超材料简介

超材料是由亚波长组件组成的人工构造结构。这些结构展现出各向异性色散特性，可以通过改变组成单元的形状、几何结构、尺寸、方向和材料特性来控制其电学特性，如介电常数、磁导率和电导率。通过合理选择控制参数，可以将超材料设计为具有金属（负实介电常数）或电介质（正实介电常数）特性。金属或等离激元超材料展现出两种不同的拓扑：双曲型和椭圆型。在双曲拓扑中，正交轴上的介电常数符号相反；在椭圆拓扑中，所有方向上的介电常数均为负。

这种等离激元超材料具有亚波长周期性和尺寸，可以通过周期性排列的金属–电介质层以及嵌入电介质中的金属纳米棒来构建。双曲波在超材料结构内部的传播被高度限制，其波长比自由空间中的波长小 100 倍。这种独特的电磁特性使得双曲超材料在如增强超透镜效应、亚衍射成像、传感、负折射、能量收集，以及量子和热工程等潜在应用中与传统各向同性材料截然不同。

接下来，我们将讨论采用半经典电磁方法计算层状金属-电介质超材料的介电常数张量分量。

计算超材料介电常数：仿真vs.有效介质理论

假设一个线性（垂直）极化电点偶极子源位于双曲超材料附近的空气中，该双曲超材料由周期性定向的亚波长金属–电介质层组成。偶极子辐射的消逝场与超材料结构耦合，激发出两种类型的波：沿金属–空气界面传播的表面等离激元和在超材料内部传播的双曲波。

位于超材料结构附近空气中的电点偶极子示意图。该结构由周期性排列的金属层和具有亚波长厚度与周期性的电介质组成。

超材料的各向异性相对介电张量 可以通过本构关系计算，用电位移场 和电场 表示为

1

假设超材料没有磁性， 的径向和垂直分量可表示为

2

3

在 和 已知的情况下，方程 2 和 3 可用于计算超材料的介电常数张量。为了在 COMSOL Multiphysics^® 软件中计算这些值，需要使用 up 和 down 算子计算平均电位移场和电场分量。然后，使用 平均 算子对本构关系 进行积分，计算有效介电常数。需要强调的是，这些算子是在超材料的金属–电介质内部边界上执行的，用于估算边界两侧不连续的场。

计算超材料介电常数的另一种方法是有效介质理论。在亚波长范围内，对角线分量可通过下列有效介质理论¹ 计算

4

5

式中， 是金属的填充率。 和 分别为金属层和电介质层的厚度； 和 分别为金属和电介质的相对介电常数。

方程 4 和 5 表明，超材料的各向异性色散取决于金属–电介质层的厚度和填充率。 和 的值可正可负，取决于层厚度和材料特性。

为了进一步说明，假设一种由银（金属）和二氧化硅（电介质）组成的超材料，相对介电常数张量对角分量的实部与金属填充率 的关系如下图所示，图中显示了电介质、双曲型和椭圆型三种状态。下图中， 表现出共振行为，因为它取决于相邻金属层之间的电磁耦合； 则显示出平滑的变化。在双曲状态下，介电常数张量的分量符号相反。在 较大的情况下， 的值受金属体积增大的影响，且为负值，产生椭圆拓扑。当 非常小时，金属对超材料特性的影响可以忽略不计，超材料表现为各向异性电介质。

超材料有效相对介电常数对角线分量的实部与金属填充率的函数关系。超材料由具有亚波长厚度和周期性的银层和二氧化硅层组成。

接下来，我们将详细介绍在超材料中激励双曲波的仿真设置。

双曲波激励仿真

本节探讨了 COMSOL Multiphysics^® 软件中利用附近电点偶极子辐射的场模拟超材料中双曲波的传播的能力。模拟的超材料由周期性排列的银和二氧化硅薄层组成，材料属性取自软件的内置材料库。使用 COMSOL 附加产品波动光学模块中的 电磁波，频域 接口和二维轴对称几何进行模拟。如下图所示，弱贡献 节点用于定义电点偶极子，完美匹配层用于吸收电波并尽量减少不必要的反射。运行一个波长域研究步骤来求解域场。运行另一个波长域研究步骤来计算超材料的有效介电常数张量与波长的关系。由有效介质理论（方程 4 和 5）和本构关系（方程 2 和 3）计算介电常数张量分量与自由空间波长的关系。

在源点使用弱贡献定义线性（垂直）极化电点偶极子辐射的电场。波长域研究步骤用于求解域场和超材料色散。

结果

运行模拟研究1后，可以直观地看到超材料中被激励的双曲波。下面的动画显示了光子能量为 2.6 eV 时的瞬时电场。如上所述，偶极子激励了在超材料内部传播的双曲波模式，以及在超材料-空气界面从源点向外径向传播的表面等离激元。

超材料中被激励的双曲波的瞬时电场和在超材料–空气界面传播的表面等离激元。

运行模拟研究 2 后，可以计算出超材料的有效相对介电常数。使用有效介质理论计算和使用方程 2 与方程 3 本构关系计算的结果非常吻合，如下图所示。

使用有效介质理论（实线）计算和通过仿真（标记点）模拟的超材料有效介电常数的对角线分量。

为了进一步直观地展示场分布如何随光子能量的变化而变化，下面的动画演示了光子能量从 2.6 eV 变化至 1.4 eV 时双曲波的电场模。模拟结果表明了双曲波的分支如何随光子能量的变化而演变。

超材料内部双曲波的变化与光子能量从 2.6 eV 变化至 1.6 eV 的函数关系。

本文所讨论内容也可用于模拟不同类型的等离激元材料，以及探索相关的光物质相互作用。

动手尝试

想尝试自己动手模拟双曲超材料吗？请单击按钮，下载文中讨论的模型。

参考文献

1. T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”, Optica 3, pp.1388–1396, 2016

扩展阅读

• 了解有关超材料的更多信息，请阅读以下博客:
  • 使用 COMSOL Multiphysics^® 开发用于设计超透镜的仿真 App
  • 在高频电磁学中模拟石墨烯材料
  • 通过仿真分析特殊多孔超弹性材料

太赫兹波段简介

电磁波频谱的频率范围横跨大约 15 个数量级，几乎所有的电磁波段已被成功地应用到从远程通信到癌症治疗等各个领域。然而，由于太赫兹波的产生和检测存在技术困难，因此，频率范围大约在 0.1 THz 到 10 THz 之间，常被称作电磁频谱 “最后的前沿”太赫兹波段，一直未能实现大规模应用。直到最近，由于与太赫兹波产生和检测相关的技术创新在过去几十年里取得重大进展，太赫兹波段的商业应用似乎将要普及。事实上，6G 技术的运行频率可能就在太赫兹范围内。

