COMSOL Multiphysics^® 6.2 版本软件新增的 部分分式拟合 功能通过分析频率复数函数的实部和虚部,得出几个分式的总和来拟合该函数，并在相关频率范围内以一种非常严谨的方式描述系统。这些分式被称为部分分式，它们共同构成一个数值传递函数，不仅可以帮助深入理解的底层的运行机理，还能轻松变换到时域。输入值的实部和虚部通常来自 之前的 模拟，也可以来自其他软件甚至测量值。

内容简介

1. 时频变换
2. 传递函数
3. 部分分式分解
4. 部分分式拟合
5. 实极点
6. 复极点
7. 重复极点
8. 不稳定极点
9. 非有理传递函数:时间延迟
10. 非有理传递函数:微声学
11. 共轭对称，负频率
12. 结束语

时频变换

由于该功能涉及频域分析，因此简要介绍一下在频域工作的相关功能以及如何实现信号和系统的频域分析是很有意义的。

虽然信号通常会随时间变化，但是在频域对其进行分析往往更为简单。同样，对系统进行分析时，最常用的方法是将其时域特征的某些方面变换到频域。时域和频域之间的变换通常通过傅里叶变换或拉普拉斯变换以及各自的逆变换来完成，这两种变换有很多重复，这里我们将重点讨论拉普拉斯变换，因为它适用于系统分析的经典变换。已知拉普拉斯变换的单边积分形式：

式中， 是通过角频率 和阻尼 定义的复频率，即

这种单边性使该积分适用于系统分析，因为系统可以有一个特定的“开启”时间，并且可以研究瞬态行为。此外，拉普拉斯变换将作为建立即将讨论的传递函数的主要变换。下表列出了一些重要的时域与频域的对应关系。

传递函数

许多系统可以通过包含常数和实数系数的线性微分方程来描述，形成实数和线性时不变（LTI）系统。例如，外力（输入）为 ，速度（输出）为 的质量-弹簧-阻尼系统：

式中， 是质量， 是阻力， 是刚度。这里，我们用速度而不是位移或加速度来表示方程，因为力和速度是功率共轭变量，就像电力系统中的电压和电流一样。

然后，在稳态假设下进行拉普拉斯变换，即假设使用复指数形式表示输入 和输出 的振荡和可能存在的阻尼，其中， 和 为实数。根据此假设，就可以对系统进行频域描述：

此处忽略了初始条件，但也可将其纳入上述方程。由于我们关注的是输入 后的输出 结果，因此可以使用一般的传递函数：

对于当前的系统，得到以下传递函数：

在工程动力学中，与线性时不变系统相关的传递函数通常是有理函数，一种只包含变量 的两个单变量多项式的分数：

也可以用分式形式的零点和极点表示：

其中

有理传递函数的一个显著特点是它们的阶数，也就是此处分母中的 最高阶数，它可由指数 直接获得。另一个特点是它的正当性。有三种类型需要考虑。一类称为真分式，即分母的阶数大于或等于分子的阶数， 。另一类是子集，称为严格真分式，其极点数（严格地）高于零点数，即 。第三类是假分式，即 。对于最后一种情况，应考虑潜在的稳定性和因果性问题，但真分式还会受到是对特定传递函数还是其逆函数进行分析的影响。

对于质量–弹簧–阻尼系统而言，传递函数属于带通滤波器的范畴，这是合理的，因为在特定频率下，施加的力会在速度上产生共振。带通滤波器函数的标准形式为

由此得到特征角频率为：

和

质量-弹簧-阻尼系统的阶数为 2。这也意味着分母多项式有两个相关联的根：极点。对于本文考虑的实值系统，这两个极点有三种可能：1）两个不同的实极点；2）两个重叠（重复）的实极点；或 3）两个共轭复极点。分子的根称为零点，在收敛区域（ROC）已知的情况下，零点和极点将完全可以描述相关的线性时不变实系数系统。在此，我们假设系统是因果性，因此可以通过该信息获知收敛区域。这将导致稳定系统在复平面 的右半平面没有极点，同时确保存在傅里叶变换，这正是从传递函数中找到频率响应的必要条件。由于系统为实值且存在共轭对称性，因此如前所述，复极点总是成对出现。

部分分式分解

在学习传递函数和（逆）傅里叶/拉普拉斯变换时，可能会遇到部分分式分解的主题（这样做通常是为了通过表格更容易地找到逆拉普拉斯变换）。高阶传递函数可以分解成更简单的分式，由于相关系统的线性关系成立，它们的逆变换加起来就是总逆变换。当求解包含有理函数的积分时，也可能与此相关。最后，在控制理论中将高阶传递函数分解为多个低阶分式也很有意义。

现在，我们来说明将传递函数分解为部分分式的过程，其中的极点可以写成因式分解的形式。传递函数的阶数为 5，双重复极点为-5，三重复极点为 0，因此我们需要 5 个部分分式：

等式两边同乘分母，得到

对比左右两边的不同阶数，得到未知数分别为 , , , , 。

利用逆拉普拉斯变换表格，我们可以求出相关系统的脉冲响应为:

直接对原始传递函数进行逆变换需要使用数学软件，但通过部分分式分解，至少在零点和极点数值已知的情况下，可以手动分析完成。请注意，对于假分式传递函数，可能需要进行多项式长除法，才能将原始传递函数拆分为渐近值和后续分式。

通过 部分分式拟合（PFF）功能，我们可以充分利用时间与频率的关系，在瞬态声学中使用随频率变化的阻抗。

部分分式拟合

虽然我们通常无法为模拟的多物理场问题找到解析的传递函数，但可以找到输出与输入之间的比值，并将其作为表格中的复值。这些比值可以是模拟的输出，也可以是导入的测量值。现在，如果有办法由表格中的数值建立传递函数，就能深入理解系统，而直接从数值本身是很难理解的。还可以解析逆傅里叶变换来形成脉冲响应，不必进行如逆快速傅里叶变换等研究。最后，用零点和极点而不是大量的表格数据来描述系统，可以在保留系统的所有特性的同时使系统更加准确，至少在所选的表格值频率范围内是这样。这基本上就是 COMSOL Multiphysics^® 中 部分分式拟合 功能可以实现的，即通过频率与复值的函数关系建立数值传递函数。

在部分分式拟合函数节点中，输入的数值来自表格，其中包含实数、虚数和频率。部分分式拟合将对这些值进行拟合，得到描述底层系统的传递函数的部分分式形式。部分分式拟合基于”改进的自适应 Antoulas–Anderson (AAA) 算法，AAA² ”（见 COMSOL Multiphysics Reference Manual），其数学形式为：

方程的第一项是与拟合系统的适应性相关的渐近值，我们可以通过示例来了解它是如何起作用的。第一个求和项是对拟合函数找到的所有实值极点求和，残差也是实值。第二个求和项是对拟合过程找到的复值极点求和，残差也是复值。可以看到，复值极点和残差预计会以复值共轭对的形式出现，其中一个复值极点是另一个的镜像。稍后我们将讨论部分分式拟合结果的共轭对称性假设如何不影响到输入数值的底层系统，因此这些系统是真实或在物理上是否可实现并没有限制。

还应注意的是，在上述表达式中， 是频率，而不是详细说明传递函数基本原理时使用的角频率 。此外，所有分式都是一阶的，且分子中包含常数，因此对于重复的极点，可能需要做一些工作将其重新表述为部分分式分解方法所示的形式，一般来说，分子中可能有更高的阶数。除此之外，部分分式拟合本质上是以部分分式的形式得到数值传递函数，因此掌握基本的信号处理知识非常有用，包括接下来我们使用不同的示例来探究其功能的时候。

实极点

为了解如何利用这一功能找到实极点，我们将部分分式拟合应用于已知的简单解析传递函数，来了解其运行方式和得到的结果。首先，测试部分分式拟合功能输出的一阶低通滤波器函数：

这里， 有一个实极点，当因子（或系数） 被合并到分子中时，实数残差为 5。现在，我们来看看部分分式拟合函数能否求解。已知传递函数，我们就能计算出其频率响应的实值和虚值。接下来，将这些值输入部分分式拟合。我们可以将表格值（方形标记）与拟合值（实线）绘制在一起，看看拟合效果如何。在这种情况下，拟合效果看似完美，我们不仅要看曲线，还要研究实际输出，这才有意义。

显示的部分分式拟合结果为拟合的残差和极值：

参数	值	按的比例缩放后的值
		N/A

渐近值基本为零，这正是此类有理函数的预期值。由于部分分式拟合中的 是以赫兹为单位的频率，而不是以弧度/秒为单位的角频率，因此计算的极点也是正确的，这样传递函数中的极点就比通过部分分式拟合计算的极点高 。由于这一缩放贯穿整个方程，因此 的残差比预期的 低约 ，因此所有值都与真分式的缩放值一致。

对另一个实极点进行研究后，其传递函数如下：

由上述传递函数可以直接看到极点，因此可以手动计算部分分式，得到

预计在频率缩放范围内，极点 得到的残差为 ，极点 会得的到残差为 。这就是我们得到的基本结果：

参数	值	按 比例缩放后的值
		N/A

渐近项基本为零，如果将极点和残差乘以 ，并翻转它们的阶数，就能得到预期值。因此，多重实极点得到了正确处理。

复极点

另一个更接近物理系统的例子是挡板中集总扬声器驱动器的压力输出，其简单的集总电路如下图所示：

压力输出将与二阶传递函数成比例关系，可表示为

与

和

声压级如下图所示，既包含作为集总模型灵感的底层模拟驱动器，也包含下表中的集总参数。

集总参数	值	单位
	5
	6
	13
	5
	4
	5
	520
	6.25
	620
	0.98722

对于给定的 Q 值，我们可以确保角频率的复极点约为 ，或常规频率的复极点约为 。将传递函数中的 值设置为 1，对函数进行简单缩放，然后运行集总模型分析。输入传递函数值的部分分式拟合，得到以下值：

参数	值

渐近项基本上等于 1，这是这个适当但并非严格适当的传递函数的预期值。有一个实极点和两个复极点。从图中可以看出，实极点不稳定，但残差很小，可以直接删除。其余复极点的值与传递函数一致，因此，您可以利用部分分式拟合的结果得到瞬态响应，也可以在底层驱动模拟数据上运行部分分式拟合，而不是在近似集总模型上运行。在这种情况下，会找到更多的极点，但方法与集总模型相同。

重复极点

传递函数可能有重复极点，比如多个极点位于 平面的同一位置。正如本文部分分式分解部分所述，在对这种情况解析部分分式分解时，通常会将总和拆分为一些分母阶次大于 1 的分式，而部分分式拟合只得到一阶分式。部分分式分解法得到的值仍然是正确的，但已确定对所发现的值具有高度敏感性，因此，如果要将计算出的极值或残差导出并在其他软件中使用，则不应截断这些极值或残差。

不稳定极点

在进行部分分式拟合时，可能会发现不稳定的极点。在这种情况下，应该首先查看这些极点的残差，并与稳定极点的残差进行比较。残差可忽略不计的不稳定极点可以去除，不会影响整体拟合。如果不稳定极点对拟合精度有重大影响，则应考虑正在研究的底层系统的类型。如果系统是无源的，那么它本身就是稳定的，因此了解信号处理基础知识有助于确定在相关频率范围内表现出不稳定行为的模拟或测量问题。部分分式拟合函数提供了一个名为 翻转极点 的选项，可以将不稳定极点镜像到 平面上的稳定位置。这可能会影响拟合精度，但可以通过重新绘制新的拟合图来立即评估其效果。不稳定极点通常位于低频附近，因此翻转不稳定极点可能只会对低频产生轻微影响，但高频特性不变。

一般来说，翻转不稳定极点会影响相位响应，同时保留幅值响应，但请记住，要正确解释稳定性，必须考虑因果关系假设。此外，如果大部分或所有极点都不稳定，则可能表明拟合的数据对应于一个稳定函数的逆函数，因此最好评估逆函数。

需要注意的是，应针对更多的传递函数进行有关不稳定极点和（或）重复极点的观测，以更好地掌握其功能，因此上述分析不应被视为概括了所有情况，而仅仅是作为介绍其功能的一些情况。此外，研究系统无源性的正式定义（参考文献 1 和参考文献 2）也是有意义的，本文无需进一步探讨相关条件，只需说明通常可以通过评估拟合数据中的所有实值是否为正值来进行无源性检查。

非有理传递函数：时间延迟

并非所有物理现象都能通过有理传递函数轻松描述，因此我们来看看部分分式拟合对非有理传递函数的拟合效果如何。第一个例子是 秒的时间延迟，代表一个重要的传递函数，但并不是传统的有理传递函数：

传递函数是在时间延迟为 1 秒的特定频率范围内计算得出的，对于该频率范围和特定的设定容差，部分分式拟合得到的渐近项约为负 1 且只有一个实极点。

参数	值

曲线看起来拟合地非常好：

不过，我们还可以更进一步建立传递函数。根据渐近值，可以知道传递函数的类型是真分式。我们可以合并项并计算出精确的传递函数：

通过观察数值，我们发现残差值为极值的两倍。因此，上述表达式可以改写为

我们现在看到的是一个一阶的全通滤波器，这是合理的，因为延时器的幅值响应必须是平坦的。但还可以更进一步计算。如果分子和分母的阶数都是 1，只需找到 的帕德近似 （相当于双线性变换），即可得到结果：

