使用不连续网格模拟共轭传热

你是否知道 COMSOL Multiphysics^®软件允许在相邻域中使用不同的不连续网格？尽管 COMSOL 软件通常默认使用连续对齐的网格，但是有时我们可能希望使用不连续的网格，例如用于模拟共轭传热。本篇博客，我们将对这个主题进行更深入地研究，了解如何在初始模型开发中使用这些网格更好地节省时间和内存。

保持场的连续性，平衡对齐单元之间的通量

有限元方法（FEM）的基本理论已经被讨论了好多次，例如在关于弱形式的博客文章中做过介绍，因此这里我们不再赘述。今天，我们将回顾一个关键问题：不同有限元之间的边界会发生什么？简单回答，就是当使用标准 FEM 时，相邻的对齐单元共享相同的节点（问题求解节点）。由于这些单元共享节点，因此要求解的场（例如温度场、固体位移场和流体速度场等）是自动连续的。

不同域单元之间的通量是自动平衡的，而且这些单元共享相同的节点，因此场是连续的。

此外，通量是相等的（尽管这需要对 FEM 的推导有更透彻的了解）。这里，术语通量可以指不同的物理量，具体取决于我们正在研究的物理场。为了简便起见，我们仅考虑传热，也就是我们常说的热通量，以热导率乘以温度场梯度的负值来表示，或者\mathbf{q} = -k \nabla T。在单元之间的边界处，FEM 自动（即不需要任何用户输入或其他内部方程式）使以下条件满足：\mathbf{n \cdot q_1 =n \cdot q_2 }，其中，\mathbf{n}是单元之间边界的法线向量。就是说，标准的有限元法自动满足了场的连续性并且平衡了通量。但请记住，无论如何，我们始终需要进行网格细化研究，以确保模型的整体准确性。

错流式换热器子模型示意图。

现在，我们来看一个 COMSOL 案例库中的示例模型错流式换热器，如上图所示。这是一个由直的矩形通道组成的较大型换热器的子模型，模拟了流经通道的流体，以及流体和周围固体中的温度场。温度场仿真结果如下图所示，同时绘制了沿着流动通道长度的代表线的温度。从这些图中可以看出，沿流动通道的温度变化随长度变化很慢，在流动通道的横截面上变化很快，并且穿过金属零件的过程非常复杂。

壁的温度场和固体中的温度等值面（顶部），以及沿流动通道方向的温度图（底部）。

下图为绘制的网格。我们可以看到网格在流体域和固体域之间是连续的。网格主要由四面体单元组成，在通道壁的流体侧施加边界层网格，以求解壁附近的高速度梯度和温度梯度。

错流式换热器的默认网格在流体和固体之间是连续的。

现在，该默认网格自动生成，无用户干预。但是，如果我们想手动构建网格，如何允许网格不连续呢？这时该怎么办？在开始实现之前，让我们先看一下软件需要做什么。

保持场的连续性，并平衡未对齐单元之间的通量

假设我们在两个相邻域上有一组单元，如下图所示。单元具有相邻边界，但节点未对齐。使用形成装配体最终几何图形步骤时，会自动生成这种网格。分离对象的网格将不会连接，因此，跨越此边界的场将是不连续的，并且域之间没有通量。

对于未对齐网格，必须引入额外的方程以大致平衡通量和场。

但是，形成装配操作还可以在对象之间的相邻边界处自动创建所谓的一致对。然后，我们可以在每个物理场中将边界条件应用于这些边界对。根据物理场的不同，将提供不同的边界条件。但在所有情况下，对连续性条件均可用。此条件以单元平均的方式强制执行跨边界的场和通量的连续性，这是通过在后台添加一组额外的方程式来实现的，我们在这里不再赘述。由于单元未完全对齐，因此场和通量不能逐点连续，这是一个缺点。但是，我们现在可以在相邻域中使用不同的网格，这是一个优点。让我们看一下在错流式换热器示例中，单元未对齐如何对我们产生正向的作用。

正如我们前面所看到的，沿流动通道的温度变化是逐渐变化的。由于流动是层流，并且通道的横截面是均匀的，因此流场沿流动方向几乎不变。我们可以沿流动方向在通道中应用扫掠网格，如下图所示。我们可以观察到，与之前的网格相比，在流动方向上使用的单元要少得多，从而仅通过较小的精度损失就可以降低问题的大小。

通过装配网格划分，流体通道中的扫掠网格允许使用较少单元的细长网格。

现在，我们需要一些其他手动步骤来设置此网格。首先，在几何序列中，我们必须定义两个不同的对象。第一个对象是金属零件，即流体流经的固体。第二个对象是所有流体流域的组合。即，由若干不同的域组成的单个对象，这些对象是在几何序列通过布尔并集操作创建的。我们需要确保这些域不重叠，以使最终操作形成装配体有效，然后软件将自动识别这些对象之间的匹配面为一致对。

形成装配体几何完成操作自动创建一致对

接下来，在固体和流体的传热接口中，我们需要添加对连续性边界条件。由于我们只有两个相邻的对象（实体域和所有流体域），因此仅需应用一个一致边界对，无需对物理进行任何其他更改。

“对连续性”边界条件，强制场的连续性并平衡通量。

最后，我们还必须手动修改网格序列。默认的网格划分序列会复制一致对边界的匹配面上的单元，但我们要禁用此功能，并应用一个沿流动通道的长度拉长的扫掠网格。由于在这个方向上的解是逐渐变化的，因此修改是合理的。与之前显示的自动生成的网格相比，该网格没有其他重大变化。

网格划分序列用于控制通道中沿流动方向的单元数量。

温度场分布和温度场之间的差异分布如下图所示。当然，使用扫掠网格的模型将有所不同。与之前的情况相比，这里某些区域的温度场相差约2°C。这种差异主要是由于跨界面的网格不同，而不是因为添加了额外的对连续性方程。在网格细化的极限下，两种方法都将收敛得到相同的解。使用装配体网格划分的主要优点是，我们可以从相对较粗糙的网格开始（该网格仍然会给出合理的结果），从而节省了初始模型开发的时间和计算资源。

使用装配体网格划分的温度场（顶部），以及与默认网格的温度场差异（底部）。

对于这种几何结构，我们还可以以其他方式划分几何。我们可以沿流动通道之间的平面将模型分成两个对象，如下图所示。现在，我们可以进一步减少单元数量。尽管并非所有的几何形状都适用于此细分，但这种方法甚至可以进一步减少单元总数量。

另一种网格划分策略将在固体内，而不是在流-固边界处引入一致对。

结语

综上可知，装配网格划分是减少网格单元数量的有效技术。该技术特别适用于共轭传热问题，因为这些问题通常包含相对均匀的流动通道，便于扫掠网格。尽管这里我们介绍的是一个包括层流的模型，但是这种方法也适用于湍流问题。该技术在模型的初步开发中占有一席之地：我们通常需要对照具有一致网格的模型来验证这些模型，当然也需要进行网格细化研究。使用此技术的关键优势是我们可以更快地进行初步分析。

可在此处下载使用装配体网格划分功能的模型：

• 使用装配体网格划分模拟共轭传热