这篇博客是弱形式系列博客的组成部分，旨在帮助用户在最小的先决条件下理解弱形式。在第一篇博客中，我们学习了弱形式的基本概念。所有方程停留在解析形式。今天我们将使用 COMSOL Multiphysics 仿真软件来从数值上求解上述方程。我们在此强烈建议您打开 COMSOL 软件，随我们一起操作。
重述基本思想
在之前的介绍中，我们研究了一个简单的无热源一维稳态传热示例，其中温度 T 是在 1\le x\le 5 的域内区间内定义的关于位置 x 的函数。
弱形式使用试函数 \tilde{T}(x) 作为被积函数的局部采样函数对解进行约束并求积分，从而将传热物理场的微分方程转化为积分方程。对弱形式分部积分以降低求导阶数，从而更利于数值计算。同时还提供了一种非常自然的方法来通过热通量指定边界条件。对于以温度表示的固定边界条件，弱形式还是利用试函数和自然边界条件，在方程组中构建对应的附加项。
最后，我们得到如下的示范方程：
(1)
其中左侧的积分只涉及温度的一阶导数，右侧的第一项将左端 (x=1 ) 的向外通量定义为 2，右侧的另外两项共同指定了右端 (x=5 ) 处的温度为 9。
弱形式偏微分方程接口
在 COMSOL Multiphysics 中执行方程 (1)，需在模型向导中创建一个一维模型，并选择弱解型偏微分方程(w) 接口（数学>偏微分方程接口）和 稳态 研究。因变量可设为 T，表示我们方程中的待求解变量。对于几何，通过一个从 1 到 5 的间隔建立，缺省”弱解型偏微分方程 1″节点下的弱表达式为： -test(Tx)*Tx+1[m^-2]*test(T)，其中第一项对应方程 (1) 中的被积函数，第二项对应热源，我们的简单示例不包含这一项，所以需要从输入栏中移除。
新的弱表达式如下：-test(Tx)*Tx，其中 Tx 是 COMSOL Multiphysics 温度的一阶导数 \partial_x T(x)， test(Tx) 是试函数的一阶导数 \partial_x \tilde{T}(x)。负号是因为 COMSOL 中约定输入框中的表达式在等号（如设定窗口的“方程”栏所示）右侧，而上述我们推导的方程(1)中的积分则在等号左侧。
弱贡献特征
右击弱解型偏微分方程(w) 节点，利用弱形式项来定义方程 (1) 右侧的边界条件。我们可以看到内置了诸如狄氏边界条件等边界特征，为方便用户访问，它们都被收录在弹出菜单中。因为我们对自定义方程很感兴趣，因此将鼠标移至弹出菜单中的更多项，并在接下来的弹出菜单中点击弱贡献。
在”弱贡献1″节点设定窗口的边界选择栏，在域（x=1）的左端选择边界 1，在设定窗口的弱贡献栏输入弱表达式：-2*test(T)。此步骤定义了方程 (1) 右端的第一项，指定边界 x=1 处的向外通量为 2。
固定边界条件
对于 x=5 处的固定边界条件，即方程 (1) 右侧的后两项所定义的 T=9，我们在边界 2 处增加另一个”弱贡献”节点，并在其下建立一个助因变量 子节点。
输入 lambda2 作为子节点中场变量的名称，然后输入弱表达式作为方程 (1) 中的后两项： -lambda2*test(T)-test(lambda2)*(T-9)
离散
COMSOL 软件通过创建网格对域进行离散。右击网格 1 节点选择边，然后右击边 1 并选择分布。然后将”单元数”设为 4 并点击 全部构建。我们有意将单元数控制在较小的值，以便之后能更详细地讨论离散。
在弱解型偏微分方程(w) 节点设定窗口中的离散栏，将”单元阶次”设为线性（点击模型开发器下的显示按钮，在弹出菜单中选择离散化离散化栏）：
使用 COMSOL Multiphysics 计算解
现在我们可以点击计算来检查解是否合理。
解表示为域内的一条直线，这与稳态无热源的温度场分布一致。直线的斜率为 2，这和边界条件 x=1 处的向外通量为 2 一致。x=5 处的温度为 9，符合固定边界条件的指定。因为没有热源，流出域的总热通量在稳态时的和应为零。因此，x=5 处的向外通量应为 -2。
我们可以轻松通过对热通量变量 lambda2 进行点求值来验证该过程，如下图所示：
一些读者可能会疑惑是否每次都需要求解助变量 lambda2，即我们所称的拉格朗日乘子，尤其是在建模者并不需要时，而且求解该变量必然还需要更多计算资源。我们将在后续的博客中介绍 COMSOL Multiphysics 提供的其他特征，允许用户决定是否需要求解拉格朗日乘子。
总结及下一篇博客
今天我们重温了弱形式的概念并在 COMSOL Multiphysics 中执行了一个弱形式方程示例 (1)。利用简单物理参数得出的数值解与预期一致。
在未来的博客中，我们会从”内部”观察类似方程 (1) 的弱形式是如何被离散和数值求解的。我们还将看到如何通过不同的方式对这一问题求解，以及如何为不同种类的问题设定不同的边界条件。
敬请期待！
评论 (20)
峰 程
2016-04-05“T的试函数的一阶导数”与“T的一阶导数的试函数”是一样的吗？
（1）中的试函数的一阶导数作者用test(Tx)表示，但是这个看上去更像是“T的一阶导数的试函数”
Chien Liu
2016-04-06 COMSOL 员工Dear 峰 程,
Yes the test function of a gradient is the same as the gradient of a test function. You can think of the test operator as a generalization of the variation operator in variational calculus.
