电磁波 – COMSOL 博客 -

频域内电磁波的模拟指南

Walter Frei — Tue, 30 Jun 2015 02:44:51 +0000

在过去几周内，我们发布了一系列博客文章，探讨了频域内电磁波仿真所使用的多种域和边界条件；以及有关模拟、网格剖分和求解的选项。本篇博客文章中，我将所有这些信息都串联起来，对 RF 模块和“波动光学”模块中可以求解的各类问题作一个简要介绍。

在哪种条件下电磁波适合在频域内模拟？

只要求解的模拟问题涉及到 Maxwell 方程，并满足以下假设：

相对于场强，所有材料属性保持不变

且

在已知频率或已知频率范围内，场随时间呈正弦变化

我们就可以将此问题视为频域问题。当电磁场的解呈波浪形时，也就是说当问题为共振结构或辐射结构，或者问题中的有效波长与研究对象的尺寸相当时，该问题就可以视为电磁波问题。

COMSOL Multiphysics 中有一个物理场接口专用于此类模拟——电磁波，频域 接口。此接口位于 RF 模块和“波动光学”模块，采用有限元方法求解 Maxwell 方程的频域形式。下图是何时使用此接口的指南：

当物体尺寸介于约和之间时，电磁波模拟的方法才有效，而不管绝对频率是多少。物体尺寸小于此范围下限则适用于“低频”条件。在低频条件下，物体的结构不会是天线或共振结构。如果要在低频条件下创建模型，则可以使用几个不同的模块和接口。详细信息，请参考本篇博客文章。

上限源自求解大型三维模型的内存要求。如果模拟域在每个方向的大小都大于，即对应于域大小为或 1000 立方的波长，则需要庞大的计算资源来求解模型。要了解更多详细信息，请阅读上一篇博客文章。而另一方面，二维模型对内存的要求则要小得多，但能求解更大型的问题。

当要模拟物体的尺寸远大于波长时，我们有两种选择：

如果与所模拟器件的结构（以及电磁场大小）在横向产生的变化相比，其在波束传播方向产生的变化相对更缓慢，则适合采用波束包络公式。要了解更多详细信息，请阅读本篇博客文章。
“射线光学”模块中的公式将光视为射线而非波。在上图中，射线和波这两种形式之间存在大片重叠区域。要查看有关射线光学方法的简介，请参考我们的射线光学模块简介。

如果达到 x 射线频率及更高的频率，则电磁波将与材料的原子晶格相互作用，并从该原子晶格上发生散射。模拟这类散射不适合采用电磁波方法，因为这一方法假定每个模拟域中的材料都可以视为连续体。

COMSOL Multiphysics 能在频域内解决哪些类型的电磁波问题？

现在我们已经明白了电磁波问题的含义，就可以对电磁波，频域 接口最常见的应用领域作进一步划分，同时讨论几个用法示例。我们只挑选了几个具有代表性的示例，作为学习本软件的良好开端。这些应用选自 RF 模块的内置及在线 App 库，以及“波动光学”模块的内置及在线 App 库。

天线

天线指的是任何用于传输信号（有时是电能）而辐射电磁波的设备。构造天线的方式有无数种，但最简单的一种是偶极天线。不过，贴片天线更小巧，应用也更广。需要了解的物理量包括 S 参数、天线阻抗、损耗和远场图，以及辐射场与周围任何结构的相互作用，请参考线束上的汽车风挡玻璃天线效应教程模型。

波导和传输线

天线向自由空间发出辐射，而波导和传输线引导电磁波沿预定义的路径传播。我们可以计算传输线的阻抗，以及微波波导和光学波导的传播常数和 S 参数。

共振结构

共振腔是一个旨在将特定频率的电磁能储存到小空间的结构，它不传递能量。这类结构可以是封闭腔体，例如金属封闭体，也可以是开放结构，例如射频线圈或 abry-Perot 腔。需要了解的物理量包括共振频率和 Q 因子。

耦合器和滤波器

从概念上来讲，波导与共振结构的结合产生了耦合器或滤波器。滤波器的作用是阻止或者允许特定的频率在某一结构内传播，耦合器的作用是允许特定的频率从一个波导传播到另一个波导。最简单的微波滤波器就是由一系列矩形腔体连成的一个结构，请参考波导虹膜带通滤波器教程模型。

散射问题

散射问题可以认为是天线问题的逆问题。物体模拟时的背景场来自模拟域之外的外部源，而不是从一个物体中查找辐射场。计算的是物体发射电磁波的远场散射，详情请参考标准案例计算完美导体球的雷达截面。

周期性结构

如果一些电磁学问题的结构可以假设为准无限，那么它的复杂程度会大大简化。比如，计算光子晶体的频带结构时就可以考虑采用单胞晶。还可以分析在一个或两个方向上具有周期性的结构，例如光栅和频率选择面，以了解它们的反射和传播情况。

电磁加热

只要经辐射传输了大量能量，则任何与电磁波相互作用的物体都会升温。厨房内的微波炉就是一个模拟电磁场和传热相耦合的完美示例。另一个很好的入门示例是射频加热，其中考虑了瞬态温升及随温度变化的材料属性。

亚铁磁设备

给亚铁磁材料施加一个较大的直流偏磁会使其相对磁导率在小型（相对于直流偏磁）交变场中表现为各向异性。这样的材料可用于微波环形器。这种材料的非互易性可起到隔离的作用。

在频域内模拟电磁波的总结

现在，你已经大体了解了 RF 模块和“波动光学”模块在求解频域内电磁波问题时所使用的功能及应用。上文列出的案例及 App 库中的其他案例都是学习使用本软件的良好起点，这些案例都附带说明文档以及分步模拟的指南。

请注意，RF 模块和“波动光学”模块中还有其他功能和公式未在本文提及，其中包括瞬态电磁波接口，用于模拟材料的非线性（如二次谐波生成），以及模拟信号传播时间。此外，RF 模块还包括一个电路模拟工具，用于将一个系统的有限元模型与电路模型连接，以及一个可模拟传输线方程的接口。

当你继续深入研究 COMSOL Multiphysics 和电磁波模拟的同时，还请阅读其他博客文章：网格剖分和求解选项；可用的多种材料模型；用于模拟金属物体、波导端口和开放边界的边界条件。这些文章提供了许多基础知识，可以让你自信地模拟电磁波问题。

