COMSOL 博客

在控制系统模型中添加一个全状态空间反馈控制器

作者 Magnus Ringh

2021年 3月 23日

反馈控制系统理论中运用了全状态反馈的概念，使配置系统的所有闭环节点成为可能。极点对应于系统的动态行为，因此将它们配置在一个期望的位置可能非常有趣。在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，我们可以使用状态空间控制器插件为系统模型添加一个全状态空间反馈控制器。这篇博客，我们简要回顾了全状态反馈，描述了如何使用该插件，并演示一个示例。

关于全状态反馈

全状态反馈假设系统的闭环动力学在形式上可以表示为

\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}u\,,

\boldsymbol{y}= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{D}u.

如果 \boldsymbol{D} = 0，只要系统是可控的，我们就可以通过求解特征方程来任意配置系统的极点。

使用插件实现状态空间反馈控制器

使用插件，我们能够在模型中实现一些功能。从 5.6 版本开始，COMSOL Multiphysics 提供了一个状态空间控制器插件，可以配置闭环系统的极点。

有关控制器插件的另一个示例，请参阅博客文章：如何使用 PID 控制器插件模拟控制系统。

屏幕截图显示了状态空间控制插件的设置，包括方程，可观察量的数量，变量部分展开。
状态空间控制器插件的 设置窗口。

我们可以先定义所需系统的观测变量的数量，矩阵 \boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{C}，矢量 \boldsymbol{B}，初始条件，以及在复平面中配置极点的位置。然后使用插件创建一个新的零维模型组件，该组件使用全局方程 定义反馈控制器。信息部分提到了相关的组件，以及创建控制器后如何访问输出变量。控制变量可以用作 u。

下面介绍一个如何使用插件的示例。

力对双质量-阻尼-弹簧的示例

以一个描述质量为 m_{1} 的质点的系统为例, 一侧连接到带有弹簧和阻尼器的墙壁上，另一侧用弹簧和阻尼器连接到第二个质量为 m_{2} 的质点。第二个质量点又受到一个力 F 的作用，为了达到平衡，这个力需要被控制。

含不同零件的质量阻尼弹簧系统示意图，用作实现状态空间反馈控制器的示例。

该系统由以下方程描述，这些方程是牛顿第二运动定律的实例，使用点符号表示时间导数：

m_{1}\ddot{\tilde{x}}_{1} = k_{2}(\tilde{x}_{2}-\tilde{x}_{1})+c_{2}(\dot{\tilde{x}}_{2}-\dot{\tilde{x}}_{1}) – k_{1}\tilde{x}_{1} – c_{1}\dot{\tilde{x}}_{1},

m_{2}\ddot{\tilde{x}}_{2} = F – k_{2}(\tilde{x}_{2}-\tilde{x}_{1})-c_{2}(\dot{\tilde{x}}_{2}-\dot{\tilde{x}}{1}),

式中，k_{1} 和 k{2} 是两个弹簧的弹簧常数，c_{1} 和 c_{2} 是两个阻尼器的阻尼常数，\tilde{x}_{1} 和 \tilde{x}_{2} 用于描述两个质点与其各自平衡位置的偏差。

引入四个新变量，x_{1}=\tilde{x}_{1}, \, x_{2}=\dot{\tilde{x}}_{1}, \, x_{3}=\tilde{x}_{2}, 和 x_{4}=\dot{\tilde{x}}_{2},我们得到一个系统形式为

\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}u\,

\boldsymbol{y}= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x},

其中，

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
-(k_{1}+k_{2})/m_{1}& -(c_{1}+c_{2})/m_{1} & k_{2}/m_{1} & c_{2}/m_{1}\\
0 & 0 & 0 & 1\\
k_{2}/m_{2} & c_{2}/m_{2} & -k_{2}/m_{2} & -c_{2}/m_{2}
\end{pmatrix} \text{ 和 } \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
0 \\
0\\
0\\
1/m_{2}
\end{pmatrix}.

在这种情况下，控制变量 u，F 是力，\boldsymbol{C} 是单位矩阵。我们将常量定义为参数，如下所示。

显示状态空间控制器的不同常数被定义为参数的表格。
常量的定义。