物理定律、偏微分方程和数值建模 

物理定律、数学模型和偏微分方程

物理定律基于人们对事物的观察，定义物质在空间和时间上的运动规则及相关概念。例如，能量守恒定律不仅可以应用于物质，还可应用于电磁辐射等相关概念。

理查德·费曼在他的《物理学讲义》一书中讨论了如何分析物理问题。他提到，想要全面了解某个系统的特性，一种可行的方法是使用微分方程来描述这一系统在不同情况下的特性，并分析方程的解。他还进一步指出：“只有一种精确的方法能够表述物理定律，就是使用微分方程。”（参考资料 1）

微分方程描述系统的变化，而不是系统在不同空间和时间上的状态。更具体地说，偏微分方程（PDE）通过多个自变量来描述这些变化。例如，我们可以使用偏微分方程描述系统在时间（t）和空间（x、y 和 z）上的变化情况。假设我们已知时间 t 和所有位置（x, y, z）的解，就可以使用描述系统的偏微分方程在时间和所有位置发生微小变化后对解进行数值估计。

这里的 t、x、y 和 z 称为自变量。固体和流体中的能量守恒定律可以描述成一个偏微分方程，表示空间中温度 T 的变化，这种情况下的温度（T）称为因变量。我们可以选择一个空间和时间上的位置，然后通过求解偏微分方程得到唯一的 T。换句话说，T 与 x、y、z 和 t 相关。但是，从偏微分方程的解取得的 T 值却不会自动给出时间和空间上的位置，从这个意义上说，x、y、z 和 t 与温度无关。

因此，我们假设偏微分方程可用于描述物理定律。通过在数学模型中求解偏微分方程，可以预测实验的结果，并帮助工程师和科研人员理解该数学模型描述的过程或现象。偏微分方程的解一经验证，并与改变模型参数的方法相结合，还可用于优化设备或过程的设计。

用数学表达物理定律

我们在思考如何用偏微分方程表达物理定律时，需要熟悉一些数学概念才能理解方程的含义。在许多情况下，我们可以使用矢量场（或张量）的散度来表达守恒定律；例如，由一个矢量的通量来表达，该矢量可根据本构关系给出。

矢量的散度 J 用下式表示：

⁽¹⁾

从以上方程可以看出，散度是矢量场在不同方向上的变化量之和。如果一个物理量的通量守恒，则所有方向上的变化量之和为零，因此以下方程中的 F 为零：

⁽²⁾

此方程是高斯用直观的方法推导出来的。他计算出包围一个体积的表面上的通量总和，并将其与源或汇的体积和（F）进行平衡，然后使体积趋近于零就能得到微分方程。这一推导称为高斯定理 或散度定理。

我们假设矢量 J 表示电流密度。如果电流密度矢量的散度为零，则建模域中每个点的电流密度在一个方向的变化可以由其在其他方向的变化完全平衡，因此每个点的电荷都是守恒的。

矢量的旋度描述三维矢量场的旋转。它可以推导为矢量场在域中每个点的环量面密度：

⁽³⁾

例如，域中每个点的流体涡量由速度矢量的旋度给出。如果我们分析流体域（具有涡量不为零的流动）中一个非常小的控制体积，则旋度可以给出旋转轴的方向以及该控制体积的旋转大小。对于无旋流，速度场的旋度为零。

通量矢量的旋度也用于麦克斯韦方程组。比如，旋度可以用来描述法拉第感应定律，其中，磁通密度随时间变化产生的电场的旋度可以用下式表示：

⁽⁴⁾

梯度运算符是本节的最后一个数学概念，常用于表示本构关系；例如，用于傅里叶热传导定律、电流传导的欧姆定律以及菲克扩散定律。

梯度是一个矢量，例如，其分量可以给出标量场在不同方向上的斜率：

⁽⁵⁾

反过来，斜率又可以给出上述本构关系中的通量。举例来说，傅里叶热传导定律给出的热通量的方向和大小与温度梯度成正比，其中导热系数用作比例常数：

⁽⁶⁾

根据欧姆定律和菲克第一扩散定律之间的类比，我们可以分别得到电流密度为静态电磁场电势 Φ 梯度的负值，其中电导率为比例因子；化学物质通量为浓度 c 的负梯度；扩散系数为比例因子：