图 1 太赫兹光谱位于微波和红外波谱范围内。

太赫兹波段的吸引力不仅仅在于通过更高的频率实现更大的带宽。许多材料，例如织物和纤维素等，对太赫兹辐射的吸收并不强烈，因此太赫兹成像技术能够“透视”衣物和包装材料的内部信息。另一方面，由于许多分子具有太赫兹能量的旋转和振动态，会强烈吸收太赫兹辐射，因此在正确的设置下，可以通过太赫兹图像获取准确的化学成分信息。此外，太赫兹波是非电离的，因此对人体安全无害。由于这些原因，太赫兹成像技术在安检类应用中成为 X 射线的理想替代品。

光导天线是许多太赫兹器件的基本组件，因此，本文将重点讨论光导天线模拟，即使用 COMSOL 附加产品半导体模块和RF模块建立一个光导天线模型，来预测太赫兹器件的发射光谱和指向性。尽管光导天线在太赫兹波的产生和检测中均有应用，但为了简化分析，我们将重点关注光导天线作为发射器的情况。本文采用的设置主要来自参考文献 1。

光导天线是如何工作的？

光导天线的工作原理相当简单。在由低导电性半导体（如低温砷化镓，LT-GaAs，由砷化镓在低温下结晶时产生，具有大量晶体缺陷）制成的基板上，在导电终端之间施加直流偏置电压，然后采用快速脉冲激光照射终端之间的间隙，就可以触发光电效应。当激光的光子能量大于半导体的带隙时，激光脉冲就会激发产生电子-空穴对，从而迅速提升材料的导电性。在终端之间流动的瞬态电流脉冲，即 光电流，将激发产生电磁辐射脉冲。如果激光脉冲持续时间处于飞秒量级，此脉冲的频谱通常会落在太赫兹波段。一旦激光脉冲结束，由于低温砷化镓材料内部高度缺陷，载流子会迅速重组，导致电流密度呈指数级衰减。光导天线的示意图如下图所示。

图 2 发射模式下的光导天线。

使用 COMSOL^® 模拟光导天线

在这个模拟应用中，我们使用半导体模块中的 半导体 接口计算激光脉冲产生的瞬态电流密度，并通过RF模块中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲的产生。模型的设置如图 3 所示。为了最大程度的提高计算效率，我们使用了两个二维组件。在组件 1 中，首先求解 xz 平面上的电流密度，使电流主要在z 方向上流动。(该组件的坐标默认仍为 x 和 y，电流将沿 y 方向流动。）如下所述，组件 1 将被映射到组件 2）。然后，在组件2中模拟太赫兹波在 xy 平面上的传播，以使源电流密度能垂直施加在模型平面。

图3 光电导天线模型使用的几何结构。通过 半导体 接口（图中为 semi）求解 xz 平面（绿色）上的光电流，通过 电磁波，瞬态  接口（图中为 temw ）在 xy 平面（红色）上模拟瞬态太赫兹脉冲。沿 xz 平面和 xy 平面的交叉线施加光电流密度，作为边界源电流密度。

半导体接口设置

首先，我们来详细了解如何利用组件 1 中的 半导体 接口模拟光导天线的载流子动力学。采用二维方法是指，我们假定激光脉冲在砷化镓衬底内衰减极快，因此无需解析 y 方向上的光电流，而且可以从模拟域中移除被终端覆盖的衬底部分。为便于缩放，将面外厚度设定为 1 µm。除了如图 3 中所示的设置两个金属触点外，还需要添加一个 光跃迁 节点，来模拟激光脉冲产生的电子-空穴对。我们选择了一个简单的高斯分布在空间和时间上描述电场振幅。光束半径设定为 5 µm，以匹配间隙大小；时间脉冲宽度（高斯函数的标准偏差）设定为 100 fs，并具有 0.5 ps 的延迟。最后，需要考虑低温砷化镓中大量晶体缺陷（即陷阱）集中所导致的快速重组过程。这可以通过添加 陷阱辅助复合 节点，指定载流子寿命来实现。材料属性来自参考文献 1。运行瞬态仿真 5 ps，以充分模拟重组过程的复合。

将半导体模拟获得的主要结果作为终端之间的瞬态光电流密度。为了将其作为边界源电流密度施加在沿组件 2 中的两个几何图形的交线位置，需要设置一个 线性拉伸算子。指定各自几何图形中恰当的终点和起点后，可以使用 _comp1.linext1()_ 算子将组件 1 中的任意变量映射到组件 2 中。

电磁波，瞬态接口设置

获得光电流之后，就可以使用组件 2 中的 电磁波，瞬态 接口模拟太赫兹脉冲。该组件的几何结构仅包括一个衬底的横截面切面（假设衬底的总厚度为 5 µm），周围是一个圆形空气域。由于源电流将沿平面外方向流动，为提高计算效率，可以只求解电场的面外分量。为了抑制非物理反射，我们在外部边界应用了 散射边界条件 特征。要获得远场频谱，需要添加一个 远场域 节点（需要同时运行 时域到频域FFT 研究步骤），并在模型外部边界进行远场计算，该节点仅应用于空气域。最后，使用 表面电流密度 节点，将组件1 映射的光电流用作电流源。为了确保在频域中获得足够的分辨率，在 10 ps 条件下运行这项研究，而不是半导体接口中使用的 5 ps 条件。

在研究设置中，首先需要运行瞬态研究来模拟太赫兹脉冲的传播。为了计算远场频谱，必须通过 时域到频域 FFT 研究步骤将时域数据转换为频域数据。

结果

先来看半导体计算的结果。图 4 的动画显示了在模拟的第一个 2.5 ps 内，由于激光脉冲、电场和电流密度产生的电子-空穴对产生率密度。此外，图 5 还显示了终端电流和总产生率的一维曲线图。可以看出，由于脉冲持续时间远小于载流子寿命，因此光电流的衰减速度比产生率更慢。

图 4 从左到右依次为：半导体模拟的第一个 2.5 ps 内的产生率、电场和电流密度。

图 5  终端电流和总产生率与时间的相关性。在 0.5 ps 时达到激光脉冲的峰值功率。

现在，我们来看看太赫兹脉冲。图 6 中的动画显示了脉冲是如何从光导天线传播的。源电流密度通过线图显式在衬底表面（下边界）。图 7 绘制了两个不同点的脉冲波形。从这些图中可以看到，衬底的反射如何在初始波前之后产生额外的波纹。

