电磁学   电磁波 

无自由电荷的介质中的电磁波

当介质由介电常数 、磁导率 和电导率 表征时，在没有自由电荷的情况下，其麦克斯韦方程组的形式如下：

方程名称	微分形式	注释
麦克斯韦-安培定律		电场及其变化率产生磁场。
法拉第定律		磁场的变化率产生电场。
高斯定律		假设没有自由电荷。
高斯磁定律		无自由磁荷。

将麦克斯韦-安培定律和法拉第定律相结合，通过将其中一个方程的旋度代入另一个方程，可以得到一个二阶波动方程。换句话说，由这两个一阶方程联立成的方程组表示电磁波。

电磁波的场公式

为了推导电场的一个二阶波动方程，我们首先假设材料不随时间发生变化，然后可以从法拉第定律的时间导数中去除磁导率，并将其取倒数：

现在，取其旋度：

将所有项集中到方程的一边，得到：

经过类似的推导，可以得到以下磁场方程：

要使此公式成立，我们的前提是假设材料属性与空间无关。相反，通过从磁矢势推导波动方程，可以减少上述限制的影响，如下所示。

自由空间中的电磁波

在自由空间中，、 且 。电场方程可以用以下形式表示：

其等效公式为：

其中光速为：

自由空间中的高斯定律为 ，结合矢量恒等式：

可以得到我们可能更为熟悉的以下形式的波动方程：

类似地，还可以得到以下形式的磁场方程：

电磁波方程

下表汇总了最重要的电磁波方程：

方程名称	微分形式	积分形式	边界条件
高斯磁定律
麦克斯韦-安培定律（静磁学）
法拉第定律

其中， 表示通过 C 的闭合等值面的磁通量， 表示表面电流密度。

推导与麦克斯韦-安培定律和法拉第定律中的表面积分相对应的边界条件是一个取极限的过程，需要得到与极限表面垂直的通量。对于一个趋向于无限小到消失的面，该过程的贡献为零，因此在静态，麦克斯韦-安培定律和法拉第定律对应的边界条件相同。

电磁波的矢势公式

利用磁矢势可以推导出二阶波动方程。为此，我们首先假设时性规范 ，结合矢势定义 ，然后将它们代入麦克斯韦-安培定律，可得：

将所有项集中到方程的一边，得到：

请注意，此公式适用于与时间无关的材料。对于随时间变化属性的材料，介电常数不能从时间导数提出来。

时谐公式

时谐场 可以展开为：

和 同样如此，其中更高阶项包含与 和 等成正比的谐波。在正弦场中，谐波会消失，只剩下零（常数）阶和一阶傅里叶项。在处理有关时谐场的表达式和方程时，与时间无关的部分 可以看作复值相量场。从相量场公式到实值瞬态量的变换如下：

时谐电磁波公式如下所示：

请注意，由于存在 这一关系， 的方程与 的相同。

复值介电常数和折射率

在光学中，折射率 是首要的材料属性，定义为：

其中， 表示真空中的光速， 表示介质中光的相速度。

根据 ，折射率也可以写成相对介电常数 和磁导率 的函数。

在许多重要的光学材料中， 接近 1，折射率可近似为：

为了对时谐电磁波公式中的阻尼建模，我们可以考虑复值介电常数（另请参见：电准静态理论），从而得到复值折射率：

麦克斯韦方程组的平面波形式

时谐电场中表示的平面波可以写为复值相量场：

其中， 为恒矢量， 为波矢， 是空间坐标， 是与时间无关的复值相量场。

假设采用各向同性材料，则平面波条件对应于相量场 的 。

法拉第定律

对于线性介质，法拉第定律的时谐形式为 。

对于平面波，我们采用以下矢量恒等式：

由此，用于平面波的法拉第定律变为 ，或等同于 。

麦克斯韦-安培定律

对于线性介质，麦克斯韦-安培定律的时谐形式为：

对于具有各向同性均匀磁导率的介质中的平面波，此方程变为：

或：

平面波方程

现在，写出下式：

将其代入以上方程，得到：

经换算得到：

或：

将所有项集中到方程的左边，得到：

对于 的材料，方程变为：

这是平面波方程，仅限用于具有各向同性均匀磁导率的介质，如下所释。

此外，也可以引入复值介电常数：

在这种情况下，平面波方程的形式如下：

本构关系和横向场

如果介质的磁导率呈各向异性，则由于 ， 和 可能不一致。因此，、 和 不一定互相垂直。

另一方面，对于具有各向同性均匀磁导率的介质， 和 始终一致。由于高斯磁定律 ，因此下式成立：

由此可以确保 与 和 均垂直。

不仅如此，由于 且 ，可以确定 与 和 均垂直。

不过，如果我们允许介电常数呈各向异性，则由于 ， 和 可能不一致。这意味着， 可能与 不垂直，亦不呈横向排列。

与 不一致或 与 不一致，预示着波矢 与坡印廷矢量 不一致。同理，动量通量 与坡印廷矢量也不一致。

发布日期：2019 年 2 月 13 日
上次修改日期：2019 年 2 月 13 日