新设计的演变

6 月 14 日，在慕尼黑举行的德国对阵苏格兰的比赛拉开了 2024 年欧洲杯足球赛的帷幕。阿迪达斯一如既往地为本届赛事提供了一款全新比赛用球 Adidas® Fussballliebe®，其面板设计与 2022 年卡塔尔世界杯官方用球 Adidas® Al Rihla® 相似。不过，新款足球面板上的棱脊和凹痕设计明显不同，这种设计风格也出现在美国职业足球大联盟比赛用球 Adidas® MLS 2024 和巴黎奥运会官方比赛用球 Adidas® Île-de-Foot 24 中。

Adidas® Fussballliebe® 具有非常独特的表面设计。 

在之前的系列博客中，我们对比过 Adidas® Telstar® 和 Nike® Ordem V 足球。此后，Adidas® Telstar® 足球的面板设计被广泛用于各种比赛用球中，包括Adidas® MLS Pro 2020、2020 年欧洲杯官方比赛用球Adidas ® Uniforia® Pro 和 2020 年东京奥运会官方比赛用球 Adidas® Conext® 21。

自 Adidas® Telstar® 诞生以来，阿迪达斯已经推出了多款比赛用球设计，包括 Adidas® Al Rihla® 和2023 年女足世界杯比赛中使用的 Adidas® Oceaunz。不过，与阿迪达斯近期的比赛用球设计相比，Fussballliebe 有了重大转变。因此，将 Adidas® Telstar® 与 Adidas® Fussballliebe® 进行对比，可以帮助我们了解足球最高水平比赛用球的演变，并且可以帮助预测Fussballliebe对 2024 年欧洲杯比赛结果的影响。

是否有球队拥有球权优势？

2024 年欧洲杯的八大夺冠热门球队排名如下：英格兰、法国、德国、葡萄牙、西班牙、意大利、荷兰和比利时队。虽然其中四支球队由耐克赞助，另外四支球队由阿迪达斯赞助，但他们都使用官方用球进行过训练和友谊赛。

八大夺冠热门球队，上排球队由阿迪达斯赞助，下排球队由耐克赞助。

有意思的是，欧洲足球联赛的八强球队与 2024 年欧洲杯排名前八的国家队不谋而合，但这些联赛都不使用 Adidas® 足球。不过，八强球队中的大部分球员都在冠军联赛中踢球，这些比赛使用的是 Adidas® Finale 足球，这款足球的设计与 Adidas® Fussballliebe® 有很大不同。八强球队中来自沙特职业联赛的球员，如西班牙队的艾默里克·拉波特（Aymeric Laporte）、葡萄牙队的克里斯蒂亚诺·罗纳尔多（Cristiano Ronaldo）和若昂·内维斯（João Neves），以及荷兰队的乔尔吉尼奥·维纳尔杜姆（Georginio Wijnaldum）可能会略胜一筹，因为他们习惯使用与 Adidas® Fussballliebe® 相似的 Adidas® Oceaunz足球（尽管凹痕设计不同）。

参加比赛时，熟悉比赛用球非常重要。例如，乌拉圭职业足球经理迭戈·弗兰（Diego Forlán）也曾经是一名球员，他在参加 2010 年南非世界杯之前，曾花了很长时间使用 Adidas® Jabulani® 球进行训练。弗兰是少数几个从比赛一开始就很好地掌握该球的球员之一，他还与托马斯·穆勒（Thomas Müller）、韦斯利·斯内德（Wesley Sneijder）和大卫·比利亚（David Villa）并列成为最佳射手（每个人都进了 5 个球）。

综合考虑这些因素，与参加 2024 年欧洲杯的球员总数相比，使用过阿迪达斯 Fussballliebe 的人数相对较少，但罗纳尔多（Ronaldo）的影响力不容小觑。因此，就比赛用球而言，2024 年欧洲杯比赛用球相对公平。

Adidas® Fussballliebe® 的复杂形状

下图显示了我们在模拟研究中使用的 Adidas® Telstar® 和 Adidas® Fussballliebe® 的几何形状。两只球的总缝合线长度都大约为 4.3 米，不过，后者的宏观表面结构更为复杂，包括棱脊、圆圈和凹痕。两只球都有微观表面纹理，但我们没有将微观表面纹理纳入三维 CAD 几何模型中。

Adidas® Telstar®（左）和 Adidas® Fussballliebe®（右）的几何形状。请注意 Adidas® Fussballliebe® 复杂的宏观表面结构。

从湍流边界层到层流边界层的过渡

我们在之前的文章中讨论过，像任意球这样高速飞行的球在离开球员脚后不久就会产生一个湍流边界层（除了前驻点周围的一小块区域）。湍流边界层在球体周围挤压，只有一个很小的尾流区，这使球能在低阻力下稳定飞行。当速度因阻力的作用而降低时，层流边界层向湍流边界层的过渡会向后移动，最终在球前方的层流边界层发生分离，进而在球后方产生更大的尾流，导致更大的阻力和更不稳定的飞行。如果这种情况发生在球高速旋转的情况下，则会观察到更强的马格努斯效应，从而产生如下轨迹：刚开始球的飞行轨迹可能是直线，但随着边界层分离从湍流过渡到层流，马格努斯效应会使飞行轨迹突然变弯。在1997 年巴西队与法国队的比赛中，罗伯托·卡洛斯（Roberto Carlos）踢出的令人难以置信的任意球就是这一效应的体现。