图 6 衬底下边界上的源电流密度及其产生的出射太赫兹脉冲。圆的半径为 250 µm。

图 7 距离光导天线 100 µm 和 250 µm 处的电场（Ez）。

最后，结合 远场计算 节点与 时域到频域 FFT 研究，绘制出光导天线的远场频谱图。我们发现，在大约 0.75 THz 处，脉冲达到最强峰值，且一直到接近 5 THz 处都有明显的功率。此外，在比较正向（y 方向）和侧向（x 方向）的远场光谱时，我们看到由于衬底的原因，有轻微的指向性。

图 8 运行 时域到频域 FFT 研究获得的太赫兹脉冲远场频谱。在比较 y 方向和 x 方向的频谱时，发现由于衬底的存在而产生轻微的指向性。

我们应该注意到，这种简单的光导天线模拟方法有一定的局限性：

• 我们假设 GaAs 衬底内的激光强度衰减得足够快，可以进行二维处理，因此无法求解 z 方向上的光电流密度。
• 我们只模拟了终端之间平面上的太赫兹脉冲，因此忽略了金属终端对脉冲频谱和指向性的影响。这也意味着没有根据计算出的太赫兹带宽对天线形状进行优化。
• 我们模拟了只包括一个薄衬底的简单模型，不足以提供强大的指向性。更接近真实应用的模型应该包括更厚的衬底域和/或硅超半球透镜，来引导太赫兹光束。

在太赫兹脉冲模拟中，可以考虑建立天线几何结构的全三维模型来克服这些局限性。

结语

在这篇博客中，我们通过建立一个具有实际预测能力的简单模型，探讨了如何利用半导体模块和 RF 模块，基于第一性原理模拟太赫兹设备。文中介绍的模型模拟了光导天线太赫兹发射的频谱和指向性。您可以点击下面的按钮下载光导天线模型，尝试自己动手模拟！

参考文献

1. J. Zhang et al., “Numerical analysis of terahertz generation characteristics of photoconductive antenna,” 2014 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI), pp. 1746–1747, 2014; https://ieeexplore.ieee.org/document/6905199.

扩展学习

• 了解有关太赫兹模拟的更多信息，请查看太赫兹超材料仿真网络研讨会相关视频:
  • 用 COMSOL Multiphysics^® 模拟太赫兹超材料

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

简介

石墨烯是一种仅由单层碳原子组成的材料，这些碳原子以六边形晶格的形式排列。长期以来，物理学家一直假设存在一种具有单个原子层的材料。几十年前，人们普遍认为，由于热力学不稳定性，像石墨烯这样的材料不可能在自然界中存在。2004年，由曼彻斯特大学的 Konstantin Novoselov 和 Andre Geim领导的一个物理学家团队首次通过实验证明了石墨烯的存在。这一发现被认为是非常重要并具有革命性，因此很快在 2010 年获得了诺贝尔奖。

当前，这种材料已经被全球的物理学、材料学等领域科学家和工程师广泛研究。此外，越来越多的单层材料，如六方氮化硼、黑磷、二硫化钨等，多年来相继被发现。如今，对包含二维材料器件的需求持续上升，因此需要对这些材料进行多物理场建模。

在此，我们将讨论在高频电磁场中对石墨烯等非常薄的材料建模的不同方法。如果你对包含二维材料或其他薄层的光电或光子器件的模拟感兴趣，应该会从以下讨论中受益。

左图显示了石墨烯的六边形晶格结构，其中灰色圆圈代表碳原子。右图显示了石墨烯中的线性能量–动量色散关系，通常被称为 狄拉克锥。带内和带间电子跃迁都对石墨烯的导电性有贡献。

石墨烯的光学电导率

由于线性能量-动量色散，石墨烯中的电子表现得好像没有质量，这使其具有非常独特的光学和电子特性。石墨烯层的电磁特性可以通过其二维表面电导率来表征。带内和带间电子跃迁都对总电导率有贡献，即。使用 Kubo 公式，带内跃迁贡献由下式给出

其中， 是玻尔兹曼常数， 是简化的普朗克常数， 是温度， 是电子电荷， 是费米能量， 是角频率。这种贡献在光子能量较低（射频、微波和太赫兹范围）时占主导地位。当光子能量增加到红外和光学频率时，电子带间跃迁开始。带间电导率由下式给出

函数可以写为

COMSOL Multiphysics^® 软件内置众多物理常数，例如 ， 和 。这些常数可以写为 k_B_const、hbar_const 和 e_const。此外，当在一个方程中使用不同单位系统中的不同量时，在 COMSOL 中也可以很方便地进行单位自动转换。带间电导率的积分可以使用 COMSOL^® 中的内置积分算子计算。请注意，积分的上限是无穷大。在数值上，我们必须把它截断为一个有限值。在该模型中，数值取 rad/s 时结果趋于稳定。

用于计算石墨烯电导率的变量和解析函数。内置常量和算子的使用大大简化了实现。

下图显示了在低频 (THz) 和高频 (IR) 下不同费米能量的石墨烯表面电导率计算结果。在低频下，带内跃迁占主导，电导率遵循类-Drude 响应。在非常高的频率下，电导率接近普遍值 ，是普朗克常数。在这里，我们还可以通过电调控或化学掺杂改变费米能量，可以看到石墨烯出色的可调性。这使得石墨烯成为电子和光电器件中非常理想的材料。最后，如果我们想将石墨烯视为三维平板，则可以由二维表面电导率计算出三维电导率 ， 是石墨烯的（有效）厚度。

左图显示了在太赫兹频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带内跃迁是主要效应。右图显示了在红外频率范围内具有不同费米能量值的石墨烯电导率，其中带间跃迁的贡献变得很重要。在这两个图中，实线代表电导率的实部，虚线代表电导率的虚部。

在射频和波动光学模块中对石墨烯进行建模

那么，我们应该如何在电磁仿真中模拟石墨烯呢？由于其原子厚度，将它明确建模为实际厚度约为 0.34 nm 的三维薄板，计算量很大，而且很可能是不必要的。接下来，我们将演示三种不同的方法：分别使用过渡边界条件、表面电流密度 边界条件和一个有效厚度的三维板。我们发现，就远场光谱而言，这三种方法都能得到几乎相同的结果。请注意，这里所讨论的技术是通用的。它们不仅适用于石墨烯，而且适用于任何几何薄层。作为一个具体的例子，我们将构建一个参考文献1中提出的基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器。

在下图所示的吸收器结构中，由两个石墨烯层制成的网状图案被嵌入聚合物介质中。结构底部的金属接地层用作反射面。地平面和石墨烯之间有效地形成了一个 Fabry–Perot 谐振器。我们很容易注意到，单元格中有两个镜像对称。因此，可以使用 COMSOL 中的完美电导体 和完美磁导体 边界条件来描述这些对称平面，因此只需对四分之一的单元格进行建模。当我们考虑太赫兹辐射的法向入射时，这是适用的，在这个示例模型中就是这种情况。

