超材料简介

超材料是由亚波长组件组成的人工构造结构。这些结构展现出各向异性色散特性，可以通过改变组成单元的形状、几何结构、尺寸、方向和材料特性来控制其电学特性，如介电常数、磁导率和电导率。通过合理选择控制参数，可以将超材料设计为具有金属（负实介电常数）或电介质（正实介电常数）特性。金属或等离激元超材料展现出两种不同的拓扑：双曲型和椭圆型。在双曲拓扑中，正交轴上的介电常数符号相反；在椭圆拓扑中，所有方向上的介电常数均为负。

这种等离激元超材料具有亚波长周期性和尺寸，可以通过周期性排列的金属–电介质层以及嵌入电介质中的金属纳米棒来构建。双曲波在超材料结构内部的传播被高度限制，其波长比自由空间中的波长小 100 倍。这种独特的电磁特性使得双曲超材料在如增强超透镜效应、亚衍射成像、传感、负折射、能量收集，以及量子和热工程等潜在应用中与传统各向同性材料截然不同。

接下来，我们将讨论采用半经典电磁方法计算层状金属-电介质超材料的介电常数张量分量。

计算超材料介电常数：仿真vs.有效介质理论

假设一个线性（垂直）极化电点偶极子源位于双曲超材料附近的空气中，该双曲超材料由周期性定向的亚波长金属–电介质层组成。偶极子辐射的消逝场与超材料结构耦合，激发出两种类型的波：沿金属–空气界面传播的表面等离激元和在超材料内部传播的双曲波。

位于超材料结构附近空气中的电点偶极子示意图。该结构由周期性排列的金属层和具有亚波长厚度与周期性的电介质组成。

超材料的各向异性相对介电张量 可以通过本构关系计算，用电位移场 和电场 表示为

1

假设超材料没有磁性， 的径向和垂直分量可表示为

2

3

在 和 已知的情况下，方程 2 和 3 可用于计算超材料的介电常数张量。为了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中计算这些值，需要使用 up 和 down 算子计算平均电位移场和电场分量。然后，使用 平均 算子对本构关系 进行积分，计算有效介电常数。需要强调的是，这些算子是在超材料的金属–电介质内部边界上执行的，用于估算边界两侧不连续的场。

计算超材料介电常数的另一种方法是有效介质理论。在亚波长范围内，对角线分量可通过下列有效介质理论¹ 计算

4

5

式中， 是金属的填充率。 和 分别为金属层和电介质层的厚度； 和 分别为金属和电介质的相对介电常数。

方程 4 和 5 表明，超材料的各向异性色散取决于金属–电介质层的厚度和填充率。 和 的值可正可负，取决于层厚度和材料特性。

为了进一步说明，假设一种由银（金属）和二氧化硅（电介质）组成的超材料，相对介电常数张量对角分量的实部与金属填充率 的关系如下图所示，图中显示了电介质、双曲型和椭圆型三种状态。下图中， 表现出共振行为，因为它取决于相邻金属层之间的电磁耦合； 则显示出平滑的变化。在双曲状态下，介电常数张量的分量符号相反。在 较大的情况下， 的值受金属体积增大的影响，且为负值，产生椭圆拓扑。当 非常小时，金属对超材料特性的影响可以忽略不计，超材料表现为各向异性电介质。

超材料有效相对介电常数对角线分量的实部与金属填充率的函数关系。超材料由具有亚波长厚度和周期性的银层和二氧化硅层组成。

接下来，我们将详细介绍在超材料中激励双曲波的仿真设置。

双曲波激励仿真

本节探讨了 COMSOL Multiphysics^® 软件中利用附近电点偶极子辐射的场模拟超材料中双曲波的传播的能力。模拟的超材料由周期性排列的银和二氧化硅薄层组成，材料属性取自软件的内置材料库。使用 COMSOL 附加产品波动光学模块中的 电磁波，频域 接口和二维轴对称几何进行模拟。如下图所示，弱贡献 节点用于定义电点偶极子，完美匹配层用于吸收电波并尽量减少不必要的反射。运行一个波长域研究步骤来求解域场。运行另一个波长域研究步骤来计算超材料的有效介电常数张量与波长的关系。由有效介质理论（方程 4 和 5）和本构关系（方程 2 和 3）计算介电常数张量分量与自由空间波长的关系。

在源点使用弱贡献定义线性（垂直）极化电点偶极子辐射的电场。波长域研究步骤用于求解域场和超材料色散。

结果

运行模拟研究1后，可以直观地看到超材料中被激励的双曲波。下面的动画显示了光子能量为 2.6 eV 时的瞬时电场。如上所述，偶极子激励了在超材料内部传播的双曲波模式，以及在超材料-空气界面从源点向外径向传播的表面等离激元。

超材料中被激励的双曲波的瞬时电场和在超材料–空气界面传播的表面等离激元。

运行模拟研究 2 后，可以计算出超材料的有效相对介电常数。使用有效介质理论计算和使用方程 2 与方程 3 本构关系计算的结果非常吻合，如下图所示。

使用有效介质理论（实线）计算和通过仿真（标记点）模拟的超材料有效介电常数的对角线分量。

为了进一步直观地展示场分布如何随光子能量的变化而变化，下面的动画演示了光子能量从 2.6 eV 变化至 1.4 eV 时双曲波的电场模。模拟结果表明了双曲波的分支如何随光子能量的变化而演变。

超材料内部双曲波的变化与光子能量从 2.6 eV 变化至 1.6 eV 的函数关系。

本文所讨论内容也可用于模拟不同类型的等离激元材料，以及探索相关的光物质相互作用。

动手尝试

想尝试自己动手模拟双曲超材料吗？请单击按钮，下载文中讨论的模型。

参考文献

1. T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”, Optica 3, pp.1388–1396, 2016

扩展阅读

• 了解有关超材料的更多信息，请阅读以下博客:
  • 使用 COMSOL Multiphysics^® 开发用于设计超透镜的仿真 App
  • 在高频电磁学中模拟石墨烯材料
  • 通过仿真分析特殊多孔超弹性材料

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

表面等离激元简介

电磁学的控制方程，也就是麦克斯韦方程组，可能看起来很简单，但它们的含义却极为广泛和深刻。因此，传播的电磁波可以以各种众所周知的形式存在，如平面波、球面波、高斯波束，以及一些鲜为人知的形式，包括贝塞尔波束、艾里波束和涡旋波束。还有一些被限制在空间内传播的电磁波，例如在金属或介电波导中传播的波导模式。

此外，还有一种特殊类型的被限制在平面上的电磁波。这种类型的波沿切向表面传播，并在垂直方向上呈指数衰减。与相同频率的自由空间波长相比，它的波长通常更小。因此，这种类型的波为光子的纳米级控制和操作提供了一个潜在的技术平台，从光通信和信息处理到太阳能收集和数字显示，这在许多应用中都是需要的。这种类型的波是在金属-介电界面上发现的，现在被称为表面等离激元(SSP)。等离激元是指金属中电荷的集体振荡。自发现以来，人们已经了解到许多材料系统都支持这种类型的表面波，例如接近其声子共振频率的极性介电材料和接近其激子频率的半导体材料。相应的表面波分别称为表面声子偏振子和表面激子偏振子。