1997 年 Roberto Carlos 代表巴西队对阵法国队的精彩进球插画。

如果球没有自旋，那么直线轨迹之后就会出现非常难以预测的类似沙滩球的轨迹，球可能会向主轨迹两侧移动数十厘米（甚至数米）。此外，如果过渡发生在高速状态下，由于层流边界层分离产生高阻力系数，球的速度会急剧下降。对于守门员来说，最糟糕的情况就是边界层分离和减速，这会导致球在重力作用下轻微下落。出现这种情况时，看似高出横梁一米多的任意球或射门可能会在轨迹的最后部分突然落入球门。

从层流边界层分离过渡到湍流边界层分离所引起的阻力下降也被称为阻力危机。下图显示了不同球的阻力系数与球速的函数关系。

Adidas® Jabulani® 球（绿色线）、2008 年欧洲杯使用的 Adidas® Teamgeist® II 球（蓝色线）和传统 32 板球（如 1970 年墨西哥世界杯使用的第一款 Adidas® Telstar®）的速度与阻力系数的函数关系示意图。

模型对比：Adidas® Telstar® 与 Adidas® Fussballliebe®

研究中，我们采用了大涡模拟 (LES) 方法和雷诺平均纳维-斯托克斯 (RANS) 方法（使用 k-ε 湍流模型）来分析和比较 Adidas® Telstar® 和 Adidas® Fussballliebe®。

第一种方法，我们采用大涡模拟方法来估算两个球在不同速度下运动的阻力系数。大涡模拟方法能够模拟边界层中层流与湍流之间的过渡，预测两个球的宏观图案、接缝以及 Adidas® Fussballliebe® 上大的棱脊、凹槽和凹痕所造成的阻力危机的相对位置。由于我们的模型几何不包括微观表面纹理，因此无法使用大涡模拟方法计算其对阻力的影响。(请注意，大涡模拟方法不包括表面粗糙度参数）。

使用大涡模拟方法计算 Adidas® Fussballliebe® 的边界层网格。

为了模拟球的微观表面纹理的影响，我们在 k-ε 湍流模型中引入了表面粗糙度参数。但是，该模型假定边界层是湍流的，因此无法预测层流边界层和湍流边界层之间的过渡。k-ε 湍流模型能够预测表面粗糙度的影响，因此可以将其与大涡模拟方法得出的阻力系数进行比较。

仿真结果

下图显示了采用大涡模拟方法计算的 Adidas® Telstar® 和 Adidas® Fussballliebe® 周围的速度场。两个球均以 20 m/s 的速度飞行，远高于阻力危机发生的速度。可以看到，尾流区域较小，因此阻力系数较低，但 Adidas® Fussballliebe® 的尾流区域稍大一些。此外，虽然 Adidas® Fussballliebe® 的尾流似乎更稳定，但两只球后面的分离线相似。动画显示了 Adidas® Telstar® 的边界层分离情况。

带有速度矢量大小的速度场图，以及显示 Adidas® Telstar® 和 Adidas® Fussballliebe® 周围流动路径的流线图。

动画显示了采用大涡模拟方法计算的 Adidas® Telstar® 上边界层的分离情况。

​动画显示了采用大涡模拟方法计算的 Adidas®Fussballliebe® 上边界层的分离情况。

当以 20 m/s 的速度飞行时，Adidas® Telstar® 的阻力系数为 0.18，Adidas® Fussballliebe® 的阻力系数为 0.19，这两个数值均由大涡模拟计算得出。这在意料之中，因为 Adidas® Fussballliebe® 具有复杂的宏观表面结构，可能会加剧边界层的转变。

应用 k-ε 湍流模型，并假设表面粗糙度系数为 0.1 mm（等效沙粒粗糙度），来比较这两种球的阻力系数。从下图可以看出，Adidas® Fussballliebe® 的阻力系数（0.21）略高于 Adidas® Telstar®（0.20）。此外，k-ε 湍流模型预测的边界层分离位置与大涡模拟结果大致相同。这也是意料之中的，因为这已经远远超出了阻力危机点，大涡模拟模型中存在湍流边界层，而 k-ε 湍流模型则假定球表面所有位置都存在湍流边界层。此外，与大涡模拟结果相比，k-ε 湍流模型预测的球后面的尾流区域略长。

使用 k-ε 湍流模型计算的速度场图，速度矢量和流线的大小显示了 Adidas® Telstar® 球（左）和 Adidas® Fussballliebe® 球（右）周围的流动路径（Adidas® Telstar® 球的某个瞬时 ）。

Adidas® Telstar® 的阻力系数与球速的函数关系表明，其阻力危机出现的时间比传统的 32 面板的球稍晚，但比 Adidas® Teamgeist® II 早。也就是说，它比 Adidas® Jabulani® 和 Adidas® Teamgeist® II 更稳定。Adidas Fussballliebe® 预计比 Adidas® Telstar® 更加稳定，因为其阻力危机出现时间预计仅比传统 32 面板的球稍微晚一点。

