在波动光学中模拟透镜通常很困难，因为需要大量的网格单元。在这篇博文中，我们将演示如何使用 COMSOL Multiphysics®软件的附加模块——波动光学模块基于麦克斯韦方程进行透镜仿真。
光学仿真方法简介
光学仿真有两种主要的方法：
- 射线追踪
- 波动光学
如果要模拟衍射效应（即使只是简单地聚焦光束，也会引入衍射），需要用到波动光学。在波动光学中，我们考虑两种方法：全波麦克斯韦法和波束传播法（BPM）。每种方法都有一定的局限性，概述如下：
| 方法 | 理论精确度 | 衍射 | 反射 | 计算工作量 |
|---|---|---|---|---|
| 射线追踪 | 近似 | 否 | 是 | 低 |
| 波动光学：全波麦克斯韦法（传统上） | 严格 | 是 | 是 | 高 |
| 波动光学：波束传播法（弗劳恩霍夫、菲涅耳等） | 近似 | 是 | 否 | 中等 |
射线追踪是一种近似值，其中波长与物体大小相比可以忽略不计。因此，它不处理衍射问题。全波麦克斯韦求解器实际上是求解麦克斯韦方程组，所以它是严格的，理论上没有模型近似。波束传播法通常在公式中包含各种近似，例如弗劳恩霍夫近似（即傅里叶变换）和菲涅耳衍射公式。
全波麦克斯韦求解器看起来是最好的方法。然而，在光学仿真中，“传统的”麦克斯韦求解器存在一个问题,即它需要精细网格和大量内存来求解：
- 光学元件
- 由表面反射引起的干涉图案
在传统的麦克斯韦求解器中，计算域内的所有点在运行仿真时都有贡献。因此，我们需要在整个域内设置一个网格，网格单元需要解析波长。然而，如果想要模拟大型物体（例如标准光学镜头）时，就会出现问题。波束传播法不存在这个问题，因为场解通过使用特定的传播定律从一个平面传播（或跳跃）到另一个平面，因此我们不需要在平面之间设置网格。
使用波束包络接口模拟透镜
与传统的麦克斯韦求解器相比， COMSOL®软件中的波束包络接口没有这个困难，因为接口内置的公式中已经考虑了快速振荡部分。如果解的包络变化缓慢，就可以使用这个接口。在实践中，这样的案例还有很多。使用这种方法，我们不需要大量的网格单元。因此，如果我们总是模拟均质域并求解具有缓慢变化的包络，就可以使用这个接口。但是，还有其他情况存在。
我们经常想要求解包含非均质域的光学系统。面临的问题是材料界面的反射，例如透镜表面。那么，反射如何产生问题呢？反射也是麦克斯韦方程组的解。因此，如果存在某些材料界面，麦克斯韦求解器会尝试找到包括反射的解。如果发生任何反射，它们可能会严重干扰入射光束，最终形成具有一半波长的驻波。这使原来的问题变得更困难。我们需要解析半波长，这意味着需要更多的网格单元！这会降低波束包络接口的作用，如下图所示。
使用波束包络接口的透镜仿真特写。透镜（中心部分）有干涉，需要更细的网格。
为了避免表面反射，我们可以考虑使用抗反射涂层，就像在现实中大多数情况下每个光学元件都有抗反射涂层一样。我们来看一个使用匹配边界条件的高斯光束特征，模拟在自由空气空间中传播的高斯光束的示例。
顶部：仿真中使用的网格。沿传播方向（从左到右）只需要一个网格单元。底部：使用波束包络接口的高斯光束仿真，单向公式。不插入空气以外的材料。
在上面的模拟中，我们将焦点放在左边界，因此光束向右边界扩展。除左边界外，所有其他边界均设置为无激励的匹配边界条件。接下来，在域的右侧添加一个玻璃。我们期望在域的左侧有反射，而在右侧没有反射，所以必须增加左侧的网格，但可以保留右侧的单个网格。（请注意，通过使用双向公式，我们仍然可以仅使用一个网格单元准确捕获反射。我们对此处的反射不感兴趣，因此只需使用单向公式就可以了。）
使用波束包络接口，单向公式模拟的高斯光束。将玻璃插入域的右侧。上图是网格。需要大量的网格单元来解析干涉图案的半波长，而在域的右侧只需要一个网格。
如预期的那样，我们在域的左侧得到了反射，因此我们需要在那里设置大量网格单元。这会损害波束包络接口的优势。现在，让我们在玻璃表面添加抗反射涂层。最简单的单色光抗反射涂层是四分之一波长抗反射涂层（参见 Hecht 的光学）。四分之一抗反射涂层是一种薄膜，其折射率为\sqrt{n_1 n_2}， 其中n_1和n_2是每种涂层夹层材料的指数，厚度为\lambda_0/\sqrt{n_1 n_2}/4，其中\lambda_0是真空波长。有了这些设置，反射率在\lambda_0处变为零。现在让我们来看看如何在仿真中包含抗反射涂层。
使用波束包络接口，单向公式的高斯光束仿真。将玻璃插入域的右侧。在玻璃表面涂上四分之一抗反射涂层。上图是网格。所有材料域只需要一个网格。
由于存在抗反射涂层，不再有任何反射，这为使用该接口带来了最有利的条件。对于分别代表空气、抗反射涂层和玻璃的每个域，我们在传播方向上只需要一个网格单元。
自 COMSOL Multiphysics 5.4 版本开始增加的过渡边界条件，可以模拟这种厚度为零的四分之一抗反射涂层。我们需要做的就是指定涂层的折射率和厚度，分别是\sqrt{n_1 n_2}和\lambda_0/\sqrt{n_1 n_2}/4，如下图所示。
过渡边界条件的设置。
使用波束包络接口，单向公式的高斯光束仿真。将玻璃插入域的右侧。在玻璃表面应用过渡边界条件。上图是网格。所有域只需要一个网格，因为没有反射。
现在我们可以看到过渡边界条件的用处了，尤其是当存在许多材料界面时，可以避免在每个表面上形成真正的薄膜涂层。
使用了这个边界条件后，包含很多干涉的透镜仿真的第一张图就变得非常干净了，如下图所示。
使用波束包络接口、单向公式和过渡边界条件的透镜仿真。没有引起干扰的反射，因此网格更粗。
结束语
传统的全波麦克斯韦求解器在用于光学仿真时需要大量网格单元。同时使用COMSOL 软件的波束包络接口、单向公式和过渡边界条件可以在某些条件下解决这个问题。我们可以将这种方法用于包含光学器件的大型光学系统，甚至用于多光学系统耦合。这类应用包括透镜系统、波导、外部光学系统、光纤耦合、激光二极管堆叠和激光束传输系统。
模拟与环境空气耦合的波导。
后续步骤
单击下面的按钮，了解波动光学模块如何让您的透镜仿真变得更简单：
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