩阵。例如，瞬态薛定谔方程现在变成

(1)

 
其中， 是波函数分量的数量。

等式右侧时间偏导项的负号是由于 COMSOL Multiphysics 中的所有物理场接口都采用了工程符号约定 而非物理场符号约定 。稍后，我们将因此而看到动量算子的符号也不同于大多数教科书中的符号。

通常，哈密顿矩阵的每个单元 可以包含零阶偏导项、一阶偏导项或二阶偏导项：

(2)

其中，  是电子质量；  是位置矢量 ; ，， 和  是可能在空间上变化的系数。

在第一项中，左侧的微分算子被理解为同时作用于系数 和波函数分量 。同样，第二项中的微分算子作用于 和 。请注意，如前面所讨论的，所有动量算子都是通过常规约定当中的负号来区分的。

哈密顿矩阵的单元数量随着波函数分量数量的平方而增长。如方程2所示，每个单元可以包含各阶偏导项。为了提供灵活有效的方式在有限的窗口大小内将这些项输入到图形用户接口中，COMSOL 从 5.6 版本开始创建了许多内置功能。在下面的示例模型中，我们将展示如何使用这些功能。

模型系统

如上所述，哈密顿矩阵单元中的所有系数都可以在空间上变化。在异质结和纳米结构（例如量子线和量子点）中尤其如此。为了简单起见，我们选择了一个均匀应变的块状晶体模型，其中所有系数都是空间均匀的。尽管如此，这个简单的模型仍然用于说明将哈密顿矩阵单元输入到用户接口的过程。此外，它还可以作为基准模型，通过此简单系统的解析解来验证数值解。

氮化镓（GaN）是一种重要的直接带隙半导体材料，适用于光电子、高功率和高频应用。Chuang 和 Chang 在 1996 年发表了他们对包括 GaN 在内的纤锌矿晶体的 6×6 阶哈密顿矩阵的推导和计算方法（参考文献1）。在文献的方程（45）中，对 6×6 阶哈密顿矩阵进行块对角化，并且左上方的 3×3 矩阵如下，

(3)

矩阵单元由参考文献1中的方程(34) 和 (42) 给出。例如，哈密顿矩阵的（1,1）位置上的单元是

(4)

前两项是数字，另外两项包含算子和数字：

(5)

(6)

为了与文献中图5 所示的结果进行比较，我们将设置晶体动量的 y 分量为 零。对于薛定谔方程 接口，另外两个分量  和  分别由偏导数和代替（请参阅脚注）。因此，上面的两个方程变为

(7)

(8)

最后，由应变贡献的项是

(9)

(10)

其中， 是应变分量。

参考文献1 的表 III 中列出了能量参数   和 、有效质量参数 〜，以及变形电位 〜 。

利用方程7 和 方程8，为 3×3 哈密顿矩阵在（1,1）位置的单元 展开方程 4 ，我们得到

(11)

经过整理之后将所有的算子都写到第一项中，其他四项只包含变量。

数值和解析方法

在参考文献 1的图5中，绘制了未发生应变和发生应变的晶体沿着 和  方向的价带变化，其中设置  为零。由于所考虑的系统是块状晶体， 和  只是数字，因此 方程(3) 中的哈密顿矩阵简化为对应于给定值  和  的某些特定数值的 3×3 矩阵。可以通过数值计算该矩阵的特征值以获得图中所示的能带结构。这是本文采用的分析方法，将用于验证接下来要讨论的数值方法。

在一般的非均匀结构（例如量子阱和量子点）中，如前所述，数字  和  必须由偏导数  和  代替，求解 xz 平面上的薛定谔方程以获得能带结构。这是数值方法。当然，对于块状晶体的简单系统而言，这有点大材小用。但是，出于教学和验证的目的，我们选择了这个简单的系统。一旦你学会了如何使用物理场特性来构建此简单模型，就可以模拟只能通过数值方法求解的更复杂的系统。

COMSOL Multiphysics^® 模型

由于哈密顿矩阵大小为 3×3 ，因此可以在模型向导或物理场接口设置 窗口中将波函数分量的数量设置为3是非常简单的。

如上所述，该模型在 x 和 z 方向是二维的。为了使模型符号表示更易于阅读，我们将第二个轴的坐标名称从默认 y 更改为 z，如下截图所示。

更改坐标名称以匹配感兴趣的方向（x 和 z）。

由于我们仅对区域中心附近的能带结构感兴趣，因此我们可以使用比元胞稍小的简单正方形域，并对薛定谔方程使用 Floquet-Bloch 周期边界条件。在这种状态下，问题接近一个均匀的连续体，并且少量的网格单元就足够了。（在结构相关的模型中也可以使用改网格剖分方法，具体参见薄膜体声波（BAW）结构的教程模型。）

模型中的仿真域和网格。

为了方便地创建一个绘图以与文献的图5 进行比较，我们设置了扫掠参数 kp，当其为正时表示 kx 轴，当其为负时表示 kz 轴。如下截图所示，为了实现此目的，我们使用在 kx 和 kz 的表达式中使用if语句。

为 kx 和 kz 的双轴一维绘图设置参数 kp 。

解析解

对于解析方法，我们建立了一个全局方程来对 方程3 给出的 3×3 哈密顿矩阵进行对角化，且使用保留名称 lambda 作为全局方程的特征值。我们用 1meV 的能量大小对哈密顿进行缩放，以使源项的值接近于 1，且特征能量是以meV为单位的特征值。我们还在表达式中添加了一些空格来使矩阵的列对齐。

查找 3×3 矩阵特征值的全局方程。

因为此时尚未定义特征值变量 lambda，因此文本为黄色。

求解薛定谔方程

如前所述，数值方法可用于求解薛定谔方程。为了方便地创建一个绘图以与文献的图5进行比较，我们将特征值大小设置为与图形的垂直轴相同的能量单位（meV），以便特征值取相同单位（meV）中特征能量的数值。

薛定谔方程物理场接口的设置窗口。

哈密顿矩阵输入

现在，我们准备输入 3×3 哈密顿的矩阵单元。同样，我们以位于（1,1）位置的单元为例。方程11 中总结了该矩阵元的所有项。第一项包含二阶谝导，因此我们添加了二阶哈密顿域条件。此功能自 COMSOL Multiphysics 5.6 版本起被引入，同时具有处理薛定谔方程物理场接口的多分量波函数的功能。

该域条件的设置窗口中的主要功能是哈密顿输入表。该表的前两列用于输入哈密顿矩阵单元的行索引和列索引。从下拉菜单中选择每个索引，该菜单会自动从 1 填充到 （波函数分量的数量）。例如，在这里我们已经将设置 为 3，因此下拉菜单可以选择 1、2 或 3。在开始向表中输入数据之前，请务必确定并设置波函数的数量（请参阅下面的已知限制部分）。

第三和第五列用于两个微分算子。它们还作为下拉菜单提供，根据模型的空间维度自动填充微分算子。在这里，我们在 xz 平面上建立了二维模型，因此选择是  和 。

第四列是有效质量参数 。与 COMSOL Multiphysics 中几乎所有其他输入字段一样，该输入字段接受数字、参数、变量或任何其他数学公式。所有的域条件中都内置了 因子，包括当前域，即一阶哈密顿，左，一阶哈密顿，右和零阶哈密顿。

最后一列描述，我们可以输入对每一个表达式的解释。哈密​​顿矩阵中的每个单元，例如 方程11 当中给出的单元 ，包含不同类型的项，这些项将输入到几个不同功能的多个表格行中。因此，通过在描述列中输入适当的注释来解释每一行是非常重要。