下图显示了使用 k-ε 湍流模型模拟 Adidas® Fussballliebe® 和使用大涡模拟计算 Adidas® Telstar® 得出的阻力系数与球速的函数关系。使用 k-ε 湍流模型不会产生阻力危机状态，因为该模型假定在所有速度下都存在湍流边界层。然而，从 Adidas® Fussballliebe® 的初步大涡模拟（LES）来看，预计阻力危机将在较低的速度下发生，这将导致球体在层流边界层分离减缓其速度之前，会在更长的速度范围内保持其速度。高速时阻力系数较高的部分原因是表面粗糙度，但即使考虑到两种球的粗糙度，Adidas® Fussballliebe® 的阻力系数似乎也略高于 Adidas® Telstar®。

分别使用大涡模拟和 k-ε 湍流模型计算的 Adidas® Telstar®（蓝色线）和 Adidas® Fussballliebe®（绿色线）阻力系数与球速的函数关系。

球体材料

Adidas® Telstar® 的一个突出特性是它的弹性。在标准气压下，这款足球的弹性较其前代产品更为出色，也就是说当足球被踢出时，球的移动速度会更快，以热量形式散失的能量更少。Adidas® Fussballliebe® 的弹性更为显著（尽管这一差异只是踢球时的个人主观感觉）。

总之，我们应该期待一些精彩的进球，包括像罗伯托·卡洛斯那样经典的 35 米以外的精彩进球！Ronaldo 的任意球也值得期待，他对 Adidas® Fussballliebe® 的掌握可能比本届比赛的其他大多数球员都要好。

敬请期待

对 Adidas® Telstar® 和 Adidas® Fussballliebe® 的完整研究应包括 CAD 模型中的表面纹理（表面微观结构），这或许会被用于大涡模拟中计算阻力系数与球速函数的精确曲线。此外，还应模拟球的不同部位迎风飞行的情况，以获得阻力系数的自然变化。但目前我们只做了一两天的研究，因为这纯粹为了好玩和满足我们的好奇心。

请保持关注，在完成这项研究所有必要的分析和计算后，我们将公布 Adidas® Fussballliebe® 阻力系数与球速的函数关系以及更多结果！

编者注：本博客更新于 2024 年 6 月 18 日，文中显示为最新结果。

扩展阅读

• 点击下方链接，阅读有关足球空气动力学的其他博客：
  • 马格努斯效应和世界杯 比赛用球
  • 计算足球的终端速度和阻力系数与 FIFA 世界杯 赛果预测
  • 选择不同的训练用球会影响 FIFA 世界杯的比赛结果吗？

Adidas、Al Rihla 和 Fussballliebe 是 adidas AG 的注册商标。Jabulani、Teamgeist 和 Telstar 是 adidas International Marketing B.V. 的注册商标。

Nike 是耐克公司的注册商标。

FIFA World Cup 是国际足球协会联合会的注册商标。

COMSOL AB 及其子公司和产品与上述任何商标所有者均无关联、未得到其认可、未得到其赞助或支持。

腐蚀过程简介

电偶腐蚀是由对电子具有不同亲和力的两种金属的电子和离子接触引发的。如果将两种这样的金属与同一种电解质接触，会在固液界面形成双电层。这两种金属在双电层上的电压是不同的。这导致电子从较不贵重（注：化学性质较活泼）的金属传导到较贵重的金属，如图 1 所示。

在贵金属表面，这些电子可能参与电荷转移反应，其中在贵金属上发生净还原反应（阴极反应）；在较不贵的金属上，电子被带走，并且这种电荷转移反应可能导致较不贵的金属在净阳极反应中溶解。

图1 电偶腐蚀示意图。

当图 1 中的反应进行一段时间后，较不贵重的金属(在这种情况下是铁)可能已经在较贵重金属的接触面附近溶解，如下图2所示。

图2. 一段时间后，电偶腐蚀可能溶解了靠近铜接触区域的部分铁金属。

现在我们可以观察单个金属表面的一滴水，见图3。微观结构可能具有不同金相，这些区域的电子亲和力可能略有不同。这意味着，例如，阴极反应可能发生在金属微晶区域，而阳极反应可能发生在晶间区域。

图3. 金属表面的区域可能由晶体和晶间区组成。

在图2 中，可能会在铁离子释放的表面附近形成氢氧化铁。这是铁生锈的一部分原因。在图3 中，由于晶间区分布均匀，所以整个表面都可能会生锈。这通常被称为全面腐蚀。

现在我们来看看图4，假设图3 中的反应正在继续。相比与氧扩散长度较小的边缘，氧在液滴中间向微晶表面的传输距离更长。液滴中间金属表面的氧气已耗尽，这使得该区域的电位相较于液滴边缘的区域有所降低。当电位被降低到铁的钝化电位以下，就可能会使氧化铁的保护层不稳定。最终，由于缺氧，表面中间的微晶可能充当净阳极。这导致液滴中间的铁溶解逐渐形成腐蚀坑。产生的铁离子还会与水发生反应，形成质子，从而降低坑内的 pH 值。pH 值降低会导致更快的腐蚀速率。这个过程在被第一次解释和重现之后被称为Evans drop实验（参考文献1)。

