流体流动、传热和传质质量传递

理解质量传递

质量传递描述的是质量从一个点到另一个点的迁移过程，是传递现象学科的主要分支之一。在多物理场系统中，质量传递既可以在单相中发生，也可以跨越相界在多相间进行。尽管固相材料之间也存在质量传递，但在绝大多数工程问题中，质量传递至少涉及一个流体相（气相或液相）。

在许多情况下，物质的质量传递往往伴随着化学反应。这意味着某种化学物质在一个体积单元中的通量不一定守恒，其原因是，这一单元中可能会产生或消耗该化学物质。化学反应是这种通量平衡的源或汇。

基于质量传递理论，我们可以计算某个系统中的质量通量，以及该系统中不同物质随时间和空间变化的质量分布情况（包括存在化学反应的情况）。执行计算的目的是为了理解这类系统，并寻求设计或控制的可能性。

质量传递的数学描述

质量传递的推动力F由系统的化学势 U 的梯度产生：

⁽¹⁾

化学成分的梯度通常是产生推动力的主要原因。相界上的传递推动力由这一相界上的物质与其平衡组成之间的偏差所产生。额外的推动力可能会产生漂移速度，例如由迁移、压力、重力和离心力所产生的力。

以下方程显示由于化学势和电场（迁移）¹的梯度产生的、作用于化学物质（每摩尔原子、离子或分子）的力。

⁽²⁾

在这些方程中，R表示气体常数，T是温度，a_i表示每种物质的活度，z_i表示某种物质的电荷数，F是法拉第常数，φ 是电势，它的负梯度是电场。这里的“活度”可以理解为系统化学势的热力学测量方式，能够使活度梯度与化学质量传递的推动力相一致。

我们可以做一个简单的化学假设：某种物质i的活度由其摩尔分数给定，用x_i表示。对于理想混合物来说，这一假设完全成立。

⁽³⁾

物质i所受的力通过该物质与混合物中的其他物质之间相互作用产生的摩擦力进行平衡。作用于 1 摩尔物质i上的摩擦力，同该物质i与混合物中的各种其他物质j之间的质量速度差、j的摩尔分数以及i与j之间的摩擦系数成正比。

⁽⁴⁾

在此方程中，ζ_ij表示物质i与j之间的摩擦系数，x_j是物质j的摩尔分数，u_R,i是物质i相对于整个混合物的质量平均速度的质量物质速度。请注意，在上述方程中，每种物质的质量速度都以混合物的质量平均速度为参考给出。使用混合速度作为参考时，与混合物具有相同速度（本例中即为不发生扩散或迁移）的物质的u_R,i值为 0。

如果我们此时将推动力设为与作用在物质 i 上的摩擦力完全平衡，即可得到以下方程：

⁽⁵⁾

摩尔通量定义为

⁽⁶⁾

其中，J_i是物质i相对于混合速度的通量矢量，c是混合物中所有物质的总浓度。引入 Maxwell-Stefan 扩散系数：

⁽⁷⁾

并使用摩尔通量来消除上述力平衡方程中的u_R,i和u_R,j，得到如下表达式：

⁽⁸⁾

这就是Maxwell-Stefan 方程，该方程构成了对混合物中化学物质的质量传递进行数学描述的基础²。例如，对这些方程进行简化，可以得到适用于稀释混合物的菲克第一扩散定律，以及用于扩散和迁移的 Nernst-Planck 方程。

物质i相对于固定坐标系的摩尔通量用N_i表示，可以通过添加由整个混合物速度产生的对流项得到：

⁽⁹⁾

得到的通量可用于溶液中每种物质的质量守恒方程：

⁽¹⁰⁾

通过包含对流项的所有质量通量的总和，可以得到混合物的连续性方程：

⁽¹¹⁾

上式中，由于单个化学反应的质量守恒，因此最后一项的值一定为零。通过将这些总和作为密度和质量通量密度，我们可以得到质量连续性方程：

⁽¹²⁾

通量中的对流项是由于整个溶液运动而对某种物质产生的通量贡献（见上图）。鉴于这一原因，对于溶液中的所有化学物质来说，对流通量都是沿溶液的速度流线进行的。请注意，如果将质量平均速度作为参考，则所有物质的质量通量相对于混合物的通量而言，其总和均为零。质量平均速度定义为：