下列截图显示了域条件的设置窗口，其中将等式11 的第一项输入到哈密顿输入表的前两行。矩阵单元 的位置是（1,1），因此行索引和列索引均为1。表中两行的微分算子和 A 参数对应于 方程 11方括号中的两项。描述列解释贡献源；在本例中，这两行来自方程4的 部分 。

二阶哈密顿域条件的设置窗口，带有输入矩阵单元的第一项。

复制/粘贴表格行

在输入（1,1）单元 的其余项之前，我们注意到（2,2）单元 的二阶算子部分与之一相同 。参考文献1的等式（34） 为：

(12)

因此我们得到了对二阶哈密顿（）的相同贡献，只是他们位置不同：现在是（2,2），而不是（1,1）。

我们可以复制并粘贴 的两行数据并将行和列索引更改为2，而无需重新输入两行数据。首先，单击并拖动鼠标以选中表中的两行：

然后右键单击以复制选定的行：

然后单击添加按钮以添加新行：

然后右键单击以将两个复制的行粘贴到表中：

粘贴后，我们就有了两对相同的行：

最后，将行和列的索引从1更改为2并更新描述：

以这种方式重用表格行不仅可以节省时间，而且还有助于避免错误！

禁用默认有效质量贡献

我们刚才以为对角元为例演示的二阶哈密顿域条件的使用，对应于通常由默认有效质量特征所描述的动能项。我们应该禁用它以消除不必要的默认哈密顿贡献。

禁用默认的有效质量特征，以​​消除其对哈密顿的不必要贡献。

没有算子的项

如下截图所示，因为该元素位于哈密顿矩阵的对角线上，所以为了输入（1,1）单元的其余项 （等式11 中的最后 4 项： ）（仅是变量），我们可以使用零阶哈密顿 域条件或者是默认的电子势能域条件。

对哈密顿矩阵的对角元的零阶项使用默认的 电子势能域条件。

非对角元

对于非对角元，我们按照相同的程序填写二阶项哈密顿输入表：

零阶项：

如前所述，零阶哈密顿量具有内置 的前因子，如果输入量（本例中为 Del）是一个能量单位，则需要将其除以前因子。

已知限制

如果在哈密顿矩阵输入表中填入数据后更改了波函数分量的数量，则表格行将变得不同步。此时，需要清除表格并再次填充数据。在用数据填满任何哈密顿输入表之前，我们建议您先确定要在模型中研究的特定哈密顿矩阵，然后输入相应的波函数分量数。

其他设置

设置 Floquet-Bloch 周期边界条件以创建简单的映射网格，并使用特征值研究中使用提前定义的参数 kp 来对波矢量进行扫描。这是很简单的。

若要求解配置有全局方程的解析 3×3 阶矩阵方程，请使用所有特征值选项以获得 3×3 阶矩阵方程的所有 3 个特征值。

使用 所有特征值选项可获取全局方程的所有3个特征值。

未发生应变和发生应变的纤锌矿晶体的已计算能带结构

以下两个图显示了计算得到的未发生应变和发生应变的沿正 kx 轴和负 kz 轴方向已计算的重空穴（HH）、轻空穴（LH）和晶体场分裂空穴（CH）的能带分布，其与参考文献 1的图5 当中的解析解（圆圈）吻合较好。

块状GaN纤锌矿晶体未发生应变的价带结构。

块状 GaN 纤锌矿晶体的压缩应变价带结构。

下图比较了计算值（彩色表面）和解析解（灰色线框）之间三个价带沿x和z方向的二维能量表面。两者吻合的也很好。

块状 GaN 纤锌矿晶体的应变价带结构。

结论

在此博客文章中，我们使用一个简单的块状晶体示例演示了薛定谔方程的物理场接口处理多分量波函数的新功能。使用内置功能将哈密顿矩阵系统地输入到软件接口中。同样的方法可以应用于更复杂的系统，例如量子阱和量子点。我们很想知道您如何在仿真项目中使用这项新功能！

动手尝试

单击下面的按钮，尝试自己建模。您将进入 COMSOL 案例下载页面，其中包括详细步骤文档和 MPH 文件。

参考文献

1. L. Chuang and C.S. Chang, “k·p method for strained wurtzite semiconductors,” Phys. Rev. B, vol. 54, p. 2491, 1996.

脚注

回想一下，因为 COMSOL 的时间相位符号约定为 ，所以平面波是 。因此，使用的算子为 ，而不是  。

“薛定谔方程”物理场接口

COMSOL Multiphysics 的半导体模块具有一个薛定谔方程 物理场接口。在一个最简单的应用示例中，它描述了非相对论粒子在势能图景影响下的动力学（参考文献1）。它可以使用包络函数近似模拟量子约束固态系统，例如量子阱、量子线和量子点（参考文献2）。在本博客文章中，我们将演示如何将薛定谔方程转换成 Gross–Pitaevskii 方程（参考文献3和4），以及如何将其用于模拟玻色凝聚系统。

涡旋晶格形成实验

Madison、Chevy、Bretin 和 Dalibard 于 2001 年发表的论文（参考文献5）中展示了一系列引人注意的图像（论文中的图3），它生动地证明了在旋转激光场的作用下，玻色-爱因斯坦凝聚原子云中涡旋晶格的成核和形成。在同一图中，他们还绘制了椭圆率 的时间演化图（请参阅下面的公式（7）），显示了当进入涡旋晶格的低能态之前，该系统经历了一段明显的动力学不稳定期。先是初始振荡，随后 坍塌至接近零。

图3 摘自 Madison 等人的实验论文。（参考文献5）。

主要势阱由横向和纵向势阱频率 和 表征 ：

(1)

其中， 是原子质量。

势阱频率之比  为 9.2，如参考文献1中图 3 的图像说明文字所示。

旋转激光场中的光势可以近似为

(2)

其中，  和  轴以一定频率  围绕 z 轴旋转。

然后，总势  通过势阱频率  和  来表征。

可以调节激光场以产生不同的纵横比 ， 并将其定义为

(3)

特征频率参数 被定义为

(4)

以作为旋转频率的参考 ：。

例如，参考文献1 中的图3 是当 =0.7 时生成的。此外， 也用于量化椭圆率 ，我们将在下面详细介绍。但是，实验是在纵横比 随时间演化而上下起伏的情况下进行的。因此，如果定义（4）用于  和  的任意组合，则在时间演化过程中的 值也会上下变化。

为了维持  的值为常数，以作为旋转频率 和椭圆率  的可靠参考，我们在模型中计算 时使用 和 的常数值分别为 0.03 和 0.09。参考值 0.03 和 0.09 是基于 参考文献2 所引用的同一小组的早期实验论文。

最后，椭圆率 定义如下。被捕获凝聚体的密度分布可以通过 Thomas–Fermi 分布很好地近似：

(5)

其中， 是化学势（在 Thomas–Fermi 近似内），  是由散射长度 设置的耦合常数（在|F=2，mF=2 >基态中，对于 ⁸⁷Rb，=5.5nm ）。

根据上式（5） 横向尺寸 （ 和 ）的密度分布来定义参数 ：

(6)

然后，将椭圆率参数  定义为

(7)

建模理论

此模型的建模理论基于 Tsubota 等人的方法（参考文献2）。即通过求解具有唯象阻尼的旋转框架中的 Gross–Pitaevskii 方程来模拟这一壮观的时间演化过程（参考文献3）：

(8)