Sincerely,
Chien
Yang Zhao
2016-11-29刘老师，
您好。在选择weak form boundary PED 的时候，假设变量是u，为什么在weak expression里面输入ux，会显示unknown variable?
而选择weak form PED 的时候，假设变量是u，在weak expression可以使用ux？
Yuansheng Zheng
2016-11-29Yang, 您好！
感谢您的评论，模型相关的问题，请您联系我们的技术支持团队：
在线支持中心：https://www.comsol.com/support
Email: support@comsol.com
谢谢！
Yuansheng
丽娟 周
2016-12-15刘老师：
您好！
请问我在求解的时候提示lambda2为未定义变量，请问是怎么回事啊。
谢谢！
振海 刘
2021-04-15尝试设置辅助因变量，把辅助因变量定义为lambda。
Yuansheng Zheng
2016-12-15丽娟, 您好！
感谢您的评论，模型相关的问题，请您联系我们的技术支持团队：
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Email: support@comsol.com
谢谢！
Yuansheng
王 刚
2018-11-08 COMSOL 员工一般情况下，弱形式 PDE 用于求解域级别，边界弱形式 PDE 则用于边界级别。
在域级别，ux 等代表在 x 方向的梯度；
然而，在边界级别，通常需要使用切向矢量，因此常用的变量梯度形式为 uTx 等。
详情可以查阅 Reference Manual 中的相关章节：An Example of Lagrange Element Variables。
Zon K
2021-10-20您好
1.弱贡献的辅助因变量作用是什么？可以和因变量一样吗
2.在对额外维度使用弱贡献时，怎么输入额外维度的偏导？比方说变量c对一维坐标的偏导，我只能输入cx，但是x是基本几何的坐标，不是额外维度的，若我输入cx1，则提示我没有定义。
hao huang
2021-10-21 COMSOL 员工您好
1. 关于弱贡献和辅助因变量的理解，您可以参考博客：//www.denkrieger.com/blogs/nonstandard-constraints-and-the-power-of-weak-contributions/
2. 若想计算变量 c 对一维坐标的偏导，需要使用求导算子 d(c,x)。如果 c 为因变量，才可写为 cx 这种形式。
c d
2022-04-21您好，
我输入的弱形式含有(u·∇)算子，计算的时候报错（Expressions of the Nabla operator is not supported.），应该怎么解决呢？
Qihang Lin
2022-05-09 COMSOL 员工不清楚您具体是如何设置该算子得到的这个报错信息。一般而言该项并未在PDE建模的算式左边部分有对应可以填入的位置，因此可以考虑将其拆分整理后挪至右边源项写入您的表达式中。
Ying Li
2022-05-18请问我在进行热电模块中，注意到电流模块的弱形式中乘了有一个ec.d贡献因子的量（(具体，ec.Jx*test(Vx)+ec.Jy*test(Vy)+ec.Jz*test(Vz))*ec.d），请问这个量具体作用时什么？调整ec.d的物理意义是什么，谢谢啦~
Kaixi Tang
2022-06-01 COMSOL 员工您好，ec.d 可以理解为二维模型中平面外的厚度，它会影响仿真中的总能量的计算。
Yonghao Wen
2023-02-24你好，我想知道comsol中是否可以计算行列式的值
Qihang Lin
2023-07-25 COMSOL 员工行列式建议请拆开化简后再输入至软件中。
鑫 周
2023-08-24请问最后的-2是通过什么操作显示出来的
Kaixi Tang
2023-08-29 COMSOL 员工您好，可以在该点上对变量“lambda2”做派生值计算得到。它对应的是，使得定义在该点的狄式边界得以精确满足的拉格朗日乘子的大小，即“通量”的大小。
若倩 林
2024-02-27您好，请问弱贡献-2test（T）替换成狄拉克雷边界条件-2（或者2，2testT等），计算出结果不一样，并且前者lambda为-2，后者为-1.75。
若倩 林
2024-02-27您好，请问弱贡献-2test（T）替换成狄拉克雷边界条件-2（或者2，2testT等），计算出结果不一样，并且前者lambda为-2，后者为-1.75