结构力学

什么是结构力学？

结构力学或固体力学属于应用力学的分支领域，其研究的主要内容包括计算固体材料的变形、应力和应变，通常用来确定结构（例如桥梁）的强度，以防止发生损坏或事故。结构力学分析的其他一些作用还包括：确定结构的柔性和计算动态力学性能，例如固有频率以及对瞬态载荷的响应。

固体力学研究与材料科学紧密相关，因为其中一个基本原则是使用合适的模型来描述所用材料的力学特性。不同类型的固体材料需要截然不同的数学描述，例如，金属、橡胶、土壤、混凝土和生物组织。

结构力学中的三个基本关系

在力学中，结构可以分为静定结构和超静定结构。对于第一种情况，系统中的所有力都可以完全通过平衡条件进行计算。在现实生活中，普遍存在着超静定性，至少在计算组件内部的应力分布时如此。在超静定系统中，我们必须考虑变形才能准确计算结构中的力。

由于存在超静定性，几乎所有结构力学分析都依赖于相同的三类方程，它们表示平衡、协调和本构关系。然而，这些方程可以具有不同的形式，取决于涉及的分析层面：连续体，或者大规模结构。

应力和平衡方程

平衡方程基于牛顿第二定律，它指出，作用在一个物体上的所有力（包括任意惯性力）的总和为零，因此任意结构的所有部分都必须处于平衡状态。如果您对材料的某个位置进行虚拟切割，则切割中必须存在与外载荷平衡的力。这些内力称为应力。

在三维中，材料中的应力用应力张量表示，可以写为

应力张量中的每个元素表示材料单位面积上的力分量。其中一个下标表示力分量的方向，另一个下标表示受力表面的法线方向。从力矩平衡方面考虑，应力张量是对称的，并且包含六个单独的值。

从应力角度看，牛顿第二定律可以表述为

其中，为单位体积力，为质量密度，为位移矢量。

应变和协调方程

协调关系是对变形的要求。举例来说，在一个框架中，在某个点接合的所有成员的端部都必须沿同一方向移动相同的距离。

在材料内部，局部变形通过表示相对变形的应变来描述。对于简单的棒材拉伸来说，工程应变是位移与原始长度之比。

在一般的三维设置中，应变也可以用对称张量来表示，

其中，各个元素均被定义为位移的导数，

由于应变张量的各个分量是根据位移场推导出来，因此它们不具有任意空间分布特征，这就为连续体提供了协调条件。无论是在结构层面还是连续体层面，这些协调条件基本上都是几何关系。正如平衡关系一样，这些都是基本条件，不包含任何假设。

本构关系

本构关系是一种材料模型，用于在力和变形，或者应力和应变之间形成桥梁。与上述两组方程不同，本构关系不能根据第一性原理推导出来，只是纯经验性的力学关系。热力学定律、对称条件以及类似的论点最多只能为可用于材料模型的数学结构提供一些限制条件。

从数学角度来看，材料模型将应力和应变联系起来。在少数情况下，对于弹性材料来说，这种关系是独一无二的，其中通常还包含时间导数（如黏弹性材料）或以前应变的记忆（如塑性材料）。

