我们生活在一个三维世界——或许是四维，如果考虑到时空的话。然而，在工程分析中通过二维近似来节省模拟时间和计算资源的情况很常见。在这篇博客中，我们将介绍什么时候，以及如何使用二维公式研究固体力学领域中的问题。
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编者按：这篇博客更新于 2022 年 12 月 16 日，以显示 COMSOL Multiphysics®软件 6.1 版本中的新特征和新功能。
什么是二维？
在现实生活中，没有多少东西是二维的。例如，当我们在二维中研究电缆横截面周围的电磁场时，我们实际上是在说:“这条电缆又直又长。距离两端足够远时，电场只取决于横截面上的位置。”对于大多数物理问题，思路是这样的:在二维近似中，我们研究一个长而直的物体的横截面，忽略端点效应。
在二维中计算的两根具有不同电势的长电缆周围的电势(用颜色表示)和电场(用箭头表示)。
又长又直互相且平行的电缆的横截面
为什么固体力学很特别?
在固体力学领域，二维状态比较长的拉伸有更多的可能性。例如，我们可以把一个只在它的平面上加载的薄平板看作是二维的。那么，固体力学有什么特别之处使这成为可能呢?
考虑对同一平板进行传热分析。在这种情况下，来自大表面的对流和辐射将发生在平面外方向。其次，厚度方向的温度梯度是重要的。因此，薄板传热的二维近似是比较困难的。类似的推理也可以应用于许多其他物理现象。
在固体力学领域，也有在平面外方向的影响。薄板一般会在横向上变形。例如，如果拉伸它，它就会变薄。然而，这并不会直接影响二维问题的解。如果你感兴趣的话，厚度变化是一个可以通过后验计算的结果，这将在下面进行更详细的讨论。
固体力学中的不同二维公式
在以下内容中，我们假设xy平面表示二维平面，z是平面外方向。xy平面上的位移分别称为u和v，w是z方向上的位移。
需要注意的是，如果平面内和平面外作用之间没有耦合(例如，当线弹性材料的泊松比为零时)，那么所有的公式将是相同的。
平面应变
平面应变是二维固体力学中唯一不含近似的公式。在两个刚性壁之间的z方向上受约束的物体将存在平面应变状态。这也是在概念上与其他物理领域的二维公式有最佳对应关系的公式。然而，这个物体并不一定要在z方向上是“长”的。这是与大多数其他物理领域的二维近似的根本区别。
假设很简单:在z方向没有位移。
{\begin{array}{*{10}{l}}
u&=&u \left ( x,y \right ) \\
v&=&v \left ( x,y \right ) \\
w&=&0
\end{array}}
{\ }
\]
这同样可以用应变来表示:
{\begin{array}{*{10}{l}}
u&=&u \left ( x,y \right ) \\
v&=&v \left ( x,y \right ) \\
\varepsilon_{zz}&=&\varepsilon_{xz}&=&\varepsilon_{yz} &=& 0
\end{array}}
{\ }\]
请注意，为了完全避免端部效应，实际上假定刚性壁面的边界条件是辊支撑类型，因此在xy平面上的位移不受抑制。如果不是这样，我们就又回到了我们研究远离终点的长物体的情况。
平面应力
在平面应力公式中，假定与z方向有关的三个应力张量分量为零。这是薄板的一个很好的近似，但只有在厚度趋近于零的极限时才完全正确。
v&=&v \left ( x,y \right ) \\\sigma_{z}&=& \sigma_{xz}&=&\sigma_{yz}&=& 0\end{array}}{\ }
在自由表面上，平面应力的局部状态总是存在的，因为这正是边界条件。这就是平面应力假设如此有效的原因——它在板的两侧都是完全正确的，并且只要厚度很小，内部就不会产生显著的z方向应力。
广义平面应变
不幸的是，广义平面应变没有唯一的定义，但这通常意味着普通平面应变公式的一些假设是放宽的。假设整个应变张量是非零的，但仍然只取决于x和y，则可以用位移场表示出下面的应变张量:
{\begin{array}{*{10}{l}}
u&=&u \left ( x,y \right ) – \frac{a}{2} z^2 \\
v&=&v \left ( x,y \right ) – \frac{b}{2} z^2 \\
w&=&\left (ax + by +c \right )z
\end{array}}
{\ }
\]
式中，a，b,c是常数。无限小的平面外应变将是
在进行分析的z=0 平面中，w为零。因此，位移场仍然只有两个分量需要求解，u和v。然而，有三个新的未知数，a，b和c。在广义平面应变的一般解释中，只使用系数c。物理上，这意味着长物体可以在z方向上轴向膨胀。如果参数a和b也包括在内，也允许拉伸以恒定的曲率弯曲。a，b，c的值是由截面上没有净轴力和弯矩的假设决定的；也就是说，终端是自由的。
当您在 COMSOL Multiphysics 中选择广义平面应变选项时，您可以在纯纵向延申假设和启用面外弯曲之间进行选择。
选择广义平面应变。
还有其他的公式有时被称为广义平面应变。例如平面外剪切应变，可以允许\varepsilon_{xz}和\varepsilon_{yz}为非零。这样的公式，连同\varepsilon_{zz} = 0，用于弹性波，时间显式接口的二维版本。
本构模型