图4. Evans drop 实验。腐蚀坑坑的形成还会导致凹坑中的 pH 值降低，从而进一步加速阳极反应。

腐蚀坑的诱发也可以通过其他机制发生。例如，金属表面的机械压痕或杂质可能会削弱局部铁表面氧化层的保护作用。尤其是不锈钢表面具有一层保护性氧化层，可能会受到机械或化学损坏。

模拟点蚀

本文中模拟的模型从已经形成的腐蚀坑开始。我们还假设在建模域之外有一个非常大的区域，这提供了一个稳定的混合电势，在更大程度上不受局部电流的影响。同时提供了远离腐蚀坑的恒定电解质电势。

建模过程中所考虑的反应是：

• 铁在阳极极化表面溶解：
• 电解液中的沉积反应：
• 电解液中水的电离：

模拟的化学物质如下：

假设水的电离处于平衡状态，可以消除氢氧根离子的浓度。其他离子，在这种情况下是质子，可以用电中性条件消除。在 COMSOL Multiphysics® 软件中可以通过在 三次电流分布，Nernst-Planck 接口选择水基电中性 选项自动处理这两种消除。请注意，所有离子的传输方程都包含在电解质电流密度表达式中的电流守恒。最后一个因变量是电解质电位。

对于初始状态，我们假设沉积反应在凹坑内部产生了沉积物，因此可以将凹坑视为多孔结构，其中电解质填充在孔隙中。这是一个合理的假设，因为沉积物很可能是由曾经位于腐蚀坑所在位置的金属形成的。此外，我们还假设模型域为轴对称，如图5 所示。

图5. 模型域的几何形状和边界。

金属溶解反应被定义在上图5 中所示的“Fe 电极表面”边界。假定阳极反应速率与质子浓度成正比。这适用于存在氯化物的酸性条件（参考文献2）。使用移动网格将铁溶解反应与边界位移耦合。

如上所述，我们没有模拟氧还原反应。相反，我们在远离凹坑的水平位置设置了一个恒定的电解质电位，我们称之为“整体电解质边界”。在此边界处，我们还设置了钠离子、氯离子和铁离子浓度。

在电解质领域，包括腐蚀坑，我们假设水的电离和氢氧化铁反应都发生。请注意，由于氢氧根在 Fe(OH)₂(s) 的产生中被消耗，这也会导致 pH 值降低，这在前面的图4 中已经提到。

物质的初始浓度和初始电解质电位是通过求解初始几何形状来计算的，假设该过程处于准稳态。这意味着，对于一个固定几何图形，使用稳态求解器在上述边界条件下求解。这个结果是在 t=0 时物质的成分分布和电解质电位分布。该解是瞬态研究的初始条件。

结果

初始准稳态似乎是一个合理的假设，因为电解质成分和电位的变化在开始时相对较慢，约 0 ~1 天。

下图 6 显示了腐蚀坑在 30 天内的增长情况。凹坑内电解液电位梯度大。腐蚀坑内的电解质电位在 0.43mV 和 16.5mv 之间变化，而在 30 天后，腐蚀坑外的电势从 0mV 变化到 0.43mV。请注意，坑中的传质较慢，，我们假设与外部电解质相比多孔介质的有效传输效率较低。在整个模型计算时段内观察到相同的定性电位分布，观察到腐蚀坑的底部比坑口生长得更快。这导致坑口处电流的路径相对较窄，从而导致坑口中电解质电位的梯度更大。请注意，我们确实在平坦表面上受到了一些腐蚀。30 天之后，表面的位移约为 0.35 微米，而同样的坑底位移为 1.45μm。

图6. 坑底比坑口长得快。这导致靠近坑口的电解质电位梯度更大。

​

图7 显示了腐蚀过程中 pH 值的变化。1 天后坑底 pH 值为 9.48，30 天后为 9.14。这可能看起来不是一个很大的变化，但它对应的 30 天后质子浓度比 1 天后高 2.2 倍。腐蚀过程的速率常数与质子浓度成正比，这也意味着腐蚀速率相应加快。

图7. 不同时间腐蚀坑内的 pH 值。

图8 显示的腐蚀速率是以四倍 μm/天绘制的。坑底部的最大腐蚀速率在 30 天后比 1天后的腐蚀速率高 2.3。这与质子浓度在 30 天后比 1 天高 2.2 一致。

图8. 不同时间金属表面的腐蚀速率。

钠离子的浓度分布与铁离子的分布相反。原因是电中性条件。当铁离子被推入电解质时，钠离子被推出坑外。与钠离子相反，氯离子被推入坑中以保持电中性（未显示）。

图9. 不同时间的钠离子浓度。

这个模型清楚地显示了点蚀的“恶性循环”特点。这个过程随着时间的推移而加速，直到凹坑足够深，从而使欧姆损失和腐蚀产物成为限制。

结束语

这个模型的一个简单可能的扩展是考虑沉淀腐蚀产物的物料平衡。这些产物的密度比铁金属低，因此会在腐蚀凹坑中形成，但也会被推到凹坑外。这可以通过引入孔隙率将其作为因变量建模，其中氧化物的传输可以用层流描述。

