流体流动、传热和传质流体流动：动量、质量和能量守恒

流体流动描述

如今，我们可以使用各种数学模型来描述流体运动，不仅如此，还可以使用许多工程相关模型来分析一些特殊情况。然而，最完整、最准确的描述方法当属偏微分方程（PDE）。举例来说，流场可以通过质量、动量和总能量的平衡来表征，这种平衡用连续性方程、纳维-斯托克斯方程以及总能量方程进行描述：

⁽¹⁾

这些数学模型方程的解可以给出建模域中流体的速度场、压力p以及温度T。

一般来说，这一方程组能够描述微流体装置中的蠕动流、换热器中的湍流，甚至是喷气式战斗机周围的超声速流等各种流动。但是，针对下图中的喷气式飞机等情况求解方程（1）并不可行；另一方面，尽管可以对微流体装置求解整个方程（1），但工作量非常大。鉴于此，计算流体动力学（CFD）的主要研究方向是如何恰当地选择方程（1）的近似方程，实现以合理的计算成本得到精确的分析结果。

连续介质假设和稀薄气体流动

流动方程（方程（1））基于连续介质假设，即：流体可以看作连续体，而不是单个分子的集合。分子效应显著的流动则称为稀薄气体流动，其稀薄程度用克努森数来度量：

⁽²⁾

其中，是分子平均自由程，L是流动几何的典型长度尺度，如通道宽度。

克努森数小于 10^-3的流动均可视为连续流。液体和一般情况下的气体一样，几乎总是可以看作连续体。对于低压下的气体或限制在狭小域中的气流，分子间相互作用的频率可能和分子与壁（限制流动）相互作用的频率相同，对于此类系统，我们必须使用稀薄气体流动方程（或者至少使用克努森边界条件）来描述流体流动。

牛顿流体和非牛顿流体

流体的一大特点在于其具有黏度，这种黏性效应通过黏性应力张量来表征。我们生活中最常见的流体（例如水、气体和酒精等）都是牛顿流体，其特点是流体中的黏性应力与偏应力张量成正比：

⁽³⁾

不过，也有许多流体并不遵守方程（3）中的简单关系。这种流体称为非牛顿流体，可以表现出各种特性。非牛顿流体的例子包括血液、涂料、某些润滑剂、化妆品、食品（比如蜂蜜、番茄酱、果汁和酸奶等），以及水中的沙子或悬浮在水中的淀粉等各种悬浮液。

蜂蜜就是一个非牛顿流体的例子。

不可压缩流体流动

如果一种流体的密度变化非常小，即，那么该流体可视为不可压缩流体。液体（温度变化明显的情况除外）以及中等压力和温度变化的气体都属于这种流体。如果我们可以忽略黏性耗散导致的发热（称为黏性加热），并假设流体为牛顿流体，则方程（1）可以简化为：

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方程（4）中的方程是著名的纳维-斯托克斯方程，以法国物理学家纳维和爱尔兰物理学家斯托克斯的名字命名。纳维首先推导出了这组方程，但斯托克斯首次对黏性项背后的物理机制给出了解释，这一方程组因此而得名。

在某些情况下，第一个方程，即连续性方程，也包含在纳维-斯托克斯方程中。由上式可以看出，能量方程已改写成温度方程，使后续计算简便了很多。在不可压缩流动的黏度与温度无关的情况下，与纳维-斯托克斯方程完全解耦的温度方程可用于求解不可压缩流动。

对于具有恒定黏度和密度的流体的流动，纳维-斯托克斯方程的解可以给出流速和压力场。如果需要得到温度场相关信息，则可以单独求解温度。

浮力是一个重要的物理现象，它与密度变化有着本质的关系。通过在动量方程中引入浮力作为动量源/汇，方程（4）还可用于模拟浮力效应。

即使是密度不恒定的情况，也可以使用纳维-斯托克斯方程，并在动量方程中引入浮力效应作为动量源/动量汇。举例来说，浮力会使雪茄的烟雾向上流动。

雷诺数

流体流动的核心概念是雷诺数，其定义为：

⁽⁵⁾

其中，U是典型的速度尺度，L是典型的长度尺度。

在没有体积力的情况下，如果密度和黏度均恒定，则我们可以推导纳维-斯托克斯方程（方程（4）中间的表达式）的无量纲形式，得到：

⁽⁶⁾

其中，表示压力水平。

从方程（6）可知，雷诺数用于度量黏性应力的相对重要性。低雷诺数意味着流动完全由黏性效应控制，而当雷诺数非常高时，流动基本上接近无黏性状态。

请注意，特定的流型可能使用多种雷诺数来表征，例如，通道流可能基于通道半宽或通道全宽；速度既可以是平均速度，也可以是最大速度。由此可见，知道哪个长度尺度和速度尺度与特定的雷诺数相关非常重要，在比较相似流型的雷诺数时尤其如此。