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。胡克定律的完整三维形式是
{\begin{array}{*{10}{l}}
\sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\
\sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\
\sigma_z &=&\frac{E}{1+\nu} \left ( \varepsilon_{zz} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} \right )\right ) \\
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 2G \varepsilon_{yz} \\
\tau_{xz} &=& 2G \varepsilon_{xz} \\
\end{array}}
{\ }
\]
其中，E是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。
平面应变
平面应变的情况比较简单，只需要从三维公式中删除三个为零的应变分量
{\begin{array}{*{10}{l}}
\sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} \right )\right ) \\
\sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} \right )\right) \\
\sigma_z &=&\frac{E \nu}{(1+\nu)(1-2 \nu)} \left( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy}\right ) &=& \nu \left ( \sigma_x + \sigma_y \right )\\
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
\end{array}}
{\ }
\]
平面应力
对于平面应力，可以使用\sigma_z = 0来消除\varepsilon_{zz}，从而得到
{\begin{array}{*{10}{l}}
\sigma_x &=& \frac{E}{1-\nu^2} \left( \varepsilon_{xx} +\nu \varepsilon_{yy} \right) \\
\sigma_y &=& \frac{E}{1-\nu^2} \left( \varepsilon_{yy}+\nu \varepsilon_{xx} \right) \\
\sigma_z &=& 0 \\
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
\end{array}}
{\ }
\]
横向应变(即厚度变化)可由解计算为：\varepsilon_{zz} = – \frac {\nu} {1-\nu} (\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy})。
然而，在 COMSOL Multiphysics®软件中，不使用这个公式。相反，完整的三维胡克定律与额外的未知场一起被用于\varepsilon_{zz}。当然，这增加了问题的总体规模，但好处是巨大的:不需要考虑所有材料模型的特殊平面应力形式，我们不需要修改，例如，热膨胀和类似的特性。如果绘制横向应力，你会注意到这个值并不等于零，因为它是用胡克定律从应变场计算出来的。
广义平面应变
这个案例有点复杂。当在本构关系中引入平面外应变的假设时，应力分量通过系数a、b和c显式地依赖于坐标x和y。
{\begin{array}{*{10}{l}}
\sigma_x &=& \frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{xx} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\
\sigma_y &=&\frac{E}{1+\nu} \left( \varepsilon_{yy} +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\
\sigma_z &=&\frac{E}{1+\nu} \left( ax +by +c +\frac{\nu}{1-2 \nu} \left ( \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + ax +by +c \right )\right) \\
\tau_{xy} &=& 2G \varepsilon_{xy} \\
\tau_{yz} &=& 0 \\
\tau_{xz} &=& 0 \\
\end{array}}
{\ }
\]
不可压缩材料
可压缩程度越小，面内和面外作用之间的耦合越强。特别是，许多关于塑性、蠕变和超弹性的模型都假定不可压缩性。当使用这样的材料模型时，所选择的二维假设的影响特别大。
我应该选择哪种公式?