这个模型的另一个自然扩展是考虑完整的液滴几何形状，以包括氧扩散和氧还原。

这个模型的第三个扩展将包括更详细的化学过程，例如，通过包括更多的铁离子、更多可能的氧化还原反应以及金属表面的更多铁氧化物和氢氧化物。当然，我们也可以使用现有的模型，尽管建模过程相对简单，但它非常先进。

下一步

• 查看腐蚀模块,了解更多专用特征和功能。
• 下载相关教学模型,尝试自己模拟点蚀。

参考文献

1. U.R. Evans, “Corrosion and Oxidation of Metals”, Amolds, p. 118., 1960.
2. H.C. Kuo and K. Nobe, “Electrodissolution Kinetics of Iron in Chloride Solutions”, J. of Electrochem. Soc, vol. 125, no.6, 1978.

汽车的空气动力学是高速振动设计一个重要部分。建模和仿真可以准确地评估汽车周围的流场和压力场。流动产生的波动压力可看作结构分析中的表面载荷。在这种情况下，评估高速流动的空气产生的力很重要，不仅要考虑大小，还要考虑频率。

这篇博客，我们将研究如何使用大涡模拟(LES)模型预测高速气流在跑车侧车门和后视镜上产生的瞬态力，然后将这些力用作结构分析中的载荷。

为什么要预测跑车而不是普通汽车？因为这样更有趣！我可能永远不会拥有一辆超级跑车，但模拟一辆超级跑车可能会让我获得一段时间的满足感……

兰博基尼 Miura® 被认为是第一款超级跑车，它生产于1966—1973 年。图片中这辆兰博基尼是 1967 P400 模型。在右侧背景中，可以看到 1972 年发布的另一款经典超级跑车 Ferrari® 512 BB 的尾部。左侧背景是带经典翼式后窗的 De Tomaso Mangusta® 的尾部，它也是 1967 年发布的。 图片来自 joergens.mi 的作品，通过 Wikimedia Commons 共享，获 CC BY-SA 3.0 许可。

编者按:兰博基尼和 Miura 是Automibili Lamborghini S.p.A.的注册商标，Tomaso Mangusta 是 De Tomaso Automobili 公司的注册商标。Ferrari 是Ferrari S.P.A.的注册商标。本文与这些商标的所有者不存在任何赞助、支持、从属关系或其他联系。

大涡模拟模型

大涡模拟（LES）模型的优势在于，它能准确预估流体流动随时间的波动情况，也就是说它可以预测随时间变化的车身表面所受的力。我们将把随时间波动的力作为车门和后视镜结构分析中的载荷，然后通过快速傅里叶变换将这些载荷转换到频域中。通过观察由这些载荷激发的特征模态，来评估车门和后视镜的振动风险。

车门和后视镜周围的流场取决于汽车的几何形状。为了获得准确的流场，我们需要模拟整个汽车。另外，在不考虑计算成本的情况下，整车模拟会更有趣。

流体流动分析有些复杂，因为需要为 LES 模型寻找合适的初始条件。这包括求解势流的拉普拉斯方程，将势流的解作为雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟的初始条件，然后再将RANS 模拟的结果作为LES 模型的初始条件。执行第一步是为了减少 RANS 仿真的迭代次数。在这种情况下，我们不想定义单独的RANS 接口和 LES 接口，因为这会重复自由度的数量。相反，我们将 RANS 接口的属性更改为 LES。虽然这不是在 COMSOL Multiphysics^® 软件中设置模型最简洁的方式，但却是计算成本最低的方式。下图显示了流体流动模型的模型树。

流体流动问题的模型树。

汽车周围空气域的边界框必须足够大，这样才可以了解边界上的流动或压力分布，从而定义边界条件。反过来这又可以确定网格的形状。我们需要在汽车周围设置边界层，同时还必须允许汽车周围外部域单元的增长，以减小问题的规模。划分的网格如下图所示。

空气域中的网格，汽车周围的网格被放大。在汽车表面，将自动创建边界层网格。

下图显示了汽车尾部的空气流动。可以看到流动轨迹一直延伸到汽车尾部很远的地方。必须在这条尾迹路径变得更平滑处设置汽车尾部的边界条件，因此汽车尾部的空气域很长。

以 180 km/h 速度行驶的汽车尾部的流场扰动会到达汽车尾部很远的地方，因此需要设置很长的空气区域。

后视镜周围、车门上半部和侧窗区域受到流动的影响相对最大。下图显示了来自前方和后方的气流，并放大了侧门周围的区域。该模型计算出这辆轿车的阻力系数为 0.19，这个值相对较低，但符合实际情况。

汽车周围的流场和侧门附近的放大图。

使用单向流-固耦合研究进行结构分析

我们可以使用流动产生的力在时域中运行第一个初始测试示例。这不仅可以掌握后视镜上预期的变形，还可以生成一些酷炫的动画。通过下方视频，可以看到流动如何使后视镜变形。出于可视化的目的，我们将变形放大了 50 倍。