⁽⁷⁾

我们观察工程和科学领域用于描述物理系统的方程可以看出，这些定律都表示为偏微分方程。通过将定律的定义与一系列描述相关物理系统中所涉及现象的本构关系相结合，就可以定义数学模型。

我们观察到的世界

在下文中，我们将讨论工程和科学领域使用的一些定律。这些定律中包含的方程构成了多物理场建模和仿真的基础，因此与我们观察物理现象的方式有关。如上所述，本构关系引入了扩散系数、电导率和密度等概念。这些量基于连续介质假设进行定义，该假设指出存在这样一个体积，基于这一灵敏体积的测量值可以给出所测量属性的“局部”表示，并且体积的小幅减小不得改变平均值。连续介质假设如下图所示。

连续介质假设对大多数工程应用来说都有效，基于这一假设，我们可以将流体和固体描述为连续介质，而不是单个原子的集合。然而，就算在非常小的设备或装置中，可能也不会存在任意小到可以看作一个点（与设备大小相比）的体积，或是大到足以使分子变化最终达到平衡的体积，参见上图左侧分子波动引起的变化和右侧分子的大规模变化重叠。在这种情况下可以观察到的效应称为稀薄效应，下面描述的大多数定律都不考虑这些效应。在更短的长度尺度上，我们可能会遇到量子效应。我们在日常生活中使用的一些应用直接利用了量子效应；例如半导体。我们将在下文中简要讨论量子效应。工程应用中可以观察到的另一种效应是相对论效应，也将在下文进行简要介绍。请注意，即使考虑相对论效应，我们仍可以用偏微分方程表示物理定律。

薛定谔方程

薛定谔方程以系统的能量守恒定律为基础，其中概率密度是守恒量。在量子力学中，薛定谔方程的解（即波函数）通过波函数的线性组合，产生基本粒子在时间和空间上的位置的概率函数。在大多数情况下，量子化能级存在波函数；也就是说，可能只存在特定的离散值。例如，电子密度波函数可以产生原子和分子的轨道概率函数。

我们来看一个使用薛定谔方程公式描述氢原子的例子：

⁽⁸⁾

在这个方程中，ψ 表示波函数，ħ 是约化普朗克常数，Ĥ 是哈密顿运算符，i 是单位虚数。

哈密顿运算符可以写为：

⁽⁹⁾

其中，m_e 表示电子质量，V(r) 表示势能与径向矢量 r 的函数关系。

对于确定的能量状态，我们可以根据下式重写波函数方程：

⁽¹⁰⁾

其时谐形式为：

⁽¹¹⁾

电子的势能 V 只取决于半径，波函数可以用球极坐标表示：

⁽¹²⁾

含时薛定谔方程的特征函数（即具有确定能量值的波函数）可以表示为径向函数 R_nl(r) 与球谐函数 Y_lm 的乘积。其中，n 称为主量子数，l 表示轨道角动量的量子数，m 表示其 z 分量。从中可以看出，能级只取决于 n；即 E(ψ_nlm) = E_n。下图显示通过求解柱坐标中的薛定谔方程得到的一些波函数示例。

单电子的波函数（位置的概率函数）称为轨道，其中的量子数 n、l 和 m 具有确定值。波函数的线性组合（叠加）也是氢原子薛定谔方程的解。量子数 l = 0 的轨道称为 s 轨道，始终呈球对称。l = 1 的轨道表示 p 轨道，表现出明显的角度依赖性。l = 2 的轨道称为 d 轨道，其角度依赖性更为复杂。这些绘图通过对粒子进行可视化，显示了概率密度，密度越高、颜色越深，表明概率密度越大。