这非常接近部分分式拟合的结果。事实上，当把上述表达式转换成 格式时， ，就可以得到：

令 ，可以看到结果与部分分式拟合得出的结果只有很小的百分比差异。如果频率范围更大，则需要更多的极点，而且很可能会发现找到的极点代表贝塞尔多项式的根（参考文献 4）。

非有理传递函数：微声学

另一个非有理测试传递函数是关于微声学的示例。考虑一个横截面如下图所示的矩形狭缝（参考文献 5）:

该横截面管道将在每单位长度 内具有相关的声串联阻抗，以及每单位长度 的声学并联导纳。这些都不能直接写成有理函数形式，但可以通过较低频率下的有源和无源元件近似，并且使用部分分式拟合能达到什么效果将非常有趣。

我们假设狭缝非常细： 。这种狭缝在每单位长度内的串联阻抗如下（参考文献 5）:

这里， 是狭缝的面积； 是空气的密度； ，其中 和 是空气的黏度。将该表达式简化的一种方法是应用泰勒展开，得出如下的集总模型（参考文献 5）：

低频下的串联阻抗可分为有源恒阻部分和无源恒质部分。这可以看作是一个假传递函数，但它只适用于较低的频率。因此，让我们来看看部分分式拟合能得到什么结果。我们建立了一个二维模拟，可以计算并得到特定频率范围内的阻抗，同时考虑声学和微声学效应，来揭示底层系统的特征。还必须为几何参数选择一些数值。这里，将 设置为 1 cm， 设置为 0.5 mm。我们可以清楚地看到，在所选几何尺寸下，黏性边界层随频率变化，在整个音频范围内厚度有大有小。

现在，我们将计算出的串联阻抗输入部分分式拟合功能。由于解析表达式中没有明确的零点或极点，无法立即猜测部分分式拟合的结果。拟合过程能很好地为残差和极点找到合适的参数，从而实现串联阻抗的拟合曲线，而且可以看到实部是如何随着频率的降低而保持不变的（泊肃叶流），这在集总模型中已经可以观察到。

部分分式拟合得到的有限渐近值和三个实极点如下表所示:

参数	值

得知部分分式拟合在选定的频率范围内拟合时找到的极点数，就可以尝试理解这个结果了。虽然串联阻抗不是通过有理函数而是通过三角函数来描述的，仍然可以通过帕德近似值对其进行近似。由于部分分式拟合中有一个非零渐近项和三个极点，因此 近似值是我们需要寻找的：

式中， ， 。计算一下，基本上就能得到部分分式拟合获得的结果。

虽然由于几何结构较简单，我们可以事先通过解析方法得到单位长度的串联阻抗，但能够使用解析方法来拟合传递函数，还是非常有参考价值的。当然，我们这里的实际示例是拟合给定模拟的数值结果，而没有使用任何基本数学表达式解析。

这里选择的频率相对较低，因此研究更高频率下的拟合效果是有意义的。通过观察精确阻抗在较高频率下的表现，我们可以发现底层传递函数不是真分式。由于部分分式拟合功能在设计上会得到一个真分式的拟合传递函数，因此我们应该看到在输入频率以外的更高频率下，精确阻抗与拟合值之间会出现偏差，这就是下图所示的情况。任何拟合都只会考虑到部分分式拟合提供的频率范围，而不会保证在此范围之外的拟合效果。这也与帕德近似的渐近行为有关，但我们在此不再赘述。最后，需要指出的是，您可以研究任何相关系统的逆系统，这将改变有理传递函数的真假性，但即便如此，在拟合过程中使用的频率范围之外的值仍会出现偏差。

最后，可以根据部分分式拟合结果合成一个电路，如下图所示。电路计算将接近小狭缝长度 的串联阻抗，其精度与相同频率范围内的部分分式拟合极值和残差相同。本篇博客不涉及合成的细节，但应该指出的是，还应以类似方式建立并联导纳来完整描述狭缝。

共轭对称，负频率

如前所述，部分分式拟合中的复极点将以复共轭对的形式出现。然而，原始系统必须为实数并不是一个明确的约束条件，因此它可能具有固有的共轭对称性，也可能没有。由于部分分式拟合本身具有共轭对称性假设，我们必须将输入值的频率范围限制为正频率（可能包括 0 Hz）或负频率（可能包括 0 Hz）。前者可能比后者更常见，但两种选择都有。由于初始数据可能不存在共轭对称性，因此这两个选项可能无法得到相同的拟合近似值。

结束语

本文介绍了 COMSOL Multiphysics^® 中新增的 部分分式拟合 功能在不同情况下的表现，如严格真分式、真分式和假分式的有理传递函数，以及非有理系统特性，如时间延迟、微声学效应或耦合多物理场仿真结果。该功能性能优异，可通过更改频率范围和容差选项以及直接更改残差和极点值进行手动拟合。

值得注意的是，对于某些具有实极点（在无限频率范围内）的测试传递函数，部分分式拟合有时会在其有限频率范围内得到复极点。不过，与实部相比，虚部非常小，因此很容易就能得知这在数值上仍然是合理的。请注意一种情况，即只包含实部就可以进一步简化。有时您还会看到极小的残差，因此相关极点可能并不重要，可以从部分分式拟合中删除。您还可以添加或删除极点和残差，并查看对拟合曲线的影响，这是一项非常有用的功能。

我对最新版本中的这个功能非常满意，并且这个功能可用于很多相关的应用案例。

动手尝试

想自己动手尝试 部分分式拟合 功能吗？请查看 COMSOL 案例库中的管道与耦合器测量装置的输入阻抗：使用部分分式拟合的时域模型降阶 (MOR)模型。

参考文献

1. B. D. O. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.
2. Y. Miki, “Acoustical properties of porous material – Modifications of Delany-Bazley models -”, The Journal of the Acoustical Society Japan, vol. 11, no. 1, pp. 19–24, 1990.
3. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1989.
4. J. R. Martinez, “Transfer Functions of Generalized Bessel Polynomials”, IEEE Transactions On Circuits And Systems, vol. CAS-24, no. 6, 1977.
5. M. R. Stinson, “The propagation of plane sound waves in narrow and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of arbitrary cross-sectional shape”, J. Acoust. Soc. Am. 89 (2), 1991.

高斯轮廓激光束照亮硅晶圆

我们将以一个直径为 2 英寸（约 5cm）的硅晶圆为例，如下图所示，该晶圆的中心有两种不同的材料，每种材料厚度为 100μm，半径为 1cm。晶圆从顶部被一束高斯轮廓激光热源照射，该热源在时间上被快速脉冲化。这两种材料在 700nm 的激光波长下都是半透明的，但在更长波长的红外辐射下是不透明的。硅衬底是掺杂的并且在所有波长下都是高吸收性的。

脉冲激光在不透明晶圆上照亮了两层半透明材料。

由于所有材料都具有与入射光束垂直的平面边界，所有入射光都将沿平行于入射光束的均匀方向传播。材料之间的界面会有反射，但没有折射或衍射。两层材料的厚度都远大于波长，因此我们可以假设相干长度远小于层厚度。我们可以使用比尔-朗伯定律来解决这个问题，该定律描述了半透明介质中光的衰减。该方程使用 COMSOL Multiphysics^® 软件中的吸收介质中的辐射束 接口求解。但是，由于存在反射，我们需要仔细研究一些细微差别。

了解物理场并设置模型

由于沉积层是圆形的，并且由于激光聚焦在中心上，我们可以忽略晶圆平面并将模型视为完全轴对称的。这使我们能够将模型简化为 2D 轴对称建模平面。在这个平面中，我们简单地绘制三个矩形来定义晶圆和两个沉积层，并为这三个矩形分配不同的材料属性。这样，几何形状和材料就定义好了，我们可以专注于物理场的研究。

首先，沿着光束路径穿过自由空间，从晶圆上方的激光源沿着 z 轴向下。我们有一个 40W、700nm 波长的激光器，并且光束具有标准偏差为 1.5mm 的高斯轮廓。激光器开启 75ms，然后关闭 25ms，或者激光器使用占空比为 75%，周期为 100ms 的脉冲加热。这种时间上的阶梯式加载是通过事件 接口解决的，该接口用于引入一个 离散状态 变量 ONOFF，即时间为 0 或 1。

我们不会明确地模拟激光源或通过自由空间的光束路径;我们将只对与材料相互作用的光进行建模。在顶层的边界处，折射率为 的材料会因为折射率的差异而有一些反射，如菲涅耳方程所示：

 
虽然这个方程适用于复值折射率，但在我们的计算中只考虑折射率的实值分量是合理的，因为折射率的虚部非常小。在界面上没有任何吸收的附加假设下(例如由于吸收材料的非常薄的涂层)，透射率为 。这样就完成了我们在吸收介质中辐射束 接口设置入射强度 功能所需的信息，如下面的屏幕截图所示。

入射强度功能的设置。

当光束穿过材料的第一层时，其强度与吸收系数成比例减小，吸收系数 由下式确定：

 
其中， 是折射率的虚部， 是自由空间激光波长。吸收系数可能与温度有关，但我们将从它是一个常数开始。给定光束轮廓在顶面上的强度分布，剩下整个域的光束强度通过计算获得。

在沉积材料的顶层和底层之间的介电界面，将再次存在菲涅耳方程描述的反射和透射。光束的反射分量使用已有的 吸收介质中的辐射光束 接口进行处理，只需添加第二个入射强度 功能就可以了。可以向这个界面添加任意数量的入射强度 功能;每个都将引入一个额外的变量来求解，这些变量将被命名 rbam.I1, rbam.I2, …, 依此类推。在第二个入射强度 功能中，我们可以引入基于第一个光束强度和菲涅耳反射系数的用户定义的光束轮廓。通过改变光束方向的符号，可以完全考虑光在此接口上的部分反射，如下面的屏幕截图所示。从理论上讲，在顶部边界会有一个额外的光束反射，但是这个二次反射足够小，所以我们将忽略它。

第二个 入射强度功能的屏幕截图，考虑了介电界面处的反射。

接下来，我们跟随光束穿过介电界面进入第二层半透明材料。由于跨越此边界的光强度发生了变化，因此必须添加第二个 吸收介质中的辐射束 接口，并根据菲涅耳透射率和来自第一个吸收介质中的辐射束 接口的第一束光束来定义入射强度。

吸收介质中的辐射束接口中第二个辐射束的 入射强度特征的屏幕截图，用于底部域中的强度。

最后，让我们讨论当光线到达第二层底部并击中硅晶圆衬底时会发生什么。我们将假设硅晶片是掺杂的，因此它具有高度吸收性和非反射性。由于所有到达这个边界的光都将在足够小的距离内被吸收，因此可以说光在边界处被吸收。对于这种情况，不透明表面 边界条件将在所选边界处沉积所有能量，这就完成了激光在结构中传播时的建模。通过这些功能的组合，我们已经完全模拟了入射激光束穿过模型。现在我们可以将注意力转向热模型。

模拟温度随时间的变化

晶圆最初处于 300K 的均匀温度。所有域都有传导传热，我们假设材料之间的界面没有明显的热阻，即材料界面之间没有温差，磁通量是连续的。这种情况是软件的默认假设，但如果我们确实希望覆盖它，可以添加薄层 或热接触 功能。

在 100μm 处，层厚已经足够适用经典的傅里叶传热定律，值得一提的是，纳米级传热是 COMSOL 用户研究的一个活跃领域;例如，请参阅我们的特邀博客“动力学集体模型中的流体动力热输送”。

至于热边界条件，我们将假设晶圆位于完全绝缘的底座上，并且位于一个近真空的工艺室内。这意味着不会有传导或对流传热冷却，但会向腔室壁进行辐射传热，假设保持在 300K。接着，我们假设晶圆温度只会上升几百K，因此与入射激光相比，辐射发射将处于一个更长的波长带。这意味着，从概念上讲，我们可以使用双波段模型进行辐射传热。来自激光的入射辐射已经通过吸收介质中的辐射束 接口完全处理。较长波段的发射辐射（由于晶圆相对于工艺室壁的温度升高）可以使用单波段表面对表面辐射 接口与固体传热 接口进行建模。表面到表面辐射  接口计算所有暴露表面与周围空间之间的角系数。

值得一提的是，在这种情况下，只有在晶圆上方的小内角附近存在表面对表面辐射;其他地方对环境的角系数都是统一的。如果我们想稍微简化一下，可以不使用表面对表面辐射 接口，而是在固体传热 接口中使用表面到环境辐射 边界条件。计算时间和结果的差异可以忽略不计，因此这里我们使用更准确的方法，即使用表面对表面辐射 接口计算角系数。

