金属介电层超材料中的双曲波仿真

超材料的独特电磁特性引起了研究人员的极大兴趣。超材料能够以前所未有的方式在纳米尺度上操纵光，从而极大地控制光场性质。这篇博客，我们将讨论如何模拟在金属–电介质层状超材料中激励双曲波，并计算该结构的有效介电常数。

超材料简介

超材料是由亚波长组件组成的人工构建结构。这些结构表现出各向异性色散特性，可以通过改变组成单元的形状、几何结构、尺寸、方向和材料特性，来操纵其电学特性，如介电常数、磁导率和电导率。通过合理选择控制参数，超材料可被设计为表现出金属（负实介电常数）或电介质（正实介电常数）特性。金属或等离激元超材料展现出两种不同的拓扑：双曲型和椭圆型。在双曲拓扑中，正交轴上的介电常数符号相反；而在椭圆拓扑中，所有方向上的介电常数均为负。

这种等离激元超材料具有亚波长周期性和尺寸，可以通过周期性排列的金属–电介质层以及嵌入电介质中的金属纳米棒来构建。在超材料结构内部传播的双曲波被高度限制，其波长比自由空间中的波长小 100 倍。在如增强的超透镜效应、亚衍射成像、传感、负折射、能量收集以及量子和热工程等有前景的应用中，这种独特的电磁特性使得双曲超材料与传统各向同性材料截然不同。

接下来，我们将讨论采用半经典电磁方法计算金属-电介质层状超材料的介电常数张量分量。

计算超材料介电常数：仿真与有效介质理论对比

假设一个线性（垂直）极化电点偶极子源，它位于由周期性定向的亚波长金属–电介质层组成的双曲超材料附近的空气中。偶极子辐射的消逝场与结构耦合，激发出两种波：沿金属–空气界面传播的表面等离激元，以及在超材料内部传播的双曲波。

位于超材料结构附近空气中的电点偶极子示意图。该结构由周期性排列的金属层和具有亚波长厚度与周期性的介电层组成。

超材料的各向异性相对介电张量\varepsilon可以通过本构关系计算，它可以用电位移场\textbf{D}和电场\textbf{E}表示为

1

假设超材料没有磁性， 的径向和垂直分量\varepsilon可表示为

2

3

在\textbf{D}和\textbf{E}已知的情况下，方程 2 和 3 可用于计算超材料的介电常数张量。为了在 COMSOL Multiphysics^®软件中计算这些值，我们使用up和down算子计算平均电位移场和电场分量。然后，使用平均算子对本构关系\textbf{D}=\varepsilon\textbf{E}进行积分，计算有效介电常数。需要强调的是，这些算子是在超材料的金属–电介质内部边界上执行的，用于估算边界两侧不连续的场。

计算超材料介电常数的另一种方法是有效介质理论。在亚波长范围内，对角线分量可通过以下¹有效介质理论计算

4

5

式中，F_m = t_m/(t_m+t_d)是金属的填充率。t_m和t_d分别为金属层和电介质层的厚度；\varepsilon_m和\varepsilon_d分别为金属和电介质的相对介电常数。

方程 4 和 5 表明，超材料的各向异性色散取决于金属–电介质层的厚度和填充率。\varepsilon_{rr}和\varepsilon_{zz}的值可正可负，取决于层厚度和材料特性。

为了进一步说明，我们假设一种由银（金属）和二氧化硅（电介质）组成的超材料。下图为相对介电常数张量对角分量的实部与金属填充率F_m的关系，分别显示了电介质、双曲型和椭圆型三种状态。在这里，\varepsilon_{zz}表现出共振行为，因为它取决于相邻金属层之间的电磁耦合；而\varepsilon_{rr}则显示出平滑的变化。在双曲状态下，介电常数张量的分量符号相反。在F_m较大的情况下，\varepsilon_{zz}的值受金属体积增大的影响，为负值，从而产生椭圆拓扑。当F_m非常小时，金属对超材料特性的影响可以忽略不计，超材料表现为各向异性介电介质。

超材料有效相对介电常数对角线分量的实部与金属填充率的函数关系。超材料由具有亚波长厚度和周期性的银层和二氧化硅层组成。

接下来，我们将详细介绍在超材料中激励双曲波的仿真设置。

双曲波激励仿真

本节探讨了 COMSOL Multiphysics^®软件中利用附近电点偶极子辐射的场，模拟超材料中双曲波传播的功能。超材料由周期性排列的银和二氧化硅薄层组成，其材料属性取自软件的内置材料库。使用 COMSOL 附加产品波动光学模块中的电磁波，频域接口和二维轴对称几何进行模拟。如下图所示，使用弱贡献节点定义电点偶极子，使用完美匹配层吸收电波并尽量减少不必要的反射。运行一个波长域研究步骤求解域场。运行另一个波长域研究步骤计算超材料的有效介电常数张量与波长的关系。估算由有效介质理论（方程 4 和 5）和本构关系（方程 2 和 3）计算出的介电常数张量分量与自由空间波长的关系。

在源点使用弱贡献来定义线性（垂直）极化电点偶极子辐射的电场。波长域研究步骤用于求解域场和超材料色散。

结果

运行模拟研究1后，我们可以直观地看到超材料中被激励的双曲波。下面的动画显示了光子能量为 2.6 eV 时的瞬时电场。如上所述，偶极子激励了在超材料内部传播的双曲波模式，以及在超材料-空气界面从源点向外径向传播的表面等离激元。

模拟超材料中被激发的双曲波和在超材料–空气界面传播的表面等离激元的瞬时电场。

运行模拟研究 2 后，可以计算出超材料的有效相对介电常数。使用有效介质理论计算和使用方程 2 与方程 3 本构关系计算的结果非常吻合，如下图所示。

使用有效介质理论（实线）和仿真（标记点）计算出的超材料有效介电常数的对角线分量。

为了进一步直观表示场分布如何随光子能量的变化而变化，下面的动画演示了光子能量从 2.6 eV 变化至 1.4 eV 时双曲波的电场模，表明双曲波的分支如何随光子能量的变化而演变。

超材料内部双曲波的变化与光子能量从 2.6 eV 变化至 1.6 eV 的函数关系。

本文所讨论内容也可用于在 COMSOL Multiphysics^®中模拟不同类型的等离激元材料，和探索相关的光物质相互作用。

动手尝试

想尝试自己动手模拟超材料中的双曲波吗？请单击按钮，下载文中讨论的模型。

参考文献

1. T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”,Optica 3, pp.1388–1396, 2016

扩展阅读

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