曲线坐标是一种坐标线可以弯曲的坐标系。COMSOL 4.3b 版本软件中新增了自动计算曲线坐标的用户接口，对于那些在自由曲面 CAD 设计中处理各向异性材料的用户来说，这是一个非常实用的补充。假设您有一个具有弯曲几何形状的设计，并想尝试在笛卡尔、柱坐标或球坐标等常用坐标系中对其进行描述，就有些困难了。您需要使用曲线坐标来平滑地追踪设计，而这种设计通常没有数学上的“闭合形式”表示。
曲线坐标接口
曲线坐标用户接口通过求解一个流动方程（或在某些情况下是弹性方程），使计算曲线坐标系变得非常简单，您只需为坐标主轴的流动定义一个入口和一个出口即可。此时，沿着弯曲几何对象的曲线坐标并不一定是唯一定义的，例如，如果模型的横截面有狭窄部分，会发生什么情况？模型的各向异性材料是像用饼干切割机一样被修剪，还是在狭窄部分被挤压在一起？几何对象是否有尖角？由于这些不确定性，我们提供了三种不同的方法：扩散法、弹性法和流动法。这些方法都会根据所求解的基本方程给出略有不同的坐标（COMSOL Multiphysics Reference Manual 中对这些方程进行了概述）。实际上还有第四种方法，即用户自定义法，您可以自由输入自己的曲线坐标主矢量场数学表达式。
曲线坐标不仅可用于定义各向异性材料，还可用于各种其他应用，如电流或可视化。在非线性结构材料模块的一个新教程模型中，使用了4个不同的曲线坐标接口来可视化各向异性 Holzapfel-Gasser-Ogden 材料模型的纤维方向。这是一种用于生物力学应用的超弹性材料模型，可用于表示动脉壁中的胶原软组织。
图中显示了介质和动脉外膜中不同纤维系列的纤维取向。动脉具有层状结构，内膜位于动脉内部，其次是中层和外膜。外侧两层膜主要负责力学行为。这两层都是由胶原软组织构成，表现出明显的应变硬化。胶原纤维系列赋予每层膜各向异性的特性。这些纤维增强结构使血管能够承受较大的弹性变形。参考文献中描述的 Holzapfel-Gasser-Ogden (HGO) 本构模型捕获到了在切除动脉实验中观察到的各向异性非线性力学响应。该模型演示了如何在 COMSOL Multiphysics 中使用这种超弹性材料，并将结果与文献中的结果进行了比较。各向异性方向可通过新的曲线坐标接口进行可视化。
一个示例：S 形几何体的传热
现在让我们来看一个非常简单的传热示例，看看如何使用新的方法计算 S 形几何体中的温度，该几何体的各向异性特性与其形状一致。类似的结构在智能手机和平板显示屏中随处可见，并被用作具有高度各向异性导热系数的被动散热器进行横向扩散热量。本示例是在 COMSOL 中使用扫掠几何操作沿 S 形曲线扫掠矩形截面创建的。
矩形截面和参数化曲线是几何扫掠的基础。
最终扫略的几何图形。
当然，我们也可以导入 CAD 文件。创建几何体后，我们将继续从模型向导的数学分支下添加曲线坐标用户接口。下一步是定义入口和出口边界条件，从而定义坐标系的主轴方向。
入口边界条件用于定义曲线坐标主轴方向的源。
其他方向是自动计算的，但您可以引导这些方向的定义，例如将其与某个坐标轴对齐。在本例中，我们使用的是扩散法。此外，如果您希望自动定义一个正交坐标系，可以选择 “创建基矢坐标系”复选框，如以下屏幕截图所示：
“创建基矢坐标系”复选框。
现在，我们可以直接求解并获得坐标系的可视化效果：
计算出的曲线坐标的可视化。
在本示例中，我们还添加了固体传热用户接口，为了获得有趣的结果，我们在顶面创建了一个圆盘（使用工作平面和圆），并在圆盘上定义了低温条件。同时，我们沿模型的整个底面指定一个高温条件。如果使用的是各向异性材料，且在一个方向上具有较高的导热系数，就会得到下图所示的温度曲线：
各向异性材料中的温度场。
可以看到，热量正沿着几何形状的长度方向扩散。
各向异性材料
您可能会问：如何创建和引用各向异性材料？第一步是在模型树的材料节点下创建材料。在这个示例中，局部 x 方向的热导率较高，而局部 y 和 z 方向的热导率较低，我们可以将其正式写为：k_x >> (k_y=k_z)。
各向异性热导率的定义。
但这只是在局部（抽象）坐标系中的定义。然后，我们需要引用自动计算出的曲线坐标。这可以在固体传热设置窗口中完成：
引用计算出的曲线坐标。
通过这种方式引用曲线坐标，由上述 k_x、k_y 和 k_z 定义的各向异性热导率将相应地“知道如何弯曲”。
研究设置
最后，我们需要确保首先求解曲线坐标，然后再求解固体传热（否则固体传热就不知道使用什么材料）。
这是通过两项研究完成的。研究 1 用于计算曲线坐标，研究 2 用于计算固体传热。下图是研究 1 的设置：
研究1的设置。
研究2的设置与此类似，但这里我们还需要定义如何处理未求解的变量值。这是研究1的解法，我们只需在“因变量值”部分进行引用：
研究2设置。
现在先求解研究1，再求解研究2。这篇博客，我们介绍了如何快速为任意形状设置自定义坐标系。本文中，我们使用了一个简单的 S 形几何体示例，但您也可以尝试将其用于带有分支和其他更复杂几何特征的几何模型。由于这种曲线坐标方法是计算性的，因此适用于任何 CAD 模型。祝您建模愉快！
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