我们还需要特别注意这个装置的网格划分。吸收介质中的辐射束 接口求解的是一阶偏微分方程，默认情况下使用场的线性离散化。根据吸收系数，我们知道强度会随着两层的厚度发生明显变化。我们还知道，激光束轮廓在表面上的强度变化是相当渐进的。这证明了层内具有高纵横比矩形单元的映射网格是合理的。当然，随着建模复杂性的提高，我们总是希望研究网格和求解器的相对公差细化，就像我们之前的博客文章“在 COMSOL Multiphysics® 中模拟固体瞬态加热简介“所讨论的那样。

设置完成后，我们将使用随时间变化的求解器解决这个问题，并按照求解器采取的步骤保存数据。然后，我们可以绘制出温度曲线和吸收的热量，以及一段时间内中上部点的温度，如下图所示。

沿 z 轴的高度与温度的关系。

最后，为了说明，我们将介绍一种非线性材料，使底层的吸收系数随着温度的升高而上升。两种半透明材料的吸收系数比较如下图所示。随着非线性吸收系数的升高，材料的加热更大。由于这种材料的非线性，我们还需要细化具有非线性属性的层中的网格。

使用两种不同的材料模型比较温度随时间的变化。

结束语

我们介绍了一种解决半透明材料的加热问题的建模方法。准直辐射热源(激光)通过一组吸收介质中的辐射束 接口进行建模，该接口可以处理材料在激光波长下的半透明性质以及介电界面处的反射。脉冲热源通过事件 接口处理，较长波长的红外再辐射通过表面对表面辐射 接口处理。这种建模方法适用于半导体加工领域或准直光入射到半透明材料上的任何情况。

如果你对这些类型的模拟感兴趣，请随时单击下面的按钮下载文中讨论的示例模型：

一个简单的瞬态加热问题

图1显示了本文所讨论主题的建模场景。在这个场景中，将一个空间上均匀分布的热载荷施加在一个具有均匀初始温度的圆柱体材料顶面的圆形区域内。最开始载荷很高，但在一段时间后会逐渐下降。除了施加热载荷外，还添加了一个边界条件来模拟整个顶面的热辐射，它使零件重新冷却。假设材料属性(热导率、密度和比热)和表面辐射率在预期温度范围内保持不变，并且假设没有其他作用的物理场。我们的建模目标是用它来计算圆柱体材料内随时间变化的温度分布。

在 COMSOL 案例库中的硅晶片激光加热教程模型中，有一个类似的建模场景，但请记住，本文讨论的内容适用于任何涉及瞬态加热的情况。

图1.顶面有一个热源的圆柱体材料几何模型。

尽管我们很想通过绘制图1中所示的精确几何结构开始建立模型，但我们可以从一个更简单的模型开始。在图1中，可以看到几何体和载荷是围绕中心线轴向对称的，所以我们可以合理地推断，解也将是轴向对称的。因此，我们可以将模型简化为二维轴对称建模平面。(点击此处，了解如何使用对称性来减小模型尺寸。)

在中间的圆形区域内，热通量是均匀的。最简单的建模方法是通过在二维域的边界上引入一个点来修改几何形状。这个点将边界划分为受热和未受热的部分。在几何形状上增加这个点，可以确保所产生的网格与热通量的变化完全一致。考虑到这些，我们可以创建一个等效于三维模型的二维轴对称计算模型(图2)。

图2.相当于三维模型的二维轴对称模型。显示的是默认网格。

此外，我们还考虑了施加的热通量大小的瞬时变化的情况；在 t=0.25s 时，它的值变得较低。载荷的这种阶梯式变化应该通过使用事件 接口来解决，如 COMSOL 知识库中关于求解包含时变载荷阶跃变化的模型一文所述。简单来说，事件 接口会准确地告诉求解器载荷的变化什么时候发生，求解器将相应地调整时间步长。我们可能也想知道求解器采取的时间步长，这可以通过修改求解器的设置，按求解器的步长输出结果，然后就可以绘制零件顶部中心点的温度，如图3所示。

图3.某一点的温度随时间变化的曲线图，各点显示了求解器在载荷突然变化的附近采取的步长较短。

接下来，我们用不同的求解器相对容差值重新运行该模型，并在图中进行比较(图4)。这类图表明，像预期的那样，随着公差变小，解迅速向同一个值收敛。

图4. 用不同的相对容差求解出的随时间变化的某一点的温度图。

另一个可以计算的量是进入该域的总能量。我们可以对通过边界的总热通量的表达式 ht.nteflux 进行积分，使用 timeint() 算子对时间进行积分，得到总能量。积分的结果在下面的表格中列出，用于增加时间步长的相对容差。(提示：你可以在 COMSOL 知识库中了解更多关于计算空间和时间积分的信息，在这篇关于如何计算质量守恒和能量平衡的博客中了解更多关于计算能量平衡的信息)。

从数据中我们可以观察到，进入系统的总能量实际上几乎与时间步长容差无关。乍一看，这似乎是对我们模型的一个奇妙的验证。然而，需要指出的是，我们在这里观察到的是有限元法(FEM)的基本数学特性。简单说，就是总能量总是会很好地平衡。这并不意味着模型中没有错误，错误只是出现在不同的地方……接下来，我们就去寻找错误。

错误：很容易产生，但很难定义

我们应该在这里暂停一下，来非常谨慎地处理上文中提到的一个词，即错误 这个提示，它在建模和仿真的世界中经常被使用，但没有固定出现的场合。在本节的后面部分，我们将对各种建模案例中可能出现的不同错误进行一些详细描述。(如果你想直接跳到与模型中的错误有关的部分，请点击这里)。

输入错误

输入错误，顾名思义，是指模型输入中的错误，如材料属性输入不正确或几何形状绘制错误。最有危害的一个输入错误就是遗漏错误，例如忘记添加一个边界条件。输入错误与输入中的不确定性是不同的，例如，当不知道确切的材料属性时，就会出现不确定性。前者输入错误只能通过仔细检查来解决，而后者输入中的不确定性可以通过 COMSOL 软件的不确定性量化模块来解决。对于我们的例子，我们确定没有输入错误或不确定因素。

几何体的离散化错误

当通过有限元网格离散几何体时，特别是在对非平面边界进行网格划分时，会产生一个几何体的离散错误。这些错误随着网格细化程度的增加而减少，并且可以在不实际求解有限元模型的情况下进行计算。本文示例中的二维轴对称建模域没有弯曲的边界，不必担心这种类型的错误。

解的离散化错误

解离散错误是由于有限元基函数不能完全代表真实的解场及其在此域内的导数。它从根本上存在于有限元方法中。这种与几何离散误差有内在联系的误差总是存在的，对于任何良好的有限元问题来说，它总是随着网格的细化而减少。

时间步长误差

了解时域模型中的误差传播是相当复杂的。这篇博客，我们只要说在任何一个时间步长中引入的或已经存在的任何误差都会向前传播就足够了，但对于文中讨论的扩散类问题，它们会逐渐衰减。这种类型的误差总是存在的，而且这些误差的大小是由瞬态求解器容差和网格控制的。

插值错误

还有一种类型的错误是比较定性的，那就是插值错误。这些错误发生在对结果的意义和产生方式没有准确理解的情况下。其中最著名的是尖角处的奇异性，这种情况经常出现在结构力学以及电磁场建模中。当存在输入错误时，插值错误尤其经常出现。因此，如果你对你的结果有任何不确定的地方，一定要回去仔细检查(甚至三番五次检查！)你模型的所有输入。

上面列举的错误清单并不完整。例如，我们还可以谈一谈由于线性系统求解器的有限精度算术、非线性系统求解器和数值积分误差而产生的数值误差。然而，这些以及其他类型的误差，基本上规模都小得多的。

有了上述的这组定义，现在准备回到我们的模型了。

追踪空间和时间中的错误

到目前为止，我们已经观察了模型中某一点的解，并观察到随着我们完善瞬态求解器的相对容差，解似乎收敛得很好，所以我们应该已经理解了收紧瞬态求解器的相对容差将减少时间步长误差的想法。现在，我们来看看空间温度分布。我们将从沿中心线的温度开始，对于最宽松的容差 1e-2，看初始时间的解以及求解器采取的第一个时间步长，如下图所示。

图5.初始时间和第一个时间步长的中心线温度图。

从初始值图中，我们可以看到，沿中心线的温度与规定的初始温度不一致——有些地方甚至低于初始值。这是由于 COMSOL Multiphysics 使用了所谓的一致初始化，即调整初始时间的解场，使其与初始时间的边界条件和初始值一致。一致初始化包括采取一个额外的非常小的人工时间步长，我们可以认为是在零时刻发生的。一致性初始化可以在求解器的初始时间步长设置中关闭，也可以在显式事件 和隐式事件 功能中关闭，但是这样做的时候应该谨慎。在常见的的多物理场模型中，尤其是涉及到流体流动的模型，默认情况下要让它处于可能更稳健的启用状态，所以我们在这里将讨论这种情况。

在这种情况下，考虑一致初始化的方式是，调整温度场使之与施加的载荷和边界条件相一致。由于施加的热载荷最初是不为零的，温度场的梯度与热通量成正比，最初也必须不为零。我们还需要考虑，这个场是用有限元基函数离散的。沿着中心线，这些基函数是多项式，但多项式不可能完全匹配真实的解；因此，在一致初始化步骤之后，我们最终得到的是一个会略微超过或低于预期结果的解。从第一个时间步长的解中，我们还可以看到，零件远端的温度已经在上升，这是意料之外的。虽然这些与预期的变化幅度非常小，但我们还是希望将它们降到最低。

在通过修改模型来减少这些解的离散化误差之前，让我们应用一点物理上的直觉来解决这个问题。在模拟时间开始时，沿中心线的温度分布将与涉及模拟通过一维板块的传热建模方案相当类似。对于这种类型的建模方案，已经存在一个分析解，这在许多关于传热分析的书籍中经常会谈到(实际上，这个例子被用作我桌上的一本教科书 Fundamentals of Heat and Mass Transfer的封面插图)。

为了简洁起见，我们将跳过分析解法直接陈述结果。当对表面零件施加热量时，表面的温度将开始上升，最终内部区域也会变暖。请注意，离边界较远的点需要更多的时间来加热。板块内的温度是不会均匀变化的。在内部更远的点，与靠近表面的点相比，需要更长的时间才能使温度开始变化。值得注意的是，由于传热方程的扩散性质，空间温度变化将随着时间的推移而趋于平稳。有了这种认识，让我们再回到我们的模型，看看如何改进它。

简单来说，为了使这个解的离散化误差最小化，我们需要在场变化剧烈的位置划分更精细的网格。根据我们的经验（或者分析解，如果我们想查的话），我们知道，在非常接近表面和边界的法线方向上，场的变化非常大，但在内部则变得更加平滑。这正是需要边界层网格划分的情况，如图6所示，它在边界的法线上创建薄的单元。

图6.通过沿着晶圆顶部的一个边界添加一个边界层来修改网格划分序列。

现在，我们可以重新运行模拟，并绘制出初始时间和下一个时间步长的解。

图7.使用边界层网格时，初始和第一个时间步长的中心线温度图。

在图7中，我们可以观察到，在初始值时，温度的下调在空间上更为局部。事实证明，使用更精细的网格也会导致随时间变化的求解器采取更小的时间步长。因此，通过这种细化的网格，我们减少了空间离散和时间步长误差。

我们还可以看一下沿建模域顶部边界的结果，代表暴露表面的温度分布。图8中显示的是使用 1e-2 的容差绘制的初始时间和第一个时间步长。在这些图中，我们可以观察到空间中相当剧烈的震荡场。这是空间离散化的一个表现。请记住，热载荷沿着径向轴经历了大小的阶跃变化，我们在这里观察到的有点类似于吉布斯现象。

图8.使用边界层网格绘制的在初始值和第一个时间步长中沿顶面的温度图。

解与之前类似，但现在我们必须在过渡的位置细化网格。对于这个问题，可以对划线点应用更加精细的大小设置，从而得到如下所示的网格。

图9.网格设置和网格的图示，在划定热载荷分布的点上应用较小的网格大小。

从图10的温度结果中，我们可以看到，现在解中的振荡已经减少了，在空间和时间上的传播也没有那么多。即使求解器的相对容差为 1e-2，求解的结果也已经有了很大的改善。

图10.在细化网格后，使用0.01的相对容差，在初始值和第一个时间步沿顶面的温度要准确得多。

我们可以使用更多的网格和求解器容差细化来继续这个练习。但通过我们目前所做的细化，已经开始看到误差迅速减少–由于瞬态传热方程的扩散性质，即使是仍然存在的误差也会在空间和时间上被平滑掉。实际上，我们应该花同样多的精力来研究模型输入中的不确定性的影响。

还有什么可以发挥作用？

在这个例子中，施加在边界上的热载荷并没有及时移动，所以划分边界的方法是合理的。如果热载荷分布要移动，那么受热面的整个网格就需要更加精细。(你可以在这篇博客中了解在 COMSOL^® 中对移动载荷和约束进行建模的 3 种方法)。

