蛋白质吸附：间歇式反应器和空间依赖性建模

研究系统的化学动力学时，通常会使用完全混合间歇式反应器假设，并使设计的实验一直保持理想的混合条件。这种假设包括完全混合（理想釜式反应器）和非完全混合（理想塞流反应器）。然而在实际应用中，反应器很难达到理想状态，因此空间依赖性建模对于理解和优化化学反应器至关重要。下面我们将详细探讨反应器模型的开发，先从一个简单的完全混合示例开始。

我们的起点：完全混合的间歇式反应器假设示例

如果你是 COMSOL 博客的忠实读者，那么一定很熟悉化学动力学系列博客，我的同事 Eyal Spier 探讨了化学动力学的原理。这一系列文章重点阐述动力学分析的基本原理，同时演示了如何使用 COMSOL Multiphysics“化学反应工程模块”的反应工程接口，求解复杂的动力学问题，并提取反应速率的定量数据。

“App 库”中蛋白质吸附教程的第一部分提供了一个有关此类分析的优秀案例。这个案例考虑了完全混合假设下反应器的性能，并通过反应器阐述有关离子交换柱中蛋白质吸附的更多动力学知识。随后，进行三维分析，观察浓度随空间和时间的变化。下图说明了离子本体浓度在实际系统中可能发生的变化。

借助离子交换对蛋白质吸附过程进行三维分析时离子浓度的空间差异。

溶液中的蛋白质吸附到反应表面，取代本已吸附在表面的较小离子，离子随后释放到溶液中，如上图所示。我们可以将上述过程写成化学反应公式：

P(aq) + nS(ads) <=> P(ads) + nS(aq)

其中，(aq) 表示自由水溶液中的一种化学物质，(ads) 表示固体表面吸附的一种化学物质。数量 n 表示每一个蛋白质分子 P 取代的离子数。在这个示例中，我们将研究两种蛋白质 A 和 B 的吸附表现。

为描述完全混合假设下的典型离子交换柱，我们采用体积恒定的连续搅拌釜反应器（continuous stirred tank reactor，简称 CSTR）。这一系统含有进料口和出料口，可连续添加反应物。随着反应物的添加，反应器体积保持不变，因此出料口的流速与进料口的流速相同。

在反应工程 接口的模型树中，可以看到反应系统及参与反应的化学物质，两个表面反应节点定义了蛋白质 A 和 B 引起的离子替换反应。同样地，表面上定义了三种表面物质，自由溶液中定义了另外三种物质。通过离子摩尔浓度表示每摩尔的蛋白质，所以每一次离子交换反应会产生一个单位化学当量的 S(ads) 和 S。

完全混合分析时的模型树。

其中还包含大量的溶剂物质水（表示为 H2O），其浓度保持不变。溶剂物质有助于分析反应混合物的粘度或热属性，所以执行热和流动分析时需要用到它。注意进料口，它表示向反应器连续添加包含蛋白质的进料。进料口流速采用高斯脉冲函数控制，表示仿真开始后进料口的流速大约 0.5 秒到 9.5 秒之间，不可忽略。

下图预测了不同化学物质的浓度随时间变化的情况。

离子交换柱中蛋白质 A 和 B 吸附时浓度随时间变化的比较图。

上图中的结果解释了反应器中发生瞬态反应时出现的重要现象。总体而言，图中黄色曲线表示的吸附离子 S(ads) 由吸附蛋白质 A(ads) 和 B(ads) 所取代。溶解物质的浓度随时间变化的情况更复杂。含蛋白质的进料流在流入反应器后迅速替换离子，使吸附的蛋白质浓度增加，溶液中自由离子的浓度随之上升。随着蛋白质迅速吸附，溶液中蛋白质的浓度降低，溶解的蛋白质浓度 A(aq) 和 B(aq) 也降低。

当表面吸附了足够多的蛋白质而达到饱和时，吸附速率才会开始放慢。这表现为溶液中离子的浓度 S(aq) 达到最大，这之后离子从柱中去除的速度快于经离子交换表面发生置换而在溶液中生成的速度。溶液中的蛋白质浓度上升，因为进入反应器的蛋白质量将快于吸附反应消耗掉的，并使得可用于离子交换的位置数密度持续减少。最后，当蛋白质的入口浓度逐渐降低趋于零时，溶解的蛋白质浓度达到最大值，在物质离开反应器时，蛋白质浓度又开始降低。

空间依赖性建模协助模拟离子交换柱用于蛋白质吸附

尽管上述 CSTR 分析有助于理解浓度关系，但这种反应器并不完全符合实际情况。在实际运用中，离子交换发生在多孔结构的表面。考虑到质量传递主要依靠扩散和对流，因此一部分反应表面比其他部分更容易发生离子交换。要了解离子交换柱在实际运用中的性能，我们必须转而对三维模型执行空间依赖性分析，以便考虑非理想情况和质量传递。