其中，  是阻尼系数，是要随时调整以保持凝聚原子数的化学势参数，并且  是旋转框架中的离心项。

Choi 等人（参考文献3）提供了估算阻尼系数 的公式：

(9)

其中， 是一个修正的贝塞尔函数，并且我们已经假设凝聚体与其周围的热原子之间达到平衡。

Thomas-Fermi 近似可以很好地估算许多重要参数，例如阻尼系数 。圆柱形对称势阱中的峰值密度和尺寸参数总结如下：

(10)

其中， 是凝聚体的原子数。

模拟涡旋晶格的形成

模型参数

Gross-Pitaevskii 方程（8）可以使用半导体模块中的薛定谔方程 物理场接口直接实现。在构建模型时，我们将模型参数与参考文献1中的实际实验条件进行匹配，以使模拟的时间演变与已发布的数据完全吻合。

根据 Bretin 的论文，搅拌激光场瞬间开启，纵横比 在 20ms 内斜升，然后在 300ms 内保持恒定。因此，在此模型中，我们使搅拌激光场始终处于开启状态，并使纵横比 随时间变化。为了使瞬态和稳态研究共享同一个公式，对于瞬态研究而言，我们定义了一个与内置时间参数具有相同名称t的时间参数。分别将斜升时间 20ms 和停止时间 300ms 定义为参数 tau 和 t_off。然后定义一个阶跃函数来斜升和斜降纵横比 ，假设相同的斜降时间周期为 20ms。公式被设置为

epst=0.032*step1((t+tau)/tau)*(1-step1((t-t_off)/tau))

使斜升在 -20ms 处开始并在时间 t=0 处结束。基于参考文献1和 Bretin 的论文， 的大小被设置为 0.032。

根据论文，我们并不清楚激光场的长半轴和短半轴是如何随纵横比的变化而变化的 。但是，假设椭圆的面积在斜升斜降期间保持恒定似乎是合理的。因此，我们从搅拌激光场中获得了光势的 和 参数的公式：

epsX=(epst+sqrt(0.03*0.09+epst^2-0.03*0.09*epst^2))/(1-epst)，

epsY=(-epst+sqrt(0.03*0.09+epst^2-0.03*0.09*epst^2))/(1+epst)。

准备好这些纵横比参数后，按照实验部分中的说明输入势阱参数。凝聚体中的原子数选择为 1.5e5，这与实验范围一致，并且最适合于实验中的涡旋数。为了估计阻尼系数 ，根据参考文献1，使用的温度为 100nK。

由于我们使用二维模型近似三维凝聚体，因此采用 Thomas-Fermi 公式（10）计算合理的面外厚度。选择面外厚度的标准，以使二维模型中的峰值密度与三维中的 Thomas-Fermi 峰值密度相匹配，我们获得以下面外厚度 的公式：

(11)

初始静止状态

首先，用与模型示例玻色-爱因斯坦凝聚的 Gross-Pitaevskii 方程相同的两个研究来求解凝聚体的稳态。这为随后的瞬态研究提供了初始条件。

对于公式（8）中的相互作用能项  ，将内置变量 schr.Pr 除以面外厚度 L 以得到三维的粒子密度。（请注意，schr.Pr 的意义与从常规薛定谔方程意义上所说的通常的“概率密度”不同。）在这里，因变量 代表 Gross–Pitaevskii 凝聚的阶次参数，并且 schr.Pr（) 表示二维原子密度。）在稳态研究的波函数 的归一化全局方程中，总能量由 Thomas–Fermi 化学势 标定，因此要求解的全局变量具有统一的阶次。

下图比较了 X 轴上的最终粒子密度分布与 Thomas-Fermi 近似的分布。正如预期的那样，它们完全一致。

X 轴上的粒子密度分布的计算稳态解（蓝色）和通过 Thomas–Fermi 近似求出的一个稳态解（绿色）。

旋转框架、耗散和归一化

获得稳态解后，可以使用了 COMSOL Multiphysics 5.6 版本中提供的两个特征为瞬态研究添加更多的物理场特征。一种是旋转框架特征，如下面的截图所示。

旋转框架特征 的设置窗口。

对于这样的二维模型，旋转轴固定在面外方向上。对于三维模型，用户可以选择任意方向上的轴。

另一个是唯象阻尼的耗散特征，这对于使系统弛豫到涡旋晶格的低能态至关重要。请参见下面的屏幕截图。

耗散特征的 设置窗口。

依据参考文献2，与稳态研究类似，使用全局方程通过调节化学势来维持凝聚体中的原子数，并将要求解的全局变量按与 Thomas–Fermi 化学势 μ_TF 的能量标度统一的阶次进行缩放。

动态不稳定性

在达到低能量的涡旋晶格状态前，该系统经历了一段时间的动态不稳定。这种物理过程的随机本质会导致每次运行的模拟时间历史发生重大变化。所得晶格中的涡旋数也可能变化。为了提高数值收敛性，对求解器设置进行了一些调整。由于初始条件是来自稳态研究的物理解，因此可以禁用一致初始化。它通常有助于将代数状态排除在误差控制之外。具有大量迭代次数的自动牛顿法有助于克服非线性严重时的不稳定时期。

下面的动画显示了作为时间函数计算出的粒子密度分布。在凝聚体振荡/旋转的初始阶段之后，旋涡开始在外围形成。随着涡旋随机移动，一个动态不稳定周期随之而来（在此时间段内，动画会变慢。）最终，系统稳定到涡旋晶格的低能量状态。请欣赏希下面的演示！

作为时间函数的计算粒子密度分布。

下图显示了该动画的一些快照。

作为时间函数的计算粒子密度分布。

由于实验装置中光学成像系统的实际限制，在原子仍被捕获的情况下，无法获得如上图所示的密度分布图。取而代之的是，在实验中，原子从势阱中释放出来，并允许云在 25 ms 内自由扩展到大约 300 um 大小。在自由扩展前后，云的纵横比也发生了巨大变化。最初的雪茄形状变成最终的薄饼形状，在扩展前后长尺寸和短尺寸发生了互换。在将模拟的势阱内密度分布与扩展后的原子云的已发布图像进行比较时，应牢记这一点。

结果分析

上面的动画和图形中显示的时间演化过程可以简化为单个椭圆率参数 ，该参数通过将粒子密度分布拟合为一个简单函数来提取椭圆的长轴 和短轴 ，然后应用于等式 （7）。对于上图所示的模拟的势阱内密度分布，Thomas–Fermi 近似提供了一个很好的拟合函数。通过将其拟合到每个时间点的密度分布，我们可以计算椭圆率参数   以作为时间的函数。下图显示了计算结果（蓝点）。初始振荡的时间尺度和的最终塌陷与参考文献1中图3 显示的数据吻合良好。虽然大小略有不同，但是考虑上述自由扩展前后可能发生的形状变化，这是可以理解的。

椭圆率参数和每个原子的角动量（单位为 ）。

表征从振荡/旋转的全云到涡旋晶格过渡的另一个重要参数是角动量，上图中对角动量也进行了绘制（绿色曲线）。初始振荡和最终获得一定角动量（与旋涡数量成比例）的一般行为与 Tsubota 等人的模拟结果一致（参考文献2中的图3 ）。但是，这里模拟结果的时间尺度与实验数据非常接近。

优化

优化模块用于拟合粒子密度分布。为了检查拟合的质量，我们可以绘制拟合数据的等值线（模拟密度分布图）和拟合函数的等值线（Thomas-Fermi密度分布图）并进行比较，如下图所示。

