表面贴装器件

表面贴装器件是一种贴装在印刷电路板或基板表面的无引线或短引线元件。贴装元件的方法称为表面贴装技术（SMT），通过焊接或浸焊工艺固定器件。该技术需要将表面贴装器件置于高温下，这会导致器件变形，从而阻碍其贴装到印刷电路板。为了模拟高温环境对器件的影响，在进行可靠性测试之前需要进行预处理。通过有限元仿真，工程师可以更深入地理解预处理过程对表面贴装器件的影响。

焊接表面贴装器件。获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic 许可, 通过 Wikimedia Commons共享。

预处理过程模拟

绝缘栅双极晶体管（IGBT）是表面贴装器件的一个典型示例。表面贴装器件可靠性测试的预处理模型模拟了一个绝缘栅双极晶体管模块，即贴装在一个功率半导体基板上的多个绝缘栅双极晶体管。该模型展示了如何利用建模和仿真分析表面贴装器件在电路板组装过程中经历的多次回流焊操作。在焊接过程中，表面贴装器件暴露在高温环境，这可能会造成内部损坏，尤其是当封装内有湿气的情况下。预处理的目的是在可靠性测试之前，以可控和可重复的方式产生电路板组装过程中产生的应力。此模型中使用的是表面贴装器件预处理序列的行业标准测试方法：JESD22-A113I 标准。

预处理过程有三个主要步骤:

1. 烘烤
2. 浸湿
3. 模拟回流焊的温度变化

如果模拟的器件显示出过大的应力和变形，表明需要重新设计回流焊工艺，例如减慢升温速度，或使用吸湿性较低的材料等其他电磁兼容性材料。

绝缘栅双极晶体管模块的几何模型。

烘烤

预处理过程的第一步是烘烤，该步骤通过高温去除结构中的水分。为确保温度分布均匀，逐渐加热绝缘栅双极晶体管，并在 125^°C 温度下烘烤 24 h。这一步骤可最大限度地降低回流焊阶段产生的热冲击。初始水分浓度为 10 mol/m³，塑封件外部边界的浓度设定为 0 mol/m³。如下图所示，该器件在烘烤过程中会变形为凹形。

左：烘烤步骤结束后的应力分布。右：烘烤步骤结束后，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度。

烘烤步骤中的结构变形动画。

浸湿

预处理过程的第二步是测量回流过程中水分的影响，因为塑封材料（ EMC ）层内的水分可能会在回流过程中产生应力，从而导致可靠性问题。烘烤步骤后的浸湿是一种以可控的方式将水分引入塑封材料层的方法，这样可以确保在回流焊过程中可能产生的任何影响都是可重复的。在这个示例中，浸湿过程在 40^°C 下持续了 192h。烘烤后的结构是干燥的，因此初始浓度为 0 mol/m³。塑封件外部边界的浓度保持在 140 mol/m³，假设在该步骤中水分在外部边界达到饱和。最终绝缘栅双极晶体管发生的变形较其在烘烤步骤中的变形要小，变成了微凸形。

浸湿步骤中的结构变形动画。

回流焊

回流或焊接阶段用于将绝缘栅双极晶体管模块的温度提高到所用焊膏的熔点，以使其液化。 熔融焊料的回流是将绝缘栅双极晶体管模块连接到印刷电路板的关键。回流焊测试在浸湿步骤后直接进行，初始水分浓度取自上次浸湿过程的最终结果。在该模型中，回流过程在 21 min 内历经三个循环，期间最高温度达到 260^°C。在这一过程中，绝缘栅双极晶体管模块在温度峰值时呈凹变形，而在回流过程呈凸变形。这一步骤对器件造成的压力最大，而仿真模型有助于预测压力的位置和程度。

t= 6 min 达到回流步骤温度峰值时的应力分布（左），以及 t = 6 min 后达到回流步骤温度峰值时，显示了结构变形的塑封件中的水分浓度（右）。

回流步骤（3 个循环）中结构变形的动画。

进一步的测试

预处理过程中发生的变形仿真，可以帮助工程师更深入地理解变形对绝缘栅双极晶体管模块的影响，从而能够修改设计，避免损坏，同时提高产量和可靠性。还可以对该模型进行扩展，进一步测试到印刷电路板和表面贴装器件结构及其周围环境之间的热量传递，以及扩展为包括焊接材料的黏塑性等因素的更复杂模型。

更多测试

点击下方按钮，进入COMSOL 案例库，下载模型文档和 MPH 文件，学习如何建立预处理模型：

阅读下列博客，了解电子行业中半导体的更多信息:

• 基于密度-梯度理论的三种半导体器件模型
• Wolfspeed 使用 COMSOL Multiphysics 开发仿真 App 的原因
• 使用 COMSOL^® 计算和使用部分电感

引言

在结构仿真中，薄结构通常使用壳单元或膜单元模拟。壳单元会考虑结构的弯曲刚度，而膜单元不会。这一基本差异决定了这两种单元类型处理褶皱仿真的方式。当考虑弯曲刚度时，与壳模拟一样，在以弯曲刚度为特征的临界压应力下，会出现褶皱。另一方面，如果不考虑弯曲刚度，与膜模拟一样，则在一开始产生压应力时就会出现褶皱。

在这两种情况下，褶皱都被认为是一种不稳定特征，也称为 局部屈曲。使用壳单元模拟褶皱时，有必要进行屈曲后分析。值得注意的是，网格离散化和任何几何缺陷都会对最终结果产生重大影响。壳模拟的优势在于可以获得有关波长和振幅等褶皱特征的详细信息。然而，在许多仿真场景中，皱褶的详细特征并不特别重要；相反，主要目标是避免问题区域出现皱褶。在这种情况下，使用膜单元模拟褶皱可能更有优势，因为这种方法计算成本低，而且数值稳定性更好。

接下来，我们将逐一介绍这两种模拟方法。在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳单元和膜单元分别使用 壳 接口和 膜 接口模拟。

另一个熟悉的褶皱示例：船帆。照片来自Unsplash，由 Karla Car 提供。原作品经过修改。

使用膜接口仿真

使用 COMSOL 中的 膜 接口模拟变形的薄结构存在以下三种可能的状态之一:

1. 绷紧的 — 当两个面内主应力均为正值时
2. 松弛的 — 当两个面内主应力均为负值时
3. 褶皱的 — 当面内主应力之一为负值时

常规膜理论采用的是考虑了褶皱区域中压应力的全应变能公式，从而产生了不稳定的解。为了避免由压应力产生的平衡不稳定性，我们提出了（基于张力场理论的）修正膜理论。修正膜理论在褶皱区域返回单轴应力状态，在松弛区域返回零应力状态，从而避免了平衡不稳定性。修正膜理论有两种主要方法： 修正的变形张量和修正的本构关系。

修正的变形张量公式

为了理解褶皱动力学，我们来看下面这幅图:

褶皱动力学。弧形表面 ABCD 代表褶皱构型，平面 ABCD 代表平均构型，平面 ABEF 代表加长构型。

对于褶皱膜，上图显示了三种不同的动力学描述:

1. 变形张量 将参考构型映射为真正的皱褶构型（弧形表面 ABCD）。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
2. 变形张量 将参考构型映射为平均构型（平面 ABCD）, 其面积小于实际皱褶面积。
• 不适合测定褶皱膜中的应变场
3. 变形张量 将参考构型映射到一个虚构的加长构型（平面 ABEF），其面积等于实际皱褶面积。
• 适用于测定褶皱膜中的应变场

假设褶皱发生在 方向，且 为单轴拉伸方向, 为修正的变形张量，记为

 
式中， 是拉伸/褶皱参数 (参考文献1)。符号 表示两个向量的外（二元）积，产生一个张量。 表示绷紧条件。根据正交条件和张力场理论，

 
其中， 是柯西应力。用第二皮奥拉-基尔霍夫应力表示为

 
假设平均构型已知 (), 那么未知数就是 和 。

让我们把这些方程映射到更方便的参考构型中，因为膜动力学和材料特征都在参考构型中。假设 是参考构型中与矢量 相对应的矢量。因此，虚构的格林-拉格朗日应变张量 可写成

 
式中， 是平均右柯西张量, 是参考配置中的单位向量, 是新的皱褶参数。

膜表面有一个坐标系，有两个面内正交单位矢量, 和 。 和 与角度 的关系式为

下列非线性耦合方程用于求解两个未知数 和 ,

 
这两个非线性代数方程可以用牛顿-拉夫森方法求解:

 
式中, 和 在每个高斯点上应用局部牛顿-拉夫森方法，并在全局范围内进行迭代求解得到的。

褶皱功能

修正的变形张量方法可以通过 皱褶 子节点实现，该节点内置在 膜 接口的 线弹性材料 和 超弹性材料 节点下。皱褶 子节点有三种不同的局部牛顿-拉夫森方法的终止准则选项，并允许用户调整公差。

线弹性材料 特征下的 皱褶 子节点。

COMSOL 案例库中有几个示例展示了如何使用 膜 接口的内置功能建立褶皱模型。矩形膜的单轴拉伸 模型是一个容易分析验证的简单模型。在这个例子中，将数值结果与分析结果进行了比较，如下图所示:

矩形膜的皱褶区域用暗红色显示。 左图使用的是各向同性材料，右图使用的是各向异性材料。这两幅图比较了分析结果与计算（数值）结果。

方形安全气囊的膨胀模型更符合实际情况，因此也更加复杂。该模型展示了使用线弹性材料的方形安全气囊在充气过程中的起皱情况。类似的，方形超弹性气囊的膨胀, 模型使用的是超弹性材料。

使用线弹性材料模拟的方形安全气囊。褶皱区域用暗红色显示。

另一个使用 膜 接口内置功能分析褶皱的示例是圆形膜的扭转模型。在该模型中，仅在圆形膜的内边施加了扭矩以产生褶皱。在这个示例中，可以观察到不同网格模式和离散度对褶皱模式的影响。

修正的本构关系

如上所述，COMSOL Multiphysics^® 中的 褶皱 子节点使用的是修正变形张量公式。由于软件的灵活性，也可以使用第二种方法模拟褶皱：修正的本构关系。

第二个公式对皱褶区域的本构关系进行了修改。用于皱褶区域的应变能称为 松弛应变能，而用于绷紧区域的应变能也被称为 完全应变能。这种方法适用于所有各向同性超弹性材料模型，但为了简单起见，这里考虑的是 neo-Hookean 不可压缩材料。用主拉伸 和 表示的全应变能密度可写成

主柯西应力 的计算公式为

各方向的柯西主应力分别为

 
假设拉伸发生在第一主方向，褶皱发生在第二主方向。那么，在褶皱区域，以下等式必须成立：

该方程确定了褶皱区域的单轴应力状态，褶皱方向的应力变为零。根据褶皱方向上的零应力，可以得到主拉伸的褶皱条件:

 
因此，皱褶区域由以下不等式确定: 。在全应变能中插入根据主拉伸得到的褶皱条件，neo-Hookean松弛应变能的计算公式为

 
松弛应变能与褶皱方向的拉伸无关，这意味着该方向的柯西应力将自动变为零。

利用上述褶皱条件和能量密度，绷紧区域和褶皱区域的应变能密度可写成

 
可以证明，对于各向同性膜，修正的变形张量和修正的本构关系公式是等价的（详见参考文献1 ）。然而，修正的本构关系法只适用于各向同性膜，而修正的变形张量方法更为普遍，也适用于各向异性膜。