对于每种材料，我们都需要进行测量，然后将这些测量值拟合到适当的数学模型中。

线弹性材料

最基本的材料模型是线弹性，其中的应力与应变成正比。举例来说，在结构层面上，线弹性意味着梁的挠度与所承受的外加载荷成正比。在实践中，这种材料模型通常能够满足需求。

各向同性线弹性材料可以由两个独立的材料常数来表征，我们通常选择弹性模量（杨氏模量）E和泊松比。

假设一个横截面为A、长度为L的棒材，受到轴向力F的作用：

轴向应力是力与横截面积之比，

如果测得的伸长率为 Δ，则轴向应变为

弹性模量给出了轴向应力与轴向应变之间的关系：

应力和应变或者力和位移之间的比例称为胡克定律。结合上述方程，可以得到棒材的刚度关系为

通常情况下，承受拉力的棒材不仅在横向上延伸，还会产生收缩。横向应变与轴向应变之间的关系由泊松比给出：

胡克定律的三维推广形式可以写为

其中，D是对称的 6×6 矩阵。对于最一般的各向异性材料，该矩阵包含 21 个独立常数。对于各向同性材料，它只是E和的函数：

其他材料模型

结构力学应用的材料模型有许多种类，每一类都包含许多模型可供使用，下表列出了一些示例。

材料模型类别	示例	通用材料模型
线弹性	许多小应变材料，如金属	• 胡克定律 • 各向同性和各向异性
弹塑性，体积守恒	大应变金属	• Tresca • von Mises
弹塑性，平均应力相关	土壤	• 莫尔-库仑 • 德鲁克-普拉格
蠕变	耐高温金属	• 诺顿 • Garofalo
超弹性	橡胶，生物组织	• Mooney-Rivlin • Ogden
黏弹性	塑料	• Maxwell • Kelvin • 标准线性固体

纳维方程

对于各向同性线弹性固体，可以为位移矢量制定一个包含三个偏微分方程（PDE）的方程组，涵盖了问题的各个方面。由此可以得到纳维方程，写为

其中，和是两个独立的材料常数，称为拉梅参数。

根据E和，纳维方程也可以写为

对于更为一般的情况，不可能根据位移明确地建立固体力学方程。在这些情况下，必须求解一组耦合的平衡方程、本构方程和协调方程。

边界条件

我们必须施加适当的边界条件，才能为固体力学问题建立完整的公式。

指定位移

通常，物体的某些边界的位移是已知的，例如，一座建筑物静置于地面上。如果已知位移不足以抑制所有可能的刚体运动，则不可能完全确定位移场。在已知外载荷的情况下，由于不考虑绝对位移，我们仍可以计算应力。不过，数值解通常需要一组足够的指定位移。

在数学上，指定位移提供了狄利克雷条件。

力

在大多数固体力学分析中，外力是问题公式的一部分。

力可以是体积力，例如重力或离心力。此类载荷是控制偏微分方程的组成部分，而不是边界条件。

此外，还有一种载荷作用在边界上，例如管道中的内压或雪在屋顶上施加的力。这种情况实际上是诺伊曼边界条件。在某些情况下，载荷的方向会随变形发生变化，此类载荷称为随动载荷。由于这种载荷会引起变形，这种变形反过来又改变载荷，因此，这些载荷会导致非线性问题。

弹性

弹性地基可以看作是以上两种类型的混合体。其中，结构上的作用力是位移的函数，二者通常成正比。在数学上，这称为罗宾边界条件。举例来说，我们不能总是将建筑物下方的土壤视为零位移，而必须以这种方式分析其柔性。在抑制刚体运动方面，弹性支撑是指定位移的替代方法。

稳态和动态问题

广义牛顿第二定律包含加速度产生的惯性力。在许多情况下，载荷变化缓慢，动态项可以忽略。这一假设在实际工程中很常见，这种公式称为静态、稳态或准静态公式。

特征频率

结构总是具有质量的。通过牛顿第二定律实现的惯性与弹性组合，可以产生具有二阶时间导数的微分方程，比如，从上面讨论的纳维方程中就可以看出这一点。这种方程通常具有波型解。通过使用适当的边界条件并假设谐波解，由此得到的方程组可以表示特征值问题。求解特征值问题可以得到一组特征值，称为特征频率或固有频率。

从物理角度看，这意味着弹性结构往往会在一些不同的频率下产生振动。每个特征频率对应的变形模式称为特征模态。

确定结构的特征频率几乎是所有动态分析的核心，原因在于这一结果表明了结构发生共振的频率。通过确定特征频率，可以看出特定载荷的时间尺度是否能够引起动态放大。

动载荷

如果载荷随时间变化的时间尺度与结构的某些固有频率的周期时间相当，就需要考虑动态响应。动载荷可分为确定性载荷和随机载荷。对于确定性载荷，影响结构的所有载荷的历史都是完全已知，机器零件中通常施加这种载荷。另一方面，除非从平均意义上来看，否则随机类型的载荷不具有可预测的时间历史，风载荷和地震载荷就属于这类载荷。

瞬态载荷

人们习惯采用完整的时间历史作为对确定性载荷最一般的描述。在计算位移和应力时，必须结合一组适当的初始条件来求解控制微分方程，通常，人们会使用某种类型的时间步进算法以数值方式进行求解。