在这篇博客的前面部分，我们假设材料属性随温度的变化而保持不变，并且不依赖于任何其他物理场。这是一个重大的简化，因为所有的材料属性都会随温度变化。材料甚至可以经历相变，如融化。模拟相变可以用几种不同的方法，包括表观热容法，它是使用高度非线性的比热来说明相变的潜热。我们也可以很容易地预见到这是一个多物理场问题，如涉及热固化的方程式，甚至是材料非线性电磁加热问题。在这种情况下，我们不仅需要监测温度场的收敛性，还需要监测所有其他正在求解的场变量，甚至可能是它们的时间和空间导数。这些情况可能都需要在建模域的所有地方采用非常精细的网格，所以从本例这种简单情况中得到的经验可能并不适用。然而，即使在对更复杂的模型进行网格划分和求解时，记住最简单的情况总是好的(即使它只是作为一个概念性的起点)。

此外，我们应该强调的是，这篇文章只是关于固体材料的时变传热。如果有一个移动的流体，控制方程将发生重大变化；流体流动模型的网格划分是一个单独的、相对更复杂的话题。对于波动型问题，网格的选择和求解器的设置就变得相当简单了。

结束语

在这篇博客中，我们复习了一个典型的传热建模问题。我们注意到，在空间和时间上，在载荷突然变化的情况下，解会出现某些错误。读者现在应该对这些错误类型有所了解，并知道它们是有限元方法的固有结果，就像所有的数值方法一样，只是对现实的一种近似。尽管这些误差看起来很大，但由于瞬态传热方程的扩散性，它们的大小在空间和时间上都会衰减。我们已经表明，网格细化将减少空间离散误差，同时隐含着减少时间步长误差的效果。最后，我们讨论了如何通过求解器相对容差细化来进一步减少时间步长误差。

还值得做一个更简短的总结：如果你主要对一个相对长的时间后的解感兴趣，使用相当粗的网格和默认的求解器相对容差是完全可以接受的。另一方面，如果你对短时和小范围的温度变化感兴趣，那么必须研究求解器相对容差和网格细化。

理解了这些，我们就可以避免犯解释错误。这将使我们能够自信和轻松地从简单的模型中建立更复杂的模型。

下一步

点击下面的按钮，你将进入 COMSOL 案例库，可以尝试自己模拟这篇博客中提到的示例模型。

为什么损耗不平衡？

假设有三根相同的铜线，它们在一条水平线上等距排列，传输三相电，如下图左侧所示。那么，每根电线的损耗是多少？假设导线很长并且横截面恒定，我们将模型简化为二维横截面模型，在频域中求解。我们在 COMSOL Multiphysics^® 软件中对每根导线进行建模，使用线圈 域条件，并以复数形式定义相位彼此相差 120° 的三相交流电流。有关三相传输线建模的详细教程，请参阅之前的博客文章电缆建模系列教程。值得注意的是，通过所有三根导线的电流总和为零，因此我们不需要关心沿边界的任何电流返回路径。每根导线内的损耗分布如下图右侧所示。

三根通有三相电流的平行导线的示意图，以及横截面的损耗图。

在这副图中，我们可以看到损耗分布关于 x 轴对称，但关于 y 轴不对称。这可能看起来不符合常理，因为导线的几何形状显然是关于两个轴对称。那么，如何解释这个结果呢？

一个损耗平衡的案例

有许多不同的方法来解释这种现象。这里，我们先改变几何，使之更加简单、易懂，然后再研究如何影响计算结果。我们把导体重新排列成一个等边三角形排列，如下左图所示。在这种情况下求解后发现，所有导体具有相同的总损耗和相同的损耗分布。另外，还值得注意的是，这些损耗分布是旋转对称的。也就是说，将磁场围绕中心点旋转120°可以得到相同的分布。现在，我们来努力理解为什么磁场是对称的，并看看这将如何帮助我们理解损耗不平衡现象。

以等边三角形排列的三根导线表现出平衡的损耗。

当交流电流通过单根导线时，所产生的时变磁场会在导线内感应出电流。这些反向感应电流往往会与输入电流反向，尤其是在导线中心，这会导致所谓的集肤效应。除了导线本身的反向感应电流外，邻近效应还会导致输入电流在两个相邻导体中感应出电流。尽管没有正式的证明，我们称其为相邻输电线中的感应电流：

• 幅值相同，由于相邻的两个导体尺寸和间距相同
• 相位彼此相差 120°

仅查看其中一根导线中的输入电流，它会在导线本身以及两条相邻的导线中产生感应电流。

当三相电流通过所有三根导线时，通过这三根导线中一根导线的总电流是该导线中的输入电流、反向感应电流以及来自相邻导线的感应电流总和，例如，。引起三相电流所需的外加电压与输入电流成正比，由下式给出：，其中 是直流线电阻。当使用线圈 特征描述这些导线时，方程组中会添加一个额外的全局 方程。这将求解能产生所需总电流的电压。每根导线的总损耗由下式给出：，其中电流和电压是复数形式并且相位相差 120°。

现在，让我们在复平面中绘制这些电流，这可以帮助我们观察这三个反向感应电流如何加和为总电流。实际上，我们并不知道这些项的真实幅度或相位，但我们知道来自两条相邻导线的感应电流的相位彼此相差 120°。我们还可以合理地假设电流的相对大小为：。有了这些信息和假设，我们就能够制作下面草图。

对输入电流、反向感应电流和其他导线感应的电流求和将得出总电流。对于以等边三角形排列的相同导线，这三个电流的幅值相等且相位相差 120°。

考虑施加在所有导线上的复数电压，并考虑当将导线从等边排列变为线性排列时会发生什么。我们将中心导线标记为 。反向感应电流，例如， ，不会改变，并且从中心导线到外侧导线的感应电流在大小上仍然相等：。从一侧的导线到中心导线和另一根外侧导线的感应电流将不同： 和 。但是，外侧两根导线之间的感应电流的大小是相同的 ——，并且相对相位保持不变。我们现在可以绘制总和并比较三角形和线性排列。

在左侧图中，三角形配置的电流总和是对称的。在右侧图中，电压保持恒定，但导线变为线性配置，因此感应电流的大小不同，对称性被打破。

可以看到，施加三相平衡的电压必然导致电流不平衡。或者，如果我们回到原来的情况并想要获得平衡的电流，那么施加的电压必须都不同。因此，损耗不可能相同。

结束语

如果要对这个系统进行物理验证，最容易想到的方法是测量每根电线的总损耗。外部两根导线上实验测量的总损耗几乎 相同，很容易将这种微小差异归因于实验误差。只有当查看数值计算的损耗分布时，如文章开始的图片中那样，差异才会变得更加明显。然而，实心导线内部损耗分布的试验验证将非常困难，而且可能从来没有人做过这样的试验。

还值得注意的是，思考问题有多种不同的方式，这只是其中的一种方式。还可以这样思考，即尽管在初始情况下 x 轴和 y 轴存在几何对称性，但对称条件只允许相位相差 180° 的场，即双重对称。具有 相位相差120°导线的解需要三重对称，例如等边排列。同样重要的是，要承认我们在这里展示的不是正式的证明，即使是最基本的结果也应该质疑，无论它们在视觉上多么有吸引力。所以，虽然我们已经提出了一些非正式的证明，但这是否足够？

另一个证明是模型本身。我们开始使用的初始模型很简单：线性布置的三根导线，流通三相电流，通过有限元方法在没有奇点的域上求解。有时，即使是简单模型的结果也会与我们的直觉不一致。这通常会导致人们怀疑模型中的错误，这当然是合理的，因为对每个模型我们都应该带着一点怀疑和严格的验证和确认过程来处理。我们甚至可能会怀疑有限元方法本身，尽管它是数学物理学中最常用和充分验证的方法之一。

最后，我们绝不能落入过于相信直觉的陷阱。科学中一些最瞩目的发现始于意想不到的观察，所以请始终保持开放的心态！

编者注：这篇文章最初于 2014 年 10 月 24 日发布。现在已经更新以反映新版本软件的特点和功能。

先来看一些数据

我们将建立一个温度在域内稳态分布的三维模型，并研究随着自由度数增加的内存需求和求解时间。该模型是在一台典型的 Intel^® Xeon^® W-2145 CPU，32GB 内存，固态硬盘(SSD)台式电脑上，使用默认的求解器在连续的越来越细的网格上求解。

首先，我们将从两个报告量：虚拟内存和物理内存，来查看当模型大小增加时的内存需求。虚拟内存是软件向操作系统请求的内存量。(这些数据来自 Windows^® 系统，所有支持的操作系统的内存管理都非常相似）。物理内存是指被占用的 RAM 内存的数量。物理内存总是小于虚拟内存和安装的 RAM 数量，因为操作系统以及在计算机上运行的其他程序也需要占用一些 RAM 内存。在占用内存的某个最高点，物理 RAM 的可用空间已经用完，相当一部分数据会驻留在固态硬盘上。还有另一个点，当超过这个点时，软件将报告没有足够的内存，所以模型根本无法求解。显然，为计算机增加更多的内存能求解更大的模型，我们可以通过线性外推来预测内存需求。

图1. 使用一台 32 GB 内存的计算机模拟的涉及固体传热的模型。所需的虚拟内存（蓝色）和物理内存（橙色）与问题大小的对比，以百万个自由度表示。

接下来，让我们来看看这个问题的求解时间与自由度的关系。求解时间显示两个不同的区域。一个二阶多项式曲线适用于所需的虚拟内存量小于安装的 RAM 区域，这个曲线几乎是线性的。另一个二阶多项式适合剩余的数据，其中虚拟内存高于安装的 RAM。这条曲线的斜率更加陡，因为在这个系统中，访问存储在虚拟内存中的模型数据需要更长的时间。

图2.当问题大小大于可用的 RAM 时，求解时间与自由度呈递增关系。

内存需求总是相同吗？

我们可能会问，上面这些关于内存需求的数据是不是总是正确的呢？当然不是，除了非常相似的问题之外，这些数据几乎没有预测价值。

对模型的 6 种典型修改

对当前的模型做出哪些常见的修改，能使这些曲线向上或向下移动？下面，我们来介绍几个不同的例子。

1.在时域中求解

与求解稳态问题相比，使用时域求解器求解时域问题需要在内存中存储更多的数据。关于算法的概述，请阅读博客：瞬态问题中的自动时步和阶数选择。

2.切换线性求解器类型

上述问题可以用迭代或直接求解器来求解。迭代求解器比直接求解器使用的内存要少得多，特别是随着问题大小的增长。直接求解器仅适用于某些问题类型，例如当系统矩阵由于材料特性的高对比度而几乎是病态时，但该矩阵仍然能够超线性扩展。

3.引入非线性

即使在单一的物理场中，引入任何种类的非线性，例如使材料特性成为温度的函数，都会导致系统矩阵的非对称性。这将增加内存需求。可以通过使用 nojac() 算子来避免符号微分，但并不是在所有情况下都可以这样做，因为这可能会对非线性收敛率产生负面影响。

4.改变单元类型

三维问题的默认单元类型是四面体单元，但也可以使用另一种单元类型，如三角棱柱或六面体。这些单元的单个单元的连续性更好，也会增加内存的使用。但另一方面，对于特定的几何结构和问题来说，可以通过手动改变单元类型，使相同几何结构的网格更粗，特别是与几何分割和扫掠网格结合使用时，往往占用更少的内存。

5.改变单元阶次

在求解固体传热 时，默认的单元阶次是二次拉格朗日。如果网格相同，改变为线性将减少模型中的自由度，同时也将导致每个单元的连续性降低。也就是说，每个单元的各个节点都有较少相邻节点，对于相同的自由度，这将降低内存使用量。反之，增加单元阶次会产生更大的连通性，对于相同的自由度，则使内存使用量增加。此外，可以在拉格朗日和巧凑边点单元之间转换，后者每个单元的节点更少。然而，有必要了解的是，改变单元阶次和类型对精度和几何网格划分要求都有影响，这本身就是一个复杂的话题，所以改变默认的单元阶次应该谨慎对待。

6.引入非局部耦合或全局方程

非局部耦合涉及到任何在非相邻单元之间传递信息的额外耦合项，通常与全局方程一起使用。使用这些项会影响系统矩阵中的信息量，并经常使问题变为非线性。有一些边界条件，如 终端 边界条件，可用于涉及电流的问题，并会在底层方程中引入非局部耦合或全局方程。非局部耦合也可以手动实现，如博客：计算和控制空腔体积中所讨论的。

求解不同的物理场

那么，如果要求解不同的物理场问题呢？上述例子与传热仿真有关，其中使用了有限元法来求解(标量)温度场。如果通过有限元法取样解不同的物理问题，那么可能要求解的是一个矢量场。例如：

• 固体力学
  • 固体力学 接口在三维空间中求解位移场，因此对于同样的网格，它的自由度是热学问题的3倍，并且网格之间的连接更多。对于一些涉及不可压缩固体的固体力学问题，额外求解压力将进一步增加内存需求。引入非线性材料模型会进一步增加内存需求，这取决于所使用的材料模型。
• 流体流动
  • 流体流动 接口求解三维的速度场和压力。当求解湍流时，至少有一个额外的湍流变量被求解。当求解多相流时，至少有一个额外的变量来追踪相位。
• 电磁学
  • 根据你感兴趣的控制方程，可能要求解一个标量方程或矢量方程，甚至增加一个额外的规范固定方程。
• 化学物质传递
  • 在求解化学工程问题时，如反应流，自由度的数量与在模型中包括的化学物质的数量成正比。