如果你对 COMSOL Multiphysics 处理电磁波问题的功能，以及如何用于你的模拟需求有任何疑问，请联系我们。

求解电磁波问题的仿真工具

Walter Frei — Thu, 18 Jun 2015 05:22:39 +0000

使用 RF 模块或“波动光学”模块求解电磁波问题时，我们利用的是有限元方法求解 Maxwell 控制方程。本篇博客文章将针对建模、网格剖分、求解和后处理这几个步骤介绍几种方法及其适用范围。

电磁波在频域内模拟问题的控制方程

COMSOL Multiphysics 使用有限元方法在模拟域内求解电磁场。假设角频率已知，为，电磁场随时间呈正弦变化，且材料的所有属性相对于场强呈线性，则三维 Maxwell 控制方程可简化为：

\nabla \times \left( \mu_r^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right)-\frac{\omega^2}{c_0^2} \left( \epsilon_r -\frac{i \sigma}{\omega \epsilon_0} \right) \mathbf{E}= 0

其中的材料属性包括：表示相对磁导率；表示相对介电常数；及表示电导率。

已知真空中光速为，则可在整个模拟域内对电场求解上述方程，其中为矢量，其分量为所有其他物理量（例如磁场、电流和功率流）都可从电场推导出。还可以将上述方程表述为特征值问题，以求解模型的系统谐振频率，而非特定频率下的系统响应。

上述方程可通过有限元方法进行求解。要了解有限元方法的概念性介绍，请阅读弱形式系列博客；要获取相关参考文献，更深入地了解有限元方法在电磁波问题中的细微差别，请阅读 Jin Jian-Ming 教授所著的 The Finite Element Method in Electromagnetics 一书。不过就本篇博客文章而言，我们将有限元方法分解为以下四个步骤：

建立模型： 定义求解方程、创建模型几何、定义材料属性、建立金属边界和辐射边界并将模型连接到其他器件。
剖分网格： 利用有限元将模型空间离散化。
求解：求解一组描述电场的线性方程。
后处理：从计算得到的电场结果中提取有用信息。

下面我们将详细介绍这些步骤，并描述每一步可用的选项。

修改控制方程的选项

上面显示的控制方程是 Maxwell 方程的频域形式，这是求解波类型问题的最通用形式。不过，我们可以重新表述这一方程，使之适合几种特殊场景。

先来看一个背景电场已知的模拟域情况，我们要将某个物体放在该背景场中。背景场可以是线偏振平面波、高斯光束或者在自由空间中满足 Maxwell 方程的任何用户定义的一般光束。电场中的物体会干扰电场，导致背景场发生散射。在这种情况下，可以利用散射场公式求解上述方程，不过电场须替换为：

\mathbf{E} = \mathbf{E}_{relative} + \mathbf{E}_{background}

其中背景电场已知，相对场的作用是，在与背景场叠加后得到的总物理场能满足 Maxwell 控制方程。这里我们要求解的是相对场，而不是总物理场。请注意，相对场不是散射场。

有关散射场公式的用法示例，请参考计算完美导体球的雷达截面教程模型，其中探讨了背景平面波中完美导体球的雷达辐射，并将之与解析结果对比。

接下来考虑在二维平面中的建模，这时我们求解，如果考虑电场在面内或面外的极化，那么可以进一步简化建模的过程。如果是面内极化，则假设，如果是面外极化，则假设。与求解电场矢量的所有三个分量相比，这样的简化明显减小了求解问题的大小。

要在二维轴对称的平面中建模，我们须求解，其中矢量的分量为，同样，为简化建模，我们可以再次考虑面内极化和面外极化的情况，即分别假设和。

使用二维公式或二维轴对称面内 公式时，还可以指定面外波数，它适合在面外传播常数或方位角模数已知的情况下使用。对于二维问题，电场公式可以改为：

\mathbf{E}(x,y,z)= \mathbf{\tilde E}(x,y)exp(-i k_z z)

对于二维轴对称问题，电场公式可以改为：

\mathbf{E}(r,\phi,z)= \mathbf{\tilde E}(r,z)exp(-i m \phi)

其中或表示面外波数，这两个参数必须指定。

这种建模方法能大大降低某些模型类型的计算复杂程度。比如，结构为轴对称的喇叭天线虽然在三维中的解各不相同，但都是对已知方位角模式求和得到的。先求解这些面外模态，这其中所需的计算量要小得多，然后根据一组二维轴对称分析得到三维解，具体演示可参考波纹状圆形喇叭天线教程模型。

网格剖分的要求和功能

求解电磁波问题时，一定要考虑网格解析度。处理波类型的相关问题时，只有网格足够精细才能解析所有介质中的波长。这一理念本质上类似于信号处理中的奎斯特频率概念：样本尺寸（有限元网格尺寸）必须至少小于要求解波长的一半。

默认情况下，COMSOL Multiphysics 采用二阶单元离散控制方程。每个波长必须至少包含两个单元才能用于求解问题，但网格如此粗化，相应的精度就会相当糟糕。要对电介质中行波求解，通常每个波长至少包含五个二阶单元。也可以使用一阶和三阶离散化，不过这两种通常用于学术研究，而二阶单元既能达到一定的精度且内存要求不是很高，因此是一个最佳的折中选择。

如今，COMSOL Multiphysics 软件在对域剖分网格时，自动实现每一介质中每个波长包含五个单元这一最低标准，如此视频所示，其中不仅展示了不同电介质域的网格剖分，还实现了完美匹配层域的自动网格剖分。这一新的自动网格剖分功能还能对具有周期性边界条件的问题创建适当的周期性网格，具体案例请参考频率选择面周期性互补开环谐振器教程模型。

至于使用的单元类型，较之六面体单元和棱柱单元（三维中）或矩形单元（二维中），应优先选择四面体单元（三维中）或三角形单元（二维中），因为这样的单元色散误差较少。出现这一差别的原因是，对于四面体单元，一个单元内各个方向上的最大距离几乎相等，然而对于六面体单元，完美立方单元中最短线与最长线之比为。所以如果波沿对角线穿过六面体单元，则波相的解析结果会出现较大误差。