斯托克斯流

雷诺数非常低的流动称为蠕动流。比如，在微流体系统（如下方所示的微混合器）或润滑系统中可能产生这种流动。

在限制下的流动称为斯托克斯流。通常，斯托克斯流支持随时间变化和变材料属性，但经典斯托克斯流描述的是不可压缩准静态条件下的流动：

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这个方程组以爱尔兰物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字命名，他首次使用这些方程描述了黏性动量传递。在能量方程中保留哪些项取决于流体，其中对流项通常可以忽略不计，压力功的作用也可以忽略不计。而有时候，分析黏性发热对于斯托克斯流很有意义，例如，在轴承和其他润滑应用中。

湍流

在湍流中，雷诺数用于度量惯性效应而非黏性效应的重要性。只要雷诺数不太大，黏性效应就会抑制流场中的扰动，这种流动称为层流。由于黏度会使任何足够小的流动结构发生耗散，因此求解层流方程（例如方程（4））通常是可行的。

雷诺数越高，惯性效应相比于黏性效应就越占主导地位。当雷诺数足够高时，任何小扰动都会在平均流动量的作用下发生增长，从而引发新的流动结构。这种现象称为过渡。

完成过渡的流动称为湍流，典型特征是，看上去像混乱的涡流，其长度尺度范围非常大，大涡流几乎可以大到占据整个计算域，而小的耗散涡流则可能小到微米尺度。如此大的尺度范围意味着，在合理的计算成本下，使用纯纳维-斯托克斯方程能够模拟的湍流非常有限。对于一些非常简单的流动，我们可以执行直接数值仿真（DNS），但需要大量的计算资源。

为了在无需访问超级计算机的情况下就能计算流场和压力场，我们通常采用近似湍流模型。各种湍流模型制定了不同类型的守恒表达式可用于平均意义上的湍流，例如，这些小涡流可能具有的动能守恒（称为湍动能）。湍动能等守恒属性用于对黏度产生额外贡献，称为涡流黏度。这种涡流黏度可以增大动量的黏性传递，从而模拟我们无法求解的小尺度涡流传递的动量。

工程中最常用的湍流模型是雷诺平均纳维-斯托克斯模型（RANS 模型），其中模拟的物理量为时均量，引入一个物理量来描述其中的脉动量，通常称之为雷诺应力。不可压缩流动的 RANS 方程为：

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其中，符号上的横线表示平均量，撇表示离均差。

举例来说，未过滤速度可以写为。通过比较方程（8）和方程（4）中的连续性方程和动量方程可知，这些方程是相同的，只是在方程（8）中，未过滤量已替换为过滤量，并且没有时间导数（这是因为我们对方程进行了时间平均），但包含一个附加项，该项是雷诺应力张量，表示湍流脉动对过滤速度场和压力场的影响。

我们可以为雷诺应力张量中的项制定输运方程。通过对这些方程进行适当的简化和假设，可以得到雷诺应力模型。尽管这些模型的功能强大，但处理起来往往有一定的难度；此外，即使计算成本远低于 DNS，但对于大多数工业应用而言，仍然过于昂贵。

最常用的替代方法是假设湍流作为附加的黏性效应，可以写为，其中是湍流黏度，也称为涡流黏度。涡流黏度模型包括工业应用中使用最广泛的模型，例如k-ε、k-ω、剪切应力输运（SST）湍流模型以及 Spalart-Allmaras 湍流模型。

另一类湍流模型求解小空间区域的平均湍流，而不是湍流随时间的变化情况。这就形成了一种低通滤波器，用于过滤掉小于某个长度尺度的涡流。采用这种方式，我们可以求解大尺度湍流涡，并且必须对小尺度涡的影响进行建模，因此这一方法称为大涡模拟（LES）。不可压缩 LES 的连续性方程和动量方程采用相同的形式：

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方程（9）与方程（8）相同，只是包含时间导数。此外，项是子网格应力（SGS）张量，表示子网格尺度对求解尺度的影响。常用的 SGS 张量模型是 Smagorinsky-Lilly 模型。

LES 通常比 RANS 更精确，但必须始终在三维模式下进行瞬态仿真，即使流动本质上是二维的也是如此。除此之外，为了建立有效的 SGS 模型，通常需要使用非常高的分辨率，这意味着，只有在最先进的 RANS 模型也无法捕捉流动的基本特征时才需要使用 LES。