比较 COMSOL Multiphysics^® 中的计算公式

在不同厚度圆筒膜的起皱案例模型中，我们对两种公式进行了比较，发现结果是一致的。在该模型中，圆柱形膜首先被轴向拉伸，然后用水压进行充气。在充气过程中，外边界固定。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，可以通过选择 超弹性材料 特征的 用户自定义 选项来实现修正后的本构关系。请注意，此案例模型中 neo-Hookean 材料的应变能是专为不可压缩的各向同性膜编写的。在这个示例中，不应该使用内置的不可压缩公式，因为它增加了可能导致冲突的额外项。您可以在用户定义的超弹性材料中使用 可压缩 选项，该选项完全按照所编写的内容使用给定的应变能密度。

皱褶 子节点（使用修正后的变形张量公式）和用户定义的超弹性材料模型（使用修正后的本构关系公式)。

下图展示了采用两种方法模拟的不同水位高度下圆柱形膜出现的褶皱区域。结果表明，两种方法基本是等效的，并且得出的结果也相同。

圆柱形薄膜的皱褶区域用深红色显示。左图使用的是修正的变形张量方法，右图使用的是修正的本构关系方法。注释显示了膜中不同的流体高度，膜高 80 mm，半径为 10 mm。

使用壳接口仿真

使用 壳 接口时，褶皱的处理方法基于分岔分析。由于压应力的作用，褶皱被认为是一种局部屈曲现象，因此需要进行后屈曲分析来模拟褶皱。使用后屈曲分析的优势是可以确定褶皱的波长和振幅。处理褶皱的第一步是进行预应力特征值分析，以确定潜在的屈曲模式。然后，选择几个具有适当比例的屈曲模式，并将其作为后屈曲分析的几何缺陷。

在 矩形片材的单轴拉伸模型中，通过使用壳的后屈曲分析来研究矩形薄板中褶皱的产生。下图显示了包含该分析所需节点的模型树。

矩形片材的单轴拉伸模型的 屈曲缺陷节点和所需的研究

该教程模型的第一步是通过静态分析确定潜在的褶皱区域。在此阶段，矩形板受到单轴拉伸。目标是找到第二主应力变为压缩应力的区域。随后，使用 稳态 和 线性屈曲 研究步骤进行预应力屈曲分析。

对于后屈曲分析，可以使用 屈曲缺陷 节点，如上图所示。在该节点中，可以选择所需的屈曲模式数量及其相应的缩放因子。然后将这些缩放模式组合起来，作为几何缺陷应用于后屈曲分析。通过 屈曲缺陷 节点，还可以创建参数非线性屈曲研究。

下面的动画显示了矩形片材在单轴应变增加时产生的褶皱，第二幅图则显示了沿褶皱方向中心线的褶皱幅度。起初，当矩形片材上的应变增加时，褶皱开始出现。褶皱幅度随着应变的增加而增大，直到达到临界值，之后开始减小。在达到某个应变值时，褶皱幅度变得非常小。

屈曲后分析中的褶皱。颜色方案显示了 褶皱振幅，其中蓝色代表负值范围，红色代表正值范围，绿色代表零位移。

后屈曲分析中的皱褶振幅。

结语

如文中所演示的，您可以在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 膜 和 壳 接口模拟皱褶。可以通过修正变形张量或本构关系对皱褶进行膜分析。这种方法快速且计算效率高，能准确识别皱褶区域和应力分布。但是，它无法提供有关皱褶振幅和波长的信息。另一方面，皱褶的壳分析不仅耗时长，计算量大，还对几何缺陷输入敏感，但它能准确预测应力分布和皱褶区域，并能提供有关皱褶振幅和波长的宝贵数据。这两种分析类型各有优缺点，工程师可根据具体的建模要求选择其中一种分析类型。

参考文献

1. A. Patil, Inflation and Instabilities of Hyperelastic Membranes, PhD thesis, Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, 2016.
2. H. Schoop et al., “Wrinkling of nonlinear membranes,” Computational Mechanics, vol. 29, pp. 68–74, 2002; https://doi.org/10.1007/s00466-002-0326-y

本文是博客：“有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点”的后续内容，介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解该主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。应力集中也出现在几何不连续处，二者有相似之处。应力集中与奇点的区别在于，前者的最大应力是有边界的。例如，您可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数 与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得 ：

式中, 是圆角半径， 是以圆角结束处缺口的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中 是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。一个重要的事实是：小缺口处的峰值应力基本上是圆角半径平方根的倒数。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力更适度地减小。

极限应力集中发生在裂纹尖端，此处缺口半径无限小。在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解是众所周知的。它们与裂纹尖端距离的平方根（）成反比。应力场通常写成

式中，, , 和 分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和 由裂纹尖端周围极角 的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

一个令人惊讶的结论是，只要 离裂纹尖端足够近 ，裂纹尖端周围的应力场看起来是一样的，与裂纹的实际形状以及裂纹所在的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式 的断裂准则为 ，其中 是材料参数（称为 断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。这个思路将在下文中得到推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况。也就是说，一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹。本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，也可以研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

首先，可以注意到，对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

是裂纹长度； 是外加应力（此处为 1 Pa）； 是长条宽度。函数 有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

这个表达式在本文被称作 裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与缺口尖端距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象是，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。不出所料，峰值应力与 成正比。

在远离尖端的地方，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。不过，现在的横轴通过缺口半径 进行了归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与缺口尖端距离的函数关系。

从图中可以看出，在距缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定几何来说，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为 ）的峰值应力与裂纹（长度为 ）的应力强度因子之比为

假定 ，则峰值应力可用应力强度系数表示为

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

其中，系数 是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下面绘图显示的表达式

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用了两种不同的几何形状：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件获得的。

使用有边缘缺口的几何得到的系数 。

使用中心狭缝的几何得到的系数 。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数 的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用 进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了 的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，则可以使用距缺口一定距离的解，通过数值计算确定 。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为 的区域，其中 是与尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹 。不同开口角度下的 值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的模型中的 von Mises 应力 。

沿韧带的垂直应力。离尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，在拐角附近与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的。在实践中，这通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一根下部比上部硬的长条杆的模型几何，绘制了载荷方向的应力。

从这第一幅图中就已经可以看出一些通用特性：

• 自由表面出现奇点。
• 硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系的图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数 是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如 。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，我们可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是，在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近会有一个区域，应力会根据幂律衰减。

现在，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。尽管在一般情况下不可能精确地进行应力评估，但已有大量研究致力于提供预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，焊缝可能会也可能不会引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：“如何预测焊缝的疲劳寿命”介绍了焊缝的应力评估。

与其深入探讨焊缝分析的细节，不如探讨更有意思的焊缝设计理念：

• 计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
• 确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
• 允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有局部效应都被忽略了。允许的应力值必须考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状）。因此，允许的应力值可以更高，但仍大大低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会，而固体力学模型则会计算应力细节，而这些细节在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

推荐方法

有限元模型可能包含奇点的原因很多，并且往往本质不同。例如:

• 正如本文开头提到的博客中所讨论的，边界条件会引起奇点。如果这种奇点给分析带来问题，可以通过完善边界条件来解决。
• 之所以引入尖角，是因为局部几何形状的尺度较小，在全局尺度上建立圆角模型并不合理。在这种情况下，并不存在真正的奇点，而是一个明确定义的应力集中。最精确的方法是使用子建模来确定局部应力状态。在全局模型中，可以利用应力集中附近幂律衰减应力场的振幅了解应力集中的位置。另一种方法是将近场应力场知识与应力场与局部应力集中相关的知识结合起来，从而得出局部应力集中的估计值。

您可以仿照焊接评估的方法，但要因地制宜。要做到这一点，需要有广泛的经验基础。以前的设计哪些失败了，哪些没有失败？然后，您需要对以前的设计进行分析，并尝试找到与经验相关的评估方法。

首先为这些设计建立有限元模型，并尝试确定一个区域，在该区域内的应力或应变场既不受局部缺口几何形状的控制，也不受整体几何形状的控制。至少在制定标准时，可能有必要使用子模型。

使用什么标准通常并不明显。由于您只是要进行相对比较，而不是将计算出的数字与任何物理强度值联系起来，因此有许多可能的选择。例如：

• 数量应易于计算。
• 该数量不应对分析中的不确定性过于灵敏。
• 如果可能，数量应与物理场相关。例如，如果材料是脆性材料，那么查看最大主应力或主应变可能比使用 von Mises 等效应力准则更好。
• 如果疲劳是一个问题，数量必须对逆载荷反灵敏。
• 如果可能，请选择应变准则而不是应力准则。因为应变是直接根据位移计算得出的。应力则是通过应变的组合计算得出的。这表示应变张量中一个不准确的分量将传播到应力张量中的所有元素。
• 在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，您可以使用 安全 功能来评估大量不同的标准，包括用户定义的标准。

一般情况下，奇点的幂次是未知的。但我们知道，在某一区域，相关量的变化为

和 的值可以通过最小二乘法拟合或简单地使用应力应变对数-图中直线部分上的两点值来获得。由于 必须被看作某类奇点的恒定属性，因此计算出的值可用作方法有效性的检验。

在 已知的情况下，应将 的值与允许值进行比较。这与断裂力学中处理裂纹的方法类似。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在距奇点一定距离的地方，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准化。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

您可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的程序来计算应变或能量标准。用 表示参考体积， 为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这样行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用 表示。

我们以上文的缺口板为例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

• 宽度: 1 m
• 最小裂缝长度: 0.1 m
• 最小韧带宽度: 0.3 m
• 最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

在多个地方使用 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

式中， 是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证 计算出的体积与 有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力 。

结束语

尽管从理论上讲，不可能对奇点处的梯度和通量（应变和应力）进行计算，但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载本文中使用的模型。

编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

1. 什么是复合材料？
2. 细观力学分析
3. 宏观力学分析
4. 经典层压板理论和物理场接口
5. 材料模型
6. 复合材料仿真的结果计算工具
7. 复合层压板的多物理场分析
8. 复合层压板的优化
9. 多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同领域有着许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程中，复合材料比传统的整体式材料更坚固、更轻，因此得到了广泛的应用。在使用这些材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

与传统材料相比，复合材料具有多项优势，例如：

• 高强度重量比
• 耐冲击性强
• 高抗疲劳性和抗腐蚀性
• 摩擦性和磨损性增强
• 低导热系数和低热膨胀系数
• 耐高温

由于复合材料由多种材料混合而成，因此在使用这些材料时也会遇到一些挑战，包括：

• 各向异性特征
• 复杂的损伤和失效模式
• 原材料和加工成本高昂
• 难以重复利用和处置
• 不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于复合材料具有以上优点，因此被广泛应用于以下领域：

• 航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
• 国防安全（例如，坦克和潜艇）
• 风力发电机(例如，叶片)
• 建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
• 化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
• 汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
• 海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
• 消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
• 电子产品（例如，配电支柱和接线盒）
• 矫形辅助工具
• 安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料的分类方法有多种，其中的一种方法是根据构成类型（即基体和增强材料）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

• 聚合物基复合材料 (PMC)
• 金属基复合材料 (MMC)
• 陶瓷基复合材料 (CMC)
• 水泥基复合材料 (CeMC)

根据增强类型，可以将复合材料分为以下几类:

• 纤维复合材料
• 晶须复合材料
• 颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。许多这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用 复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合层压材料是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设序列由相对于层坐标系第一个轴的每层纤维的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板可以分为以下几种类型:

• 斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
• 交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
• 对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
• 反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板面临很多困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法可分为两大类：