只有对完美匹配层剖分网格时，或者能大致预知解在一个或两个方向上具有强各向异性时，才需要使用六面体单元、棱柱单元或矩形单元。如果要求解的波由于材料的吸收发生衰减，比如波撞在损耗介质上，那么也需要手动设置有限元网格的集肤深度（通常是边界层网格），如此处所述。

如果材料属性在仿真过程中发生改变，则仍是建议手动剖分网格，而且这种情况下也往往必须这样做。举例来说，在电磁加热模拟过程中，材料属性会随温度变化。那么在求解前，即在网格剖分这一步中，就应当考虑材料属性可能发生的变化，因为与一开始就使用精细划分的网格（足以解析场中可能发生的各种变化）相比，在求解过程中重新剖分网格所需的计算量往往更大。这种情况要求我们利用迭代法，手动剖分网格并求解模型。

频带较宽时，可以从下列三种方法中选择一种进行求解：

使用将求解波长最短（最高频）的网格来解析整个频率范围。这种做法能够完全避免重新剖分网格产生的计算成本，但是对低频使用了过于细化的网格。
使用参数化求解器，对每一个频率重新剖分网格。如果频率空间中频率的增量相当大，并且网格剖分成本相对较低，则适于采用这种做法。
在不同频带使用不同网格。这种做法可以降低网格剖分成本，同时使求解的成本相对较低。它实质上是前两种方法的结合，不过需要用户执行的操作最多。

对于具体模型，要预先判断上述哪种方法最有效很困难。

不管一开始使用的是什么网格，始终要执行网格细化研究，也就是用逐步细化的网格重新运行仿真，并观察解的变化。网格越精细，解就越精确，但计算成本也随之增加。如果网格完全由四面体单元或三角形单元构成，则也可以使用自适应网格细化。

求解器选项

在问题适当定义完毕且域中剖分了网格后，COMSOL Multiphysics 就能收到该信息并生成一个线性方程组，使用直接求解器或迭代求解器求解方程组。这两个求解器差别不大，仅在内存要求和求解时间方面有所不同，不过我们可以使用几个选项使模拟效率更高，因为三维电磁场模型通常需要大量内存来求解。

与迭代求解器相比，直接求解器需要的内存更多，它们用于求解具有周期性边界条件的问题、特征值问题以及所有二维模型。具有周期性边界条件的问题一定要用直接求解器，在许多情况中，COMSOL Multiphysics 软件会自动为其匹配直接求解器。

与迭代求解器相比，使用直接求解器能更快地求解特征值问题，但会消耗更多内存。由此，人们常常倾向于重新表述特征值问题，将其转换为在接近谐振的频率范围内激发的频域问题。在频域内求解时，可以使用内存更省的迭代求解器。然而，如果系统中存在高 Q 因子，则必须要在频率空间的许多点上求解。要了解将特征值问题重新表述为频域问题的示例，请阅读有关计算 RF 线圈的 Q 因子和 Fabry-Perot 腔的 Q 因子这两个案例。

“分析方法论”设置中对应用于频域仿真的迭代求解器定义了三个选项，分别是健壮性（默认设置）、中级或快速，这三个选项可在物理场接口设置中更改。这三种设置的作用是改变正在使用的迭代求解器类型和收敛公差。当你在解算大多数模型时都会用到这些设置，并进行比较，观察它们在求解时间和精度方面的差别，从中选定最适合自己需要的选项。如果模型中不同材料的介电常数相差非常大 (~100:1)，则应选择健壮性 设置，若迭代求解器收敛缓慢，甚至可能需要使用直接求解器。

后处理功能

模型求解完毕后，你希望提取电磁场的计算结果数据。COMSOL Multiphysics 会自动生成电场大小的切面图，除此之外，还可以使用许多其他后处理可视化选项。请参考后处理与可视化手册以及有关后处理的系列博客了解初步的知识，并学习如何创建类似下面两张图那样的图像。

将解物理场、网格及几何都绘制在一张图中，实现极具吸引力的可视化效果。

当然，图像仅表面靓丽是不够的，我们还要从模型中提取数值信息。每次使用端口或集总端口，以及集总端口电流、电压、功率和阻抗时，COMSOL Multiphysics 会自动提供 S 参数。对于含多个端口或集总端口的模型，还能自动创建端口扫描，就像铁氧体环形器教程模型演示的一样，并将结果写入一个 Touchstone 文件。至于特征值问题，会自动计算谐振频率和 Q 因子。

对于天线模型或散射场模型，还能计算并绘制远场辐射方向图、增益图和轴比曲线。

Vivaldi 天线的远场辐射方向图。

此外，还可以在域、边界和边上集成任何派生量以执行一些计算，如计算损耗材料内部散发的热量，或者腔内的总电磁能。当然，在这里我们只列举最常用的后处理功能，还有更多操作等你去尝试。

关于电磁波仿真工具的小结

本文介绍了 Maxwell 控制方程频域形式的多种不同公式，探讨了这些公式如何用于求解电磁波问题以及何时使用。还讨论了网格剖分要求和功能，以及求解模型的不同方法。在这个过程中，还大致概述了后处理功能，以及如何在 COMSOL Multiphysics 中获取数据可视化的信息。

通过学习这些知识，结合阅读有关定义材料属性、建立金属边界和辐射边界以及将模型连接到其他器件的系列博客文章，使你对于在 RF 模块和“波动光学”模块模拟频域电磁波有一个相当完整的了解。当然，本软件提供的相关文档更深入地讲解了全部特征及功能。

如果你对利用 RF 模块或“波动光学”模块满足自己的模拟需求感兴趣，请联系我们。

电磁波问题中的材料建模

Walter Frei — Wed, 27 May 2015 15:33:52 +0000

每次利用 COMSOL Multiphysics 求解电磁波问题时，我们都会开发一个包含多个域和边界条件的模型，并且在域内使用各种材料模型来表征不同物质。从数学的角度来看，所有这些材料最终都会在控制方程内以相同的方式进行处理。让我们来分析这些材料模型，讨论何时应使用这些模型。

我们在求解哪些方程组？

博客将介绍电磁波，频域接口内使用的频域形式 Maxwell 方程组，您可以在 RF 模块和波动光学模块找到这个接口。博客内容也适用于波动光学模块的电磁波，波束包络公式。