利用薛定谔方程，物理学家和物理化学家能够计算出的元素表已经包含宇宙中可能稳定的元素。

粒子位置和时间的测量存在不确定性，即所确定的粒子位置越精确，其动量的不确定性就越大。这就是海森堡测不准原理（Heisenberg uncertainty principle），以提出这一原理的科学家命名。例如，如果我们明确知道粒子的位置，就无法同时确定其动量。

在量子力学中，当我们观察位置或动量时，会发生波函数塌缩。这也可以通过粒子与周围环境相互作用时的退相干来解释。这意味着，当我们测量粒子时，不能再使用波函数对其进行描述（或者根据退相干，几乎不能再描述），此时我们只能在其中一个位置观察到粒子。著名的薛定谔的猫便是对此概念的一个抽象描述。盒子处于关闭状态时，猫既死又活；当我们打开盒子，就能确定猫非死即活。

薛定谔方程在化学和物理学领域有着广泛的应用，不仅如此，还在半导体和电子工业中用于分析各种器件和过程中的量子效应。薛定谔-泊松方程广泛用于描述量子点显示器和基于量子点的半导体器件。这些方程将薛定谔方程与电荷平衡（请参见下面麦克斯韦方程一节中的高斯定律）相结合，其中薛定谔方程中的势能项来自电荷平衡中的电势。

在结束薛定谔方程主题之前，我们对量子论和狭义相对论进行一个简要的讨论。通过对波函数 ψ 和哈密顿算子 Ĥ 进行适当的解读，保罗·狄拉克建立了一个与狭义相对论相容的波动方程（现在以他的名字命名）。将该方程应用于氢原子后，狄拉克方程中的 ψ 是一个具有四个复值分量的双旋量。它的解对应于与内禀角动量 spin 相关的电子，这一角动量分别具有值 +ħ/2（“上旋”）和 -ħ/2（“下旋”）。现在，能级不再只是直接取决于主量子数 n，而是取决于 n 和总角动量量子数 j，其中量子数 j、l 和 s（自旋量子数）满足约束 |l – s| ≤ j ≤ l + s。l 值相同但 j 值不同（因此 s 值也不同）的轨道上氢原子能级的分裂称为精细结构。从历史上看，在狄拉克方程提供理论基础之前，人们已经在氢的谱线中观察到了这一结构。但是，很早以前人们就清楚地知道，狄拉克方程并不是最后一个描述量子物理数学公式的方程。由于存在负能量解，人们预测了反粒子（正电子）的存在，并随之产生了如何解释真空状态的问题。最终，这些问题随着量子场理论的发展都得到了解决，该理论构成了现代基本粒子物理学的基础，并在凝聚态物理学中得到进一步应用，其应用领域非常广泛，本文只提及了当代两个重要的研究领域。

电磁的麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组描述电和磁的定律，当二者结合时，还可以描述光和任何其他类型的电磁辐射。费曼曾在一次演讲中引用《圣经》的《创世记》中的句子，提出了一个有趣的评论。他说，麦克斯韦在发现这些方程时，应该说：“有了电和磁，就有了光！”在某种程度上，他这句话体现了麦克斯韦的发现对科学和工程领域的重要贡献。

我们要分析的第一个麦克斯韦方程组是高斯定律：

⁽¹³⁾

高斯定律描述的是电荷平衡。其中指出，在一个建模域中，电通量密度由每个点的净电荷平衡。高斯定律可以根据高斯定理推导出来，该定理指出，一个量的通量在闭合曲面上的积分等于该曲面所包围的体积中该量的净源。使体积接近于零，我们就可以根据积分方程得到微分方程。该定理也称为散度定理，我们在上面的方程（2）中已经作了介绍。

下面的第二个方程通常称为高斯磁定律：

⁽¹⁴⁾

该方程简单地说明了磁通量在建模域中的每一点都守恒。（方程（2））换句话说，磁场是无源场。

这里的第三个方程是麦克斯韦-法拉第方程。该微分方程可以从更直观的积分方程推导而来，这是法拉第感应定律的数学描述：

⁽¹⁵⁾

方程表明，如果我们取域中闭合回路上的电场总和，那么这一净总和必须通过该回路所包围表面上的磁通量随时间的变化来完全平衡。当然，我们同样可以进行反演解释，这样可能更易于理解：时变磁通密度会在垂直于磁通密度的平面周围的回路中产生净电压。