马赫数

马赫数定义为：

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其中c表示声速。

马赫数用于测量流体相对于压力波的流动速度。当马赫数较小时，即，压力波速度非常快，可以有效降低到满足质量守恒约束。通过设置，可以在形式上满足方程（4）中的不可压缩流动公式。随着马赫数接近 1，也就是当流速接近声速时，还必须考虑压力波的影响。在这些情况下，黏性加热通常也很重要，如此一来，我们必须求解方程（1），其中给出了连续性方程、动量方程和能量方程的完整方程组。方程（1）中的所有项都很重要的流动有时称为可压缩黏性流动。

高马赫数流动的雷诺数通常也较高，因为两者都与流速成正比。因此，我们通常使用湍流模型对方程（1）进行补充，以考虑传热的动量涡流扩散的涡流扩散系数。方程（1）与其湍流模型之间的耦合往往非常强。

无黏流动和欧拉方程

对于中等压力下、流速接近和高于声速的气体流动，分子黏度和涡流黏度对动量传递的贡献通常可以忽略不计。在这种情况下，模型方程描述动量守恒（无黏性项）、质量守恒和能量守恒。由于我们不考虑涡流黏度，因此不需要湍流模型。

在能量方程中，与黏性动量传递具有类比关系的是传导传热。事实上，在气体中，黏度形成机理也适用于导热系数，动量传递的涡流扩散系数也用于计算传热的涡流扩散系数。因此，在可以忽略黏性动量传递的情况下，我们通常可以忽略能量方程中的传导传热。

适用于无黏流动且导热系数可忽略的守恒方程通常称为欧拉方程，以首先提出这些方程的瑞士著名数学家欧拉的名字命名。欧拉方程的形式为：

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多相流

动量、质量和能量守恒方程也可用于多相流体流动，例如，气相和液相组成的多相流，或者油和水等两种不同液相组成的多相流。

最详细的多相流建模方法是采用表面跟踪方法，例如水平集方法或相场法。在这些模型中，表面张力等各相之间的相互作用作为动量方程中的源或汇引入，位于跟随不同相之间的边界、且厚度非常小的薄层上，从而可以详细计算相边界的形状和位置。这意味着，动量和质量守恒方程可以与一组具有给定值（等值面）的水平集或相场函数的输运方程组合在一起，用于描述相边界的位置。

描述表面跟踪两相流模型的经典基准模型。请注意，在非常短的时间内，较重的流体在晃动过程中会附着在顶壁，产生附着的原因是因为存在表面张力。

当相边界由数百万个液滴或气泡组成时，或者相边界的形状细节非常复杂时，我们无法通过计算跟踪其形状；此时，我们必须进行某种均匀化处理，将存在的不同相视为具有平均质量分数或体积分数的物理场。我们不再详细跟踪相边界的形状，而是将各相之间可能发生的相互作用作为流体混合物各处定义的动量源和汇引入。此外，在两相流情况下，动量和质量守恒方程可以与其中一个相的体积分数输运方程相结合；对于三相流，这两个守恒方程可以与两个输运方程相结合。当两相之间存在较大的密度差时，我们甚至必须为流体域各处定义的每个相分别制定动量方程。

对于存在气泡的液体，使用气泡流模型等分散流模型可以很好地表示均匀两相流。对于油和水等液-液溶液，我们可以使用更为复杂的模型，如多相流混合物模型。

对于气体中密度差非常大的许多固体颗粒，我们常常需要为分散的固体颗粒和气相制定动量方程。为每个相定义动量方程的模型通常称为 Euler-Euler 多相流模型，该名称源自于这样一个事实：两种相均由欧拉法描述为连续体。

当颗粒足够少时，另一种选择是使用颗粒跟踪方法来描述分散相。这种方法称为欧拉-拉格朗日法，其中采用欧拉法描述连续体（如流体），采用拉格朗日法描述颗粒。欧拉-拉格朗日法的优势在于，属性可以与每个颗粒关联，但随着颗粒数的增加，该方法耗费的计算资源会变得非常大。

多孔介质流

如果我们能够详细描述多孔结构，包括所有表面结构和表面属性，我们就可以照常使用动量和质量守恒方程，并在孔隙壁上定义无滑移条件，或者，当平均孔隙宽度与分子相互作用的尺度具有相同数量级时，定义克努森条件。

然而，大多数情况下，我们无法在多孔结构的宏观模型中描述数以百万计的孔隙弯曲和结构。因此，多孔介质流动模型通常采用均匀化处理，从而将多孔结构中的流体域和多孔基体域定义为具有平均孔隙率、迂曲度和渗透率等平均属性的平板。动量方程则变为达西定律，以首次提出此定律的法国工程师的名字命名。达西定律可以通过剪切项进行扩展，形成 Brinkman 方程，该方程以荷兰物理学家 H.C. Brinkman 的名字命名。

发布日期：2018 年 6 月 29 日
上次修改日期：2018 年 6 月 29 日