假设材料响应与场强线性相关，我们将能在频域写出 Maxwell 方程组，因此控制方程将能写为：

\nabla \times \left( \mu_r^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right)-\frac{\omega^2}{c_0^2} \left( \epsilon_r -\frac{j \sigma}{\omega \epsilon_0} \right) \mathbf{E}= 0

此方程求解了工作（角）频率下的电场，其中是真空中的光速。其他输入项包括以下材料属性：相对磁导率、相对介电常数和电导率。所有这些材料输入可以是正值或负值、实值数或复值数，还可以是标量或张量。材料属性可以随频率变化，不过如果我们只需分析一个相对较窄的频率范围，那一般不需要考虑该变化。

我们接下来将详细分析每一种材料属性。

电导率

电导率量化了材料的导电能力，是电阻率的导数。我们通常在稳态 (DC) 下测量材料电导率，从以上方程可以看出，材料的等效电阻率将随频率的升高而增大。我们通常假定电导率与频率一致，不过我们稍后将讨论几个材料电导率会随频率变化的模型。

如果材料的电导率非零，当向材料施加电场后，它将开始传导电流并会因电阻损耗而耗散能量，即焦耳热。此时，温度会上升，并导致电导率发生改变。您可以输入任意函数或列表数据来表示电导率随温度的变化，也可以使用软件内置的线性电阻率模型。

线性电阻率模型常用于模拟电阻率随温度的变化，公式为：

\sigma = \frac{1}{\rho_0 (1 + \alpha ( T-T_{ref} )) }

其中指参考电阻率、指参考温度，是电阻温度系数。您可以指定或通过计算得到随空间变化的温度场。

电导率作为实值数输入，而且它也可以具有各向异性，即材料电导率会在不同的坐标方向发生变化。例如在层压材料中，如果您不希望显式模拟单独的每一层，那就可以使用此方法。您可以为复合材料输入一个经实验确定或在单独的分析中计算得到的均匀电导率。

RF 模块还提供了其他两个选项来计算均匀电导率：Archie 定律（用于计算充满导电流体的不导电多孔介质的等效电导率）和混合了多种材料的多孔介质模型。

Archie 定律模型常用于模拟饱含海水、原油或其他电导率要高于土壤的流体的土壤。

多孔介质模型提供了三个选项来计算混合材料（最多包含五种材料）的等效电导率。首先是体积平均电导率，公式为：

\sigma_{eff}=\sideset{}{^n_{i=1}}
\sum \theta_i \sigma_i

其中，是每种材料的体积分数。模型适用于各种材料的电导率相似的情况。如果电导率的差别很大，那更适合使用体积平均电阻率：

\frac{1}{\sigma_{eff}} = \sideset{}{^n_{i=1}}
\sum\frac{\theta_i}{ \sigma_i}

最后，幂律公式给出的电导率介于其他两个公式之间：

\sigma_{eff} = \sideset{}{^n_{i=1}}
\prod\sigma_i^{\theta_i }

这些模型只适用于材料属性变化的长度量级小于波长的情况。

相对介电常数

相对介电常数量化了当向材料施加电场后材料的极化程度。通常我们可以称所有 的材料为介电材料，即便真空 () 也可以被称作电介质。我们还经常使用介电常数来描述材料的相对介电常数。

材料的相对介电常数通常是复值数，其中负的虚部表示当电场方向随时间改变时，材料中的损耗。当材料中的电场随时间改变时，材料会以热的形式耗散部分电能。此时，原子周围电子云的形状随电场改变，产生了这种我们称为介电损耗的现象。介电损耗的概念不同于之前讨论的电阻损耗；但它们的数学处理完全相同，都是作为控制方程中的一个复数值项进行处理。请记住 COMSOL Multiphysics 遵循了以下惯例：负的虚部（正的电导率值）将造成损耗，而正的复值组分（负的电导率值）将在材料中产生增益。

软件提供了七个相对介电常数模型；我们接下来将具体介绍这些模型。

相对介电常数是 RF 模块的缺省选项，可以输入实值或复值标量或张量。电导率部分提到的多孔介质模型同样适用于相对介电常数。

折射率是波动光学模块的缺省选项。您可以单独输入折射率的实部和虚部，即和，同时相对介电常数是。该材料模型假定电导率为零，并假定了单位相对磁导率。

损耗角正切需要输入实值相对介电常数和标量损耗角正切。相对介电常数由计算，且材料电导率为零。

通过介电损耗选项可以输入相对介电常数的实部和虚部。请注意符号：使用该接口时，如在虚部输入一个正的实值数，将造成损耗，因为软件内部会将其乘以。您可以浏览金纳米球的光散射模型示例，学习该材料模型的使用。

Drude-Lorentz 弥散是基于 Drude 自由电子模型和 Lorentz 振荡模型开发的材料模型。Drude 模型 () 用于金属和掺杂半导体，Lorentz 模型描述了声子模及带间跃迁等谐振现象。通过加和来结合这两个模型，将能精确描述各类固体材料。它预测了复相对介电常数随频率的变化：

\epsilon_r=\epsilon_{\infty}+\sideset{}{^M_{k=1}}
\sum\frac{f_k\omega_p^2}{\omega_{0k}^2-\omega^2+i\Gamma_k \omega}

其中是对相对介电常数的高频贡献、是等离子体频率、是振荡器强度、是谐振频率，是阻尼系数。由于模型计算了复值介电常数，COMSOL Multiphysics 内的电导率将设为零。这是模拟依赖于频率的电导率的方法之一。

Debye 弥散模型是 Peter Debye 基于极化弛豫时间开发的材料模型。模型主要用于极性液体。它预测了复相对介电常数随频率的变化：

\epsilon_r=\epsilon_{\infty}+\sideset{}{^M_{k=1}}
\sum\frac{\Delta \epsilon_k}{1+i\omega \tau_k}