1. 分析法（例如，混合规则）
2. 数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树中的材料 节点下，多相材料 和有效材料 节点有多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，具有以下混合规则：

1. 体积平均
2. 质量平均
3. 谐波体积平均
4. 谐波质量平均
5. 幂律
6. Heaviside 函数
7. Voigt–Reuss 模型
8. 修正的 Voigt–Reuss 模型
9. Chamis 模型
10. Halpin–Tsai 模型
11. Halpin–Tsai–Nielsen 模型
12. Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用代表性体积单元或重复单元。对于周期性材料，代表性体积单元与重复单元相同，但对于非周期性材料，重复单元的概念无效，因此必须使用代表性体积单元材料子体积。

60％ 纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用重复单元材料子体积。对于非周期性材料，可以通过代表性体积单元材料子卷应用均质 边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，可以使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

你可以查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型，了解更多内容。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

• 层数
• 每一层的均质材料特性
• 层压板主要材料方向的定向
• 每一层厚度
• 铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，并创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠节点还有更多的选项，可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接 和 多层材料堆叠 特征的应用示例。

请注意 单层材料 特征是为单层材料设计的特殊的 多层材料 特征。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

1. 等效单层（ESL）理论
   • 经典层压板理论（CLPT）
   • 一阶剪切变形层压板理论（FSDT）
   • 高阶剪切变形层压板理论
2. 三维弹性理论
   • 三维弹性理论
   • 分层理论
3. 多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度（DOF）为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

一阶剪切变形等效单层理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳 接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于 一阶剪切变形等效单层理论。此外，膜 接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用 壳 接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

您可以查看以下示例，了解更多内容:

• 复合材料轮辋的应力和模态分析
• 复合材料气瓶的屈曲分析

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与一阶剪切变形等效单层理论理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，与后一种理论相比，它具有以下优点：

• 层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
• 面内和面外形函数可以具有不同的阶次
• 无需构建具有许多薄层的三维几何结构
• 面内有限元网格划分独立于面外网格划分
• 分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和 壳 接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

你还可以查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型，了解另一个示例。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和 壳 接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和 壳 接口模拟了一个复合材料叶片，目标是对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，你可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了在不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

你也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带 或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的 脱层 功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的 复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和 壳 接口的 安全 功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的 DOF 是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，你可以对层叠脱落情况进行建模。相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层案例模型。

当使用壳 或膜 接口时，DOF 只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过 壳 接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用 壳 接口中的 截面刚度 材料特征。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，这对薄层压板非常有用。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

• 网格节点
• 界面
• 层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和 旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用 多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

• 通过一个或两个层
• 穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
• 在层的特定位置，但不在中面上

使用 多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。你可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或 解 数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在许多情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请参阅多层壳与实体和壳的连接案例模型，查看连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

• 壳传热
• 壳 或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 热膨胀，多层

有关建模示例，请参阅案例库中的层压复合壳的热膨胀案例模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳传热
• 多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 电磁热，多层壳
• 热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

• 压力声学
• 壳 或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

• 层流
• 壳 或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

• 多层壳中的电流压阻壳
• 多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 集总机械系统
• 多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用 优化模块 的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

机械共振简介

当机械系统受到频率与系统固有频率相匹配的力的激励时，就会产生机械共振，从而导致高振幅振动。我们可以在例如手表和乐器中利用这种效应，但本文我们将重点讨论需要避免的共振，这些共振可能会导致机械疲劳，或土木工程中的失效等问题。可以采取多种措施来减少共振，例如安装主动或被动隔振系统，或引导用户避免引起共振的行为。例如，在如下图所示的一座著名的伦敦大桥上，一个指示牌要求士兵们在过桥时换便步走，以避免行进时的统一节奏引起危险的机械共振。

避免产生机械共振的另一种简单策略是，提高最低固有频率。在此，我们将探讨如何通过优化来实现这一目标。

伦敦阿尔伯特桥上有一个指示牌，提示士兵在桥上打乱步伐行走，以避免共振。原图由 Colin Smith 提供，经 CC BY-SA 2.0 许可，通过 Wikimedia Commons 共享。

优化简介

所有优化问题都由许多设计变量组成，这些变量需要通过优化算法来改变，以提高某个特定的量,即 目标函数。此外，还可能存在需要求解其他不能超过某些界限的变量，也称为约束条件。在 CAD 背景下，目标通常使用仿真计算。

对于优化算法，我们可以作如下区分：

1. 无梯度优化，即只使用目标值和约束条件值来更新设计变量的优化
2. 基于梯度的优化，了解目标和约束条件对设计变量变化的敏感程度的优化

基于梯度的优化在每次迭代中都能获得更多信息，因此速度明显更快，尤其对于设计变量较多的问题。由于速度差距之大，因此第一种方法对于形状和拓扑优化的大多数应用来说都是不实用的。COMSOL Multiphysics^® 支持此处列出的两种优化算法，但本文将重点讨论基于梯度的优化。

在下面的例子中，我们的目标是最大程度地提高最小特征频率，也可以最大化与环境中自然出现的某些不需要的频率之间的距离。特征频率问题经常出现的一个方面是，即使结构包含设计对称性，其特征模态也可能是非对称的。因此，每次迭代都必须对整个结构进行模拟。不过，如果初始设计是对称的，则可以使用COMSOL中的 形状优化 或拓扑优化 接口中的镜像对称 功能保留对称性。

形状优化

第一个示例为一个一端固定的壳模型。通过对边界变形 ，应用基于偏微分方程的正则化来保持法向量的连续性，类似于拓扑优化中使用的亥姆霍兹滤波器，即：

式中， 是最大位移，是滤波长度， 是变形的最大斜率， 是边界变形的控制变量场。对实体进行形状优化时，还有一个用于平滑内部单元的偏微分方程，但在实际操作中，一切都使用形状优化 接口中的自由形状域，自由形状边界 和自由形状壳 功能处理。这些功能只能在基于梯度的优化中使用。除了基于偏微分方程的形状正则化之外，我们还可以使用多项式正则化技术或对几何结构进行简单的更改，如平移、旋转和缩放。(有关平移和缩放的更多信息，请参阅电磁学中的形状优化系列博客。）下面的动画演示了在保持设计对称性的同时，使用基于偏微分方程正则化的结果。

在整个优化过程中，壳的设计都是变化的。

切换处理模式时，始终求解前六个特征频率，并使用移动渐近线法(MMA)最大化最小特征频率。

第二个示例是一个实心支架，但支架的几何形状有点像壳，因此需要保留支架臂的厚度。这可以结合广义拉伸 算子与指定变形 功能来实现（更多信息请参阅 COMSOL^® 案例库中的 支架-特征频率形状优化教学案例）。除此之外，就目标和对称的实现而言，此模型的设置与之前的模型类似，但初始设计并没有那么糟糕，因此优化并不明显（如下图所示）。

用插图表示的优化过程，分别说明了第一和第二特征模式的初始和优化支架几何结构。图中的支架被固定在四个小孔上。

拓扑优化

在进行拓扑优化时，尤其是使用软件中的 拓扑优化 接口时，也可以使用基于梯度的优化。关于拓扑优化的详细介绍，请参阅博客：“通过密度方法进行拓扑优化。”基本思路是引入一个随空间变化的、边界在 0 和 1 之间的设计变量场 ，分别对应空域和固体材料。对于结构力学来说，密度和杨氏模量（刚度）都取决于这个变量。这种依赖关系并不明确，使用最小长度尺度 对问题进行正则化是有利的。此外，还需要以不同于刚度 的方式对密度 进行插值，以防止设计变量的中间值因其良好的比刚度而在优化设计中占主导地位。设计变量场与材料特性之间的关系由以下公式给出：

式中， 是滤波设计变量， 是投影斜率参数， 是固体各向同性材料罚函数的参数。这些参数会对优化设计产生很大影响，因此为了避免出现不良的局部极小值，有必要对这两个参数的多个组合进行优化求解。也就是说，要对优化问题进行参数化扫描求解，如下图中的梁示例所示。这个梁一端固定在左侧，另一端支撑一个占总重量15%的重物。梁承受40%的体积约束。拓扑优化问题针对 的五种参数组合求解, 即 (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), 和 (5, 32)。预计初始优化的连通性和灰度较差，但这些非物理设计为后面的优化提供了良好的初始设计。

在整个优化过程中，梁的结构都是变化的。位移通过 等值线上的颜色显示。

在进行拓扑优化时，最好在过滤器数据上进行仿真验证。在 COMSOL 案例库的教学模型中，对此模型进行了验证，并且结果显示，与原始优化结果相比，拓扑优化后的设计在更高的特征频率下性能更好。这是意料之中的，因为隐式设计表征法会使实体–空腔界面附近的材料刚度降低。

最后，这里显示的是单一的优化结果，但通过使用不同的体积分数、附加质量或最小长度尺度值，可以轻松生成不同的设计。

结论

在 COMSOL^® 中，可以利用形状和拓扑优化实现特征频率的最大化。对称条件通常无法强加给物理场，但我们可以对优化进行限制，以便仍能产生对称设计。如果目标是将到某个不需要的频率的距离最大化，也可以采用处理模式切换的最大/最小策略。

要获得特征频率最大化的实践经验，请至 COMSOL^® 案例库下载文中提到的示例：

• 壳的特征频率最大化
• 支架—特征频率形状优化
• 梁的特征频率最大化

一个思维实验

我们来分析一根由 90° 的弯管和相邻的直管组成的管道，壁厚中等偏薄，如下图所示。假定管道材料为各向同性和线弹性。现在，假设在弯曲平面上弯曲管道，就像图中力的箭头显示的那样。这时，请考虑两个问题：

1. 弯曲的管道将如何变形？
2. 最大的应力会出现在哪里？

一根直管段承受纯弯曲载荷的弯曲管道的横截面。

在边界上施加一个力矩会产生一个变化的表面牵引力。从 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.1 版本开始，使用 边界载荷功能中的 合成力载荷类型，就可以轻松施加这种载荷。

你已经有答案了吗？可以在下方的动画视频中查看一个三维实体模型在不同的弯矩作用下的 von Mises 应力和变形。

弯管在不同的弯矩作用下的 von Mises 应力分布和变形。

弯曲力矩变化时，弯管中心截面的 von Mises 应力分布和变形的详细视图。

这个是一根细长的、具有恒定截面的管道，因此在简化分析中，将这种结构作为梁来处理似乎是很自然的选择。弯矩是作用在结构上的唯一载荷，因此对于沿整个梁轴线的任何给定截面来说，它都是恒定的(包括直管和弯管段)。梁理论预测，轴向应力在弯曲平面的最内侧和最外侧达到峰值。但是，实际情况恰恰相反，与梁理论完全相悖！

根据动画显示，von Mises 应力分布在管道的顶部和底部达到峰值。最大的应力甚至出现在管道的内部。弯曲的横截面也发生了明显的变形，更具体地说，它呈椭圆形，主轴要么在弯曲平面内，要么垂直于弯曲平面，这取决于弯矩的方向。