让我们研究一个简单的例子，矩形板的中心有一个圆孔。从一块非常薄的板开始，逐渐变成一个厚的物体，厚板中的圆孔看起来更像是一条长长的隧道。
平面内板尺寸为 2 m x 1 m，孔直径为 0.4 m。施加 1 MPa 的拉伸载荷。使用钢的材料数据。平面应力解如下所示。
Von Mises 等效应力，使用平面应力假设。
在平面应力假设下，横向应力\sigma_{z}为零。
接下来，我们来看一个完整的三维解决方案，并再次观察相同的对象，但厚度分别为 0.1、1 和 10 m。在下图中，绘制了横向应力\sigma_{z}。
三种不同厚度的横向应力。
对于薄结构，横向应力可以忽略不计，因此平面应力是一个很好的假设。对于中间厚度，应力为完整的三维状态。对于较长的物体，除了两端位置外，横向应力是恒定的。请注意，最大横向应力为 0.8 MPa，因此与施加荷载相比，它不可忽略。
下面，对孔顶部应力最大处的横向应力进行了更详细的研究。
沿厚度分布的横向应力变化。图形的参数是对象的厚度。
可以看出，只要厚度大于等于 1 m，就会达到约 0.8 MPa 的峰值水平。厚度越小，最大横向应力下降越快。
这张图将帮助我们澄清两个常见的误解:
- 仅仅因为一个物体在横向上是自由的，并不意味着它处于平面应力状态。
- 长物体不一定处于平面应变状态。这只有在两端固定的情况下才成立。
事实是:
- 具有自由边界的薄物体可以用平面应力来近似。
- 一远离末端的具有自由边界的长物体，可以通过广义平面应变来近似。
- 一个与平面内尺寸厚度相当的物体必须被认为是完全三维的。
实际上，“厚的物体应被认为是处于平面应变状态”这一说法在教科书和网上几乎随处可见。虽然平面应变在这种情况下确实是比平面应力更好近似，但它仍然是不正确的。广义的平面应变假设是更好的。
我个人的猜测是，由于使用二维解决方案可以追溯到许多问题都是用笔和纸解决的时代，例如，使用艾里应力函数，所以在实践中需要在平面应力和平面应变之间进行选择。使用有限元软件，对于较厚的物体，全三维或广义平面应变是更好的选择。
为什么会发生横向应力？
在上面的例子中，我们已经看到在横向上产生了显著的应力，即使物体在那个方向自由移动。为什么?由于泊松比效应，在平面外方向会有厚度变化。只要在平面内存在应力(和应变)梯度，这种厚度变化就不是均匀的。在应力集中的地方，比如板上的孔，应力最大的地方的材料会希望比周围的材料更薄。相邻的材料会与之相反，并试图抑制变形。
远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向位移变化。在每个平面上，平均位移被设为零。
在前一节中，我们注意到横向应力的大小随与自由边界的距离不同而不同。应力分布的细节也随着与自由表面的距离而变化，如下图所示。
远离自由表面(底部)和靠近自由表面(顶部)的横向应力分布。将两个切面上的应力场按比例调整为峰值相同;接近边界处的实际应力较低。
在远离自由表面的地方，横向应力与面内应变成正比\varepsilon_x+\varepsilon_y。由于周围材料的约束作用，整个剖面的厚度基本保持均匀。然而，在接近自由表面的地方，当平面内应变梯度较大时，横向应力反而较高；在这种情况下，是靠近孔的边缘。
面内应力怎么样呢？
只要结构只受到牵引力(而不是规定的位移)的加载，那么平面内的应力状态就独立于二维假设，至少对于线弹性来说是这样的。然而，这并不是全部。在下图中，x 方向的应力显示在孔的顶部是应力最大的位置。
整个厚度的水平应力变化。图形的参数是对象的厚度。
可以看出，厚度之间存在显著的变化。对于薄的物体，二维结果匹配得很好，而对于厚的物体，存在很大的差异，特别是在自由表面。这对等效应力也有影响。
Von Mises 等效应力随着厚度的变化。图中参数是物体的厚度。
对于较厚的物体，实际等效应力与任何二维解之间存在显著差异。只有在相当厚的物体内部，von Mises 应力才会收敛于广义平面应变解。
非弹性应变
在许多情况下，这三种公式之间的区别不像在前面的例子中那样明显，其中存在有一个显著的应力集中。然而，在某些情况下，你必须特别注意:当非弹性应变很重要的时候。因此，在横向上不仅泊松比对平面内应变起作用。