在本例中，我们主要讨论感应现象。例如，由运动磁体产生的时变磁通量会在该磁体周围的铜绕组中产生电流；即，线圈中产生感应电流。法拉第通过实验观察到了这种现象，麦克斯韦后来在他的方程中对此进行了描述。

最后一个麦克斯韦方程描述了安培环路定律：

⁽¹⁶⁾

方程指出，电流和时变电场在垂直于电流和电场的平面周围产生循环磁通量。比如，铜线中的电流在铜线中产生循环磁通量。

动坐标系中的麦克斯韦方程组与狭义相对论相容。不过，对于加速电荷的情况，使用这些方程时要特别小心。加速电荷的反作用力的来源仍然是科研人员正在研究的课题，这可能需要将重力与量子电动力学进行耦合分析。

上述讨论只是麦克斯韦方程组丰富含义的冰山一角。我们还可以通过对电磁场进行各种不同的假设和简化来定义许多其他的方程和模型。（参考资料 2）例如，交流场通常遵循正弦时间变化。对于这些情况，我们执行傅里叶变换，将方程从时域变换到频域。然后，可以得到一组用复值函数（而非时变实值函数）表示的稳态方程来描述电磁场。

您可以在此了解电磁背后的理论的完整简介。

固体力学运动方程

牛顿第二定律表明，要改变物体的速度，需要一个作用力。例如，这一定律可以用来表示力的平衡。对于固体内部的力，这一力平衡会产生局部加速度，它会被内应力或任何体积力抵消。（参考资料 3）根据牛顿第二定律，固体材料的运动方程写为：

⁽¹⁷⁾

根据下式，其中的 σ 表示应力张量：

⁽¹⁸⁾

u 表示位移矢量 u = (u, v, w)。

我们对张量取散度，可以得到以下矢量：

对于弹性材料，我们可以根据胡克定律的一般公式得到应力；即本构关系：

⁽¹⁹⁾

其中，D 表示刚度形式的本构矩阵，根据下式，ε 表示应变：

⁽²⁰⁾

方程（17）中的偏微分方程组和方程（19）中的本构关系适用于线性材料。它们与应变分量的表达式结合时得到纳维方程，可以写为：

⁽²¹⁾

E 表示弹性模量，ν 表示泊松比。

将材料的相对膨胀（垂直于外加压缩力方向）除以相对压缩可以得到泊松比。对于非线性材料模型，相应的一般力平衡可以用类似的方式编写。

虽然线性材料方程听起来用途有限，但此类方程的应用很广泛。主要是因为在大多数情况下，工程师不需要分析塑性。所谓塑性是指，当部件上的载荷一旦移除，它们不会恢复到原来的形状。我们在设计机械零部件时，材料本体应在弹性区域工作，使零部件在不受任何外力时恢复原始形状。可能引起塑性的边缘效应通常局限在部件的一些小区域。

请在此阅读完整的结构力学简介。

质量守恒和化学物质传递方程

一种化学物质的质量浓度随时间的变化率必须通过该物质在控制体积中的通量变化以及产生或消耗进行平衡。（参考资料 4）这可以通过以下方程来表示：

⁽²²⁾

在此方程中， 表示第 i 种物质的质量浓度（SI 单位 kg/m³）； 表示质量通量矢量； 是摩尔质量； 是产生或消耗第 i 种物质的所有反应的反应速率。

化学物质通量可以用本构关系来描述；例如，通过菲克第一扩散定律或 Maxwell-Stefan 方程进行描述。这些关系或定律的根源在于，化学势梯度产生的驱动力与化学物质在溶液中相互作用时受到的摩擦力之间的力平衡。对于只存在两种物质的二元溶液，物质平衡方程变为：