谐波载荷

在实践中，载荷发生谐波变化是很常见的，旋转电机中常常发生这种情况。如果结构具有线性特性，那么一旦有任何瞬时启动的变化发生消失，此时的响应也是谐波响应。这类问题可以在频域中进行有效求解。如果谐波载荷的频率接近结构的固有频率，则与稳态解相比，响应明显增大。在共振时，也就是载荷频率与固有频率完全一致时，振幅变得非常大。位移仅受结构阻尼的限制，这种阻尼通常较小。

在计算谐波载荷时，通常需要研究频率响应。这意味着需要分析许多加载频率的响应，计算结果显示为频率的函数。

如果问题是非线性的，当涉及机械接触时，即使是谐波载荷，其响应也不再是谐波响应。在大多数情况下，这种问题必须作为一般的瞬态问题进行求解。

随机载荷

我们以高层建筑所承受的风载荷作为随机载荷的例子。平均风速沿塔楼发生变化，但有时还有阵风，而其强度和持续时间是随机的。此外，在研究结构的不同位置时，并不总是同时会有阵风。如果存在多个测量值，理论上可以对每个测量结果执行瞬态分析。然而，这并不能覆盖将来出现的任何阵风情况，因为将来的情况与测量结果不完全相同。

对于随机载荷情况，载荷最好通过其统计特征进行描述，通常以功率谱密度（PSD）的形式给出。因此，对这种载荷的位移或应力响应也用统计术语进行描述。

细长几何近似

早在引入数值仿真之前，工程师们就意识到可以使用简化理论来分析某些结构类型。梁理论适用于细长体，而板壳理论则适用于平面或弯曲的薄板。在这些情况下，通过对横截面方向的应力和应变的变化进行假设，可以对一般方程执行重要的近似。在有限元软件诞生之前，很难求解全三维问题。然而，许多板、壳和梁配置的解析解已经存在很长时间，并在工程计算中得到了广泛应用。

梁理论

在梁理论中，结构通过梁中心线变形的一维形式进行处理，垂直方向仅由横截面属性（例如面积和惯性矩）表示。在梁分析中，主要的分析结果通常是力和力矩沿梁的分布情况。根据一些基本假设，基于这些物理量确定应力是非常简单的操作。

对于最常见的具有恒定横截面的梁，可以在相关手册中找到许多解析解。

细长梁在xz平面内的弯曲可由以下控制微分方程描述

其中，w为挠度，E为弹性模量，是围绕y轴的面积惯性矩，q是z方向上的单位长度载荷。

当横截面恒定时，方程可以直接积分为

其中的最后一项表示载荷分布的原函数，进行四次积分。

对于动态情况，运动方程为

其中，为质量密度，A为横截面积。

细长梁理论通常称为欧拉-伯努利梁理论。如果梁的高度不小于梁的长度，由于这种理论忽略了剪切变形，因此就不再充分。此时，我们可以改用铁木辛柯梁理论作为扩展方法，用于分析较厚的梁。

板

板理论适用于在垂直方向受到载荷作用的扁平板，其中采用二维形式，因此，厚度方向仅通过厚度值来表示。和梁一样，板也通过弯曲作用来承载载荷。板理论通常用于土木工程，例如，用于分析楼板或桥面。

和梁的情况类似，薄板和厚板需要使用不同的板理论。薄板理论通常称为基尔霍夫理论，而包含横向剪切变形的厚板理论称为Mindlin 理论。对于由各向同性弹性材料制成的具有恒定厚度h的薄板，弯曲偏微分方程为