基于石墨烯的太赫兹超材料吸收器，由石墨烯层制成的网装结构被嵌入聚合物介质中。模型的底部是金属接地层。

在 COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块中，内置的过渡边界条件 可用于模拟内部边界上的几何薄层。在物理上，它表示由于感应表面电流密度导致的切向电场的不连续性

和

其中，， 和 。指数 1 和 2 指的是表面的两侧。默认情况下，过渡边界条件 假设薄层中的正常传播，这在我们的模型中得到满足，同时仍然假设层具有有限的厚度。石墨烯的（有效）厚度 可以设置为任意小的值，例如 1 nm，只要将三维电导率相应地缩放为 。由于在这个特定模型中有两层石墨烯，我们将在过渡边界条件设置中输入厚度 （详情请见相关模型，链接在本文的末尾）时，三维电导率计算为 。（有关详细信息，请参阅本博文末尾链接的相关模型）。请注意，两个单独的石墨烯层紧密放置在一起，与双层石墨烯之间存在明显差异。当两个单独的石墨烯层紧密地放置在一起时（如该模型），每一层的电导率都不会改变。另一方面，双层石墨烯是由范德华力限制的两个石墨烯层。这种边界可以明显改变石墨烯的性质，有多个影响因素，例如堆叠顺序、扭转角度等。也就是说，在对双层石墨烯或三层石墨烯进行建模时，需要以不同的方式计算电导率。

我们模拟的器件在不同费米能量下的模拟吸收光谱如下图所示。结果与参考文献1一致。在 0.5 eV 费米能量下，存在宽吸收带，在 2.8 THz 附近获得完美吸收。高吸收是由石墨烯和底部接地平面之间形成的 Fabry–Perot 谐振器引起的。当满足共振条件时，在石墨烯中获得高吸收。该器件的吸收可以主动调整，例如通过调整石墨烯上的栅极电压。

石墨烯基超材料在各种费米能量下的吸收光谱。使用 过渡边界条件对石墨烯进行建模。

作为使用过渡边界条件 的替代方案，我们可以使用 表面电流密度边界条件 直接对石墨烯进行建模，如上一篇博文中所简要讨论的那样。这样，我们可以真正将石墨烯视为没有任何厚度的二维层。这里，x 和 y 方向上的电流密度分别设置为 和 的吸收光谱与过渡边界条件 示例的结果相同，如下图所示。

前面讨论的侧重点是通过特定边界条件对石墨烯进行建模，避免对石墨烯层进行全尺寸三维建模。这样，模拟速度和 RAM 使用率都大大提高了。原则上，我们也可以对石墨烯进行三维建模。为了使模型尽可能逼真，一种选择是将石墨烯创建为厚度为 0.34 nm 的三维平板。然而，在这个特定模型中，我们关注的是太赫兹辐射，其波长约为 100 μm。只要石墨烯的厚度远小于波长，就其光学响应而言，没有实际差异。同样，假设三维电导率与有效厚度适当缩放。为方便演示，我们在模拟中使用了 100 nm 的有效厚度（结果可以在下面的散点图中看到）。我们可以看到，即使我们使用了比例放大的厚度，结果仍然与正确的值基本相同。选择一个较大有效厚度是合理的，因为它有助于网格剖分并避免过度网格奇异。但是对 CPU 时间和 RAM 的要求仍然比之前的方法要大得多。

使用三种不同方法： 过渡边界条件、表面电流密度和具有有效厚度的三维体积，模拟石墨烯基超材料的吸收光谱。结果基本一致，三维体积需要更长的模拟时间。

结语

总之，几何薄层在电磁建模中无处不在。除了二维材料，常见的薄层还包括光学元件上的抗反射涂层、电子元件上的导电涂层、PCB 上的薄金属层等。COMSOL 软件的 RF 模块和波动光学模块内置了过渡边界条件 和表面电流密度 等功能，可以帮助降低几何薄层建模时的计算复杂性。适当使用这些功能可以大大加快仿真速度，同时确保准确性。

下一步

单击下面的按钮，进入 COMSOL 案例库下载教程模型，动手尝试自己建立石墨烯超材料完美吸收器模型。

参考文献

1. A. Andryieuski and A. V. Lavrinenko, “Graphene metamaterials based tunable terahertz absorber: effective surface conductivity approach”, Opt. Express, vol. 21, pp. 9144–9155, 2013.

增材制造的多功能性

增材制造是通过逐层添加一种或多种材料来创建三维对象的过程。为了进一步了解这种类型的制造，我们联系了法国国立高等矿业电信学校联盟所属的里尔-杜埃高等国立矿业电信学校的 Frédéric Roger 教授。（IMT 是一家法国公共机构，致力于工程和数字技术的高等教育、研究和创新。）

Roger 教授说，从某种意义上看，增材制造与缝纫或编织有点类似。这两种过程都是通过控制不同原材料的合并方式来创造异质成品。在编织中，材料通常是线和纱，而增材制造可以使用多种材料，包括聚合物、金属合金、陶瓷和复合材料。

选择合适的材料对于生产理想的成品来说非常重要，无论是一条温暖的毯子（左：我的祖母编织的），还是一个定制的航空航天部件（右），都是如此。右图来自美国公共领域，通过 Wikimedia Commons分享。

材料的广泛性意味着增材制造可用于设计许多行业中的大量独特物品。例如，Roger 提到，通过使用合适的材料和热力学条件，工程技术人员可以制造出能够承受或适应恶劣环境条件的物品。这些物品甚至可以通过改变形状或释放被基质捕获的化学物质（如药物）来适应特定的温度或化学条件。随着时间的推移，转换将为打印部件再增加一个维度，从而产生“四维打印”。

有时，增材制造零件的灵感源于自然形态，比如图中的仿生示例。图片由 Frédéric Roger 提供。

Roger 认为，增材制造带来的许多机遇使其成为“不可或缺的制造工艺”，原因是它“提供了用先进材料开发优化结构的新机会”。然而，工程技术人员必须先改进增材制造工艺才能创造出这些结构。