对于上述每一个物理场，或任何其他通过有限元法求解的物理场，我们又必须考虑之前提到的所有要点的影响。那么，如果我们采用的是除有限元之外的其他方法呢？COMSOL^® 内置了一些接口和方法，比如粒子追踪 接口，可用于求解粒子位置的一组常微分方程(ODE)，与有限元相比，它的内存要求和自由度要低得多；射线光学 接口也求解一组常微分方程，并且内存要求与粒子追踪相似。间断伽辽金（dG）方法用于求解电磁波、声波和弹性波模型，与有限元方法相比，它使用的内存非常少；最后是边界元法(BEM)，这是一种离散化方法，但是是边界而不是体积。与有限元法相比，边界元法对每个自由度的内存要求要高得多，但同样的精度需要自由度更少。它在声学、静电学、电流分布、磁静力学 和电磁波中都有应用。

最后，我们不仅可以在模型中包括这些不同的物理场，还可以将它们耦合起来，建立一个真正的多物理场模型。当建立多物理场模型，还必须考虑可能的求解方法，因为这样的模型可以用完全耦合或分离的方法，用直接或迭代的求解器来求解，所有这些都会影响内存需求。下表给出了这些领域中一些典型物理场的内存需求的大致情况。

从这个角度来说，我们可能希望能够了解预测内存需求的复杂性。不过，从实用性的角度来看，这些信息有什么用呢？对于我们的日常仿真工作来说，只需要进行一个比例研究。也就是说从一个涉及所有物理场、边界条件和耦合的小模型开始，并使用所需的离散化。从求解这个问题开始，逐渐增加自由度的数量，同时监测内存需求。这个数据通常是线性的，但有时会与自由度的平方成正比增长，例如当使用直接求解器的边界元法时，或者如果有多种非局部耦合。有了这些信息，就可以继续改进模型的性能了。

不同的计算机硬件如何提高模型性能？

现在，让我们回到之前的求解时间与自由度的关系图，讨论可以改变求解时间的 10 种不同的计算机硬件。

用固态硬盘代替机械硬盘

当所使用的虚拟内存明显大于物理 RAM 的时候，用固态硬盘代替机械硬盘很重要。生成前文示例曲线的计算机包含一个固态硬盘，这在大多数较新的计算机中是很常见的。与固态存储器相比，具有旋转盘和移动读写头的机械硬盘（HDD）所需的求解时间较长。当求解那些内存需求比 RAM 少的模型时，这种选择的影响明显较小。除了固态硬盘之外，一个大容量的 HDD 也是合理的，HDD 主要用于保存模拟数据。

添加更多的内存

只要在所有的内存通道上均衡地添加内存，就能提高使用虚拟内存明显多于物理内存的模型的求解速度。例如，用于这些测试的 CPU 有四个内存通道和 32 GB 内存，每个通道有一个 8 GB DIMM。可以通过添加四个额外的 8 GB DIMMs 来进行升级，每个通道一个(因为这台电脑每个内存通道有一个空的第二插槽)，或者将所有四个 8 GB DIMMs 换成 16 GB DIMMs。无论哪种方式，重要的是每个通道都要被填满。例如，如果四个通道中只使用了一个，那求解速度就会减慢。

升级到速度更快的双列直插内存模块（DIMMs）

根据 CPU 的情况，有可能升级到支持更高的数据传输速率的 DIMM。重要的是，所有的 DIMM 都有相同的速度，因为如果 DIMM 的内存速度不均衡，通常会支持最低速度。

升级到时钟速度更快的 CPU

时钟速度影响到软件的各个方面，速度当然是越快越好。从实用的角度来看，通常不可能简单地只升级时钟速度而保持其他东西不变，所以不可能隔离改进，在大多数情况下，我们必须购买一台新的计算机。然而，随着模型使用更大的内存，以及更多的数据需要在 RAM 中来回传输，模型的性能瓶颈往往是数据在 RAM 内存中的传输速度，而不是 CPU 速度。

升级到有更多内核的 CPU

在保持所有其他因素不变的情况下，升级到更多的内核是很困难的。因此，确定更多内核并不容易做到。在大多数情况下，当求解一个单一的模型时，每一个工作都使用超过 8 个内核并没有什么优势。如果求解时间是由直接线性求解器主导的，那么内核更多则获益更多。另一方面，非常小的模型可能在单核上求解得更快，即使有更多的核心可用。也就是说，对于较小的模型来说，并行化有一个重要的计算成本。

另外，在并行运行多个工作时，如使用 COMSOL Multiphysics 中的批处理 功能时，多核也是有优势的。现在有些 CPU 同时提供 P 核和 E 核，这就需要额外进行性能权衡。

升级到有更大缓存的 CPU

缓存内存越大总是越好，但是缓存的大小与核的数量成正比，所以有最高缓存的 CPU 会有很多的核，价格也相对昂贵。

升级到带有更多内存通道 CPU 的计算机

我们有可能买到有两个、四个、六个甚至八个内存通道的单 CPU 电脑。不同通道之间的切换也代表了不同级别的处理器之间的切换，而且仅凭硬件规格很难比较它们之间的性能。如果你经常求解非常大的模型或多个模型的并行问题，那么超过四个通道是有必要的。

升级到双 CPU 计算机

支持双插槽操作的 CPU，每个 CPU 有 6 个或 8 个内存通道，总共有 12 个或 16 个通道，因此这类系统至少有 96 GB 内存，所以这些系统主要用于求解非常大的模型或许多模型的并行操作。

升级到 4 个以上 CPU 的计算机

这种情况非常少，仅考虑需要非常多的 RAM 内存（至少 768 GB）的模型。在考虑这样的系统之前，请联系我们的技术支持团队获取个性化的指导。

升级到集群计算机

目前集群计算机的数量已达成千上万台，其中相当多一部分已经被用来运行 COMSOL^®。可用的集群硬件系统是如此之大，而且变化如此之快，以至于不可能对相对性能做出说明。也有一些云计算服务提供商可以迅速让我们在所选择的硬件上启动一个临时的计算资源，这样就可以在各种硬件上比较相对性能。在求解极其庞大的模型方面，集群的优势在于能够使用域分解求解器。当然，集群对于在一个集群扫描节点内并行解决数百个甚至数千个案例也很有用。

注意：除了所有这些因素外，还要考虑处理器的更新换代和架构。处理器几乎每年都有重大更新，而且每年都有几个小的更新。比较上述不同代处理器的指标是相当困难的，但一般来说，较新一代处理器的性能优于较旧的处理器。

我应该如何决定购买什么计算机？

在决定购买什么样的计算机方面，首先是选择一个或一组模型，来描述你要做的各种分析。然后，进行扩展研究，确定内存需求，因为仿真求需会增长。当然，我们需要做一点猜测和推断，所以最好高估内存需求。

一旦对所需要的内存量有了一个很好的概念，就可以在最新一代处理器之间决定内存通道的数量。这是我们拥有最大灵活性的地方，所以在这里真正要考虑的是内存的可升级性。如果碰巧低估了内存要求，我们又希望能够轻松地安装更多的内存。例如，用于生成上文数据的计算机有 32GB 内存，安装在有一个有 4 个内存通道的系统上，每个通道有一个 8GB 的 DIMM，每个通道有一个插槽开放，因此，再买 4 个 8GB 的 DIMM 就可以很容易地升级到 64GB 内存。

接下来，在选择处理器方面，要确保处理器架构支持最快的可用内存速度，并在该架构中选择最快的时钟速度。通常在时钟速度和内核数量之间有一个权衡。缓存的大小往往随着内核数量的增加而增加，但是每个内存通道存在两个以上的内核，通常会导致性能与硬件成本之间的受益递减。

还要记住其他一些因素，例如，如果预计虚拟内存使用量较大，就需要有一个 SSD 驱动器。至于显卡，这里列出了支持的硬件列表，内存越大速度越快，显卡的显示性能就越好。另外，计算机通常是为某些市场和不同的价格点而制造的，例如，更昂贵的工作站或更经济的消费者级别。后者有时会有更好的峰值性能，但在连续多小时或多天运行非常大的模型时，工作站级别的系统可能更可靠。

还有什么可以提高性能？

你可能想去购买新的硬件来运行你的模型。不过，这样做之前，请考虑一下你所建立的模型的价值。一个有价值的数值模型是你在职业生涯中要运行成千上万种(或更多！)变化的模型。尽可能地提高这些模型的性能将为你节省数周或数月的时间，无论你使用什么硬件都是如此。

将模型分类

为了学习如何让模型运行的更快，无论使用的是什么硬件，我们可以从概念上将模型分为三类。

1.线性稳态

这类模型包括材料属性、载荷和边界条件与解无关的情况。频域和特征值或特征频率模型也可以归入这一类别。对于这些模型，计算时间完全与自由度的数量有关，所以目标应该是在达到预期精度的同时尽可能地减少自由度。

2.非线性稳态

这类模型包括在控制方程中出现非线性项的任何情况，例如在纳维-斯托克斯方程中，或者当材料属性、载荷或边界条件是解的函数时。这类情况的求解是通过重复求解线性问题而找到的。这里，所需的计算时间是线性迭代的成本和非线性问题的收敛率的组合。降低计算成本不仅涉及在达到预期精度的同时保持尽可能低的自由度，而且还涉及提高非线性收敛率。也就是说，减少得到解所需的步骤。而减少自由度既影响求解时间又影响内存，收敛率几乎只影响求解时间。

3. 瞬态

这类模型通过在离散的时步数上求解一串静止的近似值来计算随时间变化的解，可能包括也可能不包括非线性项。这里需要关注的是减少离散时步数，以及每个时步数所需的线性化步数，同时有足够精细的网格来求解随时间变化的场。

有用的仿真技术

虽然每个问题都是独特的，但有一些非常通用的仿真技术，所有的仿真分析人员都应该掌握，包括：

• 在处理导入的 CAD 文件时，使用特征去除 和虚拟操作 功能来近似 CAD 数据，用于创建一个更简单的几何体，或使用对称性来减少 CAD 模型的大小。
• 当处理相对较薄或较小的几何结构时，使用简化的几何结构以及可能不同的物理场接口，就像结构仿真中壳和梁的例子。或者，使用指定的边界条件，而不是明确地对薄域的几何形状进行仿真。
• 在合理的情况下，使用扫掠网格和装配式网格，并充分熟悉手动构建网格的方法。
• 对于非线性稳态问题，理解实现和加速收敛的各种方法。
• 对于瞬态问题，了解提高收敛性的各种方法。

当然，这些只是大体上的描述。有无数特定的仿真技术，可能只在非常窄的范围内适用，但可以让模型运行更高效。学习这些技术，何时以及如何应用它们，是有经验的数值仿真人员的艺术和技术。

结语

本文，我们提出了一个看似简单的问题，但其实在回答问题的过程中，触及了比较广泛的话题。最后，我提出一个有点争议性的个人观点。在我看来，试图在更快的计算机上求解更大的模型是一种不得已而为之的计算方法。把你的时间花在研究如何让你的模型变得更小、更快，比研究用什么硬件要好得多。最终，确实会有那么一天，你需要投资一些专业的硬件，当到了那个时候，你会想知道你到底为什么需要升级。希望您在阅读了本文后，对如何处理这个过程有一个大体上的认知。

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什么是二维轴对称？

在之前的博客文章：平面应力和平面应变的区别是什么？中，我们通过对面外方向上的应力或应变场进行假设，讨论了使用平面二维近似分析三维实体对象的方法。二维轴对称是将三维零件简化为二维几何的另一种方法。二维建模的优势在于，它比构建完整的三维模型计算更精简，同时还允许更简单的应用边界条件和更简单的划分网格。

在二维轴对称中工作需要几何（通常但并不总是）、载荷和约束在对象的圆周上保持不变。如果满足这些要求，就可以仅使用一个二维截面来求解运动方程。通过在整个旋转过程中积分控制方程，二维截面足以恢复完整的三维应力状态和应变状态。二维轴对称分析的典型对象是压力容器、扬声器模块、流体混合器、O 形圈或轴。

典型的二维轴对称分析：一个三维轴（左），在其顶部（中心）施加轴向载荷的二维轴对称几何表示，以及重新获得的三维剖面图显示了 von Mises 应力分布（右）。

默认情况下，只有在二维轴对称中求解的径向 和轴向 位移 和 。圆周分量 假定为零。但是，可以包括圆周位移，它允许在二维轴对称中扭转变形。为了更好地理解扩展功能的应用，我们先复习一下通常如何使用位移梯度来描述变形。如果你熟悉这个概念，可以跳过下一节内容直接阅读后面部分。