流动引起的后视镜振动。请注意，这里的变形被放大了 50 倍，否则无法看到后视镜如何振动。

在时域分析中，假设初始条件为零。此外，由于载荷的随机特性，必须在很长的模拟时间内进行良好的时域分析，才能得到可靠的结果。因此我们需要使用更复杂的方法。

下一步是在频域中定义一个结构模型，以便观察车门上不同细节是如何振动的。我们可以首先使用快速傅立叶变换将流动引起的波动力从时域转移到频域。这个示例中，我们使用的流动模拟时间范围为 0.7 s。从 0.6 s 到 0.7 s 的最后 0.1 s 区间显示流动已经趋于稳定。这是在以 180 km/h 的速度行驶 35 m 之后达到的状态，相当于8个车身长度。由于采样间隔是 0.1 s，因此频域的分辨率为 10Hz。我们可以使用更长的采样间隔来提高频率分辨率。侧窗的总力在 90 Hz 和 160 Hz 处出现峰值。后视镜在 50 Hz 时出现一个主要峰值，在 70-90 Hz 频段保持平稳。如果频谱中的峰值与结构的重要固有频率一致，可能会因为共振而增大风险。

在这幅图中，可以看到侧窗和后视镜上的总力随频率的变化。请注意，不包括平均流动产生的静载荷。

下图的模型树显示了将波动的力转换到频域并运行结构分析，以查看响应。

用于频域结构分析的模型树。研究 4 将风荷载从时域转换到频域。研究 5 使用风载荷产生的激励运行频域研究。在最后一个研究步骤中，将解转换回时域。

将流体中的应力转换到频域后，就可以将其作为载荷施加在侧门和后视镜上。在此分析中，我们可以使用侧门的完整几何结构，但不必考虑汽车的其余结构。下图显示了一个频率为 90 Hz 的激励模式。可以看到，侧窗在车边缘外出现节点振动，而车门的上半部分在侧门防撞梁和门框上出现节点振动。这种模式可能很难完全抑制，因此可能会听到这个频率的风声。

90 Hz下气流载荷产生的响应。整个侧窗和侧门的大部分表面几乎为均匀振动。

另一个有趣的模式出现在 50 Hz。在这个频率下，车门的内部结构和后视镜都对外表面的流动载荷产生响应而振动。但是，我们希望连接在金属表面的装饰板可以帮助抑制内部结构的振动。

50Hz下产生的响应表明，侧门的内部金属结构和后视镜都在振动。这种振动可能会被连接到表面的装饰板所抑制。

最严重的振动噪声发生在打开车窗时，此时车窗的上边缘不受约束，特征模态显示整个侧窗都会摆动。侧窗上边缘的振动频率发生在20 Hz。

20 Hz下产生的响应引起侧窗后上角振动。

对跑车模型风载的扩展

本文模拟的车身有几处简化。例如，假设车身的不同部分被完美低组装在一起，不同车身面板件之间没有间隙或错位。实际上，真正的超级跑车的车身面板和车门之间有大约 1 毫米的微小间隙。这些间隙可能会引起一些额外的湍流。另一个简化是假设CFD 模型中的车轮不旋转，但实际车轮的旋转也会引起湍流。结构分析假设车门被固定在车架上，没有位移。但汽车车架也会振动，这主要是由于路面不平整会通过传动系统和汽车悬架传递到车架上，然后再传递到车门。
虽然我们进行了简化，但这个模型仍然非常复杂，可以很好地作为更精准模型的起点。对该模型进行扩展，可以包括前挡风玻璃和后窗，并对车窗的振动进行完整分析，因为车窗是噪声的主要来源。此外，可以将流-固耦合研究计算出的振动作为车厢声学研究的边界条件，包括车门饰板、座椅、地毯和仪表等车厢的详细几何结构。不过，这将是下一篇博客的主题了，敬请期待！

下一步

你想亲自动手尝试模拟汽车后视镜和侧车门的大涡模拟（LES）研究吗？请单击下方按钮，访问模型文件。

新冠肺炎是如何检测的？

当人体感染新型冠状病毒 SARS-CoV-2 后，免疫系统会迅速形成抗体。树突状细胞可能呈现病毒抗原，以便被 T 细胞识别。T 细胞可以激活 B 细胞，分泌靶向抗原的抗体(参考文献1)。首先形成的是 IgM 抗体。这些抗体一旦靠近就会附着在病毒颗粒的抗原表面。例如，就冠状病毒而言，这些抗原可以是病毒表面的刺突蛋白(S 抗原)。一旦附着在抗原上，抗体就会阻断病毒的刺突蛋白，阻止它们附着并感染人类细胞。这样就可以中和病毒，因为它不能在受感染的细胞外复制。有许多不同的抗体可以靶向不同的抗原。需要注意的是，人体还有其他对抗感染的机制。此外，识别病毒的T细胞也可能直靶向受感染的细胞。它们可以指示细胞进行自我毁灭，或者杀死被感染的细胞，从而中和病毒。

由免疫系统制造的 IgM 抗体附着在例如新型冠状病毒颗粒的刺突抗原(S 抗原)上，从而中和病毒颗粒。被中和的病毒颗粒不能进入人体细胞，因此不能进行自我复制，最终被破坏。