用梁理论分析管道

弯管在管道系统中很常见，这些管道通常被用在高压下运输液体或气体。在运输船舶中存在大量的管道，这些管道真令人着迷！

石油或化学品运输船舶上的管道系统。图片经 CC BY-SA 3.0 授权通过 Wikimedia Commons 共享。

当涉及到结构分析时，许多用于工业应用的管道标准(或规范)是基于梁理论的。但是，就像我们已经发现的，通常情况下弯管的性能表现与梁不同。仔细研究管道标准，你会发现有很多专门针对管道弯曲的信息。管道标准建议对弯曲管段的刚度和应力采用修正系数(参考文献1)。在简化的项中，来自基本梁理论的弯曲刚度 ，应除以一个柔度因子，或 K 系数。同样，计算出的应力 ，在与允许的应力值比较时，应乘以一个应力增强系数(SIF)，或 i 系数。换句话说，普通的梁理论仍然可以应用，但是应该修正弯曲刚度和应力。

管道标准提供了这些校正因子的估计值，这主要取决于管道弯曲的几何形状。在一些情况下，建议使用额外的校正项，来考虑内部和环境压力之间的压力差 的影响。这是因为内部逾量压强往往会抵抗管道横截面积变形为椭圆，从而产生刚化效果。承受平面内弯曲的弯管的 k 系数和 i 系数的经典定义如下表所示(参考文献2)。

刚度系数	应力校正	柔度特性
校正： k 系数:	校正: i-系数:

柔度系数 ，是一个的无量纲几何量度，它考虑了壁厚 ，平均管道半径 ，和中心线弯曲半径 。修正系数的估计值是基于实验数据获得的，或从使用实体或壳体模型的高精度有限元分析中得出。修正系数可以取相当大的数值，这意味着与普通梁理论的偏差是很大的。因此，考虑可能的应力增加和刚度降低以获得保守的结果很关键。下表显示了一系列管道几何形状的校正系数。壁厚  和弯曲半径 ，与外管半径 有关。

几何
	4	4	4	2	2	2
	20%	10%	2%	20%	10%	2%
	1.7	3.7	20.2	3.3	7.4	40.4
	1	1.5	4.7	1.4	2.5	7.6

管道标准中提供的修正系数有很长的历史，最早可追溯到 20 世纪 50 年代。虽然这些修正仍在使用，但它们只是唯象模型，不能解释弯管中真正发生的情况。就像上面的应力图中所显示的，弯管的真实行为是一个完整的三维问题。但在进一步研究完整的三维情况之前，我们先来复习一下初等梁理论的一些重要关系。

弯曲的梁

经典梁方程假设梁轴最初是直 的，因此，严格来说，这些方程只对直梁有效。如果梁方程是由初始弯曲的 梁轴推导出来的，那么与直梁相比，沿轴向的应变定义是不同的，横截面上的轴向应力也不同。下表对初始直梁和初始弯曲梁的假设运动理论进行了比较。未变形的几何形状用灰色显示，变形的几何形状用红色显示。最后一行显示了由外加弯矩 产生的轴向应力的分析表达式。

	直梁	弯曲梁
纯弯曲运动
应变
截面惯性矩
应力

在上面表格的表达式中， 代表梁的轴向应力。局部坐标 的原点在横截面的质心 点。对于弯曲梁， 是中心轴的曲率半径。请注意，当半径  达到无穷大时，曲梁关系会恢复到直梁关系。

根据直梁的假设，轴向应力在整个截面上线性 变化，而在弯曲梁中，应力分布变得非线性，即使假设截面在变形期间保持平面。对于直梁来说，中性轴()与中心点()重合。然而，对于弯曲梁，中性轴和中心点不再重合，请看下面的例子。

切开一个实心、圆形轮廓的梁。在梁的两端标示了施加的弯矩。由此产生的轴向应力 ，就像用实体单元计算的那样，在拉伸(红色)和压缩(蓝色)之间变化。在弯曲的部分， 有一个非线性的分布。

完整的三维实体模型(蓝色)、假设为直梁轴的梁理论(红色)和假设为弯梁轴的梁理论(绿色)计算的轴向应力分布的比较。

即使这个特定的梁绝不是细长的，弯曲梁理论也能与完整的三维实体解匹配。应力比较也强调了直梁理论对高度弯曲的梁的预测结果是不保守的。在这种情况下，最大的应力被低估了大约 40%！然而，对于具有小曲率的梁，使用直梁理论往往还是有用的。有一个经验法则是，当平均曲率半径 与梁高 之比大于 10 时，经典梁理论通常是可用的。

管道中有什么不同？

我们已经看到用梁理论可以很好地描述实心、圆形截面的弯曲梁。所以一些管道几何形状的行为如此不同的原因一定在于壁厚。和上文一样，下面的动画显示了一个施加了弯曲载荷的 90^° 弯管的行为。在这个示例中，弯矩保持不变，而壁厚则减少。

在纯弯曲状态下，不同壁厚的弯管中的 von Mises 应力分布(归一化处理)和主应力。

弯曲管道中心的 von Mises 应力分布(归一化处理)和随壁厚变化的横截面的变形。

对于极厚的管壁()，管道的行为仍然与梁理论的预测一致。事实上，von Mises 应力完全由用于讨论实心梁的应力状态决定，也就是说 ， 是与梁轴平行的应力。施加的力矩在内半径处引起拉伸应力，并在外半径处引起压缩应力。与直管相比，弯曲部分的应力略高，这一事实也与上面看到的弯曲梁理论完全一致。

弯管视图显示了不同壁厚的 von Mises 应力(归一化处理)和主应力。

相对于较厚 (对于任何实际应用来说，这其实是非常厚的)的管壁，应力分布开始发生非常大的变化。额外的垂直拉伸应力在内弯半径和外弯半径处叠加了梁的解，同时，管道的顶部和底部显示出压缩应力，这些额外的周向应力是由于横截面逐渐变得椭圆而产生的。普通梁理论明确地忽略了这种横截面的变形，而且在描述其影响方面确实存在不足。

厚壁弯管中心的轴向和圆周方向的归一化应变的比较。椭圆化(高度夸张的)导致周向应变的峰值高于轴向应变。

壁厚较小产生了更加明显的椭圆形，这种对初始圆形轮廓的偏离在顶部和底部最极端。横截面的变形可以被看作局部的 “弯曲变形”，在管壁的圆周方向引起应变。在内壁半径处，局部变形与较小的初始弧长相比，应变(以及由此产生的应力)达到最高值。

在 COMSOL 中建立管道模型

COMSOL Multiphysics^® 软件内置了很多功能可以分析具有不同精度水平的管道。让我们来看一些例子。

管道力学接口

管道力学 接口是梁 接口的一个特殊版本。增强的功能使这个接口能够考虑到流体属性，并轻松设置多物理场耦合，以包括流体和热效应。

一个耦合了结构、流体和热效应的管道力学模型

管道力学 接口也有一个内置的弯头 功能，通过提供 K 系数和 SIF 来校正刚度和应力。

弯头功能的 设置窗口，显示了刚度和应力修正系数。

子模型部件

虽然管道系统的大型部件通常可以用梁理论很好地近似，但有些部件可能更适合用实体或壳单元进行高精度建模。对于这种情况，在位移和旋转自由度(DOFs)之间建立正确的运动学耦合是很重要的。使用结构-管连接 多物理场耦合，就可以很容易地添加一致性的耦合。

使用 结构-管连接多物理场耦合，将 管道力学接口与 固体力学或 壳接口耦合。

几何零件

COMSOL Multiphysics 还为三维管道分析提供了许多预定义的几何零件，用于结构和流体分析。这些内置的、完全参数化的零件可以在 COMSOL 零件库中找到。这些零件经过优化，可以方便地进行网格划分，其中包含有用的预定义选择和工作平面，可以轻松地连接部件和建立复杂的管道系统。

COMSOL 零件库(左)提供了许多内置的几何零件，例如完全参数化的管道零件。右图是一个由内置几何零件创建的管道系统的例子。

扩展阅读

阅读下列 COMSOL 博客文章，了解更多有关建模和仿真在管道设计中的应用。

• 利用拓扑优化设计区域热网
• 地下管道应力腐蚀的多物理场模拟
• 利用色散曲线分析充液管道
• 根据 CAD 装配分析螺纹管件设计中的应力

参考文献

1. E.A. Wais and E.C. Rodabaugh, “Background of SIFs and Stress Indices for Moment Loadings of Piping Components”, United States, 2005; https://www.osti.gov/biblio/841246
2. “Stress Intensification Factors (i-Factors), Flexibility Factors (k-Factors), and Their Determination for Metallic Piping Components,” ASME, 2017; https://www.asme.org/codes-standards/find-codes-standards/b31j-stress-intensification-factors-flexibility-factors-determination-metallic-piping-components/2017/drm-enabled-pdf

编者注：在之前的博客“屈曲，当结构突然倒塌时”中，我们介绍了屈曲分析的各个方面，并讨论了一些更专业的屈曲分析技术。这篇博客提供的信息适用于 COMSOL 软件 6.0 版本以前的用户。

包括几何缺陷

众所周知，由于存在几何缺陷，一些结构对屈曲的承载能力会显著降低。在现实生活中，结构中总会存在一些制造缺陷。另外，施工过程中的安装不完善，或者结构可能因服役载荷效应而发生变形。因此，考虑缺陷很重要。

对此，我们有不同的方法。对于一个简单的结构，例如单个支柱，可以将它假设为其他相似的几何形状。如果要将缺陷包含在模型中，可以直接创建包含该缺陷的几何结构，也可以先构建一个完美的几何结构，然后添加包含指定变形 节点的变形几何 接口。

对于更复杂的结构，一般很难创建包含缺陷的几何结构。一种解决方案是进行线性屈曲分析，然后使用一种或多种屈曲模式作为缺陷。这样做的前提是，结构对屈曲模式本身很敏感。

请注意，在研究缺陷的影响时，通常不能使用线性屈曲分析。需要逐步增加载荷，直到结构失效。变形是渐进的，因此失效准则通常是最大允许位移或应力。

从 COMSOL Multiphysics 6.0 版本开始，有一种可以自动设置基于屈曲模式缺陷研究的方法。让我们来看看如何设置这种研究。

基于缺陷建立研究的 7 个步骤

第 1 步：从线性屈曲分析开始

我们先从构建一个理想结构的普通线性屈曲分析开始。如果要在缺陷形状中包含比第一个屈曲模式更多的屈曲模式，就需要更改待求的屈曲模态数(默认值为 1)。

更改待求的屈曲模态的数量。

步骤 2：添加屈曲缺陷节点

现在，屈曲模式和相应的临界载荷因子已经设置好了，下一步是在定义 下添加一个屈曲缺陷 节点。

左图显示了如何添加 屈曲缺陷节点，右图显示了新添加节点的 设置窗口。

步骤 3：输入模式编号及它们的比例因子

现在需要调整添加的屈曲缺陷 节点的设置，包括输入模式编号和比例因子。要确定合适的比例因子，首先需要知道屈曲模式的最大挠度。屈曲模式的大小是任意的，因此求解器在求解时会成比例地缩小屈曲模式的位移大小，以方便计算。默认情况下，模式会被缩小，使最大位移为几何图形对角边界框长度的 10^-6 倍。

实际的缺陷大小应反映真实结构的几何质量。或者，缺陷的大小可以通过一些设计规范给出。假设真实的几何形状尺寸可能与理想形状相差 2mm，该几何尺寸为 1m。如果使用单屈曲模式，比例因子将为 2000。如果使用多种模式，那么为所有的模式都分配 2000 的比例因子可能是保守的，因为这些值会相加。这是不可忽略的，因为某些模式可能会在相反的方向上起作用。我们可能需要检查模式，甚至为其中一些模式分配负比例因子来获得预期的形状。