应对增材制造仿真的挑战

增材制造是一个复杂的过程，因此很难研究。这项技术因所涉及的材料和增材制造的具体类型而异。研究这个过程还需要考虑许多不同的影响因素，例如：

• 多相变
• 能量、质量和动量的传递
• 烧结
• 光聚合
• 干燥
• 结晶
• 变形
• 应力

为了分析这些因素的影响，工程技术人员可以使用 COMSOL Multiphysics® 软件，Roger 认为这是“一款独一无二的软件，它在增材制造仿真方面具有强大的优势。”该软件不仅能帮助工程技术人员“优化增材制造工艺，还能预测力学和微观结构对产品的影响。”借助这一软件，工程技术人员可以使用所有相关的物理场，确定理想的制造条件和零件几何结构，以平衡刚度、减重和散热的需求。”

左：增材制造过程示例，其中涉及许多不同的物理场。图片由 Les Pounder 拍摄，在 CC BY-SA 2.0许可下使用，通过 Flickr Creative Commons分享。右：由两种材料制成并填充有蜂窝内部结构的增材制造零件示例。图片由 Frédéric Roger 提供。

他们面临的挑战在于，在耦合相关物理场的同时分析增材制造过程会导致模型尺寸变大且计算时间变长。为了克服这一难题，Roger 实施了多种不同的仿真策略，例如激活网格属性、采用自适应网格重新划分和执行序贯仿真。

通过采用序贯方法，Roger 能够更好地分析增材制造过程中材料热力学状态的连续性。同时，这种方法随着时间的推移将多物理场耦合解离，有助于降低多物理场耦合的复杂性。因此，序贯仿真能够在降低计算成本的同时进行全面建模并优化增材制造过程。

通过多物理场仿真优化增材制造零件

在仿真过程中，Roger 和他的团队成员专注于熔融沉积成型（FDM®），这是一种常见的增材制造技术，既实惠又能控制工艺参数。该研究的目的是优化打印的热塑性零件的内部和外部几何结构，并获得最佳性能。为了有效实现这些目标，团队成员将他们的分析分成三个部分，如下所述。

有关这项研究的更多信息，请查看研究人员的论文。

第 1 部分：外部零件几何结构的拓扑优化

在第一部分研究中，研究人员希望尽量减小打印结构的总重量，同时保持最大化刚度状态的材料分布。为此，他们使用拓扑优化和结构力学分析来研究承受拉伸载荷的机械结构。

原始几何结构和边界条件（左）以及通过颜色对比定义最佳形状的杨氏模量分布（右）。左图由 F. Roger 和 P. Krawczak 拍摄，取自他们在 COMSOL 用户年会 2015 格勒诺布尔站的演讲材料。 右图由 Frédéric Roger 提供。

通过研究，他们找到了零件的最优形状，确定了形状的中间位置具有最高应力水平。因此，研究人员根据应力集中场将结构划分为多个域：中间的高应力区域，以及周围的两个低应力区域。在接下来的研究中，他们利用这些信息将特定的制造条件应用于高应力区域。

优化的几何结构中的应力场。图片由 Frédéric Roger 提供。

第 2 部分：优化的三维零件的填充策略比较

在第二部分研究中，研究人员主要通过测试两种可能的填充策略来增强高应力区的稳定性：

1. 具有可变密度的非均质填料
2. 多材料填料

在非均质填料案例中，团队成员通过使用更高密度的填充物，在中间高应力区域创建了一个更具抵抗力的域。同时，他们通过使用更少的材料来最小化外部区域的重量。结果表明，理想的几何结构在高应力区包含 60% 的材料，在低应力区包含 20% 的材料。

使用一种密度可变的材料打印优化的零件。图片由 F. Roger 和 P. Krawczak 拍摄，取自他们在 COMSOL 用户年会 2015 格勒诺布尔站发表的论文。

如下图所示，在多材料案例中，零件的两端使用红色的 ABS 塑料，中间则使用机械性能得到改进的黑色导电 ABS。研究人员发现，他们可以用类似于 ABS 的材料来代替导电 ABS，这种类似的材料具有增强的过滤器，可以增加刚度。

使用两种材料打印优化的零件。图片由 F. Roger 和 P. Krawczak 拍摄，取自他们在 COMSOL 用户年会 2015 格勒诺布尔站发表的论文。

第 3 部分：熔融热塑性塑料沉积的传热分析

在优化三维打印零件的内部和外部设计之后，研究人员对熔融热塑性塑料沉积过程进行了建模，并评估了制造参数。仿真结果帮助他们准确预测热历史、润湿条件、聚合物结晶、细丝之间的相互作用以及残余应力和应变。以下示例描述了加热和冷却过程中的塑性应变。

 

激光束辐照下圆盘的熔化和凝固，以及由此产生的塑性应变演化。该分析包含了牛顿流体流动和固体热力学特性。动画由 Frédéric Roger 提供。

在这项研究中，研究人员还分析了薄壁管前两层的传热和质量传递。随后，他们能够分析塑料液滴沉积过程，并确定细丝达到熔化温度的区域。材料沉积研究的动画如下所示，其中描绘了一个热源沿着沉积模式移动，并将细丝加热到熔化温度，对 ABS 液滴来说，熔化温度约为 230℃。仿真中的挤出机路径域已预先划分了网格，网格根据挤出机的位置不断被激活。

 

 

双层圆形沉积（上）。移动热源代表热 ABS 沉积。两层的热膨胀（放大了五倍），显示移动的热源激活了材料的特性（下）。图中，蓝色表示未激活网格，物理属性（导热率和刚度）接近于零。动画由 Frédéric Roger 提供。

通过这些仿真，Roger 和团队成员预测了沉积过程中细丝之间的温度场，这是影响细丝粘附的一个重要因素。类似的分析可以帮助研究人员比较不同的增材制造条件，并确定特定应用的最佳沉积策略。

增材制造仿真总结

Roger 表示，通过这些仿真，他的团队成员能够“定义增材制造零件，使其内部和外部架构为零件提供最佳的工业性能。”当然，这仅仅是将增材制造与多物理场仿真相结合的一个开端。

如果您有任何关于使用 COMSOL Multiphysics 来研究增材制造过程的建议，请务必在下面的评论中告诉我们！

了解更多关于增材制造和三维打印的信息

• 阅读研究人员的论文，进一步了解他们的工作成果：“使用 Comsol Multiphysics 对熔融沉积成型结构进行优化设计”
• 查看以下相关博客文章：
  • 通过模拟玻璃化转变温度优化 3D 打印机
  • 特殊多孔弹性超材料的仿真分析

FDM 是 Stratasys 公司的注册商标。

超材料与 3D 打印结合

“3D 打印”和“超材料”是“COMSOL 博客”版块的两个热门话题。它们具有广阔的应用前景，能够制造定制的医疗植入物，打印房屋，应用于声学隐形技术，是改变我们周围世界的前沿科技潮流。