其中是对相对介电常数的高频贡献、是对相对介电常数的贡献、是弛豫时间。由于模型计算了复值介电常数，电导率假定为零。这是另一种模拟依赖于频率的电导率的方法。

波动光学模块中的 Sellmeier 弥散模型主要用于光学材料。它假定电导率为零、单位相对磁导率，并基于工作波长而非频率定义了相对介电常数：

\epsilon_r=1+\sideset{}{^M_{k=1}}
\sum\frac{B_k \lambda^2}{\lambda^2-C_k}

其中系数和确定了相对介电常数。

您可以根据技术文献给出的材料属性在这七个模型中进行选择。请记住，从数学角度来看，它们在控制方程中的输入方式相同。

相对磁导率

相对磁导率量化了材料对磁场的响应。我们将所有的材料称为磁性材料。铁是地球上最常见的磁性材料，但我们很少在 RF 或光学应用中使用高纯铁，更常使用的是铁磁性材料。这类材料会表现出强烈的各向异性磁属性，可以通过施加 DC 磁场控制。与铁不同，铁磁性材料的电导率较低，因此高频电磁场能够透入材料并与材料主体发生相互作用。参数化环形器结构教程演示了如何模拟铁磁性材料。

可以通过两个选项指定相对磁导率：相对磁导率模型（RF 模块的缺省选项）和磁损耗模型。相对磁导率模型支持您输入一个实值或复值标量或张量。电导率部分提到的多孔介质模型同样适用于相对磁导率。与上文提到的介电损耗模型类似，磁损耗模型中相对磁导率的实部和虚部可以作为实值数输入，虚数磁导率将在材料中造成磁损耗。

模拟与网格剖分注意事项

在所有电磁模拟中，我们都不应忽视集肤深度这个重要的概念，即材料中的电场减小到表层电场值的的距离。集肤深度可以定义为：

\delta=\left[ \operatorname{Re} \left( \sqrt{j \omega \mu_0 \mu_r (\sigma + j \omega \epsilon_0 \epsilon_r)} \right) \right] ^{-1}

我们可以看到相对介电常数和磁导率均为复值。

您应始终检查集肤深度，并与您模型域的特征尺寸进行对比。如果集肤深度远小于对象，您可以按照 “模拟电磁波问题中的金属对象” 博客中的做法将域作为一个边界条件模拟。如果集肤深度与对象尺寸相仿或更大，电磁场将透入对象并在域内发生明显的相互作用。

入射在电导率及集肤深度不同的对象上的平面波。集肤深度小于波长时，使用边界层网格（右）。绘制了电场。

如果集肤深度小于对象，那建议使用边界层网格剖分来求解边界法向方向上的场中的强烈变化，每单位集肤深度应至少使用一个单元，同时应使用至少三个边界层单元。如果集肤深度大于介质的等效波长，那就可以通过在每波长应用五个单元来求解介质本身的波长，如上方左图所示。

小结

在本篇博客中，我们介绍了 COMSOL Multiphysics 中用于定义电磁波模型中材料属性的几种方法。我们发现在特定频率范围内，用于定义相对介电常数的材料模型也可以用于金属材料。另一方面，根据 “模拟电磁波问题中的金属对象” 博客中的介绍，我们还可以通过边界条件定义金属域。结合我们之前发布的关于模拟开放边界条件及关于模拟端口的博客，我们已经基本掌握了电磁波模拟的所有相关基础知识。不过，我们还有一些要点尚未涉及，请继续保持关注！

模拟电磁波问题中的金属对象

Walter Frei — Thu, 14 May 2015 14:35:22 +0000

金属是一种高导电材料，能够非常好地反射入射的电磁波—光、微波及无线电波。当通过 RF 模块和波动光学模块模拟频域电磁波问题时，您可以通过其中的几个选项来模拟金属对象。这里，我们将介绍阻抗、过渡边界条件和完美电导体边界条件，并说明每类条件何时使用。

什么是金属？

对于什么是金属这个问题，我们可以从用于求解电磁波问题的 Maxwell 控制方程组开始。考虑以下频域形式的 Maxwell 方程组：

\nabla \times \left( \mu_r^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) – {-\frac{\omega^2}{c_0^2}} \left( \epsilon_r -\frac{i \sigma}{\omega \epsilon_0} \right) \mathbf{E}= 0

上述方程通过 RF 模块和波动光学模块的电磁波，频域接口求解。方程求解了工作（角）频率下的电场。其他输入项包括以下材料属性：是相对磁导率、是相对介电常数，是电导率。

出于本文的讨论目的，我们将假设集肤深度相对较小且有损耗的材料都是金属。有损耗材料指任何介电常数或磁导率为复数值、或电导率非零的材料。也就是说，有损耗材料会向控制方程引入一个虚数值项。这会在材料内产生电流，集肤深度是电流进入材料内深度的测量指标。

工作频率非零时，电磁感应都会将有损耗材料中的电流推向边界处。集肤深度是指电流减小到 63% 时进入材料的距离，可以通过以下公式计算：

\delta=\left[ \operatorname{Re} \left( \sqrt{i \omega \mu_0 \mu_r (\sigma + i \omega \epsilon_0 \epsilon_r)} \right) \right] ^{-1}

其中和都可以是复数值。

在极高的频率（接近光学波段）下，材料接近等离子共振，我们实际上会通过复数值介电常数来表征金属。但当在低于这些频率下对金属进行模拟时，我们可以假设介电常数为一、磁导率为实数值，电导率非常高。因此上述方程可以简化为：

\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu_0 \mu_r \sigma }}

不过在您开始利用 COMSOL Multiphysics 进行模拟前，首先应计算或粗略估算所有模拟材料的集肤深度。集肤深度和零件尺寸信息，这两点将确定能否使用阻抗边界条件或过渡边界条件。

阻抗边界条件

既然已经知道了集肤深度，我们希望能将该值与模拟对象的特征尺寸 进行对比。有几种定义方式。根据具体情况，特征尺寸可以定义为体积与表面积的比值，或模拟对象最薄部分的厚度。

我们假设一个的对象；也就是说，对象远大于集肤深度。虽然会有电流进入对象内部，但集肤效应会将这些电流推到表面上。因此，从模拟的角度来看，我们可以将电流看作在表面上方流动。此时就可以使用阻抗边界条件，它会将边界“背后”的所有材料处理为无限大。从电磁波的角度来看，这一点成立，因为说明波不会穿透对象。