从上到下，前三个图显示了 Euler 2 悬臂梁的前三种屈曲模式，底部的图显示了这些模式的纯叠加。标记显示了最大垂直位移。（您可以通过从案例下载页面下载模型的 MPH 文件 euler2_buckling_imperfection.mph，尝试自己建模。）

步骤 4：配置变形几何体

接下来，我们来设置变形几何。首先，单击屈曲缺陷设置中的变形几何 上部的配置 按钮。

创建变形几何结构。

这样，特殊配置了指定变形 的变形几何 节点将被添加到模型开发器树中。

新添加的 指定变节点。

如果要更改包含的模式、比例因子或重新运行线性屈曲研究，则无需重复这个步骤。

步骤 5：创建加载参数

添加一个将充当载荷的乘数的参数，然后将该参数插入到用于线性屈曲分析的所有载荷特征中。

添加了一个新的参数 lf，并用作所有载荷的乘数。

接下来，在载荷参数 拉菜单中选择 If（载荷因子） 参数。

载荷因子已经选择好了。

步骤 6：配置新的屈曲研究

要为包含缺陷的增量分析创建研究，请单击屈曲缺陷分析中的非线性屈曲研究 上部的配置 按钮。

创建非线性屈曲研究。

现在，我们已经创建好了一个新研究，并进行了一些特殊设置：

• 包括几何非线性。
• 使用选定的载荷参数进行辅助扫描。
• 基于计算屈曲模式的最低临界载荷因子建立参数值列表。使用这些设置后，最大载荷比线性屈曲研究的预测值高出约 10%。

新研究的设置窗口。

步骤 7：运行研究

该研究在较高的载荷水平下可能无法收敛。这通常意味着到目前为止已经远远超过极限负载了，但中间步骤仍会被存储并可用于计算。

对于非线性屈曲分析，没有唯一的临界载荷。通常，需要根据载荷参数绘制相关的位移和应力曲线，并基于结构的物理特性使用失效准则。

下列示例与用于表示上述三种屈曲模式（长度为 2m 的悬臂梁）的 Euler 2 示例相同。假设最大允许的尖端位移为 10mm，最大允许的 von Mises 等效应力为 400 MPa。

显示载荷参数与位移和应力关系的曲线图。屈曲分析产生的临界载荷因子对水平轴进行了归一化处理。图中的标记点分别显示了失效准则的位移为 10mm，应力为 400 MPa。

下表显示了选择不同屈曲模式缩放时的临界载荷值的比较。

可以看出，中等水平的缺陷对实际选择生成模式的敏感性是有限的。

这个例子很简单，而且 Euler 支柱对缺陷不是很敏感。壳结构在这方面通常问题更大，所以接下来，我们来探讨一个壳示例。

一个更高级的示例

在这个示例中，考虑一个直径为 1.5m、高度为 2m 的钢圆柱体，其壁厚度为 10mm，并有两个厚度为 20mm 的加强环。使用轴对称壳单元进行分析。（您可以通过 COMSOL 案例下载页面下载相关的 MPH 文件 cylindrical_shell_buckling_cleared.mph，来探索这个模型。）

几何形状和载荷。圆柱体的下端是固定的。

许多屈曲模式具有相似的临界荷载因子。

前 5 种屈曲模式对应的临界荷载因子。

在这种情况下，检查不同的缺陷模式很重要。可以通过在模式编号上添加外部参数扫描来自动进行这项操作，如下图所示。

屈曲缺陷节点中的 模式选择表格。

关于这个表格，需要考虑以下信息：

•  将类型（mode==1）的布尔表达式作为过滤器，来检查哪种模式将使用缺陷。 mode 是扫描参数。
• 设计比例因子，使每种模式的峰值都变为 1 mm。
• 使用最大算子 maxop1（在非局部耦合 → 定义 下添加）获取每个屈曲模式在径向方向上的最大位移。
• withsol 算子的目的是从特定解中选取结果。在这个示例中，它被用来检索单个屈曲模式。（阅读 COMSOL 学习中心的文章 “withsol 算子的示例”，了解关于这个算子的更多信息。

现在，非线性分析包括将前 4 种模式的外部扫描作为缺陷，以及每种模式的载荷都会增加的相同的内部辅助扫描。由于任何非线性解都可能无法在较高载荷下收敛，因此必须设置参数化扫描，使整个分析不会因此而失败。

非线性研究和 参数化扫描节点。

在 参数化节点中， 必须将误差选项设置为 存储空解。

现在，我们可以绘制所有情况下的最大应力和位移的变化。

显示了位移和应力归一化处理后施加载荷的曲线图。

在这个示例中，允许的应力在所有情况下都是在相当低的外部载荷下被超过的。在线性区域已经能够看到这种情况。最终的结果是，这种结构将在屈曲发生之前由于塑性坍塌而失效。有可能通过在模型中加入塑性来完善分析。

从这个示例中，我们可以看到，使用非线性分析的变形很大程度上与实际的变形一致。

不同的缺陷在接近失效载荷时的变形（缩小了 5 倍）。颜色表示径向位移。

必须注意的是，不能完全假设轴对称壳的所有屈曲模式也是轴对称的。真正的第一屈曲模式不是轴对称的，看起来像这样：

使用完整的三维公式时的第一种屈曲模式。

活荷载和静荷载的组合

线性屈曲分析中的载荷因子可以被认为是相对于所施加载荷的一种安全系数。有时，只有某一组载荷可以变化，其他载荷具有明确定义的值，比如自重就是一个典型的例子。如果假设结构不会仅因重力而失效，那么需要回答的问题是：如果考虑部分承载能力已经被自重利用，服役载荷的安全因子是多少？

本文中将不变的荷载称为静荷载，会发生变化的载荷称为活荷载。 COMSOL Multiphysics 6.1 版本新增了分析活载荷与静荷载共同作用的功能。

需要注意的是，不可能首先计算静载荷利用了多少承载能力，然后相应地减少允许的活载荷。假设有两个独立的荷载， 和 ，并且对于每个荷载都有一个单独的屈曲临界值 和 。如果施加的载荷 是这两个载荷的线性组合，那么当 时，临界状态通常不会发生。

在仅具有活荷载的普通线性屈曲分析中，我们需要有任意活荷载水平的静荷载工况，通过特征值分析计算临界荷载因子和相应的振型。这非常简单，当添加线性屈曲研究时，研究序列就会生成。如果要进行也包括静载荷的类似分析，需要两个稳态的研究步骤 — 从这些步骤中得出的结果需要由特征值求解器以不同的方式加以考虑。这样的研究可以通过不同的方式建立。接下来，您将看到我们建议的工作流程的步骤。

设置一个包含静载荷研究的 7 个步骤

第 1 步：添加研究

正常添加线性屈曲 研究。

步骤 2：定义活荷载

像往常一样，用一个任意的荷载水平创建活荷载。

步骤 3：定义静载荷

使用载荷的实际值创建静载荷。最好同时选中载荷特征的线性屈曲 部分中的视为静载 复选框。严格来说，只有当一个载荷是随动型的时候才需要这样做（取决于变形）。如果要在载荷特征中显示线性屈曲 部分，请确保选中显示更多选项 下的高级物理场选项。

添加一个静载荷。

第 4 步：添加额外的研究步骤

在线性屈曲 步骤之前再插入一个稳态研究 步骤。

添加第二个稳态研究步骤。

第 5 步：在研究步骤中停用活荷载

在两个稳态研究步骤中的其中一个步骤中，我们需要同时分析两个载荷的影响。这与模型树的设置一样。

在另一个步骤中，应该只分析静载荷。这意味着我们必须禁用描述活载荷的所有载荷特征，进行这项任务最方便的是使用修改研究步骤的模型配置 选项。

图中 载荷1 已被禁用。

步骤 6：选择两个稳态解进行屈曲分析

在线性屈曲 研究步骤设置中，需要指定两个解。为此，首先需要为研究运行显示默认求解器。线性点是仅具有静载荷的研究，活荷载的解包含活荷载和静荷载的总和。

选择两个解。

第 7 步：运行全部研究

您可能想知道为什么两组载荷的静态解不是单独计算的。这是因为如果静态解是非线性的，那么给定的方法在静荷载解给出的应力状态下为屈曲分析提供了一个更加精确的线性点。

有关这类分析的示例，请查看静载作用下的桁架塔线性屈曲分析模型以及相关的应用程序文件。您可以在下文中找到这个模型和相关设置：

第一种屈曲模式。

在这个示例中，有两个效应会影响静载荷。除了自重外，支撑线中还有一个预紧力，会在塔的下部引起压应力。

结束语

最新版本的 COMSOL Multiphysics 能够建立高级屈曲研究，并且操作简单。单击下面的链接，进入 COMSOL 案例下载页面，尝试自己模拟文中讨论的模型：

• 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
• 具有初始缺陷的屈曲

这篇博客，我们将使用自 COMSOL Multiphysics^® 软件 6.0 版本开始提供 Capped Drucker-Prager 模型探索制药压片工艺。

Capped Drucker-Prager 模型

由粉末生产药片的过程，也称为压片，包括三个主要阶段：

1. 模具填充：将粉末输送到模具型腔中。
2. 压制：通过上、下冲头将粉末压入模具内，制成片剂。
3. 顶出：药片由下冲头从模具中顶出。

药片制造过程示意图。

我们将使用 Capped Drucker-Prager 模型研究压制阶段，评估模具的应力、应变和密度分布以及冲力对轴向压制的影响。

用于粉末压制过程有限元分析的本构材料模型可分为两种主要类型：

1. 多孔材料模型——用于中、低孔隙率粉末的压制
2. 颗粒材料模型——用于高孔隙率粉末的压制

COMSOL Multiphysics 中提供的 Fleck-Kuhn-McMeeking 材料模型是多孔材料模型的一个示例，而 Capped Drucker-Prager 塑性选项是颗粒材料模型。Capped Drucker-Prager 塑性模型经常用于模拟药物粉末压制，因为需要的材料参数可以通过实验数据轻松表征和确定。在这个示例中，我们将使用 Capped Drucker-Prager 塑性模型模拟被称为微晶纤维素 (MCC) 的高孔隙率粉末的压制。请注意，材料属性被认为与密度有关，并且考虑了粉末和模具之间的摩擦。

注意：如果你对如何使用 COMSOL Multiphysics 中的 Fleck-Kuhn-McMeeking 和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型来模拟铝粉末压制感兴趣，请阅读博客：利用多孔塑性模型模拟粉末压制。

在 COMSOL Multiphysics^® 中模拟粉末压制

使用 COMSOL Multiphysics 中的非线性结构材料模块（结构力学模块或 MEMS 模块的附加模块），我们可以从定义几何结构开始分析。模型几何结构包括工件，本文的示例中是微晶纤维素(MCC)和模具。模型设置所需的两个冲头是固定的下部冲头和上部移动的冲头。下冲头被建模为工件底部边界上的固定轴向位移，上冲头被建模为沿轴向的规定位移。由于模具的刚性特性，它没有被明确地建模。

有关这个模型设置的更多信息，请参阅模型教程文档。在这篇博客中，我们将直接进入模拟结果。

COMSOL Multiphysics^®中的仿真结果

为了评估粉末的性能，我们来讨论仿真结果。在压制过程开始时，顶部表面的 von Mises 应力较高，从而在工件中形成较大的应力梯度。随着压制的进行，应力梯度减小，可以在底部观察到较低的应力环。