⁽²³⁾

其中， 表示二元溶液（ 和 ）中的扩散系数。

对于包含更多物质的浓溶液，扩散的描述就变得更为复杂。稀溶液的扩散表达式与二元溶液的类似，每种溶质物质与溶剂之间的相互作用是唯一相关的相互作用。下图显示在稀溶液和浓溶液情况下，我们必须考虑的相互作用差异。

每种化学物质的质量平衡方程通常与流体流动的动量方程结合求解，我们将在下一节对后者进行讨论。在浓溶液中，所有物质平衡的和可以产生质量守恒的连续性方程。由于化学反应中的质量守恒，我们消去化学物质的反应项：

⁽²⁴⁾

请注意，所有物质的扩散质量通量之和也为零，这是因为扩散表示一种物质的质量通量相对于平流输送控制体积的质量平均速度（也就是说，当我们“顺着”流体流动方向时）的偏差。浓溶液的质量平均速度定义为：

⁽²⁵⁾

稀溶液的速度由溶剂速度给定：

质量平衡方程通常与动量守恒方程结合求解，如下所述。举例来说，这些方程组可用于理解、预测和优化生化装置、化学反应器、电池、燃料电池、环境过程和系统以及燃烧过程的设计和操作，应用领域非常广泛。

流体力学运动方程

质量守恒方程和动量守恒方程构成了流体流动建模的基础。（参考资料 4）例如，计算流体动力学（CFD）中的流体流动建模涉及对各种设计和过程（从宇宙飞船到化工厂）的理解。

流体运动方程与固体方程非常相似。我们再次从牛顿第二定律开始讨论。由于动量是矢量，我们得到以下动量守恒的矢量方程：

⁽²⁶⁾

在此方程中， 表示动量通量张量， 是总应力张量， 是重力等产生的体积力。

上述方程左边第一项表示单位体积的动量变化率，第二项是动量平流输送的结果。右边第一项是作用在流体表面单元每一侧的力产生的结果，最后一项是流体单位体积作用力的总和。

动量通量张量由下式给出：

⁽²⁷⁾

总应力张量通常分为压力和偏应力部分，后者基本上包含其他所有张量：

⁽²⁸⁾

其中， 是张量，在对角线上为 1，其他位置均为 0。

一般来说，偏应力是全张量：

⁽²⁹⁾

对于牛顿流体，偏应力（也称为黏性应力）是对称的（因此，例如 与 分量相等），并与应变率成正比：

⁽³⁰⁾

在上述方程组中， 表示剪切黏度， 是扩张黏度或本体黏度（通常忽略不计）。

此时动量守恒方程变为：

⁽³¹⁾

基于上述黏性应力与应变率之间的线性关系得到的方程通常称为纳维-斯托克斯方程，其中引入了三个因变量表示速度分量（），一个因变量表示压力（）以及一个因变量表示密度（），但只提供了三个方程分量。

动量方程的三个分量通常与质量守恒方程（连续性方程）结合求解：

⁽³²⁾

对于成分和温度均恒定的流体，动量和质量守恒方程可以用状态方程进行补充，得到一个封闭的方程组。状态方程构成压力和密度之间的附加关系。对于气体，我们可以使用理想气体定律，将密度表示为给定温度下压力的函数。由此得到五个未知数（ 和 ）以及五个方程（动量方程的三个分量、连续性方程和状态方程）。

对于成分或温度有明显变化的流体流动，物质传递或传热的附加方程必须同这五个方程一起求解。

对于密度和黏度恒定的情况，我们可以进一步简化纳维-斯托克斯方程和连续性方程，得到以下速度和压力的四元方程组：

⁽³³⁾

这一不可压缩形式的纳维-斯托克斯方程和连续性方程的解可以描述各种流场，从可逆蠕动流到混沌湍流，复杂程度各不相同，按照费曼的说法，这是“经典物理学中最重要的未解问题。”

如果我们进一步忽略时间变化率和动量平流，可以得到蠕动流的斯托克斯方程。

如果忽略黏性力（非黏性流体模型）来简化纳维-斯托克斯方程，则可以得到欧拉方程：

⁽³⁴⁾

在后来更一般的欧拉方程定义中，方程（31）中完全可压缩流动（密度不恒定）的动量平衡与质量守恒方程（32）和能量守恒方程（38）相耦合。但是，传导项和黏性耗散通常忽略不计。