其中，抗弯刚度D由下式给出

挠度用w表示，q为单位面积分布载荷。

该理论中还可以包含面内载荷影响。面内拉伸载荷对板产生硬化作用，而面内压缩载荷则产生软化作用，甚至可能导致板发生屈曲。

壳

壳可以看作是中面在空间弯曲的板。由于存在曲率，结构平面内与弯曲作用之间存在强耦合。壳的分析结果或列表结果与板和梁的结果不同，其范围主要限于呈旋转对称的几何结构。

由于壳存在曲率，因此是十分有效的承载结构。举个例子，鸡蛋的强度就非常惊人。压力容器通常可以采用壳理论进行分析。

膜

对于非常薄的结构，例如橡胶气囊或布片，可以应用薄膜理论。在薄膜理论中，材料不是通过弯曲作用抵抗横向载荷，而是薄膜作用。

接触问题

在许多机械装置中，物体之间相互接触。举例来说，在安装过程中、滚子轴承中以及冲击情况下，都是这种情况。由于两个物体的接触面积取决于将其挤压在一起的力，因此这类问题具有很强的非线性。通常，由于随着挤压程度的增加，力的分布区域会逐渐扩大，因此最大接触压力随作用力的平方根或立方根而变化。

接触问题的解析解仅适用于少数情况。著名的赫兹接触解描述某些弹性物体组合（例如两个球体或者一个圆柱体和一个平面）的应力场和接触面积。

在许多情况下，必须在分析中考虑两个物体之间的摩擦。对摩擦的建模非常困难，不仅从数学角度来看是这样，还有一个原因是，两个表面之间的摩擦系数可能取决于许多不同的参数，包括各个表面的清洁度。

在实际中，人们几乎总是用数值方法（比如有限元法）来求解接触问题。

失效机理

结构力学分析的目的通常是验证结构的完整性，因此需要制定失效准则。在实际设计中，人们考虑到材料数据、制造容差和分析假设的不确定性，通常会使用安全系数来减少许用载荷。安全系数的大小取决于多个因素，其中失效后果的严重性是最重要的因素之一。

试想一下：与核电站失效带来的风险相比，我们是不是更能承受园艺工具失效带来的风险？

静态失效

当结构所承受的载荷导致某一时刻的应力超过材料的强度时，便会发生静态失效。

材料的极限强度是材料断裂时承受的应力，一般通过单轴测试进行测量。然而，极限强度并不是真正的材料属性。在某种程度上，它还取决于试样的几何结构。

材料通常分为脆性材料或塑性材料。玻璃等脆性材料或多或少具有弹性，在达到极限强度后失去弹性，并发生极小的应变。低碳钢等塑性材料在达到屈服应力之前具有弹性，随后发生较大程度的塑性变形，直至最终断裂。塑性材料的变形程度可能非常大，甚至使组件失去原有功能，但仍未完全断裂。

疲劳

当结构在承受多次重复的载荷循环后产生裂纹时，便会发生材料疲劳，其中，每个循环中的应力都可能远小于极限应力。疲劳是造成结构失效最主要的原因。

造成疲劳损伤所需的循环次数少则几次，多则数百万次，具体取决于每次载荷循环中的应力幅值。结构中一旦产生裂纹，其尺寸便会随着每一次载荷循环不断增大。最终，损坏的组件就无法再承受峰值载荷。疲劳寿命不仅受应力循环幅度的影响，还受平均应力的影响。拉应力状态比压应力状态更具破坏性。

特定材料的疲劳性能受表面粗糙度和使用环境等因素的影响非常大。

断裂力学

当结构中存在裂纹时，由于裂纹尖端的应变趋于无穷大，因此不能再使用标准准则来计算最大许用应力。裂纹特性是断裂力学的研究范畴。在线弹性断裂力学（LEFM）中，裂纹的严重程度分别由法向剪切、面内剪切和面外剪切的应力强度因子（K_I、K_II、K_III）来表征。

如果载荷是循环载荷，但载荷量非常小，不会导致结构立即失效，则可以通过 LEFM（例如使用 Paris 定律）来预测每次循环的裂纹增长量。

通常，裂纹尖端周围存在明显的塑性变形。在这种情况下，必须使用弹塑性断裂力学（EPFM）方法，包括 J 积分法和能量释放率方法。

屈曲

某些类型的结构（通常是主要承受压缩作用的细长结构）可能由于屈曲现象而失效。在一定载荷作用下，结构会变得不稳定，变形会突然增大，往往达到整体坍塌的程度。您可以用双手按压塑料直尺来观察这一现象，一开始不会发生任何变形，随后尺子会突然呈现弯曲形状。