压制过程结束时的 von Mises 应力。

下图显示了粉末压制结束时的体积塑性应变。可以看到，从底面到顶面的体积塑性应变有很大的变化。最大压缩塑性应变出现在顶部。

压制过程结束时的体积塑性应变。

我们也可以很容易地评估不同阶段压制的相对密度分布。在压制的所有阶段，高密度区形成在顶端，而低密度区形成在底端，直到压制过程结束时密度达到片剂的最终密度。由于摩擦，在粉末模具中可以观察到不均匀的密度。

一组四个粉末的压制图，显示药物压制过程中不同阶段的相对密度。

最后，模拟结果还显示了粉末压制过程中冲力与轴向压制的关系。可以看到，屈服发生在过程的早期阶段。

冲头力与轴向压制。

结束语

在这篇博客中，我们研究了如何在 COMSOL^® 软件中模拟制药压制工艺。我们使用最流行的模型之一—— Capped Drucker-Prager 塑性模型来模拟药物粉末的压制过程，该模型通常被用于模拟药物粉末压制，因为它能够表示与压制过程相关的各种现象。如果您想熟悉药物粉末压制过程，请尝试自己动手建立制药压制工艺的教程模型：

更多资源

• 如果您想进一步练习您的建模技能，可以查看以下这些相关的教程模型：
  • 两阶段粉末压制工艺
  • 旋转法兰组件的粉末压制
  • 结合 Fleck-Kuhn-McMeeking 模型和 Gurson-Tvergaard-Needleman 模型的杯形件的粉末压制

参考文献

1. “Tablet (pharmacy),” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 15 July 2022; https://en.wikipedia.org/wiki/Tablet_(pharmacy)
2. A. Baroutaji, S. Lenihan, and K. Bryan, “Combination of finite element method and Drucker-Prager Cap material model for simulation of pharmaceutical tableting process,” Material Science and Engineering Technology, vol. 48, no. 11, 2017.
3. L. H. Han et al., “A modified Drucker-Prager Cap model for die compaction simulation of pharmaceutical powders,” International Journal of Solids and Structures, vol. 45, pp. 3088–3106, 2008.

目录

1. 什么使应力如此特别？
2. 一些有限元的基础知识
3. 物理连续性
4. 单元之间的平均
5. 结果在哪里评估？
6. 如何计算应力？
7. 一个特例：热膨胀
8. 逐点状态
9. 最大值评估
10. 我应该绘制哪些应力结果？
11. 结语

什么使应力如此特别？

在物理学的许多领域，主要关注的量是场本身，而不是其梯度。例如，在传热分析中，我们通常更关注的是温度，而详细的温度梯度和热通量是次要的。而在结构力学中，局部应力和应变往往比位移更重要。在大多数情况下，高应力是静态或疲劳失效的原因。因此，可靠的应力评估很重要。

一些有限元基础

在有限元方法中，几何体被细分为构成网格的小块（称为有限单元）。在每个单元中，都有一个关于要求解的场变化假设，由 形状函数 近似。最常见的是，形状函数是坐标函数的线性或二次多项式。该场可以是标量或矢量。

所有网格单元在网格节点处相互连接。通过考虑某些通量的平衡条件，可以为所有网格节点处的场值建立一个方程组。

下表总结了一些常见情况下要求解的场：

在求解通过有限元近似生成的方程时，所有网格节点上的因变量（自由度或 DOF）都是已知的。整个几何结构上的场是连续的，并且单元内任何点的值由单元节点处的值和假设的插值多项​​式（即形状函数）唯一定义。

然而，在单元之间，场的梯度通常是不连续的。在单元内部，它由形状函数的空间导数和单个单元节点处的节点值确定。因此，在每个单元内，梯度也唯一定义，但在单元边界处不是。然后根据梯度计算通量。对于线性函数，只需要计算梯度与给定材料参数的乘积就可以了。

物理场连续性

重要的是要认识到，由于物理原因，通量大多数时候是连续的。从一个单元流出的东西应该流入下一个单元。只有数值表示是不连续的。然而，随着网格的细化，有限元解将收敛于真实的连续解。不幸的是，对于我们这些从事应力研究的人来说，梯度的收敛速度比场的收敛要慢。

然而，梯度和通量的连续性并不简单。如果两种不同材料之间存在边界，那么只有通量和梯度的某些分量是连续的。

一般来说，通量在边界的法向方向上是连续的，但在切线方向上不是。对于梯度，情况正好相反。

在下面的示例中，研究了由两个具有不同材料属性的正方形组成的矩形中的稳态传热。

由正方形钢和正方形铝组成的矩形中的温度分布。沿所有边界的温度均为指定值，如图所示。

通过绘制沿分隔两个域的边界的温度梯度和热通量，可以直观地显示连续性。

沿材料边界的温度梯度(左)和沿材料边界的热通量(右)。

正如预期的那样，在边界两侧，y 方向的温度梯度以及 x 方向的通量是相同的。如果对固体力学做同样的设定，我们会发现两个应力分量 和 ，以及一个应变分量 都连续。另一种看法是，在自由边界上可以指定的通量分量在内边界上也必须是连续的。

请注意，由于组成张量或矢量的所有分量并非都是连续的，像等效应力或通量范数这样的大多数不变量将在材料不连续处出现跳跃。

单元之间的平均

由于我们研究的大多数量都是连续的，因此很容易求取平均值，例如单元之间的应力。这也是大多数情况下的默认设置。通常，这样做不仅会改善视觉印象，而且更接近真正的收敛解。

您可以控制是否以及如何应用平均(或使用结果表示术语：平滑)。重点是对于大多数结果表示，都可用使用 质量 部分。

平滑选项。

下表总结了不同的平滑选项：

应用平滑时，还可以使用平滑阈值。这格阈值提供了一个限制，即在某个网格节点上相邻单元之间的值差异达到多大时才会禁用平滑。这样做的目的是，在不隐藏明显的不连续的情况下，获得一个总体上平滑的的曲线图。

从 COMSOL^® 软件 6.0 版本开始，结构力学接口生成的默认应力图就使用了这个功能。默认情况下，阈值被设置为 0.2，但您可以根据需要自定义此值。

固体力学接口中默认绘图的 质量 部分。使用默认阈值 0.2，可以接受高达 20% 的差异进行平滑处理。

下图显示了在二维单一材料的固体力学模型中的应力图中不同类型的平滑示例。为了强调效果，使用了一阶三角形单元。这是一个低性能的单元，每个单元内的应变和应力都是恒定的。观察这个图时，需要注意的是：

• 在没有进行任何平滑(左下图)处理的情况下，网格中的每个单元都清晰可见。
• 在所有单元之间进行平滑处理后(下中图)，视觉印象比没有进行任何平滑处理要好得多。与使用精细网格和二次形状函数生成的“正确”高分辨率解（右下图）的总体相似性并不算太差。然而，高应力区域中的一些细节没有被准确地表示出来。
• 因为在此示例中只使用了一种材料，所以所有域（中下图）和材料域内部选项之间没有区别。
• 当使用内部几何域选项（右上图）时，可以看到域之间的应力跳跃，而平滑处理应用在每个域内。如果为不同的域分配了不同的材料，那么使用内部材料域的图将与此类似。
• 内部材料域选项用于结构力学的默认设置（左上图）。请注意，在应力解析得较差的地方，应力的跳跃清晰可见，而在梯度不太明显的地方，等值线是平滑的。使用这种类型的绘图，可以获得两全其美的效果：总体上看起来流畅，而分辨率不足的区域也十分明显。

不同平滑类型的效果。

到目前为止，我们已经研究了体积图、曲面图和等值线图中的平均和跳跃会发生什么。对于线图来说，复杂性会增加。如果直线有一个或多个相邻曲面，则需要在两个方向上进行平均：

1. 沿直线方向，与线是否连接到一个或多个表面无关。方法与上述相同，并且可以使用相同的 质量 设置部分。
2. 穿过线方向，如果有多个表面，则在相邻表面之间。首先执行该操作，并且是无条件的。

如果要绘制的量不应该是连续的，就不再需要平均值；如果需要在每个边界 (3D) 或域 (2D) 绘制一个图形，就需要使用特殊的算子。

如果该线表示 2D 中的边界，则可以使用 up() 和 down() 算子指定从哪个域获取结果。“上”和“下”分别对应于法线向量在边界上的方向。上述热通量的图就使用了这个方法。下图是在 x 方向重复的温度梯度，也包括默认的平均结果。显然，当跨越边界存在物理不连续性时，默认平均不是一个好的选择。

x 方向的温度梯度、平均值和每个域的值。

同样的技术也可用于 3D 内部边界上的曲面图，但在这种情况下，当然只能一次从一侧绘制值。

如果所选的线是 3D 中的一条边，情况就稍微复杂一些，因为共享这条边的边界是任意数量的。在这种情况下，您需要使用 side() 算子从各个边界中选取值。边算子的语法类似于 side(12,shell.mises)，其中第一个参数是边界数。因此，您首先必须弄清楚您需要结果的边界数。一种快速的方法是创建内置变量 dom 的曲面图，然后只需单击预期的边界即可查看其数量。

使用曲面图查找边界数量。

另一种查找边界数量的方法是移动到模型开发器树中具有边界选择的任何节点，然后将鼠标指针悬停在边界上。边界编号动态就会显示在 图形 窗口的左上角。

使用边界选择功能查找边界数量。

结果在哪里评估？

生成彩色图和折线图后，通常需在每个单元、单元边界或单元边内的几个点处对要绘制的表达式进行评估。评估点的数量由 质量 部分中的 分辨率 设置控制。

选择分辨率的选项。

当选择了其中一种预定义的分辨率后，将评估的点数取决于几个因素，如模型大小和空间维度。使用高分辨率通常会在单元内生成更详细的图。但是，这仅在评估的表达式在单元内部具有较高的平滑度时才有用。否则，只会产生虚假波动。

如何计算应力

到目前为止，我们主要介绍了一般的结果呈现选项。对于应力的可视化，还有一件事需要考虑，那就是如何在每个单元中实际计算应力。

总应变只是位移的导数，所以总是平滑的。然而，这些应力通常是几种不同效应组合的结果。如何计算应力的确切细节取决于顶层材料模型以及几何非线性是否有效。为了解释一般原理，我们假设顶层材料是线弹性的，并且分析是几何线性的。

那么，应力张量 , 可以用下式计算

式中， 是弹性张量， 是弹性应变， 是任何额外的压力贡献。弹性应变是总应变之差 ，使用形状函数和节点位移以及任何非弹性应变场 计算。

以下是非弹性应变的一些例子：

• 热应变
• 吸湿膨胀应变
• 塑性应变
• 蠕变应变
• 初始应变

以下是额外应力贡献的一些例子：

• 黏弹性应力
• 阻尼引起的应力
• 初始应力

因此，通常来说总应力是几个不同贡献的总和。尤其是， 和 通常是同一数量级，因此弹性应变张量包含由两个或更多的大数减去另一个大数获得的小数。例如，不受约束的热膨胀或大的塑性变形就是这种情况。

那么为，什么这会是一个问题呢？如果不同的应力和应变贡献不是由单元上相同类​​型的插值表示，就可能存在较大的局部波动，即使结果在平均意义上是一致的。

一个特例：热膨胀

我们先来研究一个可能发生这种情况的常见案例。有限元界很早就观察到，在耦合热应力分析过程中会出现“波浪状”应力模式。在耦合热应力分析中，最常见的是对位移和温度都使用二次形函数。由于热应变与温度成正比， 将在每个单元内具有二次变化。然而，由于总应变是位移形函数的导数，因此它将具有线性分布。现在，弹性应变将作为线性函数和二次函数之间的差被计算。产生的影响是每个单元内部可能存在奇怪的弹性应变（以及应力）模式。出于这个原因，当将温度作为驱动固体的热膨胀时，有时建议使用线性形函数来求解热问题。在 COMSOL Multiphysics 中，此问题在内部由 热膨胀 多物理场耦合节点（以及 吸湿膨胀 和 插层应变 等类似功能）处理。非弹性应变场被重新插值到一个与从位移场计算出的应变相匹配的多项式阶数。这将减少局部应力解中的这种假象。