3D 打印机。图片由 Jonathan Juursema 提供。在 CC BY-SA 3.0 许可下使用,通过 Wikimedia Commons 分享。

通过两种技术的结合，我们可以使用直接激光写入（direct-laser-writing，简称 DLW）打印来制造复杂的超材料，这种工艺对于其他制造技术而言相当困难或不可能实现。这个想法的灵感来源于德国卡尔斯鲁厄理工学院（Karlsruhe Institute of Technology）和法国勃艮第弗朗什-孔泰大学（Université de Bourgogne Franche-Comté）的研究小组。他们共同研究了在稳定和静态条件下表现出独特的负等效压缩性力学性能的超材料。

研究具有负等效压缩效应的多孔弹性超材料

研究人员的多孔弹性超材料是一种人造三维复合材料，当周围环境产生的静水压力增加时，将发生各向同性的膨胀。大多数天然弹性材料的反应与之相反，当周围的静水压力增加时，它们的体积会变小。

海绵是一种受多孔弹性现象影响的材料。

那么为什么超材料会膨胀呢？为了回答这个问题，让我们来观察一下超材料。超材料由单一的普通固体成分构成，材料内为中空的三维十字结构，此结构内部的隐藏空间包含恒压空气。每个十字的末端都有圆形的膜片。

当周围压力与十字结构中的压力不同时，膜片向内或向外弯曲。在膜片变形的作用下，与膜片非对称相连的杆状物使十字结构旋转。如果外部的静水压力大于内部的压力，那么单个旋转就会转化为结构的各向同性膨胀，导致负的等效压缩性。

零压力下（左）和压力增大后（右）的晶胞，图片描述了负压缩性的原理。图片来自 Jingyuan Qu 和 Muamer Kadic 。

这种负压缩性看似违反了物理定律，但等效的体积增加与材料内看不到的体积减少是相对应的。这样可以保证结构稳定。

使用 COMSOL Multiphysics® 分析新颖的多孔弹性超材料

为了研究新颖的多孔弹性超材料的结构细节，研究人员选择使用 COMSOL Multiphysics® 软件。当被问及数值建模方法的优势时，研究小组的成员 Jingyuan Qu 提到了求解方程的便利性。

超材料模型是一个单晶胞。为了观察当材料内外存在压力差时所发生什么情况，他们在模型的所有外表面上施加了压力增量作为法向力。此外，该模型是在周期性边界条件下进行模拟的，这使得研究人员能够成功地找到等效的材料参数。

请注意，“结构力学”和“MEMS 模块”内置了可用的周期性边界条件。

在研究中，小组进行了两项主要的数值实验：

1. 末端为自然边界条件（自由）的有限尺寸研究（一个晶胞）
2. 使用了周期性条件（假设）的无限扩展的情况

在实验中，研究小组使用标准的线弹性方程：

现在，让我们研究一下第二个数值实验。

利用周期边界条件

当模拟无限材料时，我们需要应用周期性条件，使晶胞的每一个边都以各向同性的方式收缩或膨胀。首先，创建并根据方向 x+、x-、y+、y-、z+ 及 z– 来命名结构的每一侧。然后创建探针变量，用于计算“减号”侧（dispx，dispy，dispz）的平均位移，如下方第二张截图所示。

以 x 方向为例，图片显示如何选择与下一个晶胞相连的边界，展示了六个平面（上图）之一和边界探针设置（下图）。图片来自 Jingyuan Qu 和 Muamer Kadic。

下一步，将探针变量用作两边的边界条件（指定位移）。也就是，在 x– 边界上，x 方向的位移被设为 dispx，在 x+ 边界上则设为 -dispx。然后针对其他周期性切边设置类似的边界条件。因为位移 dispx 是未知数，所以使其成为解的一部分。由于指定位移的成对反作用力必须为零，所以结构会膨胀或收缩，使合力为零。

指定探测位移。图片来自 Jingyuan Qu 和 Muamer Kadic。

下一步，施加外部压力。选定几何的外部边界，并采用很大的角度公差后，模型显示未选定隐藏体积的内部边界，如下图所示

外部边界设置。图片来自 Jingyuan Qu 和 Muamer Kadic。

然后施加静水载荷作为边界荷载，即压力（P）。

添加作用于所有外边界的法向力作为静水压力。图片来自 Jingyuan Qu 和Muamer Kadic。

多孔弹性超材料结构的多角度视图。图片来自 Jingyuan Qu。

作为比对点，研究人员还研究了一个普通的多孔结构和一个由连续各向同性材料制成的立方体。当周围的静水压力增大时，两个结构的体积都会缩小。在相同的条件下，多孔超材料则会膨胀，突出了自身的等效压缩性特征。

后续步骤

通过大量的研究，该小组能够捕获超材料的行为，改进设计，并利用这些信息加快进入制造阶段。虽然利用传统的加工技术来制造这类材料并非不可能，但是 3D 打印可以作为制造负压缩性超材料的替代选择。3D 打印机可以使用在静水压力下收缩的普通材料来制成这种超材料。

Qu 指出，因为即使在高压环境中，超材料也能够保持恒定不变的等效体积，或许可以在高压应用中发挥特殊作用。

了解更多关于超材料的信息

• 查看研究人员的原创论文：
  • 阅读完整的论文“Poroelastic Metamaterials with Negative Effective Static Compressibility”
  • 在 Phys.org 网站中阅读关于超材料的文章
• 阅读这些与超材料相关的博客文章：
  • 超材料让物理变成神奇魔术。
  • 简单的新型力学隐形技术

声子晶体是一种相当独特的材料，它可设计出特殊的带隙。随着对此类材料需求的不断提高，人们对声子晶体仿真研究产生了浓厚的兴趣，针对带隙的优化是其中最热门的课题。本文将为您展示如何使用 COMSOL Multiphysics 这一可靠工具进行此类研究。

声子晶体是什么？

声子晶体是一种人工制造的结构或材料，可对其周期性结构或几何属性进行设计，以此影响机械波的传播特性。设计制造声子晶体时，人们能够在特定的频率范围内隔离振动。特定频率范围内，也称为带隙，带隙内的振动会因受到周期性结构内波干涉的影响而衰减。这一行为与一种更广为人知的纳米结构相似，这一纳米结构便是半导体应用中光子晶体。

优化声子晶体带隙是一项具有挑战性的任务。我们 Veryst 工程公司的研究人员发现 COMSOL Multiphysics 正是处理这类难题的宝贵工具。

建立声子带隙分析

要在周期性结构中创建带隙，一种方法是使用由坚硬的内核材料与柔软的外部基体材料构成的晶胞。其构型如下图所示。

晶胞示意图。晶胞由坚硬的内核材料与柔软的外部基体材料构成。

对声子晶体的频率响应进行计算，仅仅需要对周期性晶胞进行分析，及利用覆盖一定波矢范围的布洛赫周期性边界条件。相对较小范围的波矢即可覆盖所谓的不可约布里渊区（irreducible Brillouin zone，简称 IBZ）的边缘。在二维矩形结构中，IBZ（下图所示）从 Γ 沿着 X、M 后回到 Γ。