无论支持的介质和微观细节如何，不同类型的表面波背后的宏观物理学是相似的。在下面的章节中，我们将重点讨论介电和金属界面之间的等离激元建模。然而，需要注意的是，本文所涉及的建模技术也可以通过一些适当的修改，以类似的方式应用在其他表面波，如 Sommerfeld-Zenneck 波和 Dyakonov 波。

最简单的表面等离激元色散的推导

为了清楚地了解什么是表面等离激元，让我们研究一下支持表面等离激元的最简单的系统，即体金属-介电界面。想象一个在平面上 的金属-介电界面 。介质区为 ，金属区为 。由于平面内没有首选方向，因此在不丧失一般性的情况下，重点研究在 方向传播的表面波。传播平面被定义为传播方向和表面法线所跨越的平面。在这种情况下，传播的平面就是简单的平面。一般来说，传播的电磁波可以分为 s 偏振和 p 偏振，具体取决于电场或磁场是否垂直于传播平面。我们首先考虑 p 偏振（或 TM 波）的情况。

位于 方向的金属–介电界面。该系统支持沿 方向传播并在 方向上呈指数衰减的表面等离激元。

由于我们对沿 方向传播并沿 方向衰减的 TM 模表面波感兴趣，因此可以将电介质和金属中的电场和磁场写为

(1)

(2)

(3)

(4)

其中 和  上标分别表示 和 的数量。 是复杂的表面等离激元传播常数。 和 都是正实数，描述了远离金属介电界面的场衰减。根据边界条件，我们知道电场和磁场的切向分量以及电位移场的垂直分量在金属-介电边界 上是连续的。因此，, , 。根据麦克斯韦方程组，我们知道 。由于没有外部电荷，并且介电常数在 和 分别是恒定的，因此必须在两种物质中保持 ,将其与等式 2 与等式 4 相结合，得到

(5)

(6)

可以简化为

(7)

从此关系中，我们可以看到为什么表面等离激元只存在于电介质 和金属 之间。要使场在 方向上衰减， 和 都必须是正的，这意味着 和 必须具有相反的符号。为了推导 的表达式，我们使用亥姆霍兹波动方程 ，该方程是从两个麦克斯韦曲线方程导出的。将等式 2 和等式 4 代入亥姆霍兹方程，得到

(8)

(9)

其中， 是自由空间波数。最后，结合等式 7–9，我们得出表面等离激元传播常数的表达式

(10)

实部 通过 与表面等离激元波长相关，而虚部描述了表面等离激元传播损耗。通常， 和 是频率相关的，因此 也是频率相关的。 和频率的关系通常是我们想要知道的用于在系统中表征表面等离激元。

请记住，上述讨论纯粹基于表面等离激元是 TM 波的假设。对于 TE 波的可能性，可以简单地遵循相同的推导步骤，并证明所有场振幅必须为零。这意味着 表面等离激元 仅以 TM 波的形式存在，这也是表面等离激元的一个显著特征。

模拟表面等离激元的传播和色散

在本节中，我们将讨论如何使用 COMSOL Multiphysics^® 软件的仿真和建模功能来可视化上述推导的物理结果。由于表面等离激元是空间受限的传播波，我们可以从其他波导建模示例中得到启发，例如介质平板波导教程模型。为确保我们正确设置了模型，作为有效性检查，将在银（金属）和空气（电介质）的界面中模拟表面等离激元表面等离激元。银的介电函数由等离子体频率值约为 9.6 eV 的 Drude 模型很好地描述。对于此模型，我们可以方便地使用 COMSOL 软件内置材料库中的银材料属性。在模型的左侧和右侧边界上施加一个数值端口。打开激励的左侧端口将启动表面等离激元，而关闭激励的右侧端口将吸收表面等离激元而不反射。为了获取两个端口上的模态场，分别添加了两个边界模式分析 研究步骤和一个频域 研究步骤。

在左右边界分别施加了两个端口，用于表面等离激元的激励和终止。为了获取端口上的模态场，在 频域 研究步骤之前添加了两个边界模式分析 研究步骤。

运行模拟后，我们可以很容易地看到表面等离激元的传播。从左到右，下面的动画分别显示了 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元。正如预期的那样，场沿  方向传播并沿  方向衰减。由于吸收力强，金属侧的衰减更快。值得注意的是，表面等离激元波长（实部 ）和传播损耗（虚部 ）随光子能量或频率而显著变化。为了捕捉频率和  之间的定量关系，我们使用可变频率作为 y 轴和 ewfd.beta_1 作为 x 轴绘制它们（由下面动画中的圆形标记显示）。 ewfd.beta_1 是一个复数，但在绘制它时，默认只考虑它的实部。在研究表面等离激元时，习惯上将品质因数（通常称为 Q 因子）定义为实部和虚部 的比率。当 具有较小的虚部（相当于较大的 Q 因子）时，表面等离激元可以在衰减之前相对于其波长传播很长的距离。对于生物传感器和光开关等实际应用，通常需要较大的 Q 因子。Q 因子可以方便地绘制为色散曲线的颜色表达式。在这里，我们选择较亮的颜色来表示较高的 Q 因子，选择较深的颜色来表示较低的 Q 因子。此外，还添加了一条虚线 ，通常称为浅色线。浅色线是自由空间光子的频率-波数色散关系。最后，将方程 9 中的解析表达式绘制为实线。从动画中可以看出，模拟色散和解析表达式表现出很好的一致性。

模拟 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等离激元传播。箭头表示电场方向和强度。

下面的色散图非常能代表贵金属中的表面等离激元色散。该图有助于深入了解表面等离激元的特征。最重要的是，它表明表面等离激元的色散曲线始终位于光线的右侧。这意味着表面等离激元波长总是小于自由空间光的波长。这就是为什么表面等离激元可以用作压缩光波长以实现光场更集中的方法。此外，自由空间光波数和表面等离激元传播常数之间的不匹配意味着我们不能仅仅通过将光照射到金属表面来激发表面等离激元，还需要一些外部机制来进行波矢量匹配。表面等离激元的激发通常是通过使用棱镜的全内反射，光栅的衍射，散射体的散射或穿过电子束来完成的。使用这些技术的目的是准备电磁场，使其波矢量与相同频率的表面等离激元的波矢量相匹配。

表面等离激元在银和空气界面处的模拟的频率-波传播常数色散图。正如预期的那样，模拟结果（圆）与分析计算（实线）一致。自由空间光色散或光线由虚线表示。颜色表示表面等离激元的 Q 因子。

