使用 COMSOL Multiphysics® 进行微磁仿真

磁体中的磁矩动力学可以通过微磁模型描述，即朗道-栗弗席兹-吉尔伯特方程（Landu–Lifshitz–Gilbert equations，LLG）。我们使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的“物理场开发器”开发了一个定制的“微磁模块”，可用于在 COMSOL^® 软件框架内进行微磁建模。这个定制的微磁模块可以直接与其他附加模块耦合进行多物理场微磁仿真，例如磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-热耦合等。微磁模块软件包以及用户指南可以在文末提供的网址中下载，欢迎试用。

磁振子学和微磁学导论

磁振子学 是自旋电子学或磁学的子分支领域（参考文献1），类似的还有声子学和光子学。磁振子学更侧重于研究由磁性体系的元激发，即自旋波（或量子极限中的磁振子）携带的能量和信息传输。自旋波可以携带能量、线性动量、角动量，因此可以用来编码信息。由于具有极小的阻尼和无焦耳热等特性（参考文献2），钇铁石榴石 YIG (Y₃Fe₅O₁₂) 等磁绝缘体是操控自旋波的理想材料。此外，自旋波还可以与磁结构相互作用（参考文献3)，例如磁畴壁、磁涡旋和磁斯格明子等，从而为磁存储器的设计和操控提供了一条新途径。这使得磁振子技术有望成为下一代信息技术的候选者。

在这篇博文中，我们将演示如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“微磁模块”对自旋波动力学进行数值微磁仿真。

微磁模型简介

磁性材料中磁矩的动力学由 LLG 方程控制。微磁模型的核心是将一个或多个晶胞中的所有磁矩视为一个半经典的宏自旋，用单位向量 \textbf{m} 定义表示为

其中，\textbf{M}(\textbf{r}, t) 是总磁化强度的时空分布函数，M_s 是材料的饱和磁化强度。

该单位磁矩向量的时间演化遵循 LLG 方程（参考文献 4）

其中，点表示时间导数，\gamma 是旋磁比，\alpha 是吉尔伯特阻尼系数，\textbf{H}_{\rm{eff}} 是施加在局域磁矩上的有效场，可以被定义为

其中，\mu_0 为真空磁导率，E 为磁系统的自由能，包括所有可能的相互作用。

假设一种最简单的情况：在沿 z 方向施加的静态磁场中的一个宏自旋。有效场很简单，可以表示为 \textbf{H}_{\rm{eff}}= H \hat{e}_z。从宏自旋稍微偏离平衡 z 方向的初始状态开始，宏自旋矢量根据 LLG 方程按右手定则围绕有效场进动。在吉尔伯特阻尼（以 \alpha 表示)作用下，系统的动能最终消散，宏自旋驰豫到其能量最小值，即与有效场平行。这种进动的动力学与铁磁共振 (FMR) 相关，其进动角频率与外加场的强度呈线性关系。

当引入非局域相互作用时会出现自旋波，例如，在连续极限中采用以下形式的短程交换相互作用 \textbf{H}_{\rm{eff}}=A \triangledown^2\textbf{m}，其中 A 为交换刚度系数。存在交换相互作用的情况下，单个宏自旋的进动模式可以传输到相邻的宏自旋，导致角动量流的传播，即自旋波。

电磁波和弹性波以及自旋波都可以通过纳米结构设计进行空间上的限制或调控。此外，自旋波还可以通过磁结构（磁矩在空间中的非均匀分布）来调控，例如磁畴壁，即具有相反磁化强度的两个磁畴之间的过渡区域。理论和实验都表明，磁畴壁可以作为自旋波的传导通道，用于设计可重构的自旋波电路。

微磁仿真不仅可以帮助解释实验结果，也有很多成功的例子表明，该方法可以预测新现象，并通过实验进行验证。

通过物理场开发器开发微磁模块

市场上有两种主流的开源微磁仿真软件：面向对象的微磁框架（OOMMF）和支持GPU 加速的 Mumax³。

但是，我们更喜欢使用 COMSOL Multiphysics 进行微磁仿真。原因有两个：

1. COMSOL Multiphysics 基于有限元方法，而不是 OOMMF 和 Mumax³使用的有限差分方法。在对复杂的几何形状和结构进行建模时，有限元方法更加强大。
2. 微磁模块可以直接与 COMSOL Multiphysics 中丰富的物理模块一起使用。例如，通过与 AC/DC 模块（电流和电磁场）或 RF 模块（微波）耦合，我们可以模拟磁性材料中的偶极相互作用；将微磁模块与结构力学模块相耦合，可以对磁弹性效应进行建模；而传热模块可用于对磁体中的热效应进行建模。在软件框架内，用户定制物理场和 COMSOL 附加产品之间的多物理场耦合相当简单明了。

对 COMSOL Multiphysics 的微磁模块感兴趣的用户可以将编译后的模块文件 Micromagnetics Module.jar 安装到本地 COMSOL 归档文件夹中，之后在选择物理场时就会出现一个新的物理场接口 Micromagnetics (mm)。