如果集肤深度远小于对象，就可以使用阻抗边界条件。

借助阻抗边界条件 (IBC)，我们可以假定电流完全在表面之上，因此不必再模拟模型金属域内任何部分的 Maxwell 方程组。所以，不必再对这些域的内部进行网格剖分，并能显著减少计算工作量。此外，IBC 还计算了由有限电导率造成的损耗。对于 IBC 适用情况以及与解析结果的对比，您可以查看腔体谐振器的 Q 因子和谐振频率教程案例。

随着，IBC 将逐渐更精确；对于类似球体的光滑对象，即使，它仍能保持精确。对于类似楔形的锋利对象，拐角处会略微不精确，不过正如 “通过圆角消除电磁场的奇异性” 博客中的讨论，这属于局部影响，也是向模拟引入尖角后的一个固有问题。

现在，如果我们要处理类似铝箔这种一个维度远小于其他维度的对象呢？此时，一个方向上的集肤深度可能会与厚度相当，因此电磁场将部分穿透材料。此时就不再适合使用 IBC，我们将使用过渡边界条件。

过渡边界条件

过渡边界条件 (TBC) 适用于模拟对象的厚度与特征尺寸和曲率相比较小的导电材料层。即使厚度是集肤深度的数倍，还是可以使用 TBC。

TBC 会将材料属性及膜厚度作为输入项，并通过膜厚度及切向阻抗来计算阻抗。这些可以用于将膜两侧表面的电流关联起来。也就是说，TBC 会造成所传输电场的下降。

从计算的角度来看，为了计算 TBC 两侧的电场，边界处的自由度数将增加一倍，如下图所示。此外，还将计算通过膜厚度的总损耗。有关该边界条件使用的示例，您可以查看分光器教程案例，它利用一个复数值介电常数模拟了银薄层。

过渡边界条件会计算边界两侧的表面电流。

增加表面粗糙度

截至目前，TBC 和 IBC 都假定表面是完美的。我们一般认为平面边界在几何上是完美的。正如 “线性静态问题的网格剖分注意事项” 博客中的介绍，弯曲边界可以在所用有限元网格的精度内被解析，即几何的离散误差。

与平滑表面相比，粗糙表面会阻碍电流。

但所有真实表面都存在一定的粗糙度，而且可能很大。表面的不完美将影响电流的纯切向流动，并会有效降低表面电导率（如上图所示）。在 COMSOL Multiphysics 5.1 版本中，我们可以通过向 IBC 和 TBC 条件增加表面粗糙度特征来分析该影响。

对于 IBC，输入是表面高度粗糙度的均方根 (RMS)。对于 TBC，输入为膜厚度变化的均方根。粗糙度的幅值应大于集肤深度，并远小于零件的特征尺寸。表面的等效电导率会随粗糙度的升高而降低，如 E. Hammerstad 和 O. Jensen 在 “微带线计算机辅助设计的精确模型” 论文中的介绍。雪球模型是第二个粗糙度模型，用到了 P. G. Huray 在“信号完整性基础” 中提到的关系式。

完美电导体边界条件

我们还应该再分析一种理想化的情况 — 完美电导体 (PEC) 边界条件。对于无线电和微波领域的许多应用而言，金属边界处的损耗要远小于系统内的其他损耗。例如在微波电路中，电介质基板处的损耗通常远大于任何金属喷镀处的损耗。

PEC 边界是一种无损耗表面；能够 100% 反射入射波。该边界条件可以满足许多模拟需求，可以用在模型开发的早期阶段。有时，查看您的设备在零材料损耗下的表现也会很有意思。

此外，您可以将 PEC 边界条件作为对称条件使用，简化您的模拟。根据对场的预先判断，您可以使用 PEC 边界条件以及其补充，完美磁导体 (PMC) 边界条件，来使电场强制对称。计算完美导体球的雷达截面教程案例介绍了如何将 PEC 和 PMC 边界条件作为对称条件使用。

最后，COMSOL Multiphysics 中还包括表面电流、磁场和电场边界条件。提供这些条件主要是考虑数学上的完整性，因为我们永远也无法事先得知表面上的电流和电场。

小结

在本篇博客中，我们重点介绍了如何借助阻抗、过渡及完美电导体边界条件来模拟金属表面，并说明了每种边界的应用场景。不过，如果您无法使用其中任意一种边界条件呢？或者您模拟零件的特征尺寸与集肤深度类似？此时，您将不能再使用边界条件；您需要显式模拟金属域，类似于对其他所有材料的处理。这是该系列的下一个主题，请继续关注。

用于电磁波问题的端口与集总端口

Walter Frei — Mon, 09 Mar 2015 21:45:47 +0000

当使用 COMSOL Multiphysics 软件在频域模拟波动电磁场问题时，有几个选项能够进行无反射传播电磁波的边界模拟。本文我们将讨论 RF 模块的‘集总端口’边界条件，以及 RF 模块和波动光学模块中的‘端口’边界条件。

利用边界条件简化您的建模

当模拟电磁波结构时（例如天线、波导、腔体、滤波器和传输线），我们通常可以将分析限制在整个系统的一小部分。例如，以同轴分流器模型示例为例，它把从一个同轴电缆中传入的信号均分为两份。我们知道输入电缆和输出电缆的电磁场将拥有某种模式，且能量将沿同轴电缆截面的法向进行传播。

还存在其他一些情况，例如我们已经知道模拟域中某些边界上电磁场的模式（但不知道大小或相位），此时就应使用‘集总端口’和‘端口’边界条件。让我们看一下这些边界条件的意义，以及何时应该使用它们。

‘集总端口’边界条件

要讨论‘集总端口’边界条件，我们可以从研究同轴电缆中的场开始。同轴电缆是一个由介电分隔的内导体和外导体构成的波导。在同轴电缆的工作频率内，它们将以横电磁 (TEM) 模式工作，意思是电场和磁场矢量在沿电缆传播的波方向不存在分量。也就是说，电磁与磁场全部存在于截面平面内。在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以计算同轴电缆的这些场与阻抗，如同轴电缆模型所示。

这个问题存在一个解析解，结果显示，电场的下降与内外导体之间的成正比。因此，既然我们已经知道了电场在同轴电缆截面处的形状，就可以它设为一个‘集总端口，同轴’边界条件。这一条件的激励选项包括以下方式：通过线缆阻抗、施加电压与相位；或通过施加电流；或作为与外部定义电路的连接。尽管存在这三个选项，电场总是会随乘以一个代表（用户指定）输入和（未知）输出波之和的复数值而变化。