金属薄膜中的表面等离激元

尽管模拟体金属-介电界面中的表面等离激元可以作为表面等离激元传播和色散的很好的示例，但这是一个相当简单并且在物理上无趣的示例。在本节，我们将介绍一个更有趣的案例，即由介电层覆盖的金属薄膜。在这种系统中，顶面和底面都支持表面等离激元。如果金属膜足够薄，那么顶面的表面等离激元和底面的表面等离激元之间的耦合将导致模式杂化。其结果是形成对称和反对称模式。这种情况下的物理场类似于耦合机械谐波振荡器的物理场。在这种特殊情况下，我们模拟了 12 nm 铝膜，周围环绕着折射率为 2 的 4 nm 介电层。使用边界模式分析 研究步骤，我们在色散曲线中发现了两个表面等离激元分支。Q 因子较大的上分支是对称模式，而 Q 因子较小的下分支是反对称模式。

模拟表面等离激元在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的传播。铝膜顶面和底面中表面等离激元的杂化形成对称（左）和反对称（右）模式。

模拟的夹在两个介电薄膜之间的铝薄膜上的表面等离激元色散。两个分支显示了对称（上分支）和反对称（下分支）模式。

虽然在这里没有展示，但我们可以通过仔细匹配每个接口的边界条件来分析推导出这种系统中的表面等离激元色散。随着系统的几何形状变得更加复杂，推导很快就会变得繁琐。使用 COMSOL^® 模拟表面等离激元的优势在于它非常灵活，无论几何组成多么复杂，都可以在软件中计算表面等离激元色散。

新型 2D 材料中的表面等离激元

随着电子行业向小型化发展，2D材料越来越受欢迎。在之前的博客文章中，我们介绍了如何在高频电磁学中对一种2D材料（石墨烯）进行建模。事实证明，2D 材料，如石墨烯，也可以支持表面等离激元。毕竟，具有高导电性的石墨烯表现得像金属。主要区别在于贵金属通常在可见光或紫外范围内具有等离子体频率，这意味着金属在光学频率下支持表面等离激元。另一方面，石墨烯在红外状态下支持表面等离激元，使其成为某些应用独特且有利的材料，例如红外收集和超材料。石墨烯的另一个吸引人的特性是它的导电性可以通过化学掺杂或电调谐来改变。这打开了表面等离激元的可调性，这在传统金属中是无法实现的。

通过模拟表面等离激元传播和色散教学模型，我们可以研究沉积在 SiO₂ 上的石墨烯中的表面等离激元酶作用物。下图显示了石墨烯费米能量设置为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）时的色散曲线。由于石墨烯电导率的差异，可以观察到明显的差异。与金属中的表面等离激元色散相比，我们可以看到这里的光线非常陡峭，它几乎与 y 轴对齐。这是因为表面等离激元传播常数比自由空间光子波数大得多。换句话说，表面等离激元波长要小得多。在下面的动画中，我们可以看到当费米能量设置为 0.2 eV 时，表面等离激元在 29 THz 的传播。此时，自由空间波长约为 10 m，表面等离激元波长小于 100 nm，实现了神奇的波长压缩！但是，我们确实需要注意，在这种情况下，Q 因子不是很高。等离激元在传播仅几百纳米后就完全衰减了。通过改善石墨烯的晶体质量或将其冷却到低温，可以实现更高的 Q 因子。

费米能量为 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）的石墨烯表面等离激元的色散曲线。

石墨烯表面等离激元在 29 THz 下的传播。石墨烯的费米能量设置为 0.2 eV。

乍一看，在色散图中，在 33 THz 左右的频率范围内没有表面等离激元，这似乎很奇怪。这是由于衬底材料 SiO₂ 的介电常数，由于其声子共振变为负值。这种情况可以通过绘制 SiO₂ 的实部来查看模拟频率范围内的介电常数。

SiO₂ 的实部红外频率的介电常数。由于声子共振，介电常数在 33 THz 左右变为负，其中石墨烯表面等离激元不受支持。

在本文的前面，我们简要提到了可用于激励表面等离激元的不同实验技术。 仿真提供了激励表面等离激元的替代方法。一个例子是使用电点偶极子源。回想一下，由于波矢量不匹配，表面等离激元 不能被自由空间光激发。然而，点偶极子产生的近场包含具有矢量的分量，这使得表面等离激元被激发。还可以通过执行此类模拟并从场分布中提取表面等离激元波长来绘制表面等离激元色散。下图突出显示了这种类型的仿真，可以观察到清晰的场振荡。

石墨烯表面等离激元被在 y 方向上取向的电点偶极子激励。

结束语

如前所述，表面等离激元只是众多特殊类别的表面波之一。电磁表面波仍在进行深入研究，其可观察到的现象超出了本文的范围。例如，一些各向异性材料，如 MoO₃，可支持单向表面声子偏振子。这是因为在某个频率下，只有一个面内方向的介电常数为负。在下面的动画中，我们可以看到这样的情况，其中SiO₂衬底上的MoO₃板坯由电点偶极子激励。表面声子偏振以表面等离激元特有的“蝴蝶”模式传播，例如石墨烯，其中发射的表面等离激元各向同性地传播。

各向异性表面声子偏振子在 MoO₃ 中的传播板坯由电点偶极子激励。

通过利用 COMSOL Multiphysics 中的功能，例如电点偶极子节点和 边界模式分析 研究，我们可以通过多种不同的方式对电磁表面波进行建模，并探索相关的丰富现象。

下一步

• 进一步了解文中讨论的教程模型，请至 COMSOL 案例库下载:
  • 金属-空气表面等离极化激元传播和色散仿真
  • 嵌入介质层的薄金属中表面等离极化激元的色散
• 除了上述示例，您还可以在案例库中找到许多其他表面等离激元的教程模型，包括：
  • 通过 Otto 和 Kretschmann 配置激发表面等离极化激元
  • 金属-介质多层超材料中的色散和双曲波

参考文献

1. S. A. Maier, Plasmonics: fundamentals and applications. Springer, 2007.

简介

石墨烯是一种仅由单层碳原子组成的材料，这些碳原子以六边形晶格的形式排列。长期以来，物理学家一直假设存在一种具有单个原子层的材料。几十年前，人们普遍认为，由于热力学不稳定性，像石墨烯这样的材料不可能在自然界中存在。2004年，由曼彻斯特大学的 Konstantin Novoselov 和 Andre Geim领导的一个物理学家团队首次通过实验证明了石墨烯的存在。这一发现被认为是非常重要并具有革命性，因此很快在 2010 年获得了诺贝尔奖。

当前，这种材料已经被全球的物理学、材料学等领域科学家和工程师广泛研究。此外，越来越多的单层材料，如六方氮化硼、黑磷、二硫化钨等，多年来相继被发现。如今，对包含二维材料器件的需求持续上升，因此需要对这些材料进行多物理场建模。

在此，我们将讨论在高频电磁场中对石墨烯等非常薄的材料建模的不同方法。如果你对包含二维材料或其他薄层的光电或光子器件的模拟感兴趣，应该会从以下讨论中受益。

左图显示了石墨烯的六边形晶格结构，其中灰色圆圈代表碳原子。右图显示了石墨烯中的线性能量–动量色散关系，通常被称为 狄拉克锥。带内和带间电子跃迁都对石墨烯的导电性有贡献。