逐点状态

还有另一种类型的非弹性应变根本不涉及场，而是在积分点（高斯点）处逐点的局部状态。有关高斯点的更多详细信息，请查看博客数值积分和高斯点简介。大多数非线性材料模型，如塑性和蠕变，都是这样工作的。在这种情况下，单元中任意位置的应力评估会变得更加复杂。

如果要求一个应力分量，例如 solid.sx，它实际上是在单元中的每个位置“动态”计算的。非线性材料定律就是在该位置利用最近的 高斯点的存储值被评估的。如果单元上非弹性应变的变化很大，可能会引入明显的误差。甚至可能无法评估材料定律，即使它可以在高斯点进行评估。

一个比较好的方法是基于高斯点值创建平滑近似。gpeval() 算子提供了这种可能性。例如，如果您请求 gpeval(4,solid.sx) 而不是 solid.sx，您将绘制一个在单元上平滑的应力。在这种情况下，非线性应力-应变关系仅在已经满足的高斯点处进行评估。然后，再使用高斯点值的最小二乘拟合来定义平滑场。

在其原始版本中，gpeval() 算子要求输入适当的积分阶次作为第一个参数。幸运的是，在大多数情况下，不必这么做。COMSOL 软件的物理场接口中提供了许多预定义变量，例如 solid.sGpx 和 solid.misesGp。如果无法为表达式找到合适的内置变量，则可以使用物理场接口的特定算子，例如 solid.gpeval(expr)。 正确的积分阶次将被嵌入到特定物理场接口的算子中。

下面的示例针对已经存储在高斯点的场（通过名为 myDOF 的用户定义的因变量）探索了不同的评估选项。该模型由单个 2D 单元组成，x 和 y 坐标范围为 0 到 1。该场由表达式 (Y+1)/(2*X+1) 描述。使用 3 × 3 高斯点方案，因此将存储九个独立的数字。这些值正是在每个高斯点处评估的原始场的值。

不同类型的高斯点数据评估。

用高度图表示的同一组数据。

在图中左上方，原始函数是可视化的。在它的下方，显示了存储状态 myDOF 表面图的行为。此图中也显示了高斯点的位置以及存储的值。默认的行为，即高斯点状态由最近的高斯点处的值表示，在这里清晰可见。在这种情况下，一个更好的方法是使用 gpeval() 算子评估平滑场，如底行最右边的两个图所示。这两个图之间的差异是平滑场的多项式阶数。默认是使用双线性场(中下方)。在这个示例中，拟合二次场是更好的选择。在图的中上方和右上方，显示了平滑场与函数精确值之间的差异。

最后，我们来处理两个常见的误解：

1. 如果在高斯点处评估一个类似于 solid.sx 的表达式，确实会在高斯点处获得计算值。但是，在高斯点处评估类似于 solid.sGpx 或 gpeval(4,solid.sx) 的表达式将不会在该点检索存储的结果。原因是这些表达式给出了通过最小二乘拟合获得的平滑场。拟合多项式不一定会通过其数据点。
2. 如果在边界上评估一个类似于 gpeval(4,solid.sx) 的表达式，则 边界上高斯点的值用于设置插值多项式。如果在固体力学模型的边界上绘制表面图，这可能不是想要的结果。幸运的是，COMSOL 软件接口中内置的 solid.sGpx 和 solid.gpeval(solid.sx) 与期望的一样：它们使用域插值。

最大值评估

有了上面介绍的方法，我们就可以处理一些评估最大值的常见任务。首先，重要的是要认识到没有单一的“正确”方法。唯一的真理是使用非常精细的网格进行分析，以使离散误差尽可能小。在现实生活中，这是不太可行的。

话虽如此，通常最好使用高斯点插值结果，因为不太容易出现随机波动。然而，对于所有情况，这可能不是最好的结果（在“最接近真相”的意义上）。

在结果与可视化中，可以使用不同的方法来获得最大值(下面的UI截图中显示了其中的五种)。您可以查看图例上的最大值(见下图(1))，也可以添加：

• 标记 子节点，例如，体积图(见(2))。
  • 标记 子节点使用与绘图本身相同的数据进行，因此结果始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制评估。
• 像 表面最大值/最小值 这样的节点到一个绘图组(参见(3))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 高级 部分进行控制评估。
• 派生值 下的类似 表面最大值 的节点(参见(4))。
  • 这些节点有自己的设置。
  • 在 配置 部分控制评估。
• 定义 节点下的 最大值 算子(参见(5))。
  • 这类算子有自己的设置。
  • 在 高级 部分控制评估。
  • 该算子可用于 全局评估。
• 线图的 图形标记。
  • 使用与绘图本身相同的数据评估标记，因此结果将始终一致。
  • 由绘图的 质量 部分的设置控制。
• 派生值 下的 点计算 节点——如果已知临界点。
  • 几何点将使用相邻边、边界或域的平均值。
  • 截点 数据集中的一个点将从单个单元的单个评估中获取其值。

最大值评估的一些方法示例。

很明显，使用这些方法获得的值不一定相同。以下是一些提示：

• 如果要突出显示绘图或图形中的峰值，请使用相应的 标记 子节点。如果值不一致，查看绘图的人会感到困惑。
• 如果想获得最坏情况下的值，请使用抑制平均的评估。
• 只要使用平滑或应力计算涉及到逐点状态，表面和体积最大值评估可能不会给出相同的值，即使预期最大值在表面处。
• 对于结构力学问题，最大应力通常出现在边界处。如果边界没有加载，有一个很好的技巧可以获得准确的结果，就是在它上面添加一个非常薄的膜，其材料数据与实体相同。这个膜充当一种虚拟应变计。

下图显示了使用不同的方法评估应力分量最小值的效果，通过表面图和体积图标记。solid.sy 和 solid.sGpy 都使用了平均和不平均绘制。正如预期的那样，未经平滑计算的每个值都高于经过平滑计算的相应值。还可以注意到，如果没有平均，表面和体积评估会给出相同的结果。这是很自然的，因为峰值在表面，所以在两种情况下都探测到相同的峰值位置。

使用不同方法评估的效果。

我应该绘制哪些应力结果？

当您要选择绘制结果时，会遇到如下所示的菜单：

选择应力结果。

可选择的方法取决于物理场接口以及使用的材料模型和其他选项。这可能看起来令人不知所措，但有些量比其他量更重要。

对于各向同性材料，最常见的是使用标量应力测量，例如 von Mises 或 Tresca 等效应力。von Mises 应力很受欢迎，因为它很容易评估，并且它可以直接计算灵敏度。但是，为安全起见，Tresca 压力是更好的选择。Tresca 等效应力的值比给定应力状态下的 von Mises 应力值大 0% ~ 17%。在某些工程领域，如压力容器，常用的是 Tresca 应力，有时称为 应力强度。

尽管 von Mises 和 Tresca 等效应力对于了解应力状态非常有用，但它们只能用于评估失效风险或找到特定材料类别的“最大负载点”。这些应力测量最初是为预测金属的屈服而设计的，它们对平均应力不敏感。金属在太平洋海底中并不比在自由空气中更接近屈服！另一方面，土壤或混凝土等材料的失效很大程度上取决于平均应力。压缩状态是稳定的。

现在你可能会问：如果我的材料不是金属，我怎样才能得到一个以红点为临界点的图？答案包含两个部分：首先，如果不引入一些描述失效的材料属性，通常不能这样做。一旦您可以访问这些值，就可以使用结构力学接口中的 安全 节点。这个功能可以为许多类别的材料计算不同类型的失效裕度测量值。由于这些标准通常基于压力，因此上述关于压力评估的任何内容也适用于此。

安全特征 中的失效模型。

土力学问题的 von Mises 应力（上）和安全系数（下）分析。下面的分析使用了 Drucker-Prager 标准。

有时，您可能会因为材料是各向异性的，或者想更好地了解应力分布而研究各个应力分量。对于后一种情况，绘制主应力图通常也很有用。

在处理单个应力分量时，您希望在全局坐标系之外的其他方向上进行评估是很常见的。有几种标记为“局部坐标系”类型的结果。这意味着方向是由材料节点中的坐标系选择确定，例如 线性弹性材料。

在材料模型中选择坐标系。

对于各向同性材料，坐标系选择的唯一作用是为结果定义局部方向。对于各向异性材料，选择的主要目的是为材料数据提供参考方向。附带的您会在局部方向上得到应力和应变结果。

在 COMSOL Multiphysics 中，存在三种类型的应力张量：柯西、第一类皮奥拉-基尔霍夫，第二类皮奥拉-基尔霍夫。要了解有关此主题的更多信息，请查看博客：为什么会有这些压力和应变？以及 COMSOL 官网上关于应力和运动方程的多物理场百科知识。如果您计划研究应力张量的单个分量，区别可能很重要，但对于几何线性分析，应力张量都是相同的。

结语

COMSOL Multiphysics 为精细调整结果的评估和展示提供了多种方法。为了充分利用仿真，熟悉这些方法很重要，什么是最佳选择取决于您正在研究的内容和分析的目的。

还有一种我们没有讨论的情况是，如何处理出现在拐角处或其他奇点处的高应力。博客“有限元模型中的奇点：如何处理模型中的红点” 中讨论了奇点的影响。后续我们可能会重新讨论这个有重大实际意义的话题。

下一步

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扬声器驱动器的类型

下面列出了四种常见的驱动器类型，它们是基于不同的物理原理设计的扬声器驱动器代表：

1. 传统的动态换能器，利用施加在载流音圈上的洛伦兹力来移动音圈和附属的振膜。它们也被称为动圈换能器，是当今最流行的扬声器驱动器类型。
2. 主要用于助听器和入耳式设备的平衡电枢接收器，其运动是由磁体之间存在的麦克斯韦应力引起的。它们属于动铁扬声器类别，是最早发明的电动扬声器类型。
3. 使用压电材料的压电驱动器，例如某些类型的晶体，在外加电场产生的内部产生的机械应力下变形。它们经常用于电子设备中产生声音，并且在一些较便宜的扬声器系统中也用作高音扬声器。
4. 静电驱动器，利用施加在悬挂在两个穿孔金属片之间的又大又薄的导电隔膜板上的静电力。由于具有低失真度和高质量清晰度，它们一直受到发烧友的欢迎，并且通常比其他类型更昂贵。

尽管这些扬声器背后的驱动力都属于电磁力的范畴，但每种类型都有其独特的物理性质。动态换能器和平衡电枢接收器在磁场中工作，因此在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对它们进行建模需要将固体力学 接口与磁场 接口耦合。另一方面，压电驱动器和静电驱动器在电场中工作，因此需要将固体力学 接口与静电 接口耦合。

COMSOL Multiphysics 内置的多物理场耦合特征，可以对所有这 4 种类型的扬声器驱动器进行建模。接下来，我们来详细了解每一种类型驱动器的建模。

洛伦兹耦合

当导体置于磁场中并通电时，一个电磁力，指定为洛伦兹力 会被施加在导体上并使其移动。另一方面，导体通过磁场的运动会引起感应电压，这种现象称为反电动势，反过来会影响磁场。这就是使用动圈的传统电动扬声器驱动器的工作原理。