从数学角度来看，当结构所承受的载荷达到分支点（可能存在两个或多个解）时，便会发生屈曲。这个问题本质上是几何非线性的。只有在变形状态下建立平衡方程时，才能检测到可能不稳定的另一个分支。

结构力学中的多物理场分析类型

固体对象的变形往往与其他物理现象之间存在强烈的相互作用，在某些情况下，比如在扬声器振膜发出声波时，这些相互作用正是产品设计的一部分。对于其他情况，例如当轨钢的热膨胀使铁路产生日照扭结时，变形则是非常不利的。

下面我们来看看其他物理效应与结构力学现象相互作用的一些示例。

热-结构相互作用

最常见的热-结构相互作用是热膨胀。大多数材料的体积都会随着温度的升高而增加。固体材料的长度通常增加 10–100 ppm/K，这种变化会在受约束的组件中产生较大的应力。此外，当具有不同热膨胀系数的多种材料混合在一起时，由于热膨胀不一致，温度变化便会产生应力。

还有一些情况是，固体变形会产生加热现象，举个例子，在金属成形过程中，会引起较大的非弹性应变；然后，发生能量耗散，转化为热量，使得温度能够在短时间内上升 100 K 的数量级。

即使在弹性情况下，应变也伴随着温度变化，这种变化非常小但是可逆。不过，其数量级为 mK，因此大多数情况下都可以忽略。对于某些尺寸和频率尺度，其中最常见的是 MEMS 结构中的高频振动，这种加热会产生相当大的阻尼，称为热弹性阻尼。

大幅温度变化还会改变材料数据。在较高温度下，材料的硬度和强度都会明显降低。由此引起的蠕变变形等新现象在较高温度下也可能变得非常重要。

吸湿膨胀

某些材料（比如木材和许多工程聚合物）可以吸收大量的水分，这会引起膨胀以及质量密度的变化。这里的膨胀作用与热膨胀的情况类似。但是，有些材料的体积变化可能比热膨胀引起的体积变化大几个数量级。

水分含量通常由扩散过程控制。扩散系数可能受结构应力的影响，但在大多数情况下，这种影响可以忽略。

电子封装分析是吸湿膨胀的一个重要应用领域。为此使用的环氧树脂能够从周围环境中吸收大量湿气，这会引起形状变化并产生应力。

流-固耦合

流体与结构体能够以多种方式相互作用。流体中的压力和黏性力会在结构边界上产生载荷。例如，管内压力通常是主要的载荷来源。

如果结构具有一定的柔性，则流体施加的载荷也会引起结构变形，进而改变流体流型。这种双向耦合可以解释打鼾和飞机的机翼颤振等各种现象。

声-结构相互作用

声波或气体和流体中的压力波动常常与周围实体对象的振动相互作用。声介质中的压力作为载荷施加在固体材料上，而固体的加速度在可变形介质的边界上作为加速度传递，从而产生压力波。这两种效应都可以作为产品设计的一部分，例如扬声器或麦克风设计。但是，这种耦合现象还常常成为令人不快的噪声传播源，比如声音通过建筑物的墙壁传播。

压电

压电是某些介电材料中电场与应变之间的双向耦合，这种耦合通常呈线性关系。我们可以通过多种方式来利用这一现象，例如，通过电势来控制机械变形，或将其用于能量收集，在此过程中，机械变形转换为电能。再比如说，压电还用于在一些打火机中产生火花。

压阻

在压阻材料中，材料的电阻率取决于应变。压阻效应普遍存在于金属和半导体中，常用于各种类型的传感器。需要特别指出的是，压阻常用于应变计中，这是用于测量小应变的最常见装置。

电致伸缩

电致伸缩是结构中电场与应变之间的相互作用，这一现象存在于所有介电材料中。与压电相反，其应变与电极化强度的平方成正比。

磁致伸缩

磁致伸缩与电致伸缩现象类似，其不同之处在于，前者是磁场与机械应变之间的耦合。在一些特制材料中，这种耦合非常强，这类材料用于制造高效的传感器和换能器。磁致伸缩还会导致装置发出嗡嗡声，变压器等电气设备有时就会发出这种声音。

发布日期：2018 年 4 月 19 日
上次修改日期：2018 年 4 月 19 日