计算足球的终端速度和阻力系数与 FIFA 世界杯™赛果预测

四年一度的 FIFA 世界杯™如约而至，点燃了几十亿球迷的热情。COMSOL 的球迷员工当然也不例外。我们在茶歇和午餐时热烈地讨论各国的球队、球员、赛前准备和种种可能影响球队发挥的因素。足球是比赛的重要主角。足球这一话题将我们对运动的热爱和对物理学的好奇心联系在了一起！

练习成就完美，但先要选对球

足球的阻力系数取决于其速度，而阻力系数在很大程度上决定了传球、长传、长球、远射、角球和任意球的精确度。在现代足球中，定位球战术往往是得分的关键。进攻队员必须能够精确传球，而防守队员需要预测球的运动轨迹。如果踢出的球偏离常规路线，让球员难以适应，肯定会影响比赛结果。

Adidas 是本届 FIFA 俄罗斯世界杯™官方比赛用球的制造商，也是不少入围球队的赞助商，其他品牌赞助商包括 Nike、Puma 等。如果在赛前训练中，球队使用的是官方比赛用球 Adidas® Telstar®（“电视之星”）以外的品牌，而且球的使用感受与 Adidas® Telstar® 明显不同，那么在比赛时很容易陷入劣势。例如，Nike 赞助的法国、巴西和英国等球队很可能选择 Nike® Ordem V。不出意外的话，西班牙、德国和阿根廷球队应该使用赞助商制造的 Adidas® Telstar®。今年，在六支最受欢迎的球队中，Adidas 和 Nike 的赞助球队各占一半。对于选择官方用球，还是赞助商用球进行训练这一问题，俄罗斯世界杯呈现出势均力敌的局面。

这六支球队，加上被淘汰的意大利队，包揽了过去 16 届 FIFA 世界杯比赛的冠军。其中也包含一支并不在上述名单中的球队，为此我们得穿越回 1950 年巴西 FIFA 世界杯™：在里约热内卢马拉卡纳球场（Maracaná Stadium），英勇的乌拉圭队当着 200,000 名球迷的面一举击败巴西队。

事实上，自 1930 年起，世界杯足球赛历史上的世界冠军都被本届“六强”和乌拉圭、意大利球队包揽了。1982 年以来，意大利曾两次夺得冠军，但是去年他们在附加赛中被纪律严明、吃苦耐劳的瑞典队（Adidas 赞助）淘汰出局，没能进入本届决赛圈。乌拉圭队以近乎全明星阵容出征 2018 年世界杯，但与六强相比，夺冠概率依旧渺茫。意大利和乌拉圭队的赞助商都是 Puma。Adidas 赞助的比利时队虽然派出了豪华明星阵容，但也并不被看好。历史表明，大力神杯显然最为垂青少数几支球队，下面六支球队是万众瞩目的夺冠热门：

种子球队：德国、阿根廷和西班牙是 Adidas 的赞助球队，在训练中使用世界杯官方用球 Adidas® Telstar®。巴西、英国和法国是 Nike 赞助球队。他们究竟选择 Nike® Ordem V 还是 Adidas® Telstar® 进行训练呢？分享一个趣味知识：大力神杯之前的世界杯奖杯，也就是从 1930 年第一届使用到 1970 年第九届的雷米特杯（Jules Rimet Trophy），主体描绘的是希腊胜利女神 Nike（尼凯）的形象。

通过对比 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 两款球的阻力系数，我们可以估算出 FIFA 世界杯™种子球队面临的潜在影响。然而，首先我们必须克服一个障碍：为了测量阻力系数，我们需要利用风洞实验室的先进设备来测量足球的受力情况。作为 COMSOL 软件开发人员，我们能哪里找到风洞？临时建立一个风洞实验测量项目更是不可能。问题来了：有没有一个更简单的方法可用于计算阻力系数？

换一个思路：你曾经观看过 YouTube 视频博主利用鼓风机吹出的气流，尝试使足球悬浮在空中吗？使用鼓风机代替风洞来测量与对比两只球的阻力系数，这个方法是否可行呢？