例如，考虑热膨胀。它通常在各个方向都是一致的。这意味着在平面应变设置中，平面外膨胀被抑制，将会有一个强大的横向应力累积。一个可以在xy平面自由膨胀的物体将会受到一个横向应力，该应力为\sigma_z = -E \alpha \Delta T。如果你选择使用平面应力或广义平面应变公式，横向上的膨胀是自由的，这个应力将不会出现。
为了说明二维公式在热膨胀情况下的重要性，下面的例子研究了以下情况: 一个在xy平面自由膨胀的正方形板受到温度场的影响，其中温度与x*y成比例。右上角的最高温升为 100 K。材料数据为钢。横向的应力如下图所示。
\sigma_z不同二维假设下的温度分布和面外应力。
结果表明:
- 对于平面应力情况，平面外膨胀是自由的，因此不会产生应力。
- 对于平面应变，整个截面受到压应力的值为\sigma_z = -E \alpha \Delta T(x,y)。应力范围为 -245~0 MPa。
- 对于仅有拉伸的广义平面应变，增加一个恒定应力以使平均\sigma_z变为零。应力范围为 -184~61 MPa 。
- 对于含弯曲的广义应变，还增加了一个线性变化的应力场。应力范围为 -61~61 MPa。
关于等效应力的说明
最常用的 2 个标量应力测量是 von Mises 等效应力和 Tresca 等效应力。如果用主应力（\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3) 表示,则为
和
可以看出，中间主应力影响 von Mises 等效应力，但不影响 Tresca 等效应力。对于二维情况，面外应力分量\sigma_z始终是主应力之一。平面应力为零。平面应变为\sigma_z = \nu \left ( \sigma_x + \sigma_y \right ) = \nu \left ( \sigma_{1 \mathrm p} + \sigma_{2 \mathrm p} \right )，当为线弹性材料时。最后一个表达式包含两个平面内主应力。如果\sigma_{1 \mathrm p}和\sigma_{2 \mathrm p}的符号不同，则\sigma_z始终是中间主应力，Tresca 等效应力不受平面应力和面应变变化的影响。
由于 von Mises 等效应力依赖于中间主应力，因此这种不变行为在 von Mises 等效应力中看不到。
平面应力与平面应变条件下的等效应力值之差。Tresca 等效应力 (上图)和 von Mises 应力 (下图)。注意，在 Tresca 等效应力情况下，大的黑色区域是零差异。
关于断裂力学的说明
在断裂力学中，常用平面应变假设来分析厚板。既然我们已经知道了广义平面应变或全三维是正确的选择，为什么这又是可以的呢?
在这种情况下，重要的是看裂纹尖端的状态。裂纹尖端处的应变状态是奇异的，因此材料在厚度方向上有很强的收缩倾向。这受到周围材料的抵抗，形成对厚度方向位移的强烈约束。因此，接近裂纹尖端的应力状态类似于平面应变。实际上，平面应变解和广义平面应变解在接近裂纹尖端处得到的结果相当相似。这并不是说平面应变在平面裂纹体中是一个很好的近似。实际上，平面应变解在一定程度上低估了整体变形。在大多数板中，应力梯度很小，平面应力是一个更好的近似。
一维理论
通常使用梁或桁架进行近似模拟细长结构。对于这类情况，使用单轴理论定义。横向的应力和应变并不直接参与问题的计算。不过，如果研究一下细节，就会发现一个基本假设，即横向没有应力。从本质上讲，两个（任意）正交方向存在平面应力条件。如果需要，可以计算后验横向应变。对于线性弹性材料，可以直接使用泊松比的定义；横向应变为\varepsilon_T = -\nu \varepsilon_A，其中，\varepsilon_A为轴向应变。
从 COMSOL Multiphysics 6.1 版本开始，固体力学接口也可用于一维和一维轴对称几何。此处，还必须确定面外行为。在一维情况下，可以在两个横向方向上独立选择平面应力、平面应变和广义平面应变。在一维轴对称情况下，厚度方向的行为也包含这三个选项。
一维和二维轴对称情况下固体力学接口的部分设置窗口。
下一步
结构力学模块是 COMSOL Multiphysics 的附加组件，包括用于模拟平面应力和面应变的专门特性和功能。点击下面的按钮了解更多关于结构力学模块的信息:
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