同轴电缆中的电场。

对于同轴电缆，我们需要在一个环形面应用边界条件，在其他情况下，我们也可以使用‘集总端口’边界条件。‘集总端口’条件还包括‘均匀’和‘用户定义’选项。‘均匀’选项可用于如下几何：一个桥接两个导电面之间狭隙的表面。假设电场在两个边界面之间大小均匀，软件自动计算‘集总端口’面的高度与宽度，它应当远小于周围材料中的波长。‘均匀集总端口’常用于激励带状线和共面波导，正如“模拟共面波导”博客所具体介绍过的。

典型‘均匀集总端口’的几何。

‘用户定义’选项支持您手动输入馈线的高度与宽度，以及电场矢量的方向。本选项适合需要手动输入这些设定的情况，比如下方所示几何，以及偶极天线示例模型。

‘用户定义集总端口’的几何示例。

‘集总端口’条件的另一项应用是模拟小型电气单元，例如着与微波电路连接的电阻、电容、或电感。‘集总端口’可以用于指定模拟域内两个导电边界之间的有效阻抗。还有一个附加的‘集总单元’边界条件，它的公式与‘集总端口’相同，但有一个定制用户界面以及不同的后处理选项。Wilkinson 功率分配器示例演示了这一功能。

利用‘集总端口’求解了模型的解之后，COMSOL Multiphysics 会自动后处理 S 参数，以及模型中每个‘集总端口’的阻抗，但仅支持计算 TEM 模型波导的阻抗。也能计算非常接近 TEM 的结构中的近似阻抗，就像“计算波纹波导中的阻抗”博客中介绍的那样。一旦传播方向存在明显的电场或磁场，我们将不能使用‘集总端口’条件。作为替代方案，我们可以使用‘端口’边界条件。

‘端口’边界条件

在讨论‘端口’边界条件之前，让我们先了解一下矩形波导。同样，波导内的传播场也存在解析解。这些解可以分为横向电场 (TE) 或横向磁场 (TM)，分别表示在传播方向没有电场或磁场。

我们仅分析 TE 模式波导，在二维平面对其进行模拟。我们考虑的几何是截面面积不同的两个直段。在工作频率范围内，较宽的段支持 TE10 和 TE 20 模式，较窄的段仅支持 TE10 模式。波导在较宽段由 TE10 模式激励。随着波沿着波导传播，并撞到接头，部分波会以 TE 10 模式反射回源项处，部分会沿着较窄的段继续以 TE10 模式传播，部分会转换至 TE20 模式，然后传回源项边界处。我们希望能恰当地模拟这些，并计算如何分裂成不同的模式。

‘端口’边界条件的公式表达与‘集总端口’边界条件略有不同，可以在相同的边界上增加多类端口。也就是说，‘端口’边界条件中的每个都会对其他边界条件产生贡献（‘集总端口’则会覆盖其他边界条件）。‘端口’边界条件也会在每种模式下以功率的形式指定入射波的大小。

所考察波导系统示意图。

下图显示了包含三个端口边界条件的上述模型的解，以及针对电场形状的 TE10 和 TE20 模式的解析解。要正确地计算该问题的解，的确需要增加所有这三个端口。求解完成后，软件还提供了可供后处理使用的 S 参数，它表示从输入到输出信号的相对分裂和相移。

显示了不同的端口模式的解，以及计算得到的电场。

‘端口’边界条件也支持圆形和同轴波导形状，因为这些情况下也存在解析解。但大部分波导截面并没有，这时，必须使用‘数值端口’边界条件。这种边界可以用于任意的波导截面。当求解包含一个‘数值端口’的模型时，需要先求解边界处的场。有关这一模拟技巧的示例，请看介电板条形波导示例，它与一个半解析案例进行了对比，然后再看波适配器示例，它只能通过对端口处场的形状进行数值计算求解。

预定义了矩形、同轴和圆形端口。

使用数值端口能定义任意波导截面。

最后一个案例，‘端口’边界条件适合模拟平面波在类无限周期性结构中的入射，比如衍射光栅。在这种情况下，我们知道任何入射和出射波必须为平面波。出射平面波将沿不同方向传播（不同的衍射级），我们可以提前确定方向，但无法确定相应大小。在这些情况下，您可以使用‘周期性端口’边界条件，它可以指定输入波的极化与方向。软件随即会自动计算不同衍射级的所有方向，以及传至每个衍射级的功率大小。

有关‘周期性端口’边界条件的详细介绍，请阅读之前发布的一篇有关周期性结构的博客。有关这些边界条件使用的快速介绍，请查看表面等离激元线光栅模型。

小结

我们介绍了模拟电磁波的无反射传播时可用的‘集总端口’与‘端口’边界条件，也了解了一些有关场的形状的知识。不知道场的形状时，您可以在“电磁问题中完美匹配层和散射边界条件的使用”博客中找到用来模拟无反射边界的另一个选项。

您可以在 RF 模块找到‘集总端口’边界条件，在 RF 模块和波动光学模块的电磁波接口，以及波动光学模块的波束包络公式中找到‘端口’边界条件。之前发布的“计算电磁模拟的模块选择”博客曾详细介绍过这些模块间差异。

那些非透明边界呢？比如我们今天研究的波导的导电壁，这些边界会反射几乎所有的波，而且需要一组不同的边界条件，我们将在接下来的博客中继续介绍。

使用完美匹配层和散射边界条件求解电磁波问题

Walter Frei — Wed, 28 Jan 2015 21:56:46 +0000

求解波动电磁场问题时，您可能会希望模拟一个包含开放边界的域，即电磁波通过计算域的边界时不会产生任何反射。针对这一问题，COMSOL 提供了几种解决方案。今天，我们将分析如何使用散射边界条件和完美匹配层来截断域，并讨论它们各自的适用范围。

为什么要截断域？

通常我们会对自由空间中的辐射物体产生模拟兴趣，比如天线。我们可能会开发这种模型来模拟太空深处卫星上的天线，或者更常见的安装在暗室中的测试天线。

无限自由空间中的天线。我们仅希望模拟天线周围的一小块区域。

这类模型可以通过 RF 模块或波动光学模块中的电磁波，频域 接口开发。这些产品提供了相似的接口，通过有限元法求解频域形式的麦克斯韦方程组。（有关这些模块的主要差异，请阅读之前的博客“使用哪个模块进行电磁学模拟？”）

