电磁学静电

时变电流

对于时变电场和电流，在磁效应可以忽略不计的情况下，可以通过电流守恒方程：

⁽¹⁾

与高斯定律：

⁽²⁾

组合得到恒定电流方程：

⁽³⁾

假设场的变化足够平滑，可以将它重组为：

⁽⁴⁾

其中的总电流包含位移电流，写为：

插入线性材料的本构定律：

⁽⁵⁾

且：

⁽⁶⁾

从而得出：

⁽⁷⁾

再插入电势方程：

⁽⁸⁾

可以得到：

⁽⁹⁾

请注意，通过使用电势，隐含地假设了其中没有磁效应。

材料界面的时变电流方程和边界条件

下表总结了电准静态的基本边界条件：

方程名称	微分形式	积分形式	边界条件
电流守恒
法拉第定律（恒定电流）

其中，是总电荷，是沿面法向的电流。

时谐场

当场随时间呈正弦变化时，电准静态方程可以用相量进行简化，这是一种场量，可通过使用复值表达式对大小和相位信息进行编码。在使用相量时，需要考虑场量随时间演化的傅里叶展开；比如电势：

⁽¹⁰⁾

其中，高阶项包含与、等成比例的谐波。

在正弦场中，谐波会消失，只剩下零（常数）阶和一阶傅里叶项。

时谐电流

如果将零阶项代入线性材料的电准静态方程，则由于的时不变性，结果得到恒定电流守恒方程。此外，由于材料和方程的线性特性，零阶和一阶部分可以单独处理。因此，所需的其余方程由谐波（一阶）项组成：

⁽¹¹⁾

通过让时间导数只对时变部分起作用，并利用指数函数总是非零这一事实，该表达式可以简化为：

⁽¹²⁾

在上式中，隐含地假设材料具有时不变特性。此外，通过从电势场中去掉下标 1，可以使符号表示得到简化。此方程是电准静态方程的时谐版本，其中的电势为相量，可能具有非零相移，因此为复值：

⁽¹³⁾

以下物理量：

⁽¹⁴⁾

可以解释为复数电导率。

此版本的电准静态方程是恒定电流方程的时谐泛化版本：

⁽¹⁵⁾

其中：

⁽¹⁶⁾

为时谐电流密度。
上式也可以写为：

分别包含传导电流密度和位移电流密度贡献。在材料界面处，电流的连续性条件为：

在外表面没有法向电流且的重要情况下，该条件变为：

换句话说，材料界面上的连续性条件与静电情况相同。

时谐静电

将电准静态方程除以可以得到另一个版本的方程：

⁽¹⁷⁾

其中的量：

⁽¹⁸⁾

可以解释为复数介电常数。

此版本的电准静态方程是静电方程的时谐泛化版本：

⁽¹⁹⁾

其中：

⁽²⁰⁾

为时谐位移场。

时谐公式综述

下表列出两个时谐电准静态方程以及相关的材料属性和本构关系：

方程名称	方程	材料属性	本构关系
时谐电流密度 （时谐电流）
时谐位移场 （时谐静电）

从上表可以看出，在频率趋近于零的极限下，第一个方程仍可准确定义，并成为恒定电流方程。另一方面，在这个极限下，复介电常数的虚部对于第二个方程变得无界。不过，如果材料是理想绝缘体，即电导率为零，则第二个方程变得与频率无关，这时与静电情况相同。

这表明，在静态工况下，电流守恒方程对于理想导体（）的建模非常有用，而静电方程则适用于理想绝缘体（）建模。对于频率足够低的良导体来说，只要，即可忽略时谐电流密度方程的虚部。同样，对于良好的绝缘体来说，有时可以忽略时谐位移场方程的虚部；但对于在较高频率下使用的某些材料而言，损耗（）变得与频率有关，此时虚部就非常重要。

发布日期：2019 年 2 月 13 日
上次修改日期：2019 年 2 月 13 日