流体流动、传热和传质

流体流动、传热和传质简介

传递现象是一门以数学关系的形式描述动量、能量和质量传递的学科^[1]。这些描述建立在动量、能量和质量的守恒定律基础上，并结合了描述守恒量通量的本构关系^[2]。在连续介质力学中，表示这些守恒定律和本构关系的最精确的方法是采用微分方程^[3]。

通过对描述传递现象的方程进行求解，并对计算结果进行解释，可以帮助我们有效理解所研究的系统。这一方法在许多领域成功地用于研究流体流动、传热和化学物质传递，包括：

• 工程学
• 生物学
• 化学
• 环境科学
• 地质学
• 材料科学
• 医学
• 气象学
• 物理学

动量、能量和质量传递类比

不同输送量（动量、能量和质量）的守恒定律可以从一些简单的原理推导出来。举个例子，假设一个在系统中守恒的量 Φ，其通量由矢量j= (j_x, j_y, j_z) 给出。通过尺寸为 Δx、Δy和 Δz的微小体积单元，可以得到 Φ 的平衡，其中的通量j是单位面积、单位时间的量。产生项或消耗项R_s是单位体积、单位时间的量。

根据上图，可以得到以下平衡方程：

其中，j_x,x表示x位置x方向上的通量，j_x,x+Δx是x+Δx位置x方向上 的通量矢量。下标t和t+Δt表示相应时间的状态。该方程表明，如果没有产生或消耗（R_s= 0），则流入或流出体积单元的净通量必须通过该物理量在一段时间内的积累或消耗进行平衡。此外，如果在一段时间内没有积累或消耗，那么进入体积单元的通量必须完全平衡流出该体积单元的通量，使进出该体积单元的总通量为零。

将以上方程除以体积 ΔxΔyΔz，并使 Δx、Δy和 Δz都接近零，可以得到 Φ 的以下方程：

使 Δt 接近 0，可得：

为了遵循守恒定律，所研究系统中的连续介质（如流体或固体）中的每一微小体积单元都必须满足这一平衡方程。在传递现象的建模与仿真中，这个偏微分方程——“偏”是因为它表示为每次相对于一个自变量的变化而变化（x、y、z和t为自变量）——能够描述动量、能量和质量的守恒定律。

在动量守恒中，守恒量是一个矢量，而通量项则以张量形式表示，其中包含应力张量。将动量守恒、动量通量的本构方程以及不可压缩牛顿流体的质量守恒相结合，可以得到纳维-斯托克斯方程。这些方程是流体流动（CFD）建模的基础，它们的解描述了流动流体的速度和压力场。如果守恒量为能量，则系统中的传热方程也可通过上述守恒方程导出。

最后，我们来看看质量传递。假设我们要研究同时存在传递和反应过程的流体的成分。为此，我们可以定义和求解流体中每种物质的质量守恒方程。每种物质i的浓度c_i均保持守恒，其通量表示为N_i.。使用上面的守恒方程可以得到以下适用于每种物质的方程：

如果我们进一步假设通量由扩散给出，并且菲克定律可定义该通量（例如溶剂中的溶质通量）的本构关系，则可以得到扩散-反应方程，常用于模拟可忽略流体流动的反应系统：

在这一方程中，D_i表示溶液中物质i的扩散系数。

如果发生对流，也就是整个溶液的净输送，则可以得到输运方程，常用于存在流体流动的反应系统：

在这个方程中，u表示速度矢量。如果溶液受外加电场E作用，并且存在离子，则可以得到 Nernst-Planck 方程，可用于电化学系统：

在这个方程中，z_i表示物质i的化合价，u_i表示物质i的迁移率，通过 Nernst-Einstein 关系直接与扩散率相关。通量矢量中的第三项称为迁移项。

通量的本构关系中也存在输送量守恒的类比。例如，从分子性质推导出的输运性质可以得到以下项：动量传递中的黏性项（由牛顿流体定律给出）；传热中的传导项（由傅里叶传热定律给出）；以及传质中的扩散项（由菲克扩散定律给出）。迁移项与电场的线性关系类似于欧姆定律，这是由金属中电子的传输性质决定的。

在气体中，黏度、导热系数和扩散系数的传递性质来源于碰撞、布朗运动和分子相互作用。在液体中，该理论的适用性相对较低，但仍与给定流体的分子动量、能量和传质特性有关。

综上所述，定义模型方程所依据的原理非常简单，问题的关键是定义守恒定律以及用于产生通量的关系。为此，我们需要在不同的条件下反复求解给定系统的方程，然后研究计算结果，从而了解系统中的传递现象。

发布日期：2015 年 1 月 14 日
上次修改日期：2018 年 3 月 22 日