拟合数据（模拟密度分布，灰度）和拟合函数（Thomas-Fermi 密度分布，彩色）。

如下面的截图所示，优化方案的设置从拟合参数的定义开始。

优化方案的拟合参数。

拟合参数分别是：拟合密度分布图的第一轴 RXfit、第二轴 RYfit、倾角 thetafit 和峰值密度 rho0fit。还定义了解参考的索引参数 index 和椭圆率参数 alphafit 的拟合值，使用拟合参数和公式（7）计算。

基于 Thomas–Fermi 密度分布的拟合函数被定义为变量 fit_fn。然后，将计算的数据与拟合函数之间的差值求平方并在模拟域中求平均值，以作为优化研究要最小化的目标。为了防止目标的大小变得太大而使优化器无法处理，我们通过 Thomas-Fermi 峰值密度（公式（10）中的 ）来缩放差异，以使产生的目标接近于1 的量级。该变量被定义为以下截图中的变量 q0。

通过优化研究最小化拟合密度分布和目标。

然后在优化研究设置中使用目标 q0 和 4 个拟合参数。使用 Thomas-Fermi 近似中的值，为每个拟合参数提供适当的初始值、比例和边界。参见以下截图。

优化研究设置。

首先使用参数 index 设置参数化扫描，然后选取适合每个时间点的解。在虚设的稳态研究步骤中，设置未求解的变量值栏，以使用 index 参数选择在每个时间步中的瞬态解。详可参见下面截图

使用参数 index 进行参数化扫描。

用于栏设置的带有“未求解变量的值”的虚设稳态研究步骤，以使用参数选择每个时间步中的瞬态解。

结语

本文，我们使用一个由被捕获的冷原子形成的玻色-爱因斯坦凝聚中的涡旋晶格形成的动力学过程模型演示了 COMSOL 软件中的“薛定谔方程”物理场接口。欢迎您在下面的留言区评论您如何使用此物理场接口处理其他有趣的现象！

参考文献

1. 1. L. I. Schiff, 《Quantum Mechanics》, McGraw-Hill, ed. 3, 1968.
2. 2. P. Harrison, 《Quantum Wells, Wires and Dots》, Wiley, ed. 3, 2009.
3. 3. E.P. Gross, “Structure of a quantized vortex in boson systems”, Il Nuovo Cimento, vol. 20, no. 3, pp. 454–457, 1961.
4. 4. L.P. Pitaevskii, “Vortex lines in an imperfect Bose gas”, Sov. Phys. JETP, vol. 13, no. 2, pp 451–454, 1961.
5. 5. K. W. Madison, F. Chevy, V. Bretin, and J. Dalibard, “Stationary States of a Rotating Bose-Einstein Condensate: Routes to Vortex Nucleation”, Phys. Rev. Lett., 86, 4443, 2001.
6. 6. M. Tsubota, K. Kasamatsu, and M. Ueda,《“Vortex lattice formation in a rotating Bose-Einstein condensate”,, Phys. Rev., A 65, 023603 (2002).
7. 7. S. Choi, S. A. Morgan, and K. Burnett, “Phenomenological damping in trapped atomic Bose-Einstein condensates”, Phys. Rev., A 57, 4057, 1998.

注意：此博客最初发布于 2013 年 9 月 10 日。此后更新了一些信息和示例。

计算电磁学：麦克斯韦方程组

麦克斯韦（Maxwell）方程组与电荷密度 、电场 、电位移场 、电流 、磁场强度 ，以及磁通密度 有关：

 
为了求解这些方程，我们需要一组边界条件，以及材料本构关系。本构关系将 和 场、  和 场、 和 场相关联。在不同的假设下，这些方程已在 COMSOL 产品库的不同模块中被求解，并与其他物理场耦合。

注意：为了传达关键理念，此处介绍的大多数方程均以缩写形式显示。要查看所有控制方程的完整形式，并查看所有可用的本构关系，请查阅产品文档。

下面，我们先开始介绍一些概念。

稳态、时域还是频域？

在求解麦克斯韦方程组时，为了减轻计算负担，我们试图做出尽可能合理和正确的假设。尽管麦克斯韦方程组可以求解任意随时间变化的输入，但我们通常可以合理地假设输入和计算的解都是稳态或正弦时变的情况。前者通常也被称为 DC（直流）情况，而后者通常被称为 AC（交流）或频域情况。

如果这些场在任何时间都没有变化，或者变化很小以至于不重要，则稳态（DC）假设成立。也就是说，我们可以说麦克斯韦方程组中的时间导数项为零。例如，如果您的设备连接了电池（可能需要数小时或更长时间才能耗尽电量），那么这样做是非常合理的假设。更正式地，我们可以这样说： ，它直接就忽略了麦克斯韦方程组中的两个项。

如果系统上的激励呈正弦变化，并且系统的响应在相同频率下也呈正弦变化，则频域假设成立。换句话说，系统的响应是线性的。在这种情况下，我们可以使用以下关系式在频域中，而不是在时域中求解问题：，其中  是时空变化场；  是一个空间变化的复值场； 是角频率。与时域相比，在一组离散频率中求解麦克斯韦方程组的计算效率非常高，尽管计算要求与要求解的不同频率的数量成正比（我们将在后面讨论一些注意事项）。

当解随时间变化或系统响应为非线性时，就需要在时域内求解（尽管对此有一定的例外，我们将在后面讨论）。时域仿真比稳态或频域仿真在计算上更具挑战性，因为其求解时间与感兴趣的时间跨度和所考虑的非线性因素成比例增加。在时域内求解时，最好考虑输入信号的频率组成，尤其是当前存在且重要的最高频率。

电场、磁场或两者兼有？

尽管我们可以使用麦克斯韦方程组求解电场和磁场，但通常只需求解一个就足够了，尤其是在直流情况下。例如，如果电流很小，则磁场将会很小。即使在电流较高的情况下，我们实际上也可能不会对所产生的磁场感到担忧。另一方面，有时仅存在磁场，而没有电场，例如仅由磁体和磁性材料组成的设备。

但是，在时域和频域中，我们必须更加小心。我们要在此处检查的第一个量是模型中材料的集肤深度。金属材料的集肤深度通常约为 ，其中 是磁导率， 是电导率。如果集肤深度远大于 物体的特征尺寸，则可以合理地认为集肤深度效应可忽略不计，并且只需求解电场。但是，如果集肤深度等于或小于物体的大小，则感应效应很重要，并且我们需要同时考虑电场和磁场。在开始任何模拟之前，最好快速检查一下集肤深度。

随着激励频率的增加，了解设备的一阶共振也很重要。在基本共振频率下，电场和磁场中的能量恰好处于平衡状态，因此我们可以说处于高频 状态。尽管共振频率通常很难估计，但是比较特征物体的尺寸 和波长 是一个良好的经验法则。如果物体尺寸接近波长的重要部分 ，则我们正在接近高频状态。在这种状态下，功率主要通过电介质中的辐射流动，而不是通过导电材料中的电流流动。这导致控制方程的形式略有不同，明显低于一阶共振频率，通常称为低频 状态。

现在让我们看看这些不同的假设是如何被应用于麦克斯韦方程组，并为我们提供不同的方程组来求解，然后看看我们需要为每个方程组使用哪些模块。

稳态电场模拟

在稳态条件下，我们可以进一步假设我们仅在处理导电材料或完全绝缘的材料。在前一种情况下，我们可以假设电流在所有域中流动，并且麦克斯韦方程组可以重写为：

这个方程求解了电势场 ，并能得出电场 以及电流 。我们可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解该方程，并在软件的 入门简介中求解。AC/DC 模块和MEMS 模块扩展了基本模块的功能，例如，通过提供简化模型设置的终端条件和用于模拟相对较薄的导电和绝缘区域的边界条件，以及模拟仅通过几何上较薄并可能具有多层结构的电流的单独物理场接口。

