如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程？

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问题描述

如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程？例如方程

函数为

。

您可以引入 u 的二阶导数的名称，如

此时方程可以写为

现在，您可以使用 COMSOL Multiphysics 对变量u、P和Q求解以下等效偏微分方程组：

该方程组也可以通过以下方程写成变量u、P和Q的一般形式偏微分方程：

Px, Py + Qyf

ux,0P

0,uyQ

对于边界条件，请考虑以下示例：

在边界上给出u、u_xx和u_yy。这可以通过对u、P和Q使用狄利克雷条件来实现。
在边界上给出u及其法向导数du/dn。这意味着还可以计算u在切线方向的导数。因此，在边界上已知u_x和u_y的表达式。这些边界条件可以通过对u使用狄利克雷条件以及对P和Q使用诺伊曼条件来实现：

u,
,
,

其中

-nx

且

-ny.

这里提供的示例模型基于f= 1 和以下边界条件求解此方程组：
边界 1 和 2：u = 0, u_xx= u_yy= 0
边界 3：u = x, u_xx= 0, u_yy= -x
边界 4：u =sin(y),u_x=sin(y),u_y=cos(y)

通过引入u的特定导数的名称，我们可以用类似的方式来处理其他高于二阶的方程。使用尽可能高阶的拉格朗日单元，可以使u的高阶导数尽可能平滑。