在微流体系统中，流体流动始终为层流。这既是优势也是缺点，优势在于流场是稳定的，而缺点在于物质混合主要依靠扩散的方式，因此可能很耗时。在微流体芯片中混合化学物质的一种简单方法是使用蛇形通道结构。在 COMSOL Multiphysics® 软件中，可以利用这种结构的周期性来确定所需的通道长度，从而确保化学物质在离开系统时得到充分混合。
使用 COMSOL Multiphysics® 模拟周期性微流体系统
下图为一个具有蛇形通道的微流体装置示例。化学稀物质溶液可通过两个入口进入系统，流体汇合后流经蛇形通道。由于微流体系统中的流动是层流，因此化学物质的混合是通过扩散实现的。为了高效地模拟系统，可以利用结构的周期性，考虑模拟一个基本单元。
一个典型的微流体装置。图片经过修改。原图由 IX-factory STK — Own work 提供，获CC BY-SA 3.0许可，通过 Wikimedia Commons共享。原作品已被修改。
我们在之前的两篇博客中也讨论过这个蛇形通道。第一篇博客使用广义拉伸算子模拟周期性结构, 通过对一个基本单元进行层流计算，减少了计算量。然后，使用 广义拉伸 算子将速度场映射到包含多个单元的完整几何结构。如下图所示，利用映射后的速度场，在完整几何结构上求解稀物质传递。
模拟周期性微流体装置的第一种方法。计算一个基本单元中的速度场，并将其映射到整个几何结构。计算完整几何结构的浓度分布。
在第二篇博客利用含高佩克莱特数模型中的周期性中，该模型得到进一步简化，重点研究具有高佩克莱特数的微流体系统。在这种情况下，物质传递主要依靠对流而不是扩散的方式，下游溶液不会影响上游溶液。因此，没有必要像第一种方法那样计算整个装置上的物质传递。
对于高佩克莱特数，可以一个单元一个单元地按顺序计算物质传递。如下图所示（“方法 2”），在一个基本单元中求解速度场，然后求解浓度场。利用 广义拉伸 功能，将出口处的浓度场映射回入口处。为确保在下一次迭代中使用上一个解进行浓度映射，需要使用 边界常微分和微分代数方程 接口以及 上一个解 功能。
这篇博客，我们将介绍能够实现相同目标的另一种方法，即将结果从出口传递回入口，按顺序计算物质传递。使用状态变量代替边界常微分方程。状态变量比边界常微分方程更容易实现，可以降低模型的复杂性。
第二种和第三种方法仅使用一个单元模拟周期性微流体装置。这两种方法的不同之处在于步骤 3。从出口到下一个基本单元入口的浓度分布映射，可以使用边界常微分方程或状态变量来实现。(下文我们将解释第三种方法）。
广义拉伸和状态变量
首先，在出口边界上定义广义拉伸 算子 genext1。该算子可在 定义>非局部耦合 节点下找到，它通过指定 x 轴上的位移，将一个表达式（在本例中为浓度）从出口映射到入口。
通过在x 轴方向偏移 6 mm，广义拉伸算子将变量从一个边界映射到另一个边界。
第二步，在入口边界上定义状态变量 。状态变量 功能可在 定义>变量实用程序 节点找到。在模型中，状态变量被视为因变量。与物理场接口中常见的因变量不同，状态变量可以设置为在每个收敛的参数步或时步之前与之后更新，或者仅在初始化时更新。状态变量的设置如下图所示。状态变量名为 c_b，使用阶跃函数作为初始值来显示入口处的初始浓度梯度。阶跃函数位于 x = 0.5 mm 处，根据在 x 轴位置的不同，初始浓度在 0 ~ 1 mol/m3 之间变化。状态变量总是在参数阶跃开始时更新，这意味着，上一步出口处的浓度将被映射到下一步迭代的入口处。
状态变量的 设置 窗口。
状态变量 c_b 被用作 稀物质传递 接口中 流入 边界的浓度。状态变量的数据存储在 高斯点上，而不是网格节点。因此，选择 通量 (Danckwerts) 作为 边界条件类型 ，而不是 浓度约束。浓度条件施加在网格节点， Danckwerts 条件则将通量施加在高斯点。
状态变量 c_b 被设置为流入边界的浓度。
为尽量减少外推误差，在入口和出口边界使用了 相同网格 功能。
相同网格 功能的 设置窗口。边界 2 和边界 7分别为入口和出口边界。
与之前的博客类似，我们分两步计算模型。研究步骤设置如下图所示。在第一个研究步骤中，只对一个基本单元计算 层流接口。无论基本单元重复多少次，流场都是相同的，但物质传递并非如此。第二步，计算 稀物质传递 和 状态变量。此外，我们还引入了一个参数 n_unit_cells，按顺序计算重复单元。该参数用于辅助扫描，并从 1 开始以 1 为增量扫描至最大单元数，本例中为 15。每次计算结束后，都会更新状态变量，并将出口处的浓度场映射到后续基本单元的入口处。为了正确更新状态变量，将 运行继续运算 设置为 无参数，并将 重用上一步的解 设置为 是。
启用 辅助扫描 功能后的研究步设置。参数 n_unit_cells 代表基本单元的数量。
最终，我们得到所有重复单元的浓度分布图。下图显示了前三个基本单元。
前三个基本单元的浓度分布。
本文介绍的模拟结果可用于确定混合程度和所需的通道长度。使用高效的辅助扫描方法能够任意扩大混合器的规模。为了进一步衡量系统的混合程度，我们可以考虑混合指数（MI）。混合指数是在整个通道横截面上计算得出的，其定义如下：
其中， \textless{c}\textgreater 表示出口边界的平均浓度，{\sigma} 表示其标准偏差。
混合指数与基本单元数量的函数关系。
图中显示了重复 15 次时每个基本单元出口处的混合指数。重复 5 个基本单元后，混合指数已达到 0.98。
结束语
本文讨论的方法与博客 利用具有高佩克莱特数模型中的周期性; 中讨论的方法非常相似。这些方法简化了模型，节省了计算资源，与之前方法的主要区别在于，使用状态变量来保存出口浓度并将其传递到下一次迭代，而不是使用 常微分方程。使用状态变量的方法更容易实施，因为它不需要改变求解器的配置。因此，我们建议使用状态变量法模拟具有高佩克莱特数的系统。这种方法也可以用于更复杂的应用，例如多种化学物质的混合，这些物质之间会发生反应。
进阶学习
想进一步了解文中提到的功能吗？请阅读以下博客：
- 深入了解如何使用高斯点：数值积分与高斯点简介
- 了解有关 状态变量 功能的更多信息：如何在 COMSOL Multiphysics® 中使用状态变量
- 查看如何使用 广义拉伸 算子：用广义拉伸算子映射变量
- 进一步了解 广义拉伸 算子的用法：广义拉伸算子的一些示例
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