石墨烯的光学电导率

由于线性能量-动量色散，石墨烯中的电子表现得好像没有质量，这使其具有非常独特的光学和电子特性。石墨烯层的电磁特性可以通过其二维表面电导率来表征。带内和带间电子跃迁都对总电导率有贡献，即。使用 Kubo 公式，带内跃迁贡献由下式给出

其中， 是玻尔兹曼常数， 是简化的普朗克常数， 是温度， 是电子电荷， 是费米能量， 是角频率。这种贡献在光子能量较低（射频、微波和太赫兹范围）时占主导地位。当光子能量增加到红外和光学频率时，电子带间跃迁开始。带间电导率由下式给出

函数可以写为

COMSOL Multiphysics^® 软件内置众多物理常数，例如 ， 和 。这些常数可以写为 k_B_const、hbar_const 和 e_const。此外，当在一个方程中使用不同单位系统中的不同量时，在 COMSOL 中也可以很方便地进行单位自动转换。带间电导率的积分可以使用 COMSOL^® 中的内置积分算子计算。请注意，积分的上限是无穷大。在数值上，我们必须把它截断为一个有限值。在该模型中，数值取 rad/s 时结果趋于稳定。

用于计算石墨烯电导率的变量和解析函数。内置常量和算子的使用大大简化了实现。

下图显示了在低频 (THz) 和高频 (IR) 下不同费米能量的石墨烯表面电导率计算结果。在低频下，带内跃迁占主导，电导率遵循类-Drude 响应。在非常高的频率下，电导率接近普遍值 ，是普朗克常数。在这里，我们还可以通过电调控或化学掺杂改变费米能量，可以看到石墨烯出色的可调性。这使得石墨烯成为电子和光电器件中非常理想的材料。最后，如果我们想将石墨烯视为三维平板，则可以由二维表面电导率计算出三维电导率 ， 是石墨烯的（有效）厚度。

左图显示了在太赫兹频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带内跃迁是主要效应。右图显示了在红外频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带间跃迁的贡献变得很重要。在这两个图中，实线代表电导率的实部，虚线代表电导率的虚部。

在射频和波动光学模块中对石墨烯进行建模

那么，我们应该如何在电磁仿真中模拟石墨烯呢？由于其原子厚度，将它明确建模为实际厚度约为 0.34 nm 的三维薄板，计算量很大，而且很可能是不必要的。接下来，我们将演示三种不同的方法：分别使用过渡边界条件、表面电流密度 边界条件和一个有效厚度的三维板。我们发现，就远场光谱而言，这三种方法都能得到几乎相同的结果。请注意，这里所讨论的技术是通用的。它们不仅适用于石墨烯，而且适用于任何几何薄层。作为一个具体的例子，我们将构建一个参考文献1中提出的基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器。

在下图所示的吸收器结构中，由两个石墨烯层制成的网状图案被嵌入聚合物介质中。结构底部的金属接地层用作反射面。地平面和石墨烯之间有效地形成了一个 Fabry–Perot 谐振器。我们很容易注意到，单元格中有两个镜像对称。因此，可以使用 COMSOL 中的完美电导体 和完美磁导体 边界条件来描述这些对称平面，因此只需对四分之一的单元格进行建模。当我们考虑太赫兹辐射的法向入射时，这是适用的，在这个示例模型中就是这种情况。

基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器，由石墨烯层制成的网装结构被嵌入聚合物介质中。模型的底部是金属接地层。

在 COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块中，内置的过渡边界条件 可用于模拟内部边界上的几何薄层。在物理上，它表示由于感应表面电流密度导致的切向电场的不连续性

和

其中，， 和 。指数 1 和 2 指的是表面的两侧。默认情况下，过渡边界条件 假设薄层中的正常传播，这在我们的模型中得到满足，同时仍然假设层具有有限的厚度。石墨烯的（有效）厚度 可以设置为任意小的值，例如 1 nm，只要将三维电导率相应地缩放为 。由于在这个特定模型中有两层石墨烯，我们将在过渡边界条件设置中输入厚度 （详情请见相关模型，链接在本文的末尾）时，三维电导率计算为 。（有关详细信息，请参阅本博文末尾链接的相关模型）。请注意，两个单独的石墨烯层紧密放置在一起，与双层石墨烯之间存在明显差异。当两个单独的石墨烯层紧密地放置在一起时（如该模型），每一层的电导率都不会改变。另一方面，双层石墨烯是由范德华力限制的两个石墨烯层。这种边界可以明显改变石墨烯的性质，有多个影响因素，例如堆叠顺序、扭转角度等。也就是说，在对双层石墨烯或三层石墨烯进行建模时，需要以不同的方式计算电导率。

我们模拟的器件在不同费米能量下的模拟吸收光谱如下图所示。结果与参考文献1一致。在 0.5 eV 费米能量下，存在宽吸收带，在 2.8 THz 附近获得完美吸收。高吸收是由石墨烯和底部接地平面之间形成的 Fabry–Perot 谐振器引起的。当满足共振条件时，在石墨烯中获得高吸收。该器件的吸收可以主动调整，例如通过调整石墨烯上的栅极电压。

石墨烯基超材料在各种费米能量下的吸收光谱。使用 过渡边界条件对石墨烯进行建模。

作为使用过渡边界条件 的替代方案，我们可以使用 表面电流密度边界条件 直接对石墨烯进行建模，如上一篇博文中所简要讨论的那样。这样，我们可以真正将石墨烯视为没有任何厚度的二维层。这里，x 和 y 方向上的电流密度分别设置为 和 的吸收光谱与过渡边界条件 示例的结果相同，如下图所示。

前面讨论的侧重点是通过特定边界条件对石墨烯进行建模，避免对石墨烯层进行全尺寸三维建模。这样，模拟速度和 RAM 使用率都大大提高了。原则上，我们也可以对石墨烯进行三维建模。为了使模型尽可能逼真，一种选择是将石墨烯创建为厚度为 0.34 nm 的三维平板。然而，在这个特定模型中，我们关注的是太赫兹辐射，其波长约为 100 μm。只要石墨烯的厚度远小于波长，就其光学响应而言，没有实际差异。同样，假设三维电导率与有效厚度适当缩放。为方便演示，我们在模拟中使用了 100 nm 的有效厚度（结果可以在下面的散点图中看到）。我们可以看到，即使我们使用了比例放大的厚度，结果仍然与正确的值基本相同。选择一个较大有效厚度是合理的，因为它有助于网格剖分并避免过度网格奇异。但是对 CPU 时间和 RAM 的要求仍然比之前的方法要大得多。

使用三种不同方法： 过渡边界条件、表面电流密度和具有有效厚度的三维体积，模拟石墨烯基超材料的吸收光谱。结果基本一致，三维体积需要更长的模拟时间。

结语

总之，几何薄层在电磁建模中无处不在。除了二维材料，常见的薄层还包括光学元件上的抗反射涂层、电子元件上的导电涂层、PCB 上的薄金属层等。COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块内置了过渡边界条件 和表面电流密度 等功能，可以帮助降低几何薄层建模时的计算复杂性。适当使用这些功能可以大大加快仿真速度，同时确保准确性。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库下载教程模型，动手尝试自己建立石墨烯超材料完美吸收器模型。

参考文献

1. A. Andryieuski and A. V. Lavrinenko, “Graphene metamaterials based tunable terahertz absorber: effective surface conductivity approach”, Opt. Express, vol. 21, pp. 9144–9155, 2013.