位移梯度

固体力学 接口求解运动方程或牛顿第二定律。默认的 线弹性材料 节点中的 方程 部分显示了以体积载荷表示的我们所熟知的定律“质量乘以加速度等于所有力的总和”，以及应力和应变之间的线性关系，这是此特殊材料模型明显特征。

线弹性材料节点 的 方程 部分显示了运动方程 (1) 和线弹性本构方程 (2)，以及工程应变 (3) 的定义。

为了在连续介质力学分析中建立本构关系，有必要使用某种合适的度量来描述材料在任何给定点的变形。实际上，在表征变形时有许多测量方法可供选择，例如 工程应变（参见上图中的 (3)）、格林拉格朗日应变 或 对数应变等。到底哪种方法有用取决于背景，例如使用特定材料模型或模型是否涉及大变形（几何非线性）。然而，所有这些方法都可以表示为位移梯度的函数 ，(有时表示 )。

那么，什么是位移梯度，它来自哪里？考虑一个（无限小的）小的“块”材料，它可以是任何更大结构的一部分。在初始时间 ，该块有一个参考配置（见下面的灰色表面）。在稍后的某个时间 ，该块可能已经经历了刚体运动（平移和旋转）以及变形（拉伸或剪切），如下面的动画所示。

平面二维对象的平移、旋转和弹性变形（纯剪切），视图显示了单独的变形步骤。在 块变形之后，位移梯度用于描述两个初始相邻点之间的位移变化，例如 和

在动画中， 和 两个点已经被标记出来。假设它们彼此无限接近。最初， 点位于 处，而它在当前时间 的位置表示为 。点 的新位置也可以用原始位置加上位移矢量来描述，即 。

现在，我们把注意力放在邻近点 上。与第一个点类似，一段时间后 也会移动到一个新的位置 。唯一的区别就是点 距离 很近，也就是说，它的初始位置是 。因此，当块变形后， 新的位置是

将这个关系稍微重新排列后得到一个表达式 ，是点 和 在变形配置中的一小步。

式中，位移梯度 被定义为张量，当物体变形时，它将 （在初始配置中）映射到点 和 之间的位移变化。与这些量密切相关的术语 被称为变形梯度（通常表示为 )，这个量也出现在许多连续介质力学的书籍中。

在更多实际情况中，相对于初始配置（也是材料坐标系的坐标）， 是包含位移场 导数的张量。对于三维笛卡尔坐标系，位移梯度很简单

在二维轴对称中，使用柱坐标系，这时位移梯度被定义为

式中，, , 和 分别是径向、周向和轴向坐标。

添加扭转…

那么，如何重新定义位移梯度以将简单的二维分析扩展到有时称为 2.5 维的分析呢？

默认情况下，二维轴对称实体的圆周方向位移被假定为零。这是因为有很多应用案例只涉及径向和轴向位移，而将位移分量添加到因变量列表会增加一定的计算成本。因此，为了研究二维轴对称中的扭转，必须明确添加圆周位移。我们可以使用 COMSOL 软件 固体力学 接口 设置 窗口中的 包含周向位移 复选框轻松完成。

轴对称近似 中的复选框启用了二维轴对称模型中的周向位移（左）。选择 包含周向位移 复选框时，模型开发器中的许多节点都显示了附加的用户输入，例如在方位角方向（右）中施加负载的场。

选中 包含周向位移 复选框后，软件会完成三件重要的事情：

1. 添加周向位移分量作为一个新的因变量
2. 显示新的用户输入，例如在圆周方向上施加载荷、弹簧或阻尼
3. 修改位移梯度的定义

最后一步使我们求解面外方向的剪切应变（即 和 )，在典型的二维轴对称分析中，它们被假定为零。唯一的限制是位移场必须围绕物体的圆周保持恒定。换句话说，假定 的倒数为零（）。因此，重新定义的位移梯度为

其中，对于标准的二维轴对称模型，所有涉及 的项通常会被忽略。此处描述的扩展功能适用于所有研究类型。

包含周向位移使得通常需要完整三维分析的研究成为可能。下面动画中显示的2个示例就是这种情况。第一个示例显示了由各向异性材料制成的管，例如层不均匀纤维复合材料。在这种情况下，弹性矩阵包含耦合项，这会导致管在轴向拉动时会发生扭转。第二个例子显示了一个带有周向裂缝的容器。它承受的内部压力和周向力，导致裂缝同时受到张开和面外剪切模式的影响。

通常需要完整三维模型分析的示例：由于各向异性材料特性（左）而具有张力–扭转耦合的管的归一化周向位移，以及在开口处加载裂纹的厚壁容器的 von Mises 应力分布和面外剪切模式（右）。

圆周模式扩展

对于特征频率和频域分析，上述限制只允许 方向上的一个恒定位移可以轻微提升。对于某些问题，例如扭转振动，假设解在圆周上具有一定的周期性是合理的。这个想法可以方便地用一个复值假设来表示：

这是一个假设线性响应的有效解决方案，这是频域分析最常见的基本假设。是定义位移场中周期数的方位角模式数。有了这个假设，位移梯度变为

这种类型的二维轴对称扩展也称为 圆周模式扩展，可以使用 轴对称近似中的第二个复选框激活（参见上面的屏幕截图）。模式编号必须指定为用户输入。

有两个需要注意的特殊情况：

1. ，对应于一个常数移位
2. ，可以描述二维轴对称中的弯曲变形

请注意，COMSOL Multiphysics 会自动在对称线上修改轴对称条件 ()，以便允许弯曲变形。

下图显示了特征模式的示例，可以使用圆周模式扩展进行研究。通过改变模式数，可以在相应的全三维分析中找到的所有特征模式——前提是基本轴对称假设成立。

圆柱的前三个特征模态，一端固定用于不同的模态数 。在这个例子中， 产生扭转和轴向模式， 仅显示弯曲模式， 显示高阶扭转模态。

一般来说，圆周模式扩展只能用于特征频率和频域研究。在稳态和瞬态研究中，圆周位移 保持不变，对应于模式编号 。但是，如果在频率为 下运行一个频域分析，将得到一个稳定的解，因为所有惯性项都变为零并且所有负载都变得与频率无关。使用这个技巧，可以计算二维轴对称中的静态弯曲变形。下图显示了轴承受弯曲力的示例（模式编号 ) 和轴向应力 ，与在较薄和较厚轴部分之间的过渡区域中的分析预期应力进行比较。

在二维轴对称中模拟的承受弯曲力的轴。该图显示了应力集中系数，或者更准确地说，显示了实际应力之间的比率 ，以及从基本弯曲理论中获得的圆角区域中的预期法向应力。

该案例模型，包括在这种情况下如何应用载荷的详细信息可以在文后链接中下载。

其他结构力学接口呢？

为了求解更复杂的位移场，通常用面外自由度扩展具有的二维公式的想法并不是唯一的。例如，壳 接口也支持圆周模式扩展。固体力学 接口中的平面二维等效项被称为面外模式扩展，可以在二维固体力学 设置 窗口中启用。它允许用户模拟面外方向的波状位移。

含二维平面应变公式的 固体力学 接口中的 面向模态扩展 复选框。

此外，其他一些物理场接口支持使用类似类型的扩展求解更高级的三维场。例如，在流体接口中，该选项称为 涡流。

二维轴对称 层流 和 压力声学，频域 接口的设置。漩涡流和 方位角模数设置允许求解圆周方向上形状更复杂的场。

自己动手尝试

想自己动手尝试模拟文中讨论的二维轴对称扭转和弯曲吗？单击下面的按钮访问 MPH 文件。

争议的背景

这一切都是因 “The Big Misconception About Electricity” 这个视频引起的。视频中给了一个类似于下图所示的电路图，有一个理想的电池通过一个理想的开关连接，形成一个理想的源。这个理想源由两根零电阻的电线连接，每根电线的长度为 30 万公里并沿相反的方向延伸，然后与一个放置在1米外的灯泡相连，形成环形回路。虽然视频中没有明确说明，但它假设整个电路位于某种空旷的宇宙中，没有被这个装置检测到的宇宙背景辐射。

有争议的电路图。

问题：关闭开关时，信号从源传播到灯泡需要多长时间？正确的答案是 3.33 (ns)( ， 是光速)。有许多视频提供了理解这个烧脑问题的不同方法。

也有人指出，我们应该定义一个阈值电流，并询问灯泡将在多大的电流下开启。这正是 COMSOL Multiphysics 擅长解决的实际问题，所以让我们直接开始建模吧！

建立数值模型并理解结果

我们的计算模型。导线半径为 0.1 米，计算域半径为 10 米。

由于我们需要求解的是导线周围空间的电磁场，构建一个30万公里长的计算模型可能不太切合实际，但我们可以通过上图显示的小模型学到很多知识。为了对源进行建模，我们使用了 COMSOL^® 软件中的集总端口 特征，从零时刻开始施加均匀电位。灯泡被建模为 集总元件，在导线之间的间隙上增加了一个电阻。使用 完美电导体 边界条件对两根 30 米长的导线建模。假设导线是完美的导体是合理的，因为这种超导线已经可以制造出来了。电线周围的空间体积被视为理想真空条件，其边界被视为开放的自由空间。只要建立了这个计算模型，就可以求解和可视化电线上的场和电流。

结果显示了半透明等值面的电磁能量密度和沿导线的电流。部分信号以光速向外传播，在间隙另一侧的导线上感应出电流。场也由电线引导，并且存在辐射损失。随着时间的推移，整个电路的行为由系统的电感和电阻支配。

上面的动画显示了随时间变化的电路内部和周围的电磁能量密度。我们可以观察到，初始信号以光速向外传播，当时变场到达灯泡旁边的导线时，就会开始在灯泡中感应出电流。时变场主要由导线引导，但也有一些辐射，特别是在弯曲处发生反射。在最初的几百纳秒之后，场开始变得更加均匀。我们还可以绘制通过灯泡的电流随时间变化的曲线，并讨论它的形状传达给我们的有关系统的信息。

灯泡电流的时间比信号在间隙中传播的时间要长；它类似于 RL 电路的响应。

曲线的整体形状

如果查看曲线的整体形状，会发现似乎灯泡电流正在向稳态电流上升。这是因为这里实际上是一个 RL 电路，我们可以用以下等式描述曲线的整体形状（3.33 ns 之后）：，其中 RL 时间常数为 ，电感 可以通过一个稳态模型计算。总电感与导线的长度成正比，因此较长的环路将具有较慢的上升时间。

如果我们将灯泡打开时的阈值电流定义为 ，那么（从严格的数学角度来看）电流只会无限接近 ，理论上灯泡永远不会点亮。实际上，灯泡 最终 会被点亮，因为它实际测量的是离散数量的移动电荷的速度和加速度。但是，非常接近直流电流的阈值电流将意味着灯泡要到远大于 RL 时间常数的时间才会被点亮。

曲线中明显的平台

如果我们仔细地观察开始时间附近的曲线，会看到信号有几个明显的平台，产生一种阶梯形状。每个平台的特征时间为 100 ns，因为所施加的阶跃信号沿整条导线传播，并且恰好在每条导线的中点弯曲处发生一些反射。这些平台的高度与间隙的电容和电感耦合有关。

事实上，我们可以用传输线的电路模型来表征这种阶梯行为。请注意，这些平台会随着时间的推移而变得平滑，我们将很快找到这种平滑的来源。现在，我们来看第二种可能性：根据我们指定的阈值电流，灯泡可能会在 100ns 的整数倍时间点亮。

在初始时间附近，电流随时间也表现出明显的平台期，其周期等于信号沿整条导线传播的时间。此外，由于理想化开关的阶跃变化以及系统的谐振行为，还会产生振荡。由于系统中的损耗，这些会随着时间的推移而衰减。

快速的纹波及其衰减

如果我们更仔细地观察，会发现每一步的开始电流中都有明显的纹波，最初会出现较高的峰值，然后逐渐消失。这意味着如果我们选择合适的阈值电流，灯泡会先闪烁然后再亮，给出我们第三种可能！

这些纹波是由于系统的空间分布电容和电感造成的，这将导致无限数量的谐振，而不仅是一个。我们观测到的是系统被源激发的高阶谐振模式。但是，请注意，这些纹波似乎正在衰减，这种衰减和平滑是由于损耗造成的。损耗的来源之一是已知灯泡的电阻，它将存储在电池中的能量转换为热量和光。第二个损耗来源是由于电路的其他部分的能量辐射。正确预测这种损失需要我们在上文中构建的这种三维模型。

高频短波长的信号将比低频信号更快地辐射出去。另一种说法是较高的谐振具有较低的质量系数，或者导线是一种有损低通滤波器。

我们还应该问，如何将激发这些共振的高频信号信息引入模型。回想一下，当我们关闭开关时，会在施加的电势中引入一个阶跃变化。我们必须问自己这个步骤变化包含哪些频率信号？这个问题可以通过傅里叶变换来回答。事实上，我们的输入信号中有无限的频率，其中非常高频的信号的幅值很小，辐射相当快。另外值得注意的是，这个频率谱告诉我们有关电路及其设计的一些信息。如果我们改变导线中间弯曲的形状，会得到不同的反射信号。