另一方面，假设我们对材料介电常数为 的完全绝缘介质中的电场感兴趣，可以求解方程：

 
该方程计算了不同电势下对象之间的介电区域中的电场强度。该方程也可以使用 COMSOL Multiphysics 基本模块求解，并且 AC/DC 和 MEMS 模块再次通过例如终端条件、模拟薄介电区域的边界条件和介电材料中的薄间隙扩展了功能。此外，这两种产品还提供了边界元公式，它求解了相同的控制方程。如之前的博客文章所述，它对于仅由导线和表面组成的模型也具有一些优势。

时域和频域电场模拟

一旦要模拟时变电场，就会同时存在传导电流和位移电流，这时我们会想使用 AC/DC 模块或 MEMS 模块。与上面的第一个方程略有不同，在时域情况下，求解方程可写为：

这个瞬态方程可以同时求解传导电流， 和位移电流 。当源信号不是谐波，并且我们希望随时间监视系统响应时，可以使用此方法。电路中电容器的瞬态模拟模型是一个你可以查阅的示例。

在频域中，我们可以求解稳态方程：

 
此时，位移电流为 。使用此方程的一个示例是电容器频域模拟。

使用 AC/DC 模块模拟磁场

AC/DC 模块解决了稳态、时域或低频状态下的磁场模拟问题。

对于没有电流流过的模型（例如磁体和磁性材料的模型），可以简化麦克斯韦方程组并求解磁标势 ：

 
可以使用有限元法或边界元法求解该方程。

一旦模型中存在稳态电流，我们就必须求解磁矢势 。

 
该磁矢势用于计算 ，并且电流 可以通过施加或通过增广先前的电标势和电流方程来同时计算。这种情况的典型例子是亥姆霍兹线圈的磁场。

当移至时域时，我们求解以下方程式：

 
其中，。

该方程式仅考虑传导电流和感应电流，而不考虑位移电流。如果功率传输主要是通过传导而不是辐射进行，这就是合理的。求解此方程式的一个重要动机是，是否存在材料非线性，例如，E 型磁芯变压器这个示例的 BH 非线性材料。但是，应该指出的是，还有通过等效 HB 曲线方法求解 BH 非线性材料的替代方法。

当我们进入频域时，控制方程变为：

 
请注意，该方程式同时考虑了传导电流 ，以及位移电流 ，并且开始看起来非常类似于波动方程。实际上，在假设辐射可忽略不计的情况下，该方程可解决结构谐振及其周围频率的问题，如这个示例所示：三维电感器模拟。

有关上述方程组在磁场模拟中的用法的更完整介绍，请参阅我们关于电磁线圈建模的系列讲座。

也可以将磁标势方程式和矢势方程式混合，这在电动机和发电机模拟中都有应用。

除了上述关于磁矢势和标势的静态、瞬态和频域方程式之外，还存在关于磁场的单独公式，适用于超导材料的模拟，例如以下所示的超导线示例。

使用 RF 模块或波动光学模块模拟频域和时域中的波动方程

当我们进入高频状态时，电磁场在本质上会体现波动性，就像 天线、微波电路、光波导、微波加热、自由空间中的散射和基底上对象的散射模拟一样，我们在频域中求解形式与麦克斯韦方程组稍有不同：

 
这个方程是用电场 来写的，并且磁场的计算公式为： 。它既可以以一组指定的频率来求解，也可以作为特征频率问题来求解，它可以直接求解设备的谐振频率。特征频率分析的示例包括闭合腔、线圈和法布里-珀罗腔多个基准示例,，并且此类模型可以计算谐振频率和品质因子。

在指定频率范围内求解系统响应时，可以直接在一组离散频率上求解，在这种情况下，计算成本与指定频率的数量成线性比例关系。人们也可以在单台计算机和集群上利用硬件并行来并行化和加速求解。也有频域模态和自适应频率扫描（也称为渐近波形估计）求解器，这些求解器可加速求解某些类型的问题，如本博文中的一般意义所述，并在此波导虹膜滤波器示例中进行了演示。

如果您要使用 RF 模块或波动光学模块在时域中求解，那么我们可以求解与 AC/DC 模块中较早的方程非常相似的方程：

 
该方程式再次求解了磁矢势，但是在时间上包括一阶和二阶导数，因此同时考虑了传导电流和位移电流。它可用于光学非线性，色散材料和信号传播的模拟。如本示例所示，时域结果还可以通过快速傅立叶变换求解器转换为频域。

这些等式在存储方面的计算要求也是一个问题。感兴趣的设备及其周围的空间通过有限元网格离散化，并且该网格必须足够精细以解析波。也就是说，至少必须满足奈奎斯特准则。实际上，这意味着大约 10x10x10 波长的域大小（不考虑工作频率）大约是 64GB RAM 的台式计算机上可寻址内容的上限。随着域大小的增加（或频率增加），内存需求将与要求解的立方波长的数量成比例地增长。这意味着上述方程式非常适合于特征尺寸大约不大于感兴趣的最高工作频率下 10 倍波长的结构。但是，有两种方法可以绕过此限制。

求解远远小于波长的对象周围的类波场的一种方法是时域显式方程。这求解了另一种形式的与时间相关的，且可以使用更少的内存来求解的麦克斯韦方程。它主要用于线性材料模拟，在某些情况下很有吸引力，例如用于计算背景场中对象的宽频带散射。

对于特定类型的光波导结构，存在另一种替代方法，可以在已知电场在传播方向上的变化非常缓慢的频域中求解。在这种情况下， 波动光学模块中的波束包络法变得非常有吸引力。此接口求解以下方程：

 
其中，电场为 ， 是电场包络。

附加场 是所谓的必须已知的相函数，并将其指定为输入。幸运的是，对于许多光波导问题，确实是这种情况。可以同时求解一个或两个这样的波束包络场。当可以使用这种方法时，其优点是内存要求远远低于本节开头介绍的全波方程式。其用法的其他示例包括定向耦合器模型以及光学玻璃中的自聚焦模型。

在 AC/DC 模块、RF 模块和波动光学模块之间选择

AC/DC 模块和 RF 模块之间的分界线有点模糊。问我们自己几个问题会有所帮助：

1. 我正在使用的设备会辐射大量能量吗？我对计算谐振感兴趣吗？如果是这样，则RF模块更合适。
2. 设备是否比最高工作波长的波长小得多？我主要对磁场感兴趣吗？如果是这样，则 AC/DC 模块更合适。

如果您正好介于两者之间，那么将这两种产品都包含在模块库中是合理的。

在 RF 模块和波动光学模块之间选择需要询问您自己的应用。尽管在时域和频域上，麦克斯韦方程组的全波形式在功能上存在许多重叠，但在边界条件上仍存在一些细微差异。存在适用于微波设备模拟的所谓集总端口和集总元件边界条件，它们只包含在 RF 模块中。还请记住，只有“波动光学模块”包含波束包络公式。

就材料特性而言，这两种产品具有不同的材料库：RF 模块提供了一套通用的电介质基底，而波动光学模块则在光学和红外频带中包含了上千种不同材料的折射率。有关此内容以及其他可用材料库的更多详细信息，请参见此博客文章。当然，如果您对设备模拟需求有特定疑问，请与我们联系。