二维正方形周期性结构中的不可约布里渊区。

布洛赫边界条件（一维时又称 Floquet 周期性边界条件）可约束周期性结构的边界位移，表达式如下：

其中 k_F 表示波矢。

源端和目标端分别在晶胞的左右边缘和上下边缘各应用一次。此类型的边界条件可在 COMSOL Multiphysics 中获得。由于边界条件的性质，我们需要一个复杂的特征值求解。系统方程组属于厄密特矩阵，得出的特征值为实数，也就是假定模型是无阻尼的。COMSOL 软件能够自动运行计算，这一步骤因此变得轻松简单。

我们对特征值求解分析作参数化扫描，其中一个参数 k 的范围为 0 到 3。这里，0 到 1 定义为覆盖不可约布里渊区 Γ-X 边缘的波数，1 到 2 定义 为覆盖 X-M 边缘的波数，2 到 3 则定义为 M-Γ 边缘的波数。对于每一个参数，我们将求解最低价本征频率，然后绘制每一个 k 值时波的传播频率。绘图中的带隙代表其中不存在波传播的区域。暂且不论复杂的晶胞模型，完成分析只需几分钟时间。由此可以总结，如果你以特定的带隙位置为目标，或者想要使带隙宽度最大化，那么使用晶胞是一种高效的优化手段。

执行优化研究

为了清晰阐释这类应用，我们对上图的周期性结构进行了模拟，晶胞尺寸为 1 cm × 1 cm，内核材料为 4 mm × 4 mm；基体材料的模量为 2GPa，密度为 1000kg/m³；内核材料的模量则为 200 GPa，密度为 8000 kg/m³。下图显示 60 kHz和 72 kHz 之间禁止波传播的频率范围。
kg/m

选定晶胞参数的频带示意图。

为了演示如何利用带隙概念实现隔振，我们将模拟上述周期性结构中的晶胞组成的“11 × 11”的晶格结构。这些晶胞承受的激励频率为 67.5kHz（带隙中）。

该结构用于演示带隙中针对施加频率的隔振。

下方动画重点演示了晶胞结构的振动响应。通过结果，我们可以了解到周期性结构能够十分有效地将施加的振动与剩余结构隔离开。即使减少周期性晶胞的使用数量，仍然可以很有效地隔振。

频率为 67.5 kHz 时,振动响应的动画。

请注意，当频率在带隙之外时，周期性结构不会隔振。此时的响应情况请参考下图。

于带隙之外频率的振动响应。左图：27kHz。右图：88kHz。

想要学习更多关于二维带隙模型的知识，请前往 “COMSOL 模型交流”。

参考文献

1. P. Deymier (Editor), Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals, Springer, 2013.
2. M. Hussein, M. Leamy, and M. Ruzzene, Dynamics of Phononic Materials and Structures: Historical Origins, Recent Progress, and Future Outlook, Appl. Mech. Rev 66(4), 2014.

特约作者介绍

单向组合乐队的两个方向

在最近的一次活动中，有位提问者向斯蒂芬·霍金询问让世界上几百万少女粉丝都伤心不已的 Zayn 离开单向组合乐队的宇宙学隐喻。霍金的回答可谓相当精彩而又善解人意，他提出了一个理论物理学上的急转弯：“对这些伤心的姑娘们，我的建议是去密切关注理论物理方面的研究。因为某天，我们也许会证明多个宇宙的存在。在我们自己宇宙之外的某处，并非完全没有可能存在另一个不同的宇宙，在那个宇宙中，Zayn 还会留在单向组合乐队。”

继续分析霍金的回答之前，让我们先来看一下两个有关平行宇宙预测的令人振奋的理论。

量子世界

在量子力学中，通过波函数（即薛定谔方程的解）的线性组合，将能得到有关基本粒子时间及空间位置的概率函数。例如，由电子密度波函数得到原子和分子的轨道概率函数。

让我们来分析一下薛定谔方程中针对氢原子的公式示例：

包括由 ψ 表示的波函数的瞬态薛定谔方程 (1)。对于确定的能量态(2)，我们可以利用时谐形式重写，因此得到 (3)。电子的势能 V 仅依赖于半径，可以在球坐标中编写波函数 (4)。不同能级的波函数 E_n，可以表示为球面谐波 (Y_l,m) 和幅值 (F_l) 的乘积，其中，I 表示总角动量的量子数，m 表示角动量的 z 分量。在球坐标中求解薛定谔方程 (3)，得到波函数 (4)。

单电子的波函数称为轨道。波函数的线性组合（叠加）也就是薛定谔方程针对氢原子的解。量子数 l = 0 的轨道呈现球面对称。l = 1 的轨道表示为 p 轨道，表现出明显的角依赖性。l = 2 的轨道叫做 d 轨道，表现出了更复杂的角依赖性。绘图显示了一些波函数的等值面。

通过类似的方法，物理学家和物理化学家已经能够计算宇宙中可能存在的稳定元素的元素表。

对粒子位置和时间的测量与一种不确定性有关，即所确定的粒子位置越精确，所能确定动量的精度越低。这叫做海森伯不确定性原理，以提出这一理论的科学家命名。例如，如果我们精确获知了粒子的位置，就无法确定它在同一时刻的动量。

在量子力学中，会在观察到位置或动量的时刻发生波函数坍缩。这也可以通过当粒子与其环境发生相互作用时产生的相干脱散来解释。也就是说，当测量粒子时，无法使用波函数对其进行描述（或由于相干脱散的关系，无法再对其进行描述），我们仅能在一个位置上找到粒子。

但最初由埃弗雷特提出对量子力学的多世界解释，否定了波函数的坍缩。相反，它推导出可能存在多个平行宇宙，表示了波函数所有可能的线性组合（叠加）。“宇宙”可能是非常多个平行宇宙或量子世界的量子叠加，它们之间可能并没有交流。

永恒膨胀

根据膨胀理论，“大爆炸”源自于一块极小物质的暴涨，该物质的体积远小于一颗原子。这一小块物质的密度恒定，质量每隔 10^-38 秒增加一倍。大约 260 次之后，也就是说经过 10^-35 秒后，质量达到了我们整体“宇宙”的质量。