查看开始时间附近的结果，由于我们开关是理想化的，数值方法在模型中人为添加了一些小的色散，这可以看作是真实世界中可能出现的渐变输入信号。

开始时间附近的解

这条曲线的最后一段值得特别注意。在仿真开始时，我们看到信号最初为零，但是在 3.33 ns 之前变为非零。这是一个很小的数值伪影，因为我们正在模拟一种非物理情况：一个瞬间打开的开关。这样的转换在物理上是不可能的：即使是已知最快的物理过程也有阿秒级的上升时间。如果我们关心这部分结果，应该使用具有实际上升时间的瞬态信号替换我们的阶跃变化。我们还必须用精细的时间步长和空间离散化（这可能需要很长时间）来求解我们的数值模型，以使曲线更平滑。

考虑最后一点的另一种方式是，底层的数值方法正在重新添加我们忘记包含的色散。从数值分析专家的专业观点而言，我们可以肯定地说，在现实中，信息的传播速度不会超过光速。

争议的最终结果是什么？

简而言之，最终的结果没有争议。从原始视频中得出的正确结论是，对于所考虑的电路，信号从源传播到灯泡需要 3.33 ns。

更完整的说法是，响应曲线表现出：

1. 延迟，这是电磁场通过光源和灯泡之间的空间传播所需时间的结果，在这之后会感应出一些电流。
2. RL 电路响应，因为这本质上是一个与电阻器串联的非常大的电感线圈。
3. 由于信号在导线中点处急剧弯曲反射而出现的阶梯状平台，其高度由附近平行导线之间的电感和电容耦合决定。
4. 由于输入信号的阶跃变化而产生快速波纹，激发了结构的共振。
5. 由于灯泡的电阻和辐射，高频部分信号衰减。

在 COMSOL Multiphysics 中构建这样一个模型来验证这种行为既方便、又快速。以下是我们可以查看的其他一些可能的变化：

• 改变电线的半径。这将改变电容耦合的大小，从而改变平台的高度以及纹波的周期。
• 考虑导线的有限导电性。这会降低稳态条件下的电流，但只会在 3.33 ns 之后立即对信号产生非常小的影响。因此，根据阈值，灯泡可能会在 3.33 ns 时被点亮，然后在一段时间后熄灭。
• 改变电线的方向，使两条电线保持靠近，不再朝相反的方向走。在这种情况下，虽然仍然会有一些串扰，但电线的作用更像是传输线。

你还能如何改变这个电路以获得不同的行为？请在下方留下您的想法和评论！

给 COMSOL Multiphysics® 用户的附录

如果您想下载用于生成上述图形的模型并尝试其他情况，可通过以下链接获得教程模型，这是使用 RF 模块构建的。此外，我们还有许多其他资源可用于此类建模：

• 要了解有关直流情况下电压和接地的一些基本概念，请参阅博客文章“电压和接地是否存在?”
• 要了解有关该系统的传输线解释的更多信息，请阅读“对波状电磁场建模时的电压和接地”
• 要了解集总端口和集总元件激发的相关内容，请参阅学习中心资源“模拟 TEM 和准 TEM 传输线”
• 要理解为什么这个例子中的信号在 t = 3.33 ns 之前看起来是非零的，了解有限元方法会对您很有帮助，它描述了在空间和时间上的离散问题
• 要了解如何更真实地对开关进行建模，请参阅 COMSOL 知识库中的相关内容
• 要查看在更真实的设备上应用的类似建模技术，请查看我们的利用时域反射法测量示例模型
• 要了解有限电导率导致的集肤效应如何发挥作用，以及您需要如何调整计算模型以解决此问题，请参阅博客文章“波电磁学问题中的材料建模”
• 要预测平行线传输线的行为，请参阅 COMSOL 案例库中的相关模型教程
• 如果您对无限无噪音宇宙的假设不适应，您可以改为模拟一个放置在全寂室内的系统。从 COMSOL案例库中的条目中了解有关此模型的更多信息
• 如果您想知道在传输线中使用非均匀半径导线会产生什么影响，请阅读博客文章“计算波纹波导的阻抗”
• 如果您想知道为什么我们的模型在导线周围包含如此大的空间区域，请参阅“使用完美匹配层和散射边界条件解决电磁波问题”
• 如果您注意到此模型中的所有场都是中心对称的，并且认为这可以简化模型，那么您是正确的。要了解更多信息，请阅读“利用对称性简化磁场建模”
• 最后，如果您对我最喜欢的电磁学脑筋急转弯问题感兴趣，博客文章“计算直导线的电感”就是其中的一个示例。

自己动手试试

一条简单的传输线

假设有一根位于地表面（或地平面，或信号地）上方的自由空间中的金属线，如下图所示。我们将对它进行更精确的定义。这属于 TEM 传输线的范畴，意味着电场和磁场完全位于垂直于该线的平面内，并且坡印廷矢量与这条线处处平行。(非常严格地说，这是一条准 TEM 传输线，因为金属线不是无限导电的，但正如我们将看到的，这一点对我们下面讨论的内容并没有任何影响）。

在电线的一端，有一个正弦时变源将接地层连接到电线，在电线的另一端，有一个电阻负载。虽然我们在实践中并不经常看到这种精确的传输线，但它与微带线非常相似。

接地面上方的导线，一端是电源，另一端是负载，以及导线中某一时刻的总电流图。

正弦时变源将驱动电流沿整个导线来回移动，通过电阻负载，然后进出接地平面。如果我们可以在任何时刻对电流进行快照，它看起来就像是从源到负载传播的正弦波。

现在，当我们考虑流经导电材料的时变电流时，必须考虑集肤效应：即时变电流在导体外表面流动的趋势。事实上，我们将假设激励频率很高，与导线的半径相比，集肤深度非常非常小，小到我们看作电流是在导体的表面上流动，而不是在体积内流动，并且可以通过 阻抗 边界条件对导线进行建模。这在以前的博文“模拟电磁波问题中的金属对象”和“如何模拟时变磁场中的导体”中有过更加详细的讨论。

接下来，我们来看地表面。回想一下我们之前的定义，在直流系统中，我们将接地定义为对电流没有阻力的域（或者至少阻力很小，以至于与我们的建模目的无关），这里也适用类似的定义。接地是一个没有电阻的域的边界，或者它是一种完美的导电材料。然而，正如刚才所讨论的，由于存在集肤效应，对于具有无限电导率的材料，集肤深度恰好为零，因此在接地线表面上将有电流流动。

地平面上的情况

现在，让我们来讨论以下直流系统和波状场系统之间的巨大区别。在直流系统中，我们完全忽略了接地域内的电流；而波状系统中存在沿这个地表面流动的电流，这些电流不能被忽略。下图是这些电流以及一个导线横截面上的电场和磁场在某个时刻的可视化效果图。

某一瞬间的电流（黑色）、电场（红色）和磁场（蓝色）的可视化箭头。

也许有人会问：在一个有无限电导率的材料表面，怎么会有有限的电流？要回答这个问题，我们还需要看一下地平面上方的自由空间。这个自由空间有一个阻抗，而沿着材料表面流动的电流将取决于这个自由空间的阻抗。

这立即提出了一个非常重要的问题：我们必须考虑地平面上方有多少可用空间？事实证明，我们不仅要考虑地平面正上方的自由空间，还要考虑导线周围的空间，甚至导线上方的一些空间区域。所有这些结构都会对传输线的阻抗产生影响。事实上，在建立这类数值模型时，需要研究要包括多少范围的自由空间区域。COMSOL 案例库中的确定平行传输线的阻抗教程模型对此有所讨论。

由上述教程模型可知，这个完美电导体表面（我们称之为地平面）上的电流会受到它上方所有空间的影响。另一种说法是这个完美电导体表面上的电流包含整个建模空间的图像，这使我们对 PEC 地平面有了第二个解释：它是一个对称性条件。就好像平面的另一边有一个等效的结构，而在那一边，导线中的电流将指向相反的方向。

通过对称性条件，地平面上方的导线模型等效于平行导线传输线的模型。

基于此，在电磁波的范围内，我们现在可以开始做一些更精确的定义。地面是一个无损（完全导电，或完美电导体）的表面，有限的电流沿着它流动。沿着这个表面流动的电流将受到它上方所有结构的影响。如果这个完美电导体表面在建模空间的一侧描述了一个平面，那么就相当于强加了一个对称性条件。如果我们有两个分离的完美电导体表面，可以任意选择一个，并将其定义为接地。在某些情况下，我们还可以想出一个办法来定义第二个完美半导体表面相对于这个接地的电势差（电压）。

在频域中定义电压

回想一下我们对稳态电流的讨论，我们将电压定义为任意两点之间电场的路径积分。对于稳态电流，电场是标量电势的梯度，并且该积分始终与路径无关。然而，对于电磁波，电场是波动方程的解，并且我们可以证明（通过一些我们将跳过的繁琐矢量计算）这种电场的路径积分与路径无关，除了一些特殊情况。

其中一个特殊情况是，当沿着位于完美电导体表面的一条线进行路径积分时。与表面相切的电场始终为零，因此沿该表面任何一条线的电场积分为零。然而，表面电流被定义为 ，其中 由 计算，所以电流不为零，即使切向电场的积分为零。请注意，这里没有矛盾；周围环境的阻抗导致完美电导体表面的电流有限，且切向电场为零。

第二个要考虑的有趣情况是，当我们沿着垂直于TEM传输线轴线的平面上的一条线取电场的路径积分时。根据定义，电场和磁场完全位于这个平面内，所以可以证明（通过一些我们将跳过的矢量计算）这个积分将与路径无关。也就是说，我们可以在这个平面的各点之间定义一个电压。因此，选择一个接地表面上的点，并在传输线的电线上的另一点，进行任何路径积分。现在我们有一个电压，对应于从信号分析仪得到的测量结果。我们也可以沿着完全分割接地和导线之间空间的线，对磁场进行路径积分，得到沿传输线流动的电流。

显示电压（红色）和电流（蓝色）的各种不同积分路径的图像。

最后，我们来讨论这样一个事实：由于导线的有限导电性，这实际上是一条准TEM线，可以通过 阻抗 边界条件进行建模。在这种情况下，电场和磁场的平面外分量相对于平面内分量来说非常小，我们仍然可以安全地使用上述定义。

综上，我们知道：

1. 电压是电场的路径积分，但这只能在电场旋度为零或接近零的情况下进行评估：在 TEM 或准 TEM 传输线的横截面上。
2. 在 TEM 或准 TEM 传输线的横截面上，电压对应于通过信号分析仪物理测量的电压。只有在这里，术语电压在频域电磁波模型中才有意义。
3. 在 PEC 表面，我们可以沿着该表面上的路径对电场进行积分，但是如果沿着不在该表面的路径进行积分，可能会得到一个非零积分。另外，我们已经看到会有电流存在，所以两点之间的零电压差并不意味着零电流。因此，实际上，在这种情况下谈论电压几乎没有价值。如果我们试图实际测量两点之间的场，我们将不得不引入一个传感器，包括这些点之间的某种传输线，但这会改变设备。

请将上述这些信息牢牢记在大脑中，这样我们就可以自信地建模了。对于这里的情况，我们可以使用TEM 型的端口 边界条件，将接地 和电势 子特征应用于接地平面和电线的边缘。COMSOL学习中心的一篇文章“对 TEM 和准 TEM 传输线进行建模”中提供了对 TEM 类型传输线建模的所有其他选项的完整概述，您可以参考阅读。

传输线模型的设置示意图。两端的两个 TEM 端口（交叉阴影线）定义了接地（蓝色）和电压（红色）。

结束语

现在你知道如何在频域电磁波建模的背景下自信地使用电压和接地这两个术语了吧！我们可以把同样的论点扩展到瞬态情况下，并得出同样的结论。在时域建模中，接地是一个电流返回路径，可以是一个对称条件。

因此，对于任何时变模型，同时考虑电场和磁场，只能在评估 TEM 传输线横截面的场的情况下谈论电压。尽管这句话很简单，但这个我们必须遵循的论点对于理解电磁设备的建模非常有帮助。

后续操作

单击下面的按钮，在相关的学习中心文章中获取有关模拟 TEM 和准 TEM 传输线的详细演示，其中包括逐步建模说明和软件屏幕截图：

三维感应加热模型简介

考虑如下图所示的电感加热装置，即一个绕铝制汽车活塞头的线圈。为了简化计算，我们可以假设该装置对称，并仅对装置的四分之一进行建模，在对称平面上有磁绝缘边界条件。我们还通过理想磁导体条件 将边界近似为自由空间。

铝制气缸盖的感应加热装置和利用对称性创建的计算模型。

工作频率为 40kHz 的感应铜线圈可以通过两个均匀多匝线圈建模，不需要非常精细的划分网格。然而，在铝制活塞头内，集肤深度与较小的特征尺寸相当，因此我们知道需要使用边界层网格来准确计算损耗。