在这篇博客中，我们只考率电磁波沿 x-y 平面传播，电场沿 z 方向极化的二维问题。我们还将假定模拟域为纯真空环境，因此频域麦克斯韦方程组可以简化为：

\nabla \cdot \left( \mu_r^{-1} \nabla E_z \right) -k_0^2 \epsilon_r E_z= 0

式中，是电场，相对磁导率和介电常数在真空中为，是波数。

利用有限元方法求解上述方程，我们需要一个有限大小的模拟域和一组边界条件。我们希望使用一些沿外部对所有辐射都是透明的边界条件，从而将此域截断为自由空间的合理近似。我们还希望该截断域尽量小，因为保持模型大小将帮助我们降低计算成本。

现在，我们来看一下 COMSOL Multiphysics 仿真环境中用于截断模拟域的两个选项：散射边界条件和完美匹配层。

散射边界条件

最早为波动问题提出的一个用于二维场的透明边界条件为 Sommerfeld 辐射条件，可以写为以下形式：

\lim_{ r \to \infty} \sqrt r \left( \frac{\partial E_z}{\partial r} + i k_0 E_z \right) = 0

式中，是辐射轴。

当模拟域的边界位于源的无限远处时，这个边界条件就可以提供无反射传输，只是我们无法模拟一个无限大的域。因此，虽然我们无法精确应用 Sommerfeld 辐射条件，但可以应用一个合理近似边界。

此边界条件为：

\mathbf{n} \cdot (\nabla E_z) + i k_0 E_z = 0

您可以清楚看到，这个条件与 Sommerfeld 条件极其相似。此边界更正式的叫法应该是一阶散射边界条件(SBC)，可以在 COMSOL Multiphysics 中轻松实现。实际上，它就是一个带复值系数的Robin 边界条件。

如果你想学习使用这个边界条件的二维波方程案例模型，请查看衍射条纹模型。

不过，这个条件有一个非常大的局限性：它只有在辐射精确沿法向入射到边界上时才会无反射。所有非法向入射到散射边界条件上的波都会发生部分反射。下图绘制了不同入射角的平面波在一阶散射边界条件上的反射系数。

不同入射角的平面波在一阶散射边界条件上的反射。

由上图我们可以观察到，随着入射波接近切向入射，波几乎被完全反射。在入射角为 60° 时，反射约为 10%，显然，我们希望有一个更好的边界条件。

自 4.4 版本起，COMSOL Multiphysics 还提供了二阶散射边界条件：

\mathbf{n} \cdot (\nabla E_z) + i k_0 E_z -\frac{i }{2 k_0} \nabla_t^2 E_z= 0

这个方程增加了一个二阶项，即电场沿边界的二阶切向导数，这在 COMSOL 软件中也非常容易实现。

让我们对一阶和二阶散射边界条件的反射系数进行比较：

不同入射角的平面波在一阶和二阶散射边界条件上的反射情况。

我们可以看到，二阶散射边界条件的一致性更好。现在我们可以让入射角约为 75° 时反射才达到 10%。这个边界条件比之前的好，但我们还可以做的更好。现在，让我们将注意力从边界条件转到完美匹配层。

完美匹配层

回想一下我们尝试模拟的如电磁波测试暗室中的天线场景，这是一个壁面包含金字塔形的楔形辐射吸收材料的房间，它能最大限度地减小任何反射信号。这可以作为完美匹配层 (PML) 的物理类比，它不是一个边界条件，而更像是我们沿模型外部增加的一块域，能够吸收所有的出射波。

从数学上讲，完美匹配层只是一个包含各向异性和复值介电常数及磁导率的域。有关这些张量的完整推导的示例，请阅读Theory and Computation of Electromagnetic Fields一书。虽然从理论上讲完美匹配层没有反射，但由于数值离散，即网格的关系，它们还是会表现出一些反射。为了最小化这一反射，我们希望在完美匹配层中使用一个与材料属性中的各向异性一致的网格。下图显示了适用于二维圆形和三维球形域的完美匹配层网格。COMSOL产品文档中还讨论了笛卡尔坐标、球形完美匹配层，以及如何合理地使用它们。

适合二维和三维球形 PML 的网格。

在 COMSOL Multiphysics 5.0 版本中，可以通过物理场控制网格自动为三维问题完成这些网格的设定，如在电磁波，频域仿真的自动划分网格视频所示。

现在让我们来看看，完美匹配层与散射边界条件在不同入射角下的反射情况对比：

不同入射角下一阶和二阶散射边界条件及完美匹配层的反射情况。

我们可以看到，完美匹配层能在最广的范围内反射最少地波。当波几乎平行于边界传播时，仍存在反射，不过幸运的是实际中类似的场景并不多见。完美匹配层的另一项特征是，它不仅能吸收辐射波，还能够吸收倏逝波，不过，本文不对此进行过多介绍。因此，从物理的角度来看，完美匹配层的确可以作为一种拥有完美吸收特征的材料。

那么，应该选择哪种边界条件？

显然，根据本文中的介绍，完美匹配层是最佳方案。但与散射边界条件相比，完美匹配层的内存使用更多。

因此，如果你还处于早期模拟阶段，希望开发一个计算量较小的模型，那么二阶散射边界条件是一个不错的选择。当你能够确信任何发生在散射边界条件上的反射并不会严重影响到你关心的结果时，就可以使用二阶散射边界条件。

出于和之前软件版本兼容性的考虑，目前的默认选项是一阶散射边界条件，但在 COMSOL Multiphysics 4.4 及以上版本中，则使用了二阶散射边界条件。这里我们只介绍了平面波形式的散射边界条件，其实还存在柱面波和球面波（3D）形式的一阶和二阶散射边界条件。虽然这两者使用的内存较低，但与完美匹配层相比，都表现出更多的反射。

如果你事先对边界处的物理场了解不多，那散射边界条件和完美匹配层都将是适合的条件。另一方面，如果你希望模拟的边界上的物理场具有某种模式时，比如表征波导的边界，那么端口和集总端口边界条件会更加适合。在接下来的博客中，我们将会讨论这些边界条件。