这些动圈换能器包含用于产生磁场的永磁体和放置在磁场中的线圈。当向线圈施加交流电压时，由于洛伦兹力的变化，它们会来回移动，导致连接的膜片振动并发出声音。

动圈换能器使用洛伦兹力来触发振动。

COMSOL 软件的洛伦兹耦合 特征通过计算洛伦兹力和反电动势来捕获这种双向效应。它是磁场 接口和固体力学 接口之间的多物理场耦合特征，用于将洛伦兹力从磁场 接口传递到固体力学 接口，并将感应电场从固体力学 接口传递到磁场 接口。洛伦兹力和感应电场使用下面的公式计算：

其中， 是电导率， 是施加的电场， 是动圈的速度， 是磁通密度， 是感应电场。总电流密度 ，包括来自外加电场和感应电场的贡献，用于计算洛伦兹力 。

在对扬声器驱动器进行建模时，通常会在音圈域中添加耦合，如扬声器驱动器-频域分析和扬声器驱动器-瞬态分析 教程案例所示。

在扬声器驱动器-频域分析教程示例中，使用 洛伦兹耦合特征对动态动圈换能器进行建模。

磁力作用力

平衡电枢接收器也由磁铁、线圈和隔膜制成。但是，它是在完全不同的机理下运行的。在这类设备中，线圈是固定的，根本不会移动。

单个平衡电枢接收器包含一个小电枢(臂)，它被放置在一个音圈内，在两个磁铁之间保持平衡。当交流电流通过线圈时，电枢被磁化并处于麦克斯韦应力 下，即磁体之间存在的电磁力。该电磁力导致电枢振动并从一个磁铁移动到另一个磁铁。由于电枢连接到隔膜，其振动会传递到隔膜上，从而产生声波。

平衡电枢接收器，利用磁体之间的麦克斯韦应力来触发振动。

这个物理现象可以用 COMSOL 软件中的磁力耦合 特征捕获。该特征是磁场 接口和固体力学 接口之间的另一个多物理场耦合，用于计算施加在磁化可变形固体上的麦克斯韦应力，以及结构变形对材料磁化的影响。应力包括导致固体变形的两个分量：磁化体内存在的应力，以及与周围磁场相互作用产生的应力。前者被建模为体载荷，后者被当作一个实体外部边界上的边界载荷施加。

对于有限变形，固体中电磁应力和材料磁化强度的表达式可以使用下面被称为 磁焓 的热力学势导出：

其中， 和 分别是自由空间和相对磁导率。磁通量矢量的分量, 必须在材料框架上取值，右柯西-格林变形张量为

，

和 ，其中， 是位移场， 是单位张量。机械能函数 取决于使用的实体模型。

总第二类皮奥拉-基尔霍夫应力张量由下式给出

磁通密度矢量由下式计算

磁应力张量由下式计算

也就是所谓的 Minkowski 磁应力张量，它将被当作实体载荷施加到固体上。

对应的电磁体力可以写为

有时也被称为 Korteweg-Helmholtz 磁力，其中 是电流， 是磁化率，它可以是材料中机械应变的函数。这表明体力包括洛伦兹力和来自磁极化的力贡献。感应电流效应被考虑包括在内，并且是在没有施加外部电流存在时，对洛伦兹力的唯一贡献量。

由周围磁场引起的边界应力 被施加在表面，可以由下式计算

其中， 和 是固体边界外侧的磁场和环境压力。

COMSOL Multiphysics 并未明确在耦合特征中包含环境压力定义。但是，如果压力已知或由另一个物理场接口（例如声学模型）计算，则可以向相应的 固体力学 接口添加额外的表面力。

如下图所示，在平衡电枢传感器教程模型中，可以看到磁机械力耦合 特征的使用。

磁机械力耦合 特征用于平衡电枢传感器的完整振动电声仿真。

压电效应

压电驱动器的工作原理是压电效应，这是一种存在于某些被称为压电材料的晶体材料中的独特物理现象。直接压电效应包括当压电晶体变形时沿固定方向的电极化。极化与变形成正比，并在晶体上产生电位差。另一方面，逆压电效应与直接效应相反。它描述了施加电场时晶体中产生的变形，这是压电驱动器运行的原理。

一种由四个三角形膜片组成的压电 MEMS 扬声器，利用压电效应产生振动。在厚度方向上应用较大的比例以进行可视化。

正向和逆向压电效应由 COMSOL 软件的静电 接口和固体力学 接口之间的多物理场耦合特征压电效应 捕获。每个物理场都包含一个专用的压电材料模型，在固体力学 接口中命名为压电材料，在静电 接口中命名为电荷守恒，压电，用于解释压电域中的特定本构关系。两个物理场中的两个压电材料模型通过压电效应 多物理场特性耦合。可以用应力-电荷形式或应变-电荷形式来表达应力、应变、电场和电位移场之间的关系。

压力电荷：

应变电荷：

其中， 是应变， 是压力， 是电场， 是电位移场。材料参数 和 对应材料的弹性和柔顺性， 和 是耦合属性， 和 是自由空间和相对介电常数。

压电 MEMS 扬声器教程示例演示了如何使用压电效应 耦合特征对压电驱动器进行建模。

压电 MEMS 扬声器教程中使用了 压电效应 耦合特征。

当需要对来自压电驱动器的声辐射进行瞬态分析时，可以选择使用间断伽辽金（dG 或 dG-FEM）方法对压电设备的振动和流体中的波传播进行建模。在这种情况下，压电波，时域显式 多物理场接口用于对驱动器进行建模，它结合了弹性波，时域显式 接口和静电 接口以及压电效应，时域显式 多物理场耦合。间断伽辽金公式允许使用显式时间步进方法解决完全耦合的问题，因此提供了一种有效的替代方法，用于模拟相对于波长的远距离的声音生成和传播。在使用间断伽辽金方法模拟压电效应博客文章中，我们对此进行了解释，并在使用压电换能器的超声波流量计 案例教程中进行了演示。

机电力

虽然静电驱动器也在电场中工作，但它的振动源是带电体之间的麦克斯韦应力。这类驱动器中的隔膜是一种薄而平的导电材料，通常在其表面上提供恒定电荷。隔膜被夹在两个称为格栅 或定子 的导电片之间。当音频信号异相施加到格栅上时，在带电的振膜和两侧的格栅之间会产生静电力。一个格栅推动隔膜，另一个格栅则拉动隔膜，从而移动空气并产生声音。

静电扬声器驱动器由位于两个穿孔金属板之间的薄塑料隔膜组成，利用带电体之间存在的麦克斯韦应力来触发振动。

这种类型的传感器可以使用机电力 耦合特征进行建模，这是静电 接口和固体力学 接口之间的另一种多物理场耦合。它计算带电体之间的介电力，以及结构变形对材料极化的影响。

磁机械力 耦合的理论非常相似，该力是在电场中而不是磁场中产生的。此外，还有两个贡献分量：在极化电介质体内产生并建模为体载荷的应力，以及由周围电场感应并作为边界载荷施加在表面上的应力。

对于有限变形，介电应力和材料极化的表达式可以使用下面被称为电动焓 的热力学势导出：

式中， 和 是自由空间和相对介电常数。电场的组成部分 , 必须在材料框架上取值，右柯西-格林变形张量为

,

，其中， 是位移场， 是恒等张量。机械能函数 取决于使用的实体模型。

总第二类皮奥拉-基尔霍夫应力张量由下式给出

电位移由下式计算

介电应力张量由下式计算

也就是所谓的 Minkowski 电应力张量，被施加在实体。

对应的电磁体力可以写为

有时，也被称为 Korteweg-Helmholtz 电力，其中 是电荷， 是电磁化率，它可以是材料中机械应变的函数。

在表面上施加由周围电场引起的应力，可以由下列公式计算

其中， 和 是固体边界外侧的电场和环境压力。

COMSOL Multiphysics 并未明确在耦合特征中包含环境压力定义。但是，如果压力已知或由另一个物理场接口（例如声学模型）计算，则可以向相应的固体力学 接口添加额外的表面力。

静电扬声器驱动器教程案例演示了如何使用机电力 耦合特征来模拟静电感应的振动。

静电扬声器驱动器教程中使用机电力耦合特征来模拟静电驱动膜片的振动。

添加声学接口模拟声辐射

评估扬声器驱动器的性能通常需要分析对周围流体的声音辐射。在 COMSOL 中可以添加声学 接口并使用以下耦合特征将其耦合到固体振动模型：

• 声–结构边界：这个功能用于将压力声学模型耦合到任何结构组件。包括基于 FEM 的声学接口和基于 BEM 的声学接口。前面提到的案例教程，即扬声器驱动器-频域分析、扬声器驱动器-瞬态分析和平衡电枢传感器都是使用基于 FEM 的压力声学接口的示例。我们可以在敞开式扬声器教程模型中的看到将基于 BEM 的压力声学接口与结构振动耦合的示例。
• 声–结构边界，时域显式：这个特征专用于使用间断伽辽金法和时域显式求解器求解的瞬态声-结构相互作用问题。它与 压电效应、时域显式 耦合功能兼容，用于对来自压电扬声器驱动器的声辐射进行瞬态分析。有关演示，请参阅使用压电换能器的超声波流量计教程模型。
• 热黏性声–结构边界：这项功能用于将热黏性声学 接口与任何结构组件耦合。当黏性损失和热传导由于边界层的存在而变得重要时，需要热黏性声学模型来准确模拟狭窄流体通道中的声学。这在压电 MEMS 扬声器和静电扬声器驱动器教程模型中得到了例证。

三个耦合特征中的每一个都有一个对版本：对，声学–结构边界 耦合；对，声–结构边界，时域显式 耦合；对，热黏性声–结构边界 耦合。这些特征用于将声学接口耦合到已创建一致对的装配几何体中的固体力学 接口。这允许在声-结构边界使用非一致性网格。由于固体和流体中的波速不同，计算网格在解析波时可以利用这一点。通过这种方式，可以在求解时节省自由度。声–结构边界对，时域显式 耦合选项对于基于间断伽辽金法的模型特别有用，因为需要避免由于特定材料域中不必要的小网格单元导致的小内部求解器时间步长，如间断伽辽金法这篇博客文章中所述。

为大变形添加移动网格特征

在结构变形很大并且会显著影响电磁场（无论是电的还是磁的）的情况下，可以使用移动网格 特征来解释由于结构变形而导致的拓扑变化对电磁场分布的影响。这在静电扬声器驱动程序教程示例中进行了演示。

移动网格也可以用来捕获由于声场拓扑变化引起的非线性效应，该效应由具有大变形的扬声器振膜产生。扬声器驱动器-瞬态分析模型使用移动网格 特征和自动重新划分网格 来捕获拓扑变化和音圈的移动。

下一步

这篇博文讨论了 4 种 COMSOL 软件中可用的耦合特性，用于对市场上最常见的扬声器驱动器进行建模。点击下列链接进入 COMSOL 案例库，下载相应文档和 MPH 文件探索文中提到的模型：

• 扬声器驱动器—频域分析
• 扬声器驱动器-瞬态分析
• 平衡电枢传感器
• 压电 MEMS 扬声器
• 静电扬声器驱动器

如果你想了解访问这些耦合特征需要哪些模块，请联系我们。