由于我们知道电磁场不会深入到材料内部，因此理想情况下，我们希望在电磁场计算中省略零件的所有内部体积。另一方面，我们确实知道圆柱体的内部体积会影响传热过程，因此我们不能完全移除该体积。我们需要根据边界层网格划分要求，将零件划分为两个子域。 事实证明，使用网格划分工具的组合可以快速轻松地建立这样的模型。下面，让我们了解更详细的内容！

高效设置模型和网格

从上图中的几何开始，我们定义网格。首先，在零件和周围空气中生成一个四面体网格，然后在活塞与空气接触的边界上定义一个边界层网格，该网格由四个单元组成，每个单元等于集肤深度的一半，如下图所示。

在活塞面上突出显示边界层的网格

当构建好了这个网格，我们希望根据集肤深度网格和零件内剩余体积之间的边界来划分几何体。这需要一些额外的步骤。首先，我们需要在模型中引入另一个 三维 组件。 在这个新 三维 组件的 网格 分支中，我们将导入之前创建的网格。

导入网格的操作，将网格从一个组件复制到另一个。

在将网格引入这个新的组件后，我们需要通过表达式：isprism 将一个分割 特征引入到网格和分区中，如下图所示。变量 isprism 是一个逻辑变量，它仅对边界层网格内使用的棱柱单元有效。因此，这个操作将圆柱体的网格体积划分为两个体积：

1. 用棱镜单元进行网格划分的薄壳
2. 剩余部分

当我们开始向模型添加物理场时，可以使用这些不同的域。如果我们想返回并修改网格，我们要返回到组件1，修改网格，然后将网格重新导入到组件2 中。这里需要注意的是，你不能向组件2 添加额外的几何体 ，必须返回原始组件，修改源网格，然后重新导入。

分区操作，对网格本身进行操作，以及创建新的可视化域。

完成此操作后，可以在第二个组件中仅求解线圈、空气和边界层中的电磁场，同时求解整个零件体积中的温度场。在边界层域和零件剩余体积之间的边界中，应用阻抗边界条件是合理的，因为这将考虑边界层网格内的全部损耗。

在本案例中，仅线圈、空气和集肤深度区域的电磁学模型的自由度比我们求解零件内部深处的场减少约 20%，而我们已经知道自由度的减少看似微不足道。但对于其他零件来说，自由度的减少可能更明显。

在整个体积内计算的温度场，以及仅在边界层域内计算的感应加热。

拓展资源和结论

如果想要了解有关感应加热建模和边界层网格划分更全面的介绍，请在 COMSOL 学习中心的相关课程中查找。要使用的研究类型取决于模型的非线性，以及你是否想研究温度上升或稳态温度场，可以参考上一篇博客。

这里介绍的基于网格的分割技术，可以用于许多其他情况。它甚至可以将生成的网格作为一个几何体重新导入另一个组件并重新剖分网格。需要注意的是，边界层网格划分是对均匀表面偏移的一种近似，由此产生的几何体可能并不总是适合进一步的几何操作。作为一种选择，如果需要精确的偏移量，并且需要执行稳定的后续几何操作，可以使用设计模块中的加厚操作。然而，在只需要一个近似厚度的几何层的情况下，比如三维感应加热，本文描述的方法会很有帮助。

自己尝试

单击下面的按钮，下载与此示例相关的模型文件。

一个固体力学问题

我们以一个经典的固体力学问题：一个简单的带孔平板模型为例来说明。让我们假设在顶部和底部有相等和相反的力。想象一下，也许这个部分通过一些固定装置连接到一些电缆上，并被置于张力之下。

承受了拉伸载荷的中心有孔的平板的自由体图。

尽管我们可以建立一个固定装置和电缆的模型，以及与电缆连接的任何模型，但这可能比我们想象中要花费更多的精力。实际上我们只是想重点分析一个更大的系统中的一部分，所以把其他部分近似为一个垂直于板两端的边界载荷是可行的。

我们知道，一个零件受到大小相等、方向相反的力不会产生任何加速度，因此尽管零件会变形，但它不会运动。也就是说，即使我们不知道零件的位置或者方向如何，也可以自信地说此问题存在一个固定解。换句话说，就是施加的力可以在任意方向对齐，并且应力和应变的解仍然是相同的。

现在，当我们通过有限元方法求解一个固体力学问题时，我们并不直接求解应力或应变。相反，我们求解的是未变形状态下的位移（或变形）。应力和应变是根据位移场计算出来的。就本文而言，我们只讨论线性情况就足够了，但如果你对一些更高级的主题感兴趣，可以阅读下面的博文：

• 为什么会有这么多应力和应变？
• 什么是几何非线性？

为了得到变形的解，我们确实需要在位移场上引入一组约束，这些约束必须足以约束所有自由体的位移和旋转，但不能影响应力和应变。本文将介绍实现这一目标的各种方法，具体取决于我们正在处理的几何形状。

使用对称平面

对于对称几何形状，有经验的结构分析者会立即发现有三个对称平面可以利用。我们可以画出与全局笛卡尔坐标系对齐的零件，并沿平行于 xy-、yz- 和 xz 平面的工作平面进行分割，这就把模型简化为原始模型的 1/8 子模型。将对称性条件应用在沿这些平面的三个面，将产生完全约束零件的效果。此外，这还具有减少模型计算量的好处。

利用沿三个正交平面的对称性完全约束模型。

我们先看看这三个对称边界是如何约束零件的。对称边界要求在所选（平面）边界的法线方向上没有位移。因此，施加在平行于 xy 平面的面的对称条件是，该面在 z 方向上的位移为零，并且不能绕 x 轴和 y 轴旋转。

接下来，yz 平行面上的对称条件还具有附加条件，即在 x 方向上不能有位移，也不能绕 z 轴旋转。绕 y 轴的旋转再次受到限制，但这不是问题。

最后，在 xz 平行面上的对称条件施加了一个额外约束，即在 y 方向上无位移。

因此，我们在位移和旋转上施加了一组三个正交约束，该零件受到了充分的约束，模型可以求解。为了使结果可视化，我们使用了一组三个三维镜像数据集，它可以帮助围绕一个平面镜像任何数据集，这样就可以使整个零件可视化。

不对称的零件

然而，通常我们很难遇到具有三个对称平面的零件。这时，我们可以在孔中引入一个锥形并更改它的位置来修改我们的零件，如下图所示。

处于拉力下的带有偏心锥形孔的平板的自由体图。

在这种情况下，无法利用任何对称性，那么我们能做什么呢？实际上，我们可以采取四种不同的方法来解决这个问题。

将 刚体运动抑制特征应用于所有域以约束位移和旋转。

最简单的第一种方法是使用 刚体运动抑制 域约束功能。只需要将这个功能应用在模型的任何一个或者所有子域，它就将在后台应用一组约束，消除所有刚体位移和旋转。我们只要应用这个特征，模型就会求解。

点-指定位移条件约束所有的自由体位移。

第二种方法是通过一组三个不同的点手动约束位移和旋转。为此，首先在几何体上选择一个点，然后在该点上施加一个指定位移 条件，将 x、y 和 z 位移设置为零。

尽管我们可以选择任意一个点，但我们很快就会发现，最好在这个矩形零件的一个角上选择一个点。这个单一的约束足以消除所有刚体位移，并且不会对应力和应变场产生影响。

三点位移约束的可视化，约束所有自由体旋转和位移，但对应变场没有影响。

接下来，我们需要移除围绕三个正交轴的旋转。这可能有点棘手，尽管对于上面图中这种情况，比较容易操作，因为上图的几何图形与全局笛卡尔坐标轴对齐。所以，我们可以从完全约束的点开始，沿着直角坐标系方向寻找。

我们先从这个点沿着 x 轴看，直到找到另一个点。在这个点应用另一个指定位移 条件来移除刚体旋转，但我们需要确保不施加一个会影响应变和应力的约束。另一种方法是，我们不想对这两个点之间的距离施加约束。因此，在第二点处，我们将约束 y 和 z 方向的位移，但不约束 x 方向的 位移。这个约束分别消除了绕 z 轴和 y 轴的旋转。现在这个零件只能围绕 x 轴自由旋转，我们可以通过另一个点约束来消除这种自由旋转。

如果回到第一个完全约束的点，我们现在可以沿着 y 轴或 z 轴寻找，直到找到一个点。沿着 z 轴方向搜索，只要我们找到一个点，就可以施加一个指定位移 条件，使 y 轴方向的位移为零。这将会防止零件围绕 x 轴旋转。同样，需要确保我们没有限制任何点之间的距离。如果不小心这么做了，就会出现局部高应力。

第二种方法实际上是第一种方法自动执行的手动操作。不过，这可能会引起一个问题：当没有三个点与笛卡尔坐标轴对齐时会发生什么？如果使用第一种方法刚体运动抑制 ，该特征将能够自动选择形成一个平面的任意三个点，并施加一组一致的约束。接下来，我们看看如何使用任意三个点进行约束，只要它们能形成一个平面。

第三种方法，我们使用相同的几何图形，但使用三个不与笛卡尔坐标轴对齐的点进行约束。首先我们需要定义一个工作平面，然后使用该工作平面 定义一个坐标系，最后在指定位移 条件下使用该坐标系。

可以使用三个任意点来定义新的工作平面。

首先在 几何 中定义一个新的 工作 平面，平面类型为 顶点，并选择三个不共线的点来定义平面。注意，我们选择的前两个顶点将定义这个平面的第一个局部轴。接下来，定义一个 几何中的坐标系。将这个坐标系的 框架设置为空间，并在 几何中的坐标系 设置中选择新的 工作 平面。

定义基于工作平面的坐标系。

然后，像之前一样，添加三个指定位移 点条件，并为每个点将坐标系设置为几何中的坐标系。这三个点应该对应于在工作平面 特征中选择的三个点。在第一个点上，约束所有三个位移。在第二个点（定义第一个局部轴的那一点），约束第二和第三方向的位移。在第三点，约束第三轴（平面法线）方向的位移。这种方法的优点是它不要求零件与笛卡尔坐标轴对齐。同样，刚体运动抑制特征也有相应的功能。

在由这三点定义的坐标系中，约束所有自由体旋转和位移的三点位移约束的视图。

第四种方法是解决没有三个点定义平面的几何体的特殊情况。当我们处理导入的网格文件时，可能会出现这种情况，比如在这个脊椎模型，它在原始网格上没有定义任何点。尽管我们可以在导入的网格上手动创建顶点，也可以对几何体的边缘进行分割以引入额外的点，但值得了解的是最后一种选择。

使用 弹簧基座 特征也可以约束位移和旋转，但如果弹簧常数足够小，就不会影响解决方案。

在第四种方法中，我们使用弹簧基座 域特征，并将其应用于模型的所有域。这个特征在结构模型的每个自由度上，相对于其未变形的位置引入了一个人为的额外刚度。弹簧常数的大小是在模型中可以调整的因子。如果该值太小，就不能提供足够的数值刚度，模型就不能求解，但也不应该太大，因为这也会影响结果。在实践中，开始我们先选取一个非常低的值，然后慢慢增大，直到模型求解。虽然只有在极少数情况下，这种技术是严格必要的，但它仍然值得了解。

部分对称的零件

还有一种非常常见的情况，我们还需要考虑，那就是具有某种对称性的零件。对于这种零件，不能使用 刚体运动抑制 特征。

利用半对称性需要两个点位移约束，以消除平面中的平移和绕垂直于平面的轴的旋转。

对于模型中的单一对称平面（或两个平行的对称平面），我们必须在平面上选择两个点，并使用 指定位移 点条件来约束它们，使得在该平面上没有位移并且没有围绕该平面法线的旋转。如果有两个相互成一定角度的对称平面，则在其中一个平面上选择一个点，并对其进行约束，使其不能沿两个平面相交线所描述的方向移动。

对于有两个对称平面的几何形状，通过单个点约束移除沿平面相交线的平移。

对于这类模型结果的展示，了解如何将位移视图放置在中心也很重要。假设我们希望模型需要结果可视化，位移以孔为中心，我们可以做的是引入一个平均耦合算子，并在孔的边界上定义它。然后，在可视化位移结果时，可以在变形 子节点中减去这个平均位移，如下面的屏幕截图所示。

使用平均算子将围绕孔中心的位移的可视化重新居中。

对无约束零件建模的总结性思考

综上，我们介绍了模拟 3D 零件的技术，这些零件只有一组平衡载荷，但没有约束。最简单的方法是使用 刚体运动抑制 特征，但由于其他对称条件，我们有时需要通过一组点进行约束。

对于 2D 结构模型，我们应用了类似的、但更简单的方法。对于不对称的零件，必须将一个点 xy 平面中完全约束，并且必须约束另一点以防止绕平面外的z轴旋转。对于具有一个对称平面或平行对称平面的 2D 模型，只需要一个点位移约束来防止沿对称平面的运动。对于具有相交对称平面的 2D 模型，不需要额外的约束。对于 2D 轴对称模型，只有沿 z 方向（平行于对称轴）的位移必须在任何单个点处受到约束。

这些方法在处理涉及热膨胀的问题时特别有用，并且可用于任何研究类型，包括稳态、时域、频域或特征频率。对于结构分析人员，这些方法是非常强大的工具。