利用反应工程 接口中的生成空间依赖性模型 功能，我们能够直接切换到空间依赖性模型，而其中运用的化学原理保持不变。利用生成空间依赖性模型功能，会自动生成一个含二维或三维几何的新组件，还有一个化学物质传递接口用于描述质量平衡。为计算反应汇速率和反应源速率，我们将它们与化学 接口耦合，这个接口可以当作一个化学容器，存储从反应工程 接口复制的动力学详细信息。还可以自动添加动量平衡（流体流动）或能量平衡（传热），其中的属性再次取自化学 接口中溶剂或化学混合物的详细信息。

“生成空间依赖性模型”功能的设置。

新的空间依赖性模型组件生成后，其几何即可指定。下图显示模拟的三维几何与整个反应器的关系。CSTR 模型试图描述整个反应器，而三维分析仅关注靠近进料口的一小块区域。为进一步减少此问题的计算量，我们仅模拟了四分之一几何，这其中利用内置的对称边界条件来展现流速和浓度分布的对称性。

整个离子交换柱及一小部分多孔离子交换球的示意图。三维模型中包含了四分之一截面。

我们添加了自由和多孔介质流动 接口，以描述离子柱中水的流动。与反应动力学类似，流体的密度和粘度定义在化学 接口中。我们在出料口定义了一个均匀流速，表示在模拟区域下游、沿交换柱连续流动的流体。相应地，进料口的压力也视为均匀。

现在来看一下稀物质传递 接口，其中求解了经扩散和对流实现的质量传递。使用“生成空间依赖性模型”功能时，会自动创建这一化学物质传递接口，确保所添加的化学物质数量正确。我们在三维空间求解的一个浓度变量，就对应于 CSTR 问题中的其中一种稀化学物质。（这几个变量是蛋白质浓度 cA 和 cB 及自由离子浓度 cS。）

为了描述不同化学物质进入和离开反应器的量，以及特定表面反应发生的位置，在稀物质传递 接口中需要添加相应的边界条件。流入条件表明入口处的溶液成分，反应器顶部设置的流出条件则表示流体流动所造成的质量流失。两个表面平衡反应条件对溶液相物质施加了必要的质量汇或质量源，以描述每一个蛋白质的离子交换反应。

虽然空间依赖性模型创建时即包含了这些现成的特征，但 COMSOL Multiphysics 的三维模型仍不能确定几何的哪些边界与入口表面、出口表面或反应表面对应。用户必须为每一个特征定义一个边界，从而使完全混合分析的质量源和质量汇与具体的空间位置相关联。下图显示发生离子交换反应的非均匀球表面。

结构复杂、符合实际的三维球状结构用于空间依赖性质量传递分析。

吸附的蛋白质浓度或离子浓度也是离子交换树脂表面上的变量。执行三维分析的重要意义在于，它有助于理解所形成的蛋白质分布的不均匀性。表面反应 接口求解吸附物质的面覆盖率，质量源或质量汇自动耦合到稀物质传递 接口的表面反应项中。这类物理方程的组合确保了本体溶液和离子交换表面混合过程中的总体质量守恒。

下图显示吸附蛋白质 B(ads) 在离子交换柱中流动 10 秒后的面覆盖率。很明显，吸附到球体上表面的蛋白质更多。我们可以将其归结为：由于系统中对流方向从上往下，上表面更易受到入射流体的影响。随时间推移，上表面更快地趋于饱和，之后可吸附蛋白质的区域必定是流体流入较困难的区域。

蛋白质在入口流中流动 10 秒后的不均匀面覆盖率。

上述结果显示了离子交换柱中的响应随时间变化的情况，证明离子交换柱的某一部分表面发生反应的速度比其他表面更快。空间依赖性模型越复杂，要求的设置越详细，则计算时间也越长，不过，所得结果也更符合实际。只有空间依赖性模型才能全方位提高蛋白质吸附的效率，这其中主要涉及离子交换球的空间布局以及向模型表面进行的质量传递。

“化学反应工程模块”中用于完全混合和空间依赖性建模的各种特征互为补充，它们可能在反应器设计过程的不同阶段相互关联。化学 接口和“生成空间依赖性模型”功能让你能够将反应的详细特性和动力学原理复制到空间依赖性分析中，使模型在零维和三维间轻松切换。

后续操作

要了解有关蛋白质吸附的更多知识，建议您从“App 库”下载蛋白质吸附教程。