微磁模块 (V1.33) 的用户界面如下图所示。

微磁模块（V1.33）具有其他开源微磁仿真软件所具有的几乎所有功能，包括但不限于：

• 基本的 Landau-Lifshitz-Gilbert 动力学方程，包括交换相互作用和单轴各向异性
• 具有适配边界条件的 Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用（体类型和界面类型）
• 自旋转移矩（包括场项和力矩项）
• 可输入任意形式的有效场和自旋力矩（可以同时是时间和空间的函数）
• 有限温度效应（可通过自定义随机种子引入随机性）
• 钉扎边界条件和周期性边界条件
• 能够在一个区域内求解多个独立的 LLG 方程（例如可用来模拟具有多个子晶格的人工反铁磁体）
• 多物理场耦合能力，包括磁-偶极耦合、磁-弹耦合、磁-电耦合、磁-热耦合等

基于微磁模块，我们展示了许多有趣的自旋波物理并提出了各种自旋波器件，例如自旋波二极管（参考文献5）、自旋波光纤（参考文献6）、自旋波偏振片和波片（参考文献7-8）以及存算一体化的磁逻辑门（参考文献9）等。

与微磁模块的多物理场耦合

如上所述，COMSOL Multiphysics 的一项优势是附加模块之间的多物理场耦合能力。自旋波可以被磁场、晶格形变、温度梯度等操控。将自旋波与其他激发（如电磁波和弹性波）耦合，获得的系统可以结合两者的优点，产生丰富的物理现象，促进信息的产生和传输。下面，我们将演示基于微磁模块可以完成哪些多物理场耦合。

腔磁振子学（Cavity magnonics）（参考文献 10）是磁振子学和腔量子电动力学 (CQED) 的交叉学科，后者的应用之一是通过操控光子-物质相互作用来实现量子信息处理。腔磁振子学的典型构型是内部放置磁体的微波腔。磁体中的磁矩进动模式与微波腔中的驻波模式或行波模式耦合。这样的系统为研究自旋流的操控和磁矩的非线性动力学提供了一个新的选择（参考文献 11-12）。腔磁系统可以通过耦合微磁模块和射频模块来模拟。对于静磁模拟，并不需要考虑电磁波本身的动力学行为，因此将微磁模块和 AC/DC 模块（磁场）相互耦合就足够了。

自旋力学（spin mechanics）包括磁矩和晶格形变之间的相互作用。在具有磁弹耦合（或磁致伸缩）的材料中，磁化强度（自旋波）在空间和时间上的变化对晶格产生等效力，而晶格形变（弹性波）对磁化强度产生等效场。例如，如下面的动画所示，面内磁化的碟状薄膜被磁场激发，进动的磁化引起磁性薄膜及其衬底的弹性形变，从而辐射弹性波。自旋力学问题可以通过耦合微磁模块和固体力学模块来模拟。

电流自适应磁结构

在金属磁体中，自旋极化电流对局域磁矩施加自旋转移矩，使得磁结构能够被电流驱动。由于各向异性磁阻 (AMR)的存在，磁性薄膜内的电导率取决于局域磁化强度和电流方向的相对取向，因此可以使用微磁模块和 AC/DC 模块对电流、自旋转移矩和磁结构之间的相互作用进行建模。

如下面的动画所示，施加在两个电极上的电压通过自旋转移矩改变磁结构的空间分布（上图），进一步改变局域电导率和电流密度分布（下图）。在电流的持续作用下，磁结构最终演化至稳定的构型，使得两个电极之间的电导增加。有研究表明这种正反馈行为可用于类脑计算（参考文献13）。

如何获取微磁模块

您可以通过以下方式免费下载微磁模块文件：

1. 复旦大学肖江教授课题组网站
2. COMSOL 模型交流区

下载的压缩文件包括模块安装文件，以及带有安装说明和示例的用户指南。我们非常欢迎和感谢用户的任何建议、报告和交流。更多功能将在未来版本中及时更新。

致谢

作者对复旦大学肖江教授的指导和复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院的支持表示感谢。

关于作者

余伟超本科毕业于同济大学物理科学与工程学院应用物理学专业，获理学学士学位，后赴复旦大学物理学系理论物理专业直接攻读博士研究生，获理学博士学位，曾任复旦大学物理学系博士后研究员、日本东北大学金属材料研究所助理教授，现任复旦大学微纳电子器件与量子计算机研究院青年研究员。余伟超博士的研究兴趣包括自旋电子学和磁学基本现象的理论研究、磁结构和自旋波的动力学、以及磁系统与其他多物理系统之间的耦合，如微波腔自旋电子学（磁子和光子之间的耦合）和自旋力学（自旋波和弹性波之间的耦合）等。他提出并设计了新型自旋电子器件和基于磁性体系的非常规计算概念，例如基于磁系统的存算一体逻辑门和具备自主学习功能的类脑计算架构。他还开发了基于有限元方法的微磁仿真模块，具有与其他多物理场系统双向耦合的能力，有助于基础磁学的研究和新型自旋电子器件的设计。

参考文献

1. A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
2. A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
3. H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
4. V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
5. J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
6. W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
7. J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
8. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
9. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
10. B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
11. W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
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13. W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.