足球实验的相关理论

使用 Adidas® Telstar® 进行训练的球队在 FIFA 世界杯™开赛时是否具备一定优势？为了弄清楚这一点，我们针对实验做了以下假设：

1. 若鼓风机能使每个足球悬浮在空中，则球相对于周围空气的速度等于球的终端速度。终端速度指在高空中自由落体的球体在下降过程中，加速度逐渐减小为零，做等速度运动时的速度。
2. 终端速度与球的阻力系数相关。阻力系数越大，终端速度越小。
3. 从技术角度讲，鼓风机吹出的气流属于湍流射流。距离射流出口越远，湍流射流中心的速度就越小；在本文中，射流出口指鼓风机的吹管。
4. 第 2 和 3 条假设共同表明，相比于阻力系数较小的球，阻力系数较大的球的悬停位置距离鼓风机吹管更远。

根据力的平衡原理，我们推导出了终端速度与对应的阻力系数之间的关系式。由于球的重量是同体积空气的 80 倍，所以基本可以忽略浮力的影响。以此假设为前提，下图中左侧两种力获得了平衡。

向上的阻力F_d与向下的重力F_g达到了平衡。

其中，F_d表示阻力，C_d为阻力系数，A为球的横截面积，\rho_{air}为空气密度，u_0为球的终端速度，F_g为重力，m_b为球的质量，g为重力常数。

无论测量哪一款球，球的横截面积和质量、空气密度始终不变。因为终端速度随阻力系数的增大而减小，所以C_d和u_0是唯二的变值。

如上图所示，当球悬停在鼓风机上方时，阻力和重力的大小相等，方向相反。由此可得以下等式：

进而推导出终端速度的表达式：

公式表明，若C_d的值从 0.2 变成 0.15，终端速度约增大 15％。

作为对比，传统的 32 块皮的足球设计在湍流边界层分离区的C_d值应该约等于 0.2，而南非世界杯决赛期间的 Adidas® Jabulani（“普天同庆”）足球的C_d值约为 0.15。球员们普遍反映，Jabulani 足球在空中表现不佳，明显带来一些问题（守门员尤其难以适应）。如果 Adidas® Telstar® 的阻力系数比 Nike® Ordem V 小 0.05，则二者的终端速度应该相差 15%。在 FIFA 世界杯期间，这一差异可能非常影响使用 Nike® Ordem V 训练的球队的表现。

足球实验的设置

我们的主要实验设想是：将鼓风机竖直向上放置，并将足球置于喷嘴上方。作为实验准备，我们事先在 COMSOL Multiphysics® 软件中运行了一些仿真，以预测现实中在鼓风机吹出的气流速度下，足球的最终平衡位置，如下图所示。

实验设想图，我们预先估算好了鼓风机和两个足球之间的适当距离。Adidas® Telstar® 与 Nike® Ordem V 真的会呈现显著差异吗？

与此同时，我们也对鼓风机实验的成功心存疑虑。

• 从哪一处起，测得的阻力系数将同阻力系数与球速的函数关系曲线保持一致？
• 终端速度是否位于层流或湍流边界层分离区？
• 要测量出两只足球与鼓风机之间的距离差，球的阻力系数至少相差多少？

下图显示了阻力系数与不同类型的足球的速度之间的函数关系示意图。阻力危机区域处于 10~20 m/s 的球速之间。根据上文公式，可计算出终端速度约为 35 m/s，此时速度处于湍流边界层分离区（如下图所示），这也是难度最高的远射球和任意球的最快速度。直到球速下降到 15~20 m/s 之前，阻力系数没有出现大幅变化；当球速降为 15~20 m/s 时，可能发生了向层流边界分离的过渡。因此，只要测量湍流边界层分离区其中一点上的阻力，即可代表球在整个该区内的阻力。湍流边界层分离区的下半部分对应远距离传中、长传球、任意球和角球。

阻力系数与速度的函数关系示意图。在湍流边界层分离区内，阻力系数变化不大。绿色曲线代表 Adidas® Jabulani，蓝色曲线代表在 2008 年奥地利瑞士欧洲杯中使用的 Adidas® Teamgeist II（“团队之星二代”），红色曲线代表传统的 32 块拼接球面设计，例如首次出现在 1970 年墨西哥世界杯中的初版 Adidas® Telstar®。

参考公开发表的阻力系数测量数据，我们可以得出结论：大多数远距离传球和定位球进攻都处于湍流边界层分离区内，此时终端速度所对应的阻力系数具有代表性。因此，我们可以打消第一个疑虑：函数曲线上的单个点也可以提供有价值的信息。