开发用于加速度计的高带宽传感器

很多行业都离不开加速度计。汽车设计师常常在安全测试中使用这些机电设备分析冲击和振动。消费者电子产品的开发人员将其用于探测数码相机和平板电脑的方向。

汽车安全测试是加速度计的应用之一。

加速度计中嵌入了传感器封装，后者的作用是检测物体加速度的大小和方向。封装元件决定了加速度计能够精确测量的频率带宽。举例来说，现代商业产品的带宽通常为 10~20 kHz。现代技术发展，待测量的频率也随之提高，所以传感器必须能够处理更大的带宽。

认识到这一点后，一组来自弗劳恩霍夫高速动力学研究所（Fraunhofer Institute for High-Speed Dynamics，又称 Ernst-Mach-Institut）的研究团队联手德国弗莱堡大学（Albert-Ludwigs-Universität Freiburg），选择了使用 COMSOL Multiphysics® 软件来设计和分析用于高 G 值加速度计的传感器封装。设计方案的核心是一种新型压阻式传感器芯片，它能够测量高达 100,000 g 的瞬态加速度。相比于目前最先进的传感器，这款压阻式传感器的品质因子（灵敏度乘以共振频率）约高出了一个数量级。

使用 COMSOL Multiphysics® 设计与分析高 G 值加速度计中的传感器封装

首先，我们看一看压阻式传感器芯片的设计，其中包含：

• 刚性框架
• 弯板
• 四个通过惠斯通电桥互连的压阻元件

传感器芯片。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016年慕尼黑站发表的论文。

在 COMSOL Multiphysics 中，该芯片配置被完整地建模为硅 MEMS 器件。

至于封装，三块芯片被集成到了一块陶瓷板上。三块芯片互相垂直，分别感应 x、y 和 z 方向。

传感器及其封装相当于一个复杂的质量弹簧系统。板由于加速度而弯曲，引起压阻元件拉伸和压缩，进而导致电阻变化。

完整的传感器封装。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016年慕尼黑站发表的论文。

研究人员对多款传感器封装设计进行了测试，不过本文只重点介绍其中的一个具体案例。此传感器封装的几何结构如下所示，研究人员通过 LiveLink for Inventor® 将其导入到了 COMSOL Multiphysics® 中。

每种颜色分别表示：

• 白色：封装外壳和盖子
• 红色：陶瓷板
• 灰色：压阻式传感器芯片
• 橙色：材料填充
• 绿色：粘接层
• 蓝色：哑缆

掀开盖子的传感器封装设计示例（a）及其展开图（b）。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016年慕尼黑站发表的论文。

为了分析特定频率范围内的传感器性能，研究人员采用了两种方法：

1. 对系统进行模态分析
2. 在 0~250 kHz 的频率范围内，对被施加振荡加速度负载的传感器进行模拟

第一种方法提供了共振频率的值和振形，而第二种描述了传感器封装中组件的应力和位移。基于这些信息，人们能确定压阻桥的相对电阻，并计算传感器芯片的输出信号。

评估仿真结果

本文的仿真结果基于以下传感器封装的设计参数：

下图显示了 0~250 kHz 频率范围内的传感器输出信号。需要注意的是，这里计算的是 100,000 g 加速度、1 V 电源电压下的输出信号。另外，设传感器灵敏度的最大变幅为 5％。

传感器在不同激发频率下的输出信号。左侧图表显示了整个频谱，右侧图表显示了 0~100 kHz 范围内的特写图。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

从左侧图表中可以看出，曲线的变化最初是平坦的，直到 130 kHz 才出现了波动。然而，仔细观察右侧特写图，灵敏度在较低频率下也发生了变化。在灵敏度最大变幅为 5％ 的前提下，传感器封装的潜在带宽为 47 kHz。

我们还分析了传感器封装的模式，尤其是频谱中的峰值模式。如上方右图所示，第一个模式，即“盖板模式”发生在频率达到 39 kHz 时，对灵敏度影响很小。在上方左图中，除了上限振荡之外，第一个模式，即“封装模式”出现在频率为 128 kHz 时，它对输出信号产生了显著影响。

左：第一个盖板模式，沿 z 方向振动。右：第一个封装模式，在 y 方向上振荡。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

根据模态分析，我们在 287 kHz 处观察到另一个振荡。作为传感器元件位移的主要原因，这种模式对传感器信号影响预计最大。为了测试这一假设，研究人员采取了实验测试。

传感器元件内的主要位移模式。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

参照实验数据验证结果

在仿真研究转化为实验的阶段中，研究人员使用了下列参数。考虑到实践因素，这些参数与模型采用的参数略有不同。

另一项仿真研究已经预先确定了期望频率的范围：

• 5% 的上下限：16~30 kHz
• 封装的模式：67~98 kHz
• 传感器元件的模式：129~200 kHz

在实验中，研究人员用一个小玻璃锤来刺激传感器，使之产生振荡，以便测量特征频率。他们使用 10 MHz 作为采样频率来记录传感器的脉冲响应。

传感器对振荡的脉冲响应。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016年慕尼黑站发表的论文。

为了检验相关频率的脉冲响应，信号被转换到了频域。如下图所示，较高的频率段出现了多个峰值。930 kHz 处的最高峰值表示现实中传感器芯片的一阶本征频率。较低的频率约为 70 kHz，属于激发脉冲的一部分。

左：传感器在 0~2 MHz 频率范围内的脉冲响应。右图：传感器在 0~350 kHz 内的脉冲响应。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

有趣的是 153 kHz 对应的峰值。它对应了传感器元件在 129~200 kHz 之间的振荡。这一发现有力支持了振荡对传感元件影响最大的推论。

在灵敏度分析中，每个轴被施加了 8600 g 的加速度。我们利用钛制霍普金森压杆来产生冲击载荷，杆上一个附加装置的功能是保证每个传感器轴上的载荷均匀分布。

霍普金森杆的附加装置。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

下图中的输出信号测量结果被用来计算不同轴的灵敏度。预期灵敏度为 1.3 µ V/V/g，潜在的最大偏差为 30％。灵敏度的最大偏差发生在 x 轴（约 23％）上，而其他轴的偏差率相对较低。请注意，所有传感器芯片的偏差值均落在此范围之内。

被施加了 8600 g 的加速度下的输出信号测量结果。图片由 R. Langkemper、R. Külls, J、Wilde, S. Schopferer 和 S. Nau 提供，摘自他们在 COMSOL 用户年会 2016 年慕尼黑站发表的论文。