下图概述了这些模块之间的近似分界线。

使用射线光学模块追踪射线

如果要模拟大小是波长数千倍的设备，则不再可能通过有限元网格来解析波长。在这种情况下，我们还在射线光学模块中提供了几何光学方法。这种方法不直接求解麦克斯韦方程组，而是模拟空间追踪光线。这种方法仅需要将反射表面和介电区域进行网格剖分，而不是均匀的自由空间。它适用于透镜、望远镜、大型激光腔以及结构-热-光学性能（STOP）分析的模拟。甚至可以将其与全波分析的输出结合起来，如本示例所示的教程模型。

多物理场模拟

除了求解麦克斯韦方程组本身之外，COMSOL Multiphysics 的核心优势之一是求解几个物理场之间存在耦合的问题。最常见的方法之一是麦克斯韦方程组和温度之间的耦合，其中温度的升高会影响电（以及热）的特性。有关解决此类电热问题的方法概述，参见此博客文章。

将结构变形与电场和磁场耦合也是很常见的。有时，这仅涉及变形，但有时，还涉及压电、压阻或磁致伸缩材料响应，甚至应力-光学响应。MEMS模块具有用于静电驱动谐振器的专用的用户接口，其中施加的电场使设备偏置。结构接触和接触部分之间的电流流动也可以在电流模拟的背景下考虑。

但是，除了温度和变形之外，您还可以将麦克斯韦方程组的电流耦合到化学过程，如电化学，电池和燃料电池，电沉积和腐蚀模块所述。在“等离子体模块”中，您甚至可以耦合到等离子体化学，并且通过“粒子追踪模块”，您可以通过电场和磁场追踪带电粒子。最后，我们的半导体模块使用漂移扩散方程求解电荷传输。这些模块中的每个模块本身都是一个主题，因此我们不会在这里详述。

当然，如果您想更深入地讨论这些模块中的任何一个，并了解它如何适用于您感兴趣的设备，请立即通过下面的按钮与我们联系。

案例 1:硅反型层

金属氧化物硅（MOS）结构是许多硅平面器件的基本构建单元。已有使用各种技术对氧化硅界面下的反型层进行了大量的研究。案例 1 使用了传统的漂移-扩散方程、密度梯度理论和全量子力学薛定谔-泊松方程，对参考文献2 中的硅反型层进行了仿真。栅极氧化物的厚度为 3.1 nm，掺杂浓度为 3.8e16 1/cm³。密度梯度的有效质量是电子质量的 1/3。温度为 300 K，采用费米-狄拉克统计。

如下图所示，由漂移-扩散方程计算所得的电子浓度分布（标记为“DD”）明显缺乏量子约束的影响，而由密度梯度公式计算得到的电子浓度分布（标记为“DG”）则非常接近使用薛定谔-泊松方程计算得到的电子浓度分布（标记为“SP”）。

使用传统的漂移-扩散公式（DD）、密度梯度理论（DG）和薛定谔-泊松方程（SP）计算的电子密度曲线。左：对数比例，右：线性比例。

虽然使用密度梯度理论计算的结果与完全量子力学计算的结果并不完全一致，但比使用传统的漂移-扩散公式有了巨大的改进。此外，它比使用薛定谔-泊松方程需要的计算资源要少得多。在这个简单的一维模型中，密度梯度的计算时间为 6 秒，而使用薛定谔-泊松方程的计算时间为 253 秒。在更高维度的更复杂的模型中，这一差异将变得更大。

案例 2:纳米线金属氧化物半导体场效应晶体管

案例 2 的硅纳米线金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSFET）的三维模型是基于参考文献3建立的。模拟结构的沟道是由一个矩形硅纳米线形成的，其截面是一个 3.2 nm 的正方形，周围是厚度为 0.8 nm 的氧化层。该通道的长度为 4 nm，温度保持在 300 K。文献中使用了麦克斯韦-波尔兹曼统计。

在这个模型中，密度-梯度有效质量呈各向异性。在 COMSOL 中，我们可以通过在材料属性中选择对角线，在设置窗口选择密度-梯度来实现半导体材料模拟域条件，如下面的截图所示。

各向异性有效质量矩阵的设置。

在 COMSOL 中，使用电荷守恒 域条件明确模拟氧化物层。选择绝缘体界面 边界条件的势垒 选项实现硅-氧化物界面的量子约束效应，如下面的截图所示。这个选项实现了文献4中描述的边界条件，这在上一篇博客文章中作过简要讨论，感兴趣读者的可以阅读。

在半导体-绝缘体界面添加量子约束的设置。

下图中显示的 I-V 曲线和电子密度分布都与参考文献3中的相应绘图结果一致。

一组密度梯度的纵向有效质量的 I-V 曲线。

一组密度梯度纵向有效质量的纵向电子浓度曲线。

一组密度梯度纵向有效质量的横向电子浓度曲线。

在上面的最后一张图中，氧化物-硅界面的量子约束的影响显而易见。下图是电子密度（彩色切片）、电流密度（黑色箭头）和电势（灰度等值面）的三维分布图。

案例 3: InSb p 沟道场效应晶体管

该模型基于文献5建立，分析了具有纳米级沟道的 InSb FET 的直流特性。 模拟结构的沟道是由一个 5 nm 厚的 InSb 量子阱层在 AlInSb 阻挡材料上形成的。然后在量子阱层的顶部添加一个 10 nm 厚的阻挡层，接着是源极和漏极触点的 p+ 帽。温度为 300 K，使用费米–狄拉克统计。

在 COMSOL 中，量子阱层的量子约束效应是通过连续/异质结 边界条件的默认连续准费米能级选项自动计算的，在连结较好地界面上是有效的。此外，通过选择 绝缘 边界条件的 势垒 选项，增加了顶部势垒层边界（顶部势垒–真空界面）的量子约束效应，其方式与前面的例子类似。密度梯度有效质量是各向异性的，其设置方式与上例相同。

参考文献中采用的是一个依赖场的移动性模型。由于其几何结构比较简单，使用电场的 X 分量来建立移动性模型就足够了。然而，我们选择了更通用的程序，适用于任何任意的几何形状。一个 Caughey-Thomas 移动模型(E)子节点被添加到半导体材料模型 域条件中，用于提供移动性模型使用的电场的平行分量，如下面的截图所示。通过延迟更新电场的平行分量，调整求解器的顺序，以实现所产生的高度耦合系统的收敛。

使用求解器序列中的上一个解 节点来延迟电场平行分量的更新，以使任意几何在一般情况下均收敛。

下图所示的 I-V 曲线和空穴密度曲线与文献5中的曲线图一致性极高。

InSb FET 模型的 I-V 曲线

显示量子约束效应的空穴浓度曲线。

下图比较了 x=-100nm 处的空穴密度曲线（蓝色曲线）和近似漂移-扩散曲线（红色点状曲线），用于定性显示量子阱层和顶部势垒-真空界面（y = 0 nm）处的量子约束效应。同时还绘制了价带边缘（“Ev”）和空穴的准费米能级（“Efp”）。请注意，这种比较只是定性的，因为该模型没有使用传统的漂移-扩散公式重新求解。因此，如果模型被重新求解，而绝对量级没有被解决，只有近似漂移-扩散曲线的形状是代表结果的。尽管如此，有量子约束和无量子约束的处理方法之间的定性差异很好地表现在空穴浓度曲线的形状差异上。在异质结处缺乏载流子堆积，以及载流子从顶部势垒-真空界面被排斥，都明显表明了量子约束效应。