⁽¹³⁾

其中，∂_i表示某一物质i的质量密度。这表明，一般情况下，每种物质的质量通量与混合物的总质量速度紧密耦合。在严格的定义中，通过制定并求解混合物中每种物质的动量守恒方程，可以得到该混合物的质量平均速度。

然而，此类公式所需的相互作用系数往往难以测量或进行计算。因此，人们通常会定义整个混合物的动量守恒方程。将低速（小于三分之一声速）混合物的动量守恒方程与质量守恒方程组合在一起，就能得到纳维-斯托克斯方程。通过求解纳维-斯托克斯方程，可以得到速度场（一种矢量场），而速度场也可以决定混合物中各种物质的对流通量方向。

下面举例说明了每种物质的质量传递与整个混合物的质量守恒之间的紧密耦合关系。空气中的氧气在催化剂表面被消耗，由此产生的液态水会从气体扩散电极的气相中除去。氧气的消耗导致该气体混合物（空气）获得净速度。此外，这一过程还形成氮浓度梯度，通过一个相反的扩散通量来完全平衡氮的对流通量。

由于对化学势中的陡峭梯度进行数值解析具有一定的难度，因此，人们通常使用差分方程代替微分方程，表示跨相界的质量传递。这种近似意味着，推动力中包含的梯度在虚拟边界层内被线性化（见下图）。该边界层的厚度可定义为线性浓度梯度（从相界浓度开始）所在的相界到本体浓度溶液的距离。从边界层的定义可以看出，不同物质的边界层厚度可能不同。

此类界面的质量传递系数k_m可定义为：扩散系数除以边界层厚度 δ：

⁽¹⁴⁾

边界层厚度与某个系统的标准长度之间的关系估计，可通过 Sherwood 数确定：

⁽¹⁵⁾

其中，L表示系统的标准长度，例如管半径和通道宽度。不过，如果要研究液体中一个气泡周围的质量传递，则L可以表示气泡半径。由于边界层的厚度取决于界面外的对流，Sherwood 数还可以给出此类界面的对流通量和扩散通量的测度。

对于上升的气泡来说，液气界面的边界层厚度为 100 μm（气相）和 10 μm（液相）的数量级。

Sherwood 数也可以定义为雷诺数和施密特数的函数。通过雷诺数可以估计流体中由惯性引起的动量传递与黏性的比值：

⁽¹⁶⁾

其中，μ 表示黏度，U表示平均速度。通过 Schmidt 数则可以估计流体中黏度与扩散系数之间的关系：

⁽¹⁷⁾

根据 Sherwood 数与雷诺数和施密特数之间的关系，即可估计质量传递系数。例如，对于沿平板的强制对流，可以使用以下表达式：

⁽¹⁸⁾

其中，f_loc表示沿平板的流动的局部摩擦系数。相关文献中以表格形式列出了不同几何形状的摩擦系数，这些系数也可以通过实验得到。上述关系中的所有材料属性和平均速度都很容易在文献中找到，也可以通过简单计算得到。在计算 Sherwood 数后，便能计算质量传递系数（包括边界层厚度），这一参数很难通过其他方法进行计算。但请注意，上述表达式仅适用于平板。

质量传递综述

在质量传递中，定义推动力是一件相对容易的事。这些力可以给出通量表达式，而这些表达式可用于质量守恒方程。在采用数值方法对这些方程进行离散，并对得到的数值模型方程进行求解后，所得结果可以给出系统中的浓度分布和通量，它们可以作为模型空间坐标和时间的函数。随后，您便能够在研究过程中利用浓度和通量的估算结果来理解、设计、优化和控制系统。

当方程难以离散和详细求解时，可以使用质量传递系数来粗略估计系统中的浓度和通量，得到精度略低于上述方法的结果。

发布日期：2015 年 1 月 14 日
上次修改日期：2017 年 2 月 22 日