上述研究发现与仿真结果的预期值吻合良好，进一步说明了传感器封装设计适用于高 G 值加速度计。

了解更多关于分析和优化传感器设计的信息

• 阅读完整的 COMSOL 用户大会论文：
  • Development of a Package for a Triaxial High-G Accelerometer Optimized for High Signal Fidelity
• 探索仿真在分析和改进其他传感器设计中的应用：
  • 模拟由洞穴鱼启发的 MEMS 压力感应器
  • 三维多层石墨烯生物传感器的设计模拟
  • 设计用于监测慢性肾病的 CSRR 结构传感器

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石墨烯为生活带来技术创新

减少海洋污染的纳米机器人，在雨中工作的太阳能电池，能将传输无线数据速度提高十倍的设备，这些开发技术有什么共性？除了创新特质外，还有一个特点将它们紧密联系在一起，即它们都运用了一种革命性的材料。这种材料一直是 COMSOL 博客中反复讨论的主题。猜到它的名字了吗？它就是石墨烯。

在认识到这种坚固而轻质材料的种种优点后，越来越多的行业开始尝试将石墨烯运用于各类应用领域。以生物传感器为例。由于石墨烯导电性好、表面积大，因此对于传感器设备，石墨烯是一种最佳的材料。这可以归因于这样一个事实：电子运动得越快，生物分子检测的准确性和选择性就越高。

葡萄糖监测是生物传感器的一个应用。图片由 David-i98 (talk) (Uploads) — Own work. 提供。在 CC BY-CA 3.0 许可下使用，通过 Wikimedia Commons 共享。

为使生物传感器在各类治疗方案和个性化医疗应用中更精密且可靠，罗马尼亚布加勒斯特理工大学的一个研究团队利用 COMSOL Multiphysics 设计了一个三维多层石墨烯生物传感器并进行分析。在 2015 年 COMSOL 年会法国格勒诺布尔站上，该团队展示了他们的研究结果，下面我们就来了解这个传感器。

利用 COMSOL Multiphysics 设计三维多层石墨烯生物传感器

如上所述，这里展示的研究是一个多层生物传感器设计。众所周知，单层石墨烯的活性比多层石墨烯结构的活性大得多，因此材料的边缘比表面活性大。要让石墨烯稳定一些，多层石墨烯结构是用于生物传感器的一个理想选择。

除了考虑生物传感器本身的设计外，传感器接触物体的接触面也是要考虑的重要一点。因为这里研究的是生物传感器，因此接触面就是人的皮肤。皮肤是人体的一部分，具有最大的表面积，而且皮肤对内外界刺激的反应各不相同，因此人的皮肤是一个收集物理和化学数据的良好环境。

在设计生物传感器模型之前，该团队考虑了以下接触面：

• 人体皮肤与聚乙烯醇水凝胶
• 聚乙烯醇水凝胶与基于石墨烯的结构
• 基于石墨烯的结构与电极
• 石墨烯/电极与硅衬底

基于这几种接触面，该团队设计出了两种生物传感器设备模型，描述了过程变量以及环境刺激的影响。第一种模型是含两个电极的单层石墨烯/氧化石墨烯传感器设备。第二种模型是含四个电极的多层传感器设备。对于第二种模型，研究人员分别研究了包含石墨烯复合结构的情况以及不包含该复合结构的情况，以进一步区分石墨烯的反应。

多层石墨烯生物传感器设备。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

这两种模型设计完成后，研究人员在 COMSOL Multiphysics 中运行了一系列仿真，分析这两种模型结构的生物传感能力。这些分析包括测量设备接触面上的温度分布以及电势（参见以下各组图）。研究结果显示，无论是哪种设计，基于石墨烯的结构都具有传感能力。

含两个电极的设备接触面处的温度分布（左图）和含四个电极的设备接触面处的温度分布（右图）。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

含两个电极的设备接触面处的电势（左图）和含四个电极的设备接触面处的电势（右图）。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

确定这些传感器结构具有传感能力后，该团队又测试了大量其他的生物传感器结构，以此确定，石墨烯片层上的聚乙烯醇水凝胶的最佳反应方式，以及石墨烯生物传感器中蛋白质功能反应的最佳反应方式。测试结果证明，仿真是分析这类属性的一个非常有用的工具。仿真结果如下所示，其中高亮显示了石墨烯生物传感器中能量通量的空间分布，以及含四个电极的设备接触面上的电荷分布。

石墨烯生物传感器上能量通量的空间分布仿真（左图）以及含四个电极的设备接触面上电荷分布仿真（右图）图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

研究人员进一步的分析研究旨在揭示，不同的环境刺激施加到生物传感器的活性表面后是如何影响生物传感器的。例如，研究人员使用声学模块能定义接触面对不同声压的反应。下图给出的结果演示了声刺激对含四个电极的设备中石墨烯传感结构的影响。

分析声刺激对含四个电极设备的影响。图像由 E. Lacatus、G.C. Alecu 和 A. Tudor 提供，并摘自其论文 “Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“。

利用 COMSOL Multiphysics，研究人员能成功地识别出，当生物传感器与复杂的人体皮肤接触时，石墨烯传感结构相关的属性。这项仿真研究以及模型本身，为基于石墨烯的生物传感器的开发提供了有价值的设计解决方案。

对石墨烯和生物传感器建模的其他资源

• 在此处下载完整论文：”Models for Simulation Based Selection of 3D Multilayered Graphene Biosensors“
• 在 COMSOL 博客中，探索 COMSOL Multiphysics 如何进一步应用于基于石墨烯结构的设计和优化
• 要对生物传感器建模？读完这篇博客，您就会知道使用 COMSOL Multiphysics 的 App 开发器将您的模型转成 App 是一件如此容易的事

什么是 UHV/CVD？

在 CVD 工艺中，在化学过程中，会在暴露的基底表面发生反应或进行分解，进而制造出一层沉积膜或薄膜。我们一般使用 CVD 来生产拥有较高质量及强度的材料，比如石墨烯这种仍持续占据科学界头条的强大而又独特的材料。CVD 还可用于生产各种通用型产品，从碳纳米纤维到合成钻石等等，因此极受重视。在半导体类应用中，可使用 CVD 进行高纯度硅的外延层生长。

石墨烯就是可以通过 UHV/CVD 生产的材料之一。图片由 AlexanderAlUS 提供。已获 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 授权，并通过 Wikimedia Commons 分享。

UHV/CVD 工艺需要在低于 10^-6 Pa 的压力（约为 10^-8 torr）下工作。该工艺会使用分子流来传递气体。UHV/CVD 不涉及诸如边界层等流体动力学效应；此外，由于分子的碰撞频率很低，也不涉及气相化学。材料在基底上的生长速率通常取决于达到表面的物质的分子通量。我们也可以借助 UHV/CVD 工艺来生产石墨烯，我的同事 Daniel Smith 曾在“石墨烯革命”系列博客的第四部分讨论过。

利用 COMSOL Multiphysics® 软件模拟 UHV/CVD

如前所述，UHV/CVD 实验往往耗时过长，且费用很高，而且还需要一些特殊材料和复杂的热管理。幸运的是，我们可以使用分子流模块（COMSOL Multiphysics 仿真平台的附加模块之一）中的自由分子流动接口来模拟这一化学工艺。在模型中，基片紧密排布在石英管内移动的船体上，石英管被锅炉环绕。晶圆匣通过传送轨道安置于管道内。