对于低压下的封闭气体，气体分子的平均自由程可以远大于建模系统的大小，在这种情况下，上面提到的连续介质假设不再有效。这种系统的模型基于气体动力学理论。自由分子流理论基于气体分子相互碰撞，以及与系统壁碰撞产生的速度分布，其中速度通过麦克斯韦-玻尔兹曼分布描述。在气压非常低的情况下，气体分子仅与系统壁发生碰撞。当系统中具有一定的气体分子浓度（压力）时，我们必须考虑粒子之间的碰撞。如果粒子碰撞和它们与系统壁的碰撞一样普遍，则速度函数必须包含这些碰撞。我们可以使用玻尔兹曼方程或玻尔兹曼 BGK 方程（玻尔兹曼方程的简化形式）为这一过渡区域的流体流动建模。当平均自由程小于等于系统大小的十分之一时，我们只需考虑壁面附近极薄层的稀薄效应：称为克努森层。这些模型称为滑移流模型。在连续流态下，我们可以使用纳维-斯托克斯方程。对克努森层的效应可以利用纳维-斯托克斯方程的特殊边界条件进行建模。

分子平均自由程与系统大小（l）的比值由克努森数（Kn = λ/l）给出。根据克努森数的值，可以分为四种流态：

• 连续流：Kn ≪ 0.01
• 滑移流：0.01 < Kn < 0.1
• 过渡流：0.1 < Kn < 10
• 自由分子流：Kn > 10

传热方程和能量方程

热力学第一定律将内能定义表述为：封闭系统的内能变化 ΔU 等于系统吸收的热量 Q 减去系统所做的功 W：

⁽³⁵⁾

如果系统可以运动，则方程（35）可以扩展为包含系统动能 ：

⁽³⁶⁾

⁽³⁷⁾

结果称为总内能守恒方程，（参考资料 4）。此方程中：

• ρ 是密度
• e 是单位质量内能
• v 是速度矢量
• v² 是速度大小的平方
• q 是传导热通量矢量
• σ 是总应力张量
• F 是单位质量的体力，如体积力

对于流体，我们仍可以代入动量方程 （31）和连续性方程（24），并将方程（37）简化为内能守恒方程：

⁽³⁸⁾

其中， 是压力， 是黏性应力张量（见方程（30））。

一种更方便的表示能量守恒的方式是根据温度重写方程（38）。温度可以通过测量得到，因此工程师们更习惯于使用温度，而不是内能。这可以通过使用以下热力学关系来实现：

⁽³⁹⁾

再次使用连续性方程并根据方程（6）插入傅里叶定律，执行一些代数操作后可得：

⁽⁴⁰⁾

上式右侧添加了最后一项 ，用于表示由反应或与辐射相互作用等产生的内热源。

方程（40）描述流体中的能量守恒。相应的固体的能量守恒方程可以根据热力学第一定律（方程（35））推导而来。结果写为

⁽⁴¹⁾

其中， 是热膨胀系数张量； 是应力张量的时间导数； 是应变率张量； 表示所有可能的非弹性应力（如黏性应力）。

项 称为热弹性阻尼，对应于方程（40）中的压力功 。项 表示黏性加热，是方程（40）中 项的固体表示。可以明显地看出，这些能量守恒方程的密切相似性源于这样一个事实：它们都描述相同的基本守恒原理。

传热方程在所有物理和工程领域有着广泛的应用。有时，热量是某个过程的目标产物，但在许多情况下，是过程的副产物，必须通过冷却进行消散。下图中，由反应热（燃烧）产生的气体膨胀将航天飞机推向太空。在上图中，显示了一个用于电子冷却的散热器，必须消除电子电路上的热量，才能使其正常工作。

发布日期：2019 年 3 月 21 日
上次修改日期：2019 年 3 月 21 日