例如光等电磁辐射平面波入射到平面周期性结构上时，可能会发生高阶衍射。根据斯涅耳定律，光不仅会发生反射和折射，而且还会散射到多个不同的方向，称为衍射级。通过几何方法我们可以知道什么时候会出现衍射级，以及光会向哪些方向散射。接下来，让我们了解更多详细内容。
理解平面周期性结构的衍射
本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。
以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。
如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。
入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。
要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。
单向周期性结构
例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。
以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。
对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 d，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 2\pi/d，晶格点的索引从第四个晶格点 m=0 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 n_{r}2\pi/\lambda_{0} ，透射侧的半径为 n_{t}2\pi/\lambda_{0}，两侧的折射率分别为 n_{r} 和 n_{t}，\lambda_{0} 为自由空间波长。对于与法线夹角为 \theta_{inc} 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 sin(\theta_{inc})n_{r}2\pi/\lambda_{0}。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。
用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。
这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 \textbf{k} 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。
单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。
双向周期性结构
现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义：\textbf{a}_{1} 和 \textbf{a}_{2}，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 \textbf{a}_{1} 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 \textbf{b}_{1} 和 \textbf{b}_{2}，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 m\textbf{b}_{1}+n\textbf{b}_{2} 的 基础上复制基本单元，而 m 和 n 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：A_{c} = ||\textbf{b}_{1}\times\textbf{b}_{2}||。
矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。
这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量：\textbf{d}_{1} = 2\pi(\textbf{b}_{2} \times \textbf{n})/A_{c} 和 \textbf{d}_{2} = 2\pi(\textbf{n} \times \textbf{b}_{1})/A_{c}，其中\textbf{n} = (\textbf{b}_{1} \times \textbf{b}_{2})/A_{c} 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：m\textbf{d}_1+n\textbf{d}_2，晶格中的每个点对应于 \textbf{d}_{1} 和 \textbf{d}_{2} 方向上 m 和 n 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。
在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。
现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 m = 0, n = 0 为半球中心，代表法向入射光线。
平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。
接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 \textbf{a}_{1} 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 0^{\circ} \le \alpha_{1} < 90^{\circ} 开始，入射方位角从 0^{\circ} \le \alpha_{2} < 360^{\circ} 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：\alpha_{1} = 0^{\circ}, \alpha_{2} = 0^{\circ}，入射平面被定义为 xz 平面。
入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。
入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 m = 0, n = 0 点的倒易空间距离为 k_{r} = \text{sin(}\alpha_{1}\text{)}2π/ \lambda_r，该位置在平面内的移动量为 k_{x} = -k_{r}\text{cos(}\alpha_{2}\text{)} 和 k_{y} = -k_{r}\text{sin(}\alpha_{2}\text{)}，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。
以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。
通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。
将衍射点投影到半球上，就得到了每个衍射级的波矢量。这种几何结构说明了入射光（黄色）在反射（红色）和透射（蓝色）时将衍射到哪个方向。您可以使用鼠标与此三维模型进行交互：左键单击旋转，右键单击平移，滚轮滚动缩放。
最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。
衍射级方向描述了一组平面，用于定义每个衍射级的偏振状态。突出显示了入射面和一个衍射级。您可以使用鼠标与该三维模型进行交互：左键单击旋转，右键单击平移，滚轮滚动缩放。
结论
综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。
进阶学习
如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。
- 使用RF模块建立的模型:
- 使用波动光学模块建立的模型:
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