反应气体与镇流气体通过一端的预真空锁进入反应室。涡轮泵位于反应室的另一端。

UHV/CVD 工艺所用反应室的模型几何。

仿真中，反应气体硅烷与镇流气体氢以 1 SCCM 的标准质量流率从系统入口进入，硅烷与氢的比例为 20%：80%。将反应室入口设为排气壁边界条件。真空泵置于反应室的另一端的筒形端口内。

仿真使我们能针对各泵速曲线分析这一工艺。我们分析了三种不同的硅烷和氢泵速曲线，将这些曲线作为插值函数输入 COMSOL Multiphysics 软件。之后，我们可以使用参数化扫描来分析各种气体在不同泵速曲线下的传输。

在下方的表面图中，我们可以看到其中一个泵速曲线下硅在基片上的生长情况。

晶圆匣内的硅烷分子通量分数，它控制了在基片上的生长情况。

硅烷在基片表面的分子通量分数 (0.04) 远低于入口处 (0.2)。氢的分子量更低，所以泵入难度要高于硅烷。由于该测量值会直接控制基片上的生长量，所以硅烷泵和氢泵的选择对于 UHV/CVD 生产出的材料量有重要影响。由于很难通过物理实验测量每种材料的分子通量分数，所以可以借助仿真来分析及优化 UHV/CVD 工艺。

下一步操作

点击下方按钮进入“案例下载”页面，下载并操作此教学模型。拥有 COMSOL Access 和有效软件许可证的用户可下载 MPH 文件。

扩展阅读

• 阅读专题博客学习石墨烯及其生产
• 深入了解COMSOL Multiphysics 仿真软件及其仿真应用

编者注：本篇博客文章更新于 2018 年 5 月 2 日 。

满足对石墨烯的需求

您很可能曾在新闻里听到过“石墨烯”这个词，当然也可能多次在我们的博客里读到过它，报道一般会提到它们在促进各行业技术进步方面的巨大作用。我们并非每天都能发现类似石墨烯这样独特和强大的材料，现在我们可以很有信心地说全世界都已经注意到了这种材料。

石墨烯结构，图片由 K. M. Al-Shurman 和 H. A. Naseem 提供，取自他们撰写的论文”镍制薄膜上的 CVD 石墨烯生长机制“。

石墨烯是一个与许多人相关的话题，包括我们自己。在最近的一个博客系列中，我们强调了这种材料背后的革命，从它的特性和生产方法，到模拟它在各种应用中的使用情况。

我们在该系列的最后一篇博客中强调了“神奇材料”的研究工作，正是这种研究帮我们在无意中发现了二维玻璃这种材料。虽然材料发现本身就是一件非常了不起的成就，在这里我却想重点介绍下他们在研究中实际使用的石墨烯生长方法，即化学气相沉积 (CVD)。

化学气相沉积背后的科学

化学气相沉积描述了这样一种化学工艺，它设计用来制造拥有很高强度的高纯度固体材料。在本方法中，气体分子在包含一个加热基底的反应室中被结合在一起。气体和加热基底之间的相互作用使气体在基底表面发生反应和/或在基底表面分解，进而制造出材料薄膜。

本合成方法能够制造出相当高品质的材料，所以非常有用。相对其他涂层方法，化学气相沉积中得到的材料往往具有更高的纯度和硬度，并更抗震或抗损坏。本方法的另一个优势是可沉积多种材料，石墨烯就是其中之一。

石墨烯合成

在各种合成技术中，化学气相沉积已被证实在开发高质量石墨烯膜方面拥有广阔的前景。本工艺是指在由过渡金属制成的不同基底上生长石墨烯膜，比如镍 (Ni)。这涉及到分解的碳原子在高温下向镍中的扩散，以及在冷却过程中碳原子在镍表面的析出。

由于 CVD 方法中生长条件的多样性，单层石墨烯的生产以及对石墨烯膜质量的控制就变得相当有挑战性。阿肯色大学的一个研究团队认识到了更好地理解石墨烯生长机制以及石墨烯生产最佳条件的必要性。

理解 CVD 石墨烯生长机制

研究人员使用 COMSOL Multiphysics 开发了一个石墨烯合成模型，以分析镍上 CVD 石墨烯生长的溶解-析出机制。在研究中，他们分析了会影响合成石墨烯层数的因素，包括生长时间与温度、冷却速率、镍中的碳溶解度，以及镍膜厚度。

在镍上进行 CVD 石墨烯生长的机制示意图。图片来自于由 K. M. Al-Shurman 和 H. A. Naseem 制作的海报”镍制薄膜上的 CVD 石墨烯生长机制“。

在分析碳原子的扩散时，团队发现 Ni 膜内的温度越高，扩散过程越快。根据结果，他们总结出需要更多时间使碳原子在更厚的 Ni 膜中达到饱和态。

此外，研究人员还模拟了由冷却造成的过饱和。在过饱和过程中，碳原子在 Ni 薄膜表面被分开。将薄膜从 900°C 冷却至 725°C 时，即可在膜表面得到 1.7 层石墨烯。得到的石墨烯层数已证实相对实验数据很合理。

绘图重点显示了当 Ni 膜从 900°C 冷却至 725°C 时生成的层数。 图片来自于 K. M. Al-Shurman 和 H. A. Naseem 所做的演讲展示”镍制薄膜上的 CVD 石墨烯生长机制” 。

下载该研究

• “镍制薄膜上的 CVD 石墨烯生长机制“

天然石墨烯

石墨烯具有很多优势，以及一些不同寻常的材料属性。借用我同事 Dan 在之前一篇博客中的说法，石墨烯的强度大约比钢高 200 倍，同时电导率和导热系数均高于铜。Dan 认为石墨烯具有高电导率和导热系数的原因在于，它的室温电子迁移率高达 15,000 cm²/(V-s)，在某些形式下甚至达到 200,000 cm²/(V-s)。《科技纵览》年初刊发的一篇文章用非常简单的方式解释了这个原因：

“例如，在低温下，电子在给定电压下通过材料的速度比在硅中快 100倍。”

此外，正如我之前提到的，石墨烯非常轻，实际上，每平方米的重量不到 1 毫克。所有这些都使天然石墨烯成为制造 RF 晶体管和其他电子产品的不错选择。

石墨烯，图片由 AlexanderAIUS 提供。

虽说有上述优点，但天然的石墨烯并非完全没有缺点。正如我们在《科技纵览》文章中了解到的，天然石墨烯不像半导体材料那样拥有带隙（或电子激励的临界值），也就是说您将无法关闭电流。众所周知，能够控制电流开关是制作逻辑器件的关键，这也是半导体硅被广泛应用于现代电子产品中的原因。

那么，上一篇博客中提到的向石墨烯中引入带隙的研究如何呢？ 从我提到的那篇文章来看，我们可能还无法实现这一点。也许可以通过在一层材料之上堆叠另一层材料，一层层堆叠下去，或将其切成纳米带，从而引入带隙；但据称这样会带来严重的负面影响， 即降低电子速度。