阐明量子约束效应的线性切割图。

结束语

随着晶体管的物理尺寸的不断缩小，量子约束效应已不能被忽视。为了将这种效应纳入器件仿真中，我们在这个系列博客中分两部份介绍了计算效率高的密度梯度理论和一些建模实例。

后续步骤

下载文中介绍的案例模型：

• 硅反转层的密度梯度和薛定谔-泊松结果
• 纳米线 MOSFET 的密度-梯度三维仿真
• InSb p 沟道场效应晶体管的密度梯度分析

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参考文献

1. M. G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” J. Comput. Electron., vol. 10, p. 65, 2011.
2. M. G. Ancona, “Equations of State for Silicon Inversion Layers,” IEEE Trans. Elec. Dev., vol. 47, no. 7, p. 1449, 2000.
3. A. R. Brown, A. Martinez, N. Seoane, and A. Asenov, “Comparison of Density Gradient and NEGF for 3D Simulation of a Nanowire MOSFET,” Proc. 2009 Spanish Conf. Elec. Dev., p. 140, Feb. 11-13, 2009.
4. S. Jin, Y. J. Park, and H. S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device”, J. Semicond. Tech. Sci., vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.
5. M. G. Ancona, B. R. Bennett, J. B. Boos, “Scaling projections for Sb-based p-channel FETs,” Solid-State Electronics, vol. 54, p. 1349, 2010.

静电和电荷载流子守恒

首先，我们来回顾一下传统的漂移扩散理论和密度梯度（DG）理论常用的基本方程。在下一节中，我们将讨论它们之间的区别。

半导体器件的物理场仿真包括由电场（漂移）和载流子浓度梯度（扩散）驱动的载流子迁移。电场（V/m）由准静态假设下的静电方程式给出：

(1)

式中， 是介电常数（F/m）， 是电荷密度（C/m³）， 是电势（V）。

电荷密度 由空穴、电子、电离的施主和电离的受主浓度（1/m³）（分别为 , , 和 ）给出。

(2)

式中， 是基本电荷（C）。

电子和空穴浓度（ 和 ）受以下连续性方程给出的守恒定律约束：

(3)

式中， 是时间（秒）； 和 是电子和空穴的电流密度（A/m²）； 是电子和空穴的复合和产生速率（1/m³/s）。

电子和空穴的电流密度 和 可以用准费米能级（quasi-Fermi levels） 和 （V）表示：

(4)

式中， 和 是电子和空穴迁移率（m²/V/s）， 和 是导带和价带边缘（V）， 和 是电子和空穴对热扩散系数（m²/s）的非平衡贡献， 是温度（K）。

导带边缘 和价带边缘 与电势 ，电子亲和势 和带隙 有关：

(5)

请注意，在使用半导体模块时，所有能级变量（）均由基本电荷换算成电势（V）。

漂移扩散和密度梯度理论的状态方程

传统的漂移扩散理论和密度梯度理论都遵守上面列出的静电和电流守恒定律。它们之间的差异在于电子和空穴气体的状态方程。

在漂移扩散理论中，载流子浓度 和 与准费米能级 和 有关，由下列等式表示：

(6)

式中， 和 分别是导带和价带有效态密度（1/m³）， 是费米-狄拉克积分， 是玻耳兹曼常数J/K）。

而在密度梯度理论中，通过量子势 和 （V）增加了浓度梯度对状态方程的贡献：

(7)

式中，量子势 和 是根据密度梯度定义的：

(8)

密度梯度系数 和 （V m²）由密度梯度有效质量张量 和 （kg）的倒数给出：

(9)

式中， 是普朗克常数。

求解策略

对于传统的漂移扩散公式，可以将状态方程(6)代入基本方程（1）~（5）中，求解三个因变量：, 和 。

对于密度梯度公式，状态方程（7）〜（8）表明了电荷载流子浓度的隐式关系。此时，要引入新的因变量来求解隐式方程。根据参考文献1，我们使用 Slotboom 变量 和 （V）作为附加因变量：

(10)

此时，可以用 Slotboom 变量表示量子势：

(11)

式中， 是 的倒数。

然后使用密度梯度公式的基本方程（1）〜（5）和状态方程（7）〜（11）求解五个因变量：, , , , 和 。显然，与其他更复杂的量子力学方法相比，该方法不会增加过多的计算量。因此，密度梯度理论为工程师提供了一种有效的替代方法。

重组率

由于密度梯度理论的状态方程增加了载流子浓度的梯度，平衡浓度不再仅仅是费米能级的函数，因此重组率涉及更复杂的计算（参考文献2）。

对于明确的缺陷，此时，基于准费米能级差的公式计算电子和空穴的复合速率 和 （1/m³/s）：

(12)

式中， 和 是电荷载流子的平均捕获率（m³/s）， 是缺陷密度（1/m³）， 为缺陷占据率（1）， 是缺陷的准费米能级（V）。缺陷占据率由费米·狄拉克（Fermi–Dirac）统计得出：

(13)

其中， 是简并因子（1）， 是缺陷能级（V）。

直接、俄歇（Auger）和肖克利-雷德-霍尔（SRH）重组的速率表达式可能看起来很像。但是，各种参数的基本定义更为复杂。例如，SRH 重组率 和 （1/m³/s）为：

(14)

式中， 和 是电子和空穴的寿命(s)。

此时，电子和空穴的平衡浓度 和 (1/m³)变为：

(15)

式中， 是平衡费米能级（V）。

请注意，量子势 和 出现在上述表达式中。参数 和 （1/m³）不再是常数，即使在简单的情况下也是如此，它们使用原定义来计算：

(16)

请注意，对载流子浓度 和 的依赖性，实际上取决于浓度梯度。

Slotboom变量的边界条件

在大多数情况下，Slotboom 变量的边界条件和是简单的自然边界条件（参考文献3）：

(17)

在边界代表突变势垒的情况下（例如氧化硅界面），Jin等人在参考文献4中建议使用 Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似来获得边界条件：

(18)

式中， 是氧化物中的系数 （V m²）， 是氧化物的势垒高度（m），由下式给出：

(19)

式中， 和 是氧化物的有效质量（kg）， 是势垒高度（V）。

异质结选择

在常规漂移扩散公式中，COMSOL 的 半导体模块 为异质结提供了两种选择：连续准费米能级 和热电子发射。

在第一种选择中，我们可以轻松地扩展到密度梯度公式：只需让准费米能级和 Slotboom 变量在异质结上连续即可，这对于拉格朗日形函数是自动的。这模仿了量子力学波函数的连续性质，尽管充其量只能被视为现象学（参考文献1）。

第二种选择假定热电子发射过程占主导地位，并允许准费米能级和Slotboom变量在异质结上不连续。热电子电流密度使用与漂移扩散理论相同的公式，并能得出相似的结果。

结语

本文概述了 COMSOL 半导体模块中的密度梯度方程。应该强调的是，本文仅介绍了密度梯度限制理论，而不是密度梯度隧穿理论（参考文献1）。该应用理论为工程师提供了一种有效的计算方法，可以在工程物理仿真中考虑量子约束的影响。在后续博客文章中，我们将通过三个示例模型来演示这种仿真方法的强大功能。

参考文献

1. M.G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” Journal of Computational Electronics, vol. 10, p. 65, 2011.
2. M.G. Ancona, Z. Yu, R.W. Dutton, P.J. Vande Voorde, M. Cao, and D. Vook, “Density-Gradient Analysis of MOS Tunneling,” IEEE Transactions On Electron Devices, p. 2310, Vol. 47, No. 12, December 2000.
3. M.G. Ancona, D. Yergeau, Z. Yu, and B.A. Biegel, “On Ohmic Boundary Conditions for Density-Gradient Theory”, Journal of Computational Electronics 1: 103–107, 2002.
4. S. Jin, Y.J. Park, and H.S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device,” Journal of Semiconductor Technology and Science, vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.

