COMSOL 博客

肥皂膜及其他变分问题建模概述

作者 Temesgen Kindo

2018年 9月 4日

肥皂膜、悬链线电缆和光束有什么共同点？它们都有着使某些数量最小化的行为方式，这类问题普遍存在于生物学、经济学、弹性理论、材料科学和图像处理等科学和工程领域。我们可以使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的内置物理场接口模拟很多这样的问题，在变分问题和约束系列博客中，我们将向您展示如何使用基于方程的建模功能解决变分问题。

函数的最小值

在初等微积分中，我们为单变量或多变量函数寻找最优值，即，寻找一个单一的数字或一组有限的数字 \mathbf{x} 使函数 f(\mathbf{x}) 最小（或最大）。在变分法中，我们寻找一个函数 u 使泛函 E[u(x)] 最小（或最大）。从某种意义上说，我们可以认为这是无限维优化。粗略地讲，就是泛函取一个函数并返回一个数值。例如，定积分就是一个泛函。

在工程问题中，这些泛函通常代表某种能量。例如，在弹性理论中，我们可以通过最小化总势能来找到平衡解。这个术语经常被用在其他变分问题上，例如变分图像处理。我们称泛函为“能量”——即使它在物理上不代表通常意义上的能量。

Model geometry for soap film between two rings.
两个环之间的肥皂膜。

考虑 yz 平面上两个圆环之间的肥皂膜，其中心在 x 轴。我们希望找出这样一个函数 u_x，当我们绕 x 轴旋转它时，可以获得肥皂膜的形状。这个函数实际上是下面这个泛函的最小值，

(1)

E[u(x)] = \int_a^b u(x) \sqrt{{1+u^{\prime}(x)^2}}dx.

更一般地说法是，在变分法中，我们正在寻找一个函数 u(x)，使泛函的值最小，

(2)

E[u(x)] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime},u^{\prime\prime},\ldots)dx.

大多数工程问题处理的是最多包含一阶导数的泛函。在本系列博客的开始，我们将在一个空间维度上关注这些问题。稍后，我们将推广到高维度、高阶导数和几个未知数。最后，由于最大值和最小值本质是一样的，因此我们将在后续文章中只讨论最小值。

除非另有说明，否则我们将处理的泛函是

(3)

E[u(x)] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime})dx.

求解变分问题

假设你发现自己被蒙住了眼睛进入一个山谷中，你怎么知道已经到达底部？（顺便说一句，摘掉眼罩不算）。你可能会用手和脚感觉周围的地面，如果你测试的每个区域都感觉都比你站的地方高，那么你就站在山谷的底部（至少是在一个局部的洼地）。在微积分和变分法中，同样的思想被用来检查最小值。在微积分中，我们测试相邻点，而在变分法中，我们测试相邻函数。

当且仅当对于微小值 \epsilon 以及每一个容许变分 \hat{u(x)} 都遵循以下表达式时

(4)

E[u+\epsilon \hat{u}] \ge E[u(x)]

函数 u(x) 使得泛函 E[u(x)] 最小。

不是每个变分 \hat{u} 是可接受的，因为每一个 u+\epsilon \hat{u} 都必须满足解的约束条件。例如，对于两端固定在线上的肥皂膜，我们用于与最小函数进行比较的每个函数也必须固定在线上。因此，我们只考虑那些满足 \hat{u}(a) = \hat{u}(b) = 0. 的变分。我们将在后面的博客文章中详细讨论约束。

假设有足够的平滑度来进行微分，方程4 的必要条件是

(5)

\frac{d}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}E[u+\epsilon \hat u] = 0,

在本系列中，我们不打算讨论移动或开放边界的问题。在这种情况下，我们可以把微分移到积分内部，并应用链式法则得到

(6)

\frac{d}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}E[u+\epsilon \hat u] = \int_a^b [\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u’}\hat{u^{\prime}}]dx=0.

请注意，我们只改变因变量 u 和它的导数，而不是空间坐标 x。

如果您对移动边界或界面的问题感兴趣，请查看博客文章：使用 COMSOL Multiphysics^® 模拟自由液面的两种方法和在 COMSOL Multiphysics^® 中用动网格为自由液面建模。

如方程1 所示，对于肥皂膜，我们有 F(x,u,u^{\prime}) = u\sqrt{1+u^{\prime}2} \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial u} = \sqrt{1+u{\prime}^2}, \frac{\partial F}{\partial u^{\prime}} = \frac{uu^{\prime}}{\sqrt{1+u’^2}}。因此，肥皂膜的变分问题是找到 u(x)，以使

(7)

\int_a^b [\sqrt{1+u’^2}\hat{u} + \frac{uu’}{\sqrt{1+u’^2}}\hat{u’}]dx=0, \forall \hat{u}.

欧拉-拉格朗日方程

在经典变分法中，我们应用分部积分从变分 \hat{u} 中移动空间微分到解以获得欧拉-拉格朗日方程

(8)

\frac{\partial F} {\partial u}-\frac{d} {dx}(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}})=0,

并利用常微分方程（ODE）方法求其解。

在高维空间中，欧拉-拉格朗日方程变成了偏微分方程。

在我们的例子中，我们不需要使用欧拉-拉格朗日方程，所以不再进一步讨论它，原因是使用有限元方法来求解变分公式。例如，在 COMSOL Multiphysics 中，如果我们使用系数形式偏微分方程 或者一般形式偏微分方程 接口指定欧拉-拉格朗日方程，软件会在内部指定并求解相应的变分方程，既然如此，就没有必要再浪费精力吧？正如我们将在后面看到的，变分形式还提供了很自然地考虑求解域和边界条件的方式。

在 COMSOL Multiphysics^® 中执行一个变分问题

为了说明 COMSOL Multiphysics 中的变分问题，我们使用了弱形式偏微分方程 接口。那我们如何来对解 u 以及相应的试函数\hat{u} 求微分呢？对于后者，我们可以使用试函数算子。例如，对于肥皂膜问题，变分公式中的被积函数在弱形式偏微分方程 节点输入为 sqrt(1+ux^2)*test(u)+u*ux/sqrt(1+ux^2)*test(ux)，如下所示。

A screenshot of the Weak Form PDE settings in COMSOL Multiphysics.
指定一个变分问题。