假设我们设法找到了一台功率足够大的鼓风机，使球悬停在吹管上方约半米处。如果两只球在终端速度下的阻力系数相差 0.05，那么它们与吹管的距离值相差多少呢？假设阻力系数最小的足球的终端速度为 40 m/s（C_d值约为 0.15）。已知，在鼓风机吹管正上方的距离越远，湍流射流的速度就越小。由此可估算，阻力系数较大的足球，比阻力系数最小的足球的位置高出 7~8 cm 左右。所以，C_d值较小和较大的足球，与吹管的距离分别为 0.50 m 和 0.58 m。这个差距不难测量！

综上所述，如果 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 的阻力系数确实相差极大，通过小心测量，我们能够测出两只球在鼓风机上方的高度位置差距。

不过，我们必须遵守几条重要的试验规范：

• 参照 FIFA世界杯™（8.5~15.6 psi，约等于 58.6~106.9 kpa）的官方气压标准，使用可精确测量足球内部气压的打气筒给 Adidas® Telstar® 打气。
• 给 Nike® Ordem V 打气，使其重量等于 Adidas® Telstar®（或者尽可能接近）。此时气压大致相等。但相比于气压，更重要的是两只球的重量相同。
• 测量两只球的直径。两只球毕竟都是官方用球，直径应该几乎相同，但是为了准确计算阻力系数，我们需要清楚了解并考虑到直径差异。
• 在整个实验过程中，利用水平仪使吹风管与地面成 90° 角（平行于重力方向），并确保鼓风机的位置和角度始终不变。这一点非常重要。
• 鼓风机不应该拿在人手中，因为人可能会扰乱足球周围的气流。
• 对于建议实验设置（如下所示），我们必须保证末端管长至少为直径的十倍，目的是减轻弯管对出口处流动模式的影响。
• 为了确保相机系统精确地测量鼓风机吹管与球之间的距离，安置好相机后，对测量的距离进行校准。
• 虚拟屏幕应当远离足球，以免扰乱射流。
• 将相机固定在三脚架上，使相机与屏幕成 90° 角，且相机与屏幕和鼓风机的相对位置始终不变。
• 将球放在鼓风机吹管上方，并且保证球不会旋转。（在实验过程中，球不应该旋转。）
• 每次运行 10 次试验，以测得平均距离。因为每次是不同的球面朝向鼓风机的吹嘴，距离值可能会随之变化。
• 务必记录所有数据，以便返回检查任何异常结果。

实验示意图。屏幕必须远离足球，以免干扰鼓风机吹出的空气射流。“三脚架上的相机剪影”图片由 GDJ 提供，通过openclipart分享。

FIFA 世界杯™赛果预测

假设我们真的能够测出 Adidas® Telstar® 球和 Nike® Ordem V 之间的高度差，对英格兰、巴西和法国（Nike® 赞助球队）对来说，这无疑是个坏消息，除非他们特意选择使用 Adidas® Telstar® 球来训练。当然，德国、西班牙和阿根廷（Adidas® 赞助球队）一定很乐意听到这个消息。显而易见，要是能测出高度差，我们大概拿出全部身家，压德国、西班牙和阿根廷队赢。

需要注意的是：即使没有测出显著的阻力系数差异，阻力危机区也会极大地影响球何时将受旋转的扰动（马格努斯效应），或无旋转球何时开始摇摆不定（蝴蝶球或沙滩球效应）。阻力危机指的是球由于受到阻力而减速，促使边界层从湍流转变为层流的现象。如果Adidas® Telstar® 球的阻力危机比 Nike® Ordem V 出现得更早（也就是说，已经处于堪比 Adidas® Jabulani 的高速运动状态，比普通足球速度更快），它产生的影响甚至比阻力系数更显著。然而在现实中，如果不同足球在湍流区的阻力系数表现相似，那么出现阻力危机的速度区域也会相似。为此，我们需要想出一个更加简单的阻力危机测量方法，但这是下一个实验的事了。

期待后续更新…

英格兰、巴西和法国球队有可能在读到这篇博客后，换成使用 Adidas® Telstar® 球投入训练吗？我们当然不得而知。不过，一些报道声称这些球队正在使用 Adidas® Telstar® 足球进行训练。看来，他们自己也不想冒任何风险。

实验准备工作正在顺利进行中。我们购买了 Nike®Ordem V 和 Adidas® Telstar® 足球，还租用了能找到的最强劲的鼓风机。敬请关注后续实验结果，一起来科学预测 FIFA 世界杯™的冠军球队！

加油瑞典！加油乌拉圭！

2018 年 6 月 6 日编者注：后续博客文章“COMSOL 助力预测FIFA 世界杯™：选择不同的训练用球会影响比赛结果吗？”现已发布官网。

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