定义全局时间参数

为了研究稳态和瞬态响应，我们用时间单位定义全局参数 t，并用全局参数t和瞬态产生速率 gR 来定义全局分段函数 pw1，该函数在此模型中描述了一个单位三角脉冲的峰值。

使用时间参数 t 和与瞬态产生速率 gR 定义全局参数。
 

全局分段函数 pw1 描述了一个单位三角脉冲峰值。

稳态求解器通过时间参数 t 可以识别具有相同名称的内置时间变量 t。因此，我们可以使用相同瞬态表达式 gR，方便地模拟辐射剂量产生速率，而无需考虑研究类型。

产生速率的相同瞬态表达式 gR 可用于稳态研究和瞬态研究。

在稳态研究中，可以通过设置时间参数 t 的值来适当调整剂量。

反向偏置二极管

p-i-n 二极管由 300um 厚的硅晶片构成，其掺杂曲线如下图所示。

p-i-n 二极管的掺杂曲线。

p-i-n 二极管被反向偏置到 1kV，以收集由辐射产生的载流子。这是通过模型中的稳态研究完成的。根据全局参数表的规定，时间参数 t 的值为 0[s]，因此电压扫描的辐射为零（不产生辐射）。

参考文献中使用的与场有关的迁移率模型使方程组极度非线性且难以求解。幸运的是，我们有多种方法可以克服这一困难。例如，可以先将连续参数 cp 设置为零来假设迁移率与场无关。这样，有助于将施加电压 V0 从平衡状态迅速地升至 1000V 工作电压。

通过将连续参数 cp 设置为零，对与场无关的独立迁移率进行第一次电压扫描。

通过这一设置，还可以将连续性预测变量从默认的常数 更改为线性。线性 选项通过线性外插法加速电压扫描，并为下一个扫描参数估计初始预估值。而默认的常数 选项则将当前解作为下一个扫描参数的初始预估值，这是一种较为保守的方法。在大多数情况下，该方法适用于高度非线性半导体方程组。但对于本文介绍的模型而言，此方法则过于保守。

选择线性预测器。

当对与场无关的迁移率完成电压扫描之后，我们可以将这组解用作与场有关的全迁移率模型的初始预估值。这一过程可以通过“参数化扫描” 节点将扫描电压参数 V0 与扫描参数 index 配对来完成。

将扫描参数 index 与扫描电压参数 V0 配对。

然后，在步骤1：稳态 节点的设置窗口中使用“手动”选项，将参数 index 选择为与每个 V0 值对应的正确解。

为每个电压值输入解。

当计算完成后，可以绘制出载流子的损耗和电场的累积，如下图所示。可以看到，在电压扫描结束时，结果与预期吻合，即空穴完全耗尽，电场大致稳定。

载流子损耗（左）和电场建立（右）的电压扫描结果

稳态响应

当二极管在 1000V 时完全反向偏置，开始研究该器件对稳态辐射的响应。如前所述，在以前的研究中，时间参数 t 在全局参数表中定义为 0[s]。因此，脉冲函数 pw1(t/tp) 为零，并且源于辐射 gR 的产生速率也为零。为了指定非零辐射，只需将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp，脉冲函数 pw1(t/tp) 就是单位脉冲了。然后，可以直接通过参数 RadSi 指定剂量率，单位：Rad（Si)/s。

将时间参数 t 设置为脉冲持续时间 tp ，然后使用参数 RadSi 指定剂量率。

我们将看到，对于高剂量率，与场有关的迁移率将产生一个有意思的结果。但是，这也使方程组变得极度非线性并且难以求解。在之前的电压扫描研究中，通过将求解过程分为两个阶段（第一阶段是与电场无关的迁移率，第二阶段是完全迁移率）解决了这一难题。在当前的剂量率扫描研究中，我们使用了一种替代方法，即通过使用一个具有完全迁移率的个体研究来解决这个难题。

由于问题是非线性的，使用 瞬态牛顿 求解器的收敛速度比理想的二次方程收敛慢。反过来，这又导致连续求解器对扫描参数 RadSi 采取的步长太小。对于这种情况，我们可以使用带有适当阻尼系数的恒定牛顿 选项替代。另外，在参数1节点下我们为连续求解器设置了一个更好的初始步长，以防止因初始步长太大而浪费时间回溯。最后，我们可以使用 Anderson 加速度来进一步提高性能（通过利用来自非线性迭代的历史记录信息），并使用较小的最大迭代次数减少回溯中浪费的时间。

使用阻尼系数小的 常数牛顿法和 Anderson 加速度方案解决非线性难题。

优化连续求解器的步长。

计算完成后，绘制几种电离速率的稳态电场分布和空穴密度分布图，如下所示。

各种剂量率下，电场（左）和空穴密度（右）的稳态响应。

在高剂量率下产生的载流子分离导致电场在二极管本体中减小。相应的较小漂移速度导致载流子在同一本体区域中堆积。预期此效果将减慢时间响应，我们将在下节中介绍。

瞬态响应

完成稳态研究后，我们现在来研究参考文献中图8中给出的三角波脉冲辐射效应。该波形由模型中的脉冲函数 pw1(t/tp) 提供，具有标准化的单位高度。峰值剂量率由参数 RadSi 指定，单位为Rad（Si）/s。由于初始条件是由静态研究的解提供的，并且相对于整体变量而言，瞬态影响是很小的扰动因变量，因此，我们将瞬态求解器的容差调整为 1e-8 ，并对相关变量使用基于初始值的缩放。另外，我们可以使用事件 接口来捕获施加辐射脉冲结束时斜率的陡变。

使用 事件接口标记辐射脉冲的结束。

将瞬态求解器容差调整到 1e-8，并将静态研究中的解作为初始条件。
 

对因变量使用 基于初始值的缩放。

瞬态研究显示，与较小剂量率的结果（下方蓝色曲线）相比，较大剂量率（下方绿色曲线）的光电流波形具有明显的拖尾。

光电流响应模拟结果表明，与较小剂量率（蓝色）相比，较大剂量率（绿色）的拖尾更严重。

通过查看下图的电场和载流子浓度可以解释上述现象。当电子和空穴被电场沿相反的方向扫描时，电荷分离导致本体中的电场减小。这导致相同本体区域中的漂移速度小得多，因此，载流子在该区域中停留的时间更长。

本体中电场减小。

本体中的空穴（左）和电子（右）载流子发生停滞。

如上所述，使用 COMSOL Multiphysics® 中的通用后处理工具，我们可以轻松地绘制一个包含所有基本信息的汇总图。

空穴密度（z轴高度）和漂移速度（颜色）随时间（y轴）变化的汇总图。

结论

在本篇博文中，我们通过 p-i-n 二极管及其对电离辐射的稳态和瞬态响应案例教程展示了一些实用的仿真技术，最终仿真结果与参考文献中公布的数据非常吻合。

下一步

单击下面的按钮，尝试自己动手建立模型（请注意，您需要使用有效的许可证登录到 COMSOL Access 帐户才能访问MPH文件）：

参考文献

1. C.W. Gwyn, D.L. Scharfetter and J.L. Wirth, “The Analysis of Radiation Effects in Semiconductor Junction Devices,” IEEE Conference on Nuclear and Space Radiation Effects, Columbus, Ohio, July 10–14, 1967.