其他二维材料

虽然石墨烯的研究和制造正在有条不紊地进行中，也被研究人员广泛讨论着，但目前也存在一些尚未被我们充分发掘但同样很有潜力的材料，它们可以单独使用，也可以结合石墨烯使用。

氮化硼

虽然石墨烯中不存在带隙，但氮化硼却和钻石一样拥有非常宽的带隙。虽然带隙太大，不适宜用于电流开关，但它可以作为一种不错的绝缘体。科研人员结合这种材料和石墨烯，在制作极薄的电路方面已经取得了一些突破。

氮化硼。

硅烯

作为石墨烯的竞争对手，硅烯是一种只有单层原子厚、同时可以在银表面生长的材料。硅烯拥有一些和石墨烯类似的材料属性（例如无质量狄拉克费米子），但同时还具有一些更加优秀的特征，包括更低的对称性组、更强的自旋-轨道耦合，它也许比石墨烯更适合与硅基电子器件集成。

硅烯，图片由 Ayandatta 提供。

锡烯

最近，研究人员使用仿真工具，结合锡的二维单分子膜和氟原子，制造了称为锡烯的材料，它看上去与石墨烯非常像。研究人员预测，在室温下，锡烯的边缘能以 100% 的效率传导电能，但内部绝缘。预计它能够以零电阻的形式支持 4 条数据通路，每条边支持两条传播方向相反的通路。

换言之，人们认为材料可以作为双并行超导线缆。在电阻方面，这种新型材料与正常导体之间有一个很有意思的区别： 在常规导体中，更长的线缆往往意味着更高的电阻；但在锡烯中，我们仅需关注末端与芯片电路接触点产生的电阻，并且电阻不会随线缆长度变化。

研究人员仍在等待对这种新型材料的实验验证，一旦验证完成，锡烯将会是继石墨烯后的另一项重大发现。

石墨烯研究与二维玻璃的意外发现

从 2004 年石墨烯被发现的那一天开始，石墨烯的研究就已经取得了重大的突破。gizmag.com 显示，2012 年，人们在研究石墨烯时无意间发现了世界上最薄的玻璃。它仅有两层原子厚，这是一项非常了不起的发现。

康奈尔的两位研究人员利用化学气相沉积在附着于石英基底的铜膜上生长石墨烯时，无意中发现了这种二维玻璃。他们发现石墨烯层变色后，决定对它进行检测， 结果发现变色的部分其实是单原子层的硅玻璃。虽然没能复现这个结果，研究人员推断这类玻璃将有可能应用于纳米科技。

扩展阅读

• 了解更多关于石墨烯的内容，请阅读我们今年早些时候发布的石墨烯系列博客。
]]> //www.denkrieger.com/blogs/2d-materials-not-just-about-graphene/feed/ 1 //www.denkrieger.com/blogs/the-graphene-revolution-part-5 //www.denkrieger.com/blogs/the-graphene-revolution-part-5#comments Wed, 08 May 2013 18:14:37 +0000 http://com.staging.comsol.com/blogs/?p=93241 在一篇名为”选择石墨烯基晶体管的栅介质“的论文中，讨论了半导体形式石墨烯的应用。正如我们之前所了解的，单层石墨烯并非一种半导体，它是一种零带隙导体（半金属）。人们正尝试向石墨烯中引入带隙，这将使它变得半导电，室温迁移率将比硅高一个数量级。人们现在正积极思考在攻克剩余技术难题之后，如何应用这类材料。半导体石墨烯的应用之一是设计下一代快速切换金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSFET）。

什么是 MOSFET？

MOSFET 的基本思路是施加栅极电压来控制漏源电阻，进而控制漏电流（见下图）。在某个栅源电压 (V_GS)以及较低的漏源电压 (V_DS) 下，漏电流几乎线性依赖于 V_DS。V_DS 增加时，漏电流将达到饱和。饱和程度依赖于栅源电压，切换时间取决于半导体的迁移率。半导体材料的迁移率越高，接通及断开电流越快。



半导体物理学

半导体物理学极其复杂。严格来讲，Boltzmann 方程应与 Maxwell 方程一起求解，以完整描述设备的物理。由于这很难计算，所以最常见的半导体模拟方法是求解一组耦合到泊松方程的漂移扩散方程：

\begin{aligned}
\frac{\partial n}{\partial t}&=\frac{1}{q}\nabla \cdot \mathbf{J_{n}}-R_n \\
\frac{\partial p}{\partial t}&=-\frac{1}{q}\nabla \cdot \mathbf{J_{p}}-R_p \\
\nabla \cdot{} \left(\epsilon \nabla V\right) &= -q(p-n+N_D^+-N_A^-)
\end{aligned}

这里，n 是电子数密度、p 是空穴数密度，V 是静电势、R_n 是电子复合率、R_p 是空穴复合率、J_n 是电子电流，J_p 是空穴电流。对此方程组的求解支持您构建半导体器件的电压-电流特征。半导体方程高度非线性，需要特殊的数值方法来求解。

我们全新的半导体模块

正如我们最近所宣布的，COMSOL 平台新近增加了专业的半导体模拟产品，即半导体模块，它可以帮助用户从基础物理水平层面对半导体器件进行详细分析。 该模块基于包含等温或非等温传递模型的漂移-扩散方程，同时提供了两种数值方法：结合 Scharfetter Gummel 迎风方法的有限体积法，以及结合 Galerkin 最小二乘稳定的有限元方法。半导体模块提供了一个易于使用的接口来分析和设计半导体器件，极大简化了 COMSOL平台上的器件模拟工作。

半导体模块还提供了多个半导体和绝缘材料模型，同时还以专业特征的形式提供了欧姆接触、Schottky 接触、栅极等边界条件。模块还增强了对静电的模拟功能。通过具有 SPICE 导入功能的电路接口，可进行系统级别和器件混合的仿真。

半导体模块对于模拟各类实际器件非常有帮助。内置案例库包括一系列模型，它们被设计用于提供直观的指导，并演示如何使用该接口来模拟您自己的器件。半导体模块对于模拟双极型晶体管、金属半导体场效应晶体管 (MESFETs)、金属氧化物半导体场效应晶体管 (MOSFETs)、肖特基二极管，以及 P-N 结非常有帮助。



因此，对于本博客开篇论文中提到的石墨烯基半导体类似的器件，可使用半导体模块分析其器件特征。

石墨烯系列结束语…

过去几个月中，我们发布了四篇石墨烯系列博客，介绍了它的历史、应用，以及制造。我非常荣幸能谈论这个话题，不过这里我仅讲到了问题表面，还有许多子课题尚未涉及，因此我建议您继续关注各类技术杂志和出版物，了解石墨烯的最新研发进展。不论您是否对石墨烯的应用或制造感兴趣，COMSOL 中提供的各类产品都可以帮助您更加深入地理解这些工艺。

扩展阅读

• 石墨烯革命：第一部分
• 石墨烯革命：第二部分
• 石墨烯革命：第三部分
• 石墨烯革命：第四部分
• 有关石墨烯新产品的文章合集
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