膨胀期间，小块物质的质量和体积不断翻倍，并从反重力中得到能量，形成新的质量，同时伴随着量子涨落。由于海森伯不确定性原则，形成一种结构，后续发展成为我们“宇宙”的宇宙结构。这一小块的质量大约是 3·10^-26 kg。您可以对比一下这一质量与氢原子的质量，后者为 1.7·10^-27 kg！

回想一下公式 E = mc²，用于形成质量的能量源自于膨胀物质所产生的反重力，其中所消耗的能量刚好能够使恒定密度物质的质量增加一倍。鉴于“宇宙”的总质量大约是 6·10⁵² kg，也就是说，重力最后会拥有相当大的能量。相比之下，在长崎投下的原子弹仅将 1 g 的质量转化为了不同的能量形式。这可以解释为什么重力的能量为负，也就是说，我们需要作功才能将依靠重力吸引在一起的两个物体分开。

从永恒膨胀预测到，我们所谓的”宇宙”只是无限宇宙中无限多哈勃体积中的一个，所谓哈勃体积是由永恒膨胀产生。这些哈勃体积类似于我们的哈勃体积，但拥有不同的宇宙结构。在膨胀的早期阶段，量子效应会造成宇宙种子的涨落，这一涨落又促进了我们的哈勃体积宇宙结构的形成。空间中的一些区域现在包括一些比单个原子还要小的星系，其中量子效应是相关的。在这一维度上，宇宙的种子涨落就可以由海森伯不确定原则解释，它会阻止任何物质出现均一性，包括膨胀物体。

在无限宇宙所包含的无限数目的哈勃体积中，一些哈勃体积可能与我们称之为“宇宙”的哈勃体积完全相同或几乎完全相同。

与我们的哈勃体积相比，大多数哈勃体积中的物质分布不同，但由于存在无限多哈勃体积，也可能存在无限多的哈勃体积的变体，它们拥有着相同的物质分布。也可能存在近乎无限数量的世界变体，它们与我们的世界完全相同或几乎完全相同。

统一多元宇宙

对量子力学的多世界解释将带来近乎无限数目的宇宙，也表示了近乎无限数目的 MIT 宇宙学家 Max Tegmark 所称谓的第三级平行宇宙。同样，膨胀理论也可能预测了无限数目的哈勃体积，形成根据《Our Mathematical Universe》一书的作者 Tegmark 所描述的第一级平行宇宙。

因此，可能存在无限数目的第一级平行宇宙的变体，它们包含与我们的“宇宙”相同的元素数目，但排列方式不同，因为波函数和量子涨落可能产生无限数目的组合方式。从这个意义上讲，Tegmark 预测到，第三级平行宇宙和与之几乎完全相同的第一级平行宇宙可能是一个，并且完全相同，所以一个系统的波函数可能会描述它在空间中的无限复本。

霍金对 Zayn 离开单向组合乐队的看法

人们一直热衷于就量子力学的多世界解释及膨胀理论展开幻想。

最近，斯蒂芬·霍金通过全息影像的方式参加了悉尼歌剧院的一次活动，一位采访者向他提出了以下问题：“Zayn 离开了单向组合乐队，让世界各地的无数少女们都伤心不已，您认为它的宇宙学影响是什么？”

霍金的回答可以被解释为引用了膨胀理论、均匀性，以及量子世界：“对这些伤心的姑娘们，我的建议是去密切关注理论物理方面的研究。因为某天，我们也许会证明多个宇宙的存在。在我们自己的宇宙之外的某处，并非完全没有可能存在另一个不同的宇宙，在那个宇宙中，Zayn 还会留在单向组合乐队。”

我们利用下面的示意图来解释霍金的回答。在这个世界中，Zayn 离开了这个乐队。但在第一世界中，Zayn 还留在乐队中，这个世界中的所有人都不知道他离开这件事。在第二世界中，Zayn 不仅留在了乐队中，还娶了一个在这个世界中因为他的离开而伤心不已的姑娘。不仅如此，在数以百万计的其他世界中，从 n=3 到 n=100 万，他都娶了一个在这个世界中因为他的离开而伤心不已的姑娘。

在可能存在的数以百万计、且近乎无限世界中，Zayn 不仅留在了乐队，还娶了一位在这个世界上为他伤心不已的姑娘。

量子世界和无限数目的哈勃体积都可以被解释为对 Jose Luis Borges 的《巴别塔的图书馆》的类比。图书馆中收藏的 410 页的书可以是对所有可能的几乎完全相同的量子世界或第一级平行宇宙的类比，它们有着相同的哈勃体积和物质量（410 页），我们将它称作我们的“宇宙”。在这些世界中的任意一个，所有你曾想过的那些故事最终都可能发生！

多物理场仿真

同时，和霍金的建议一样，我们给这些单向组合乐队的伤心粉丝们的建议是：选择学习科学，然后借助多物理场仿真开发出的各种仪器与设备来研究薛定谔方程的解和膨胀理论，就像下图演示的那样。

幸运的是，第一级和第三级多元宇宙中的物理定律与我们的相同，在所有的哈勃体积及所有的第三级宇宙中，您都可以通过 COMSOL Server 的全球网络许可证来运行仿真 App，模拟薛定谔方程。

锥形砷化铟量子点模型的仿真结果，显示了电子能的波函数。为了计算量子点的电子状态，我们求解了1-频段薛定谔方程。

推导出另一个（或多个）平行宇宙之前，Zayn 仍是单向组合乐队的一员，这些姑娘们也许还能开发出一些相当令人振奋的东西，比如用于量子计算机或生物标记的量子点。她们也许还能设计和开发出用于深太空探索、以及研究这一个我们称之为“宇宙”的哈勃体积中的星系。

在其中的一个世界中，单向组合乐队的一名粉丝可能会是或者即将成为宇宙中最强大的多物理场软件的创始人和开发者！不过，这会在什么时候以及哪个世界出现呢？

在另一个世界中，斯蒂芬·霍金可能是剑桥的一位牧师，正主持 Zayn 和一位单向组合乐队粉丝的婚礼。在这个世界中，英国人可能在讲中文，中国则在讲英语，不过他们会把它叫做“中文”。

有关多物理场仿真空间应用的扩展阅读

• 仿真帮助改进了载人航天器中的大气再生系统
• 超材料把物理变成了魔术
• 来自 NASA 的 Ed Ethridge，借助 COMSOL Multiphysics 从月球中提取水
• 使用 COMSOL 模拟火星漫游者中的传热，用于保护设备仪器
• 罗罗塞塔号和菲莱号：在彗星表面的历史性着陆
• William T. Vetterling：COMSOL Multiphysics 与巴别塔图书馆（COMSOL 年会的主题演讲视频）