当结构承受过大的压力时（即当负载达到临界状态时），它们会由于不稳定而发生变形（称为屈曲）。为了了解这些变形会如何影响设计，工程师们不仅要研究临界载荷点的情况，而且还要研究过了临界载荷点之后的情况。借助COMSOL®软件，他们可以准确、高效地进行后屈曲分析，在本文中，用一个球形盖模型进行演示。
屈曲过程中和屈曲后会发生什么变化？
屈曲是一种由压力引起的结构突然失效的现象。这种不稳定性可能发生在各种几何形状中（梁，板，球体和圆柱体）。您可能已经把这种效应认为是“sun kink”（“座屈”）。极端的高温会导致铁路弯曲，管道变形，甚至可以使空的易拉罐变形。
圆柱形汽水易拉罐在屈曲之前（左）和屈曲之后（右）。
为了研究屈曲行为，工程师们通常采用线性屈曲分析来预测临界载荷。然而，这种分析有一定的局限性。首先，虽然它可以帮助确定屈曲形状，但它没有考虑所有的位移和应力问题。因此，进行非线性屈曲分析，逐步施加载荷，可能会更加准确。其次，线性屈曲分析并没有说明当载荷高于临界载荷时会发生什么。通常情况下，结构仍然能够在不完全崩溃的情况下支持超过临界点的荷载，但是变形可能是无法预测的，并且可能会影响周围的结构或机制（例如建筑物上穹顶的屈曲）。由于这些原因，进行非线性后屈曲分析可能是有用的。
对于这种分析，使用位移控制策略（而不是负载控制策略）是有帮助的。以突弹跳变为例。在这种现象下，一个被压缩的浅拱可以“折断”其底部，并发生变形，从而使其形状逆转。突弹跳变屈曲可能发生在浅拱形和壳形以及诸如太阳能电池板，或是MEMS器件之类的桁架结构中。这种效应只有在达到临界载荷后才会发生，即把结构变成一个新的稳定构型（从平衡态到不相邻的平衡态）。例如，当凸球盖（或其他轴对称壳）经历快速变形之后，球冠处的位移不断增加。因此，需要一种位移策略来预测在该临界载荷点之后的突弹跳变行为。
借助COMSOLMultiphysics®软件和其附加的结构力学模块，可以准确有效地进行屈曲分析。让我们看一个简单的球形盖示例，该示例测试了临界载荷，击穿行为，以及软化和硬化效果。
利用 COMSOL Multiphysics® 对具有中心载荷的球形盖建模
该示例对具有中心载荷的球形盖进行了建模。研究的重点是当在球盖冠（中心）轴向施加负载时，其轴向位移的变化。该示例中，在通过区域的临界点之后负载减少，冠处的位移单调递增。需要采用位移控制策略，您可以在COMSOL®软件中应用指定的位移。
带载荷和边界条件的球形盖几何形状。
在 COMSOL Multiphysics中，对轴对称结构进行高效、准确的后屈曲分析的关键是 2D 轴对称 壳 接口，此接口自5.4版本起开始使用。它到底多有效呢？为了找到答案，您可以通过以下两项研究建模，一项研究使用“固体力学”接口，另一项使用“壳”接口。对于此模型，第一个接口使用 40 个网格单元，而第二个接口使用 4、8 和 16 个网格单元（通过参数扫描求解）。使用固体力学的自由度为406 ，使用 壳 的自由度分别为 36、68 和 132。请注意，通过这两个物理接口，您可以测试球形盖冠处不同位移的击穿行为和软化效果。
球形盖的后屈曲分析结果
首先，让我们来看一下三种不同载荷情况下的球盖冠的总位移。在下面的图像中，您可以看到这些位移及其对应的点载荷。下图所示的三个表面分别对应三个不同的负载水平。在这两个结果中，上表面对应于临界载荷时的情况，而中间表面显示达到此载荷后发生的情况。我们可以看到，即使在临界载荷点之后仍在不断发生变形，载荷本身会由于软化作用而减少。与此同时，下表面显示出突弹跳变行为的硬化情况，在这里可以看到位移和载荷均有增加。
这些结果与参考数据非常接近（您可以在案例下载中查看这些数据）。比较固体力学和壳接口（分别具有40和16个网格单元）时，结果是相似的。然而，由于网格量比较少，因此 壳接口减少了计算时间，效率更高。
使用 40 个网格单元利用固体力学接口计算的总位移(左)，使用 16 个网格单元利用壳体接口计算的总位移(右)。
从这个模拟的结果还可以帮助您比较轴向中心位移随外加载荷的变化情况，如下图所示。您可以再次看到，包含有8个和16个单元的 壳接口与固体力学接口得到的结果非常接近，而使用的网格单元却少得多。对于包含4个单元的 壳 接口结果表明，由于网格太少不足以表示固体模型，结果与参考值有偏差。然而，拥有8、16和40个网格单元的模拟结构与参考值非常接近。更重要的是，当您比较壳接口提供的解决方案时，在下图的界面中，您可以看到这些结果的性能明显优于参考结果。这是因为尽管存在多种可能的壳单元形式，但 COMSOL® 软件中使用的壳单元形式更为有效。
外加载荷与轴向中心位移的关系。
如图所示，您可以使用COMSOL®软件中的 壳接口准确有效地进行后屈曲分析，包括模拟非唯一力和位移关系以及考虑非线性变形的情况。
下一步
单击下面的按钮，尝试使用此球形盖模型。这样做将带您到案例库，在那里您可以下载教程文档和MPH文件（前提是您拥有有效的软件许可证）。
对于更高级的后屈曲示例，其中位移和力都不是单调变化的，请下载铰接圆柱壳模型的后屈曲分析。
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