IgM 抗体五个一组形成小颗粒(或大分子)在人体内巡视，附着在他们遇到的每一个病毒颗粒上。在感染的后期，免疫系统还会形成其他抗体，例如 IgG，它们会自动巡视身体，并附着在能看到的每一个病毒颗粒上。IgG 抗体需要更长的时间才能被身体制造出来，但是它们持续时间也更长，并且只要存在 IgG 抗体就可以产生免疫力。

新冠肺炎的一些LFA快速检测是基于 IgM 和IgG 抗体的检测。这些就是本篇博文建立的模型所研究的测试。

样本中含有因感染新冠肺炎而产生的人类抗体 IgM 和 IgG。动物抗体也与缓冲溶液一起被加入样本液体中。在三个不同区域的测试线上固定了抗体检测试剂。请注意，图中测试线尚不可见。

在检测时，可以将患者的血液(或唾液)施加到样品孔上，然后在样品孔中滴入几滴缓冲液，来应用缓冲液。

样品在毛细管力的作用下被输送到连接板上。在这里，IgM 和 IgG 抗体与标记物形成络合物。络合标记物可能是一个表面上具有新型冠状病毒抗原的纳米金颗粒。之后形成两种不同的络合物:

1. IgM 的络合物（IgM-C）
2. IgG 的络合物（IgG-C）

这些络合物在样品溶液中溶解。

IgM 和 IgG 抗体通过附着在颗粒表面的 SARS-CoV-2 抗原被吸附到纳米金颗粒（络合物标记）上。此外，动物病毒抗体会吸附各自的纳米金颗粒。抗体和颗粒的络合物溶解在流动液中，并与样品溶液一起被运送到膜上。请注意，此时测试线仍不可见。

此外，可能还有第二个与来自动物病毒的抗原结合的纳米金颗粒。这些络合标记物可以附着到缓冲溶液提供的参考动物抗体上。动物抗体和络合标记物(AA-C)的络合物也溶解在样品液体中，并用于随后的对照线检测。

样品随后在毛细管作用力下被输送到膜上。在第一条测试线中， IgM 检测试剂在膜的制造过程中被固定在膜表面。这些 IgM 检测试剂会捕获 IgM-C 络合物，并使这些络合物固定在该测试线的区。纳米金颗粒发生聚集并将测试线染成红色，显示测试线上络合物的存在。

抗体-抗原-纳米金颗粒络合物附着在各自的抗体检测试剂上，抗体检测试剂位于测试线的位置。一旦络合物被固定在测试线表面，由于表面上存在纳米金颗粒，测试线颜色就会出现。

同样，在第二条测试线上，IgG-C 络合物与固定的IgG检测试剂发生反应。一旦 IgG-C 络合物附着到 IgG 检测试剂上，由于纳米金颗粒的存在，第二条测试线的颜色会变为红色。

然后，当对照测试线遇到氨基酸-碳络合物（AA-C complex）时，通过附着在对照测试线区域膜上的动物抗体检测试剂，以类似的方式进行反应。对照测试线的颜色显示样本已经通过膜区，包括IgM和IgG检测区。如果对照测试线没有着色，那么该测试应该被视为无效，因为样本没有以预期的方式通过膜。

液体溶液继续流向吸收板(芯板)。吸收板的孔体积决定了可以流过测试条的样品体积。一旦吸收路径满了，测试条中的液体流动就停止了。重新开始流动的唯一可能是蒸发吸收板中的一些样品液。

使用 COMSOL Multiphysics^® 建立的快速检测的3种模型

本文作者使用 COMSOL 建立了 3 个模型用于研究 LFA 快速检测。

首先，使用一个完整的 3D 模型，以确定样品液体是否均匀分布在测试条中，并研究采样孔位置的影响。此外，可以使用 3D 模型研究吸收板的吸收能力，以得到穿过测试条的流量。

蓝色阴影横截面显示了 3D 几何图形中的 2D 建模平面。沿宽度方向的对称偏差仅出现在样品板中，其中，样品板中的样品孔没有布满测试条的整个宽度。

很快我们发现，一旦样品溶液通过样品板，样品液流动会迅速形成一个平坦的速度曲线。这意味着它沿着测试条的宽度均匀流动，也就意味着 2D 模型足以理解快速检测装置的挑战和功能，只要样品板能够均匀地分配流体。因此，我们使用 2D 模型来研究测试条中的传输和反应。2D 模型允许我们沿着测试条的长度和厚度使用更高分辨率的网格。

这些模型结合使用了 COMSOL Multiphysics 中用于多孔介质流动的理查兹方程 接口和稀物质传递 接口(参考文献2)。形成 IgM-C、IgG-C 和抗 AA-C 络合物的反应由 化学 接口定义。此外，测试线上的表面反应也由化学 接口定义。对于 2D 模型，我们使用了两种不同的方法:

1. 假设络合物在测试线上的吸附仅发生在膜表面
2. 假设检测中的吸附过程发生在测试线位置下方的整个膜厚度上

含 2D 模型组件和 理查德方程模型的模型树，化学、稀物质传递，表面反应接口，和 反应工程接口。生成空间相关模型节点将传输和化学接口添加到已经存在的 2D 模型组件的理查德方程接口。

IgM 反应路径的模型树如上图所示。化学，稀物质传递 和表面反应 接口都均是由反应工程 接口建立的，其中使用了生成空间相关模型 功能。

连接板中的化学反应定义如下:

1. 连接板中纳米金颗粒上的 IgM 和 SARS Co-2 抗原之间的反应定义为:

IgM +SCoAu(ads) => IgMC

1. • 术语(ads)用于表示抗原和纳米粒子被吸附在连接板的孔结构中，并被 IgM 吸附以形成 IgMC 络合物，IgMC 络合物溶解在溶液中。
2. 可以得到IgG抗体的类似反应: IgG + SCoAu(ads) => IgGC
3. 动物抗体与动物抗原在纳米金颗粒上的反应可定义为: AA + AAu(ads) => AAC

因此，IgMC、IgC 和 AAC 是共轭抗体络合物。

测试线中的反应如下:

1. 在第一条测试线上: IgMC + IgMd(ads) => IgMPos(ads)
   • 上式说明了IgMC络合物与吸附的IgMd检测蛋白反应，形成吸附的IgMPos表面络合物。IgMPo络合物可以使第一条测试线变色。
2. 类似于上面的4条，在第二个测试线中，有: IgGC + IgGd(ads) => IgGPos(ads)
   • 吸附的 IgPos 络合物使第二条测试线呈现红色。
3. 在第三个测试线中，有: AAC + AAd(ads) => AAPos(ads)
   • 吸附的物质 AAPos 使参考测试线呈现红色。

模型结果

下图显示了测试条在四个不同时间的流动曲线。我们可以看到，最初，样本前端沿着测试条的中部进一步延伸到测试条中，形成一个略微呈抛物线的曲线。抛物线曲线是由于样品孔处于测试条的中间位置。然而，5 秒钟后，当样品溶液流动已经达到连接板的三分之一时，流动曲线是平坦的(见上一篇博文中的最后一个图)。

样本在 3 秒钟后已经到达第一个结合区域。在这里，我们仍然可以注意到样品孔的位置对样品液延伸的影响，因为它不是平坦的，而是在中间显示出最大的延伸。21 秒后，当样本液到达第一个测试线区域时，速度曲线是一条直线。65 秒后，样本液流到达参考测试线，100 秒后到达吸收板。

由上图我们还可以看到，样品液沿着垂直于通道中间测试条的平面是对称的。这意味着我们只需要求解一半的装置就可以解决这个问题。尽管这是一个对称问题，但对整个装置进行建模是一个很好的方法，可以检查网格是否足够密集，以得出关于流动曲线的任何结论。流动曲线是对称的表明这里的网格可能足够密集。

下面，我们来看看第一条测试线位置处样品的流速图，见下图。我们可以看到，在样品被施加到样品孔后大约 20 秒开始流动，流动在 275 秒左右停止。这与吸收板充满液体样品的时间一致。

同样有趣的是，流速随着时间的推移几乎呈指数衰减。这是因为驱动流动的毛细管力仅作用在样品溶液与空气相遇的孔隙表面(液体前沿的三相边界区域)。这意味着毛细管力是恒定的，只要有自由孔隙体积，都可以用样品溶液填充。然而，随着样品溶液体进一步进入测试条，流动阻力增加。与流动样品液体接触的孔壁面积随时间增加，因此孔壁和流动溶液之间的摩擦面积也会增加。

3D 模型(蓝色)和 2D 模型(绿色)第一条测试线位置处的样品流速。这两条曲线非常吻合。3D 模型显示大约 2 秒钟的延迟，这可能是因为样品最初必须沿着宽度流动。在 2D 模型中，样品立即沿宽度均匀分布。

下图显示了不同时步下 IgMC 络合物的浓度。我们可以看到，IgMC 络合物随着流体流动，直到到达第一条测试线的区域。在这里，它与 IgM 检测物质反应后被消耗，形成有色检测线。IgMC 浓度场显示，样品溶液到达测试线后，形成浓度边界层。随着时间的推移，测试线后的浓度耗尽流体继续流动，但测试线周围区域几乎达到稳定状态。然而，一旦流动停止，当吸收板被样品液充满饱和时，则在测试线以下形成更厚的遍及整个膜的耗尽区。以类似的方式，连接线下方的区域也被 IgMC 络合物充满。

连接板和膜中IgMC的浓度场是时间的函数。时间分别为 21 秒(上)、65 秒、260 秒和 410 秒(下)之后。410 秒后，测试条中不再有任何流体。我们在连接板中得到一个高 IgMC 浓度的区域，在 IgM 测试线以下得到一个低 IgMC 浓度的区域。

如果在测试线的表面绘制检测物质的粒子浓度图，流量的影响是明显的。当流量到达相应的测试线时，粒子浓度开始增加。随着 IgMC 被吸附在测试线区域并形成检测 IgMPos 物质，浓度几乎是线性增长的。线性增长意味着恒定的吸附速率。当流动停止时，由于吸收板饱和，IgMPos 继续以大致相同的速率形成。这意味着，在这种情况下，IgMPos 的形成由吸附动力学决定，即由 IgMC 中的纳米金粒子对吸附位点的吸附速率决定。如果它是由质量运输控制的，我们会看到曲线斜率的变化，当流动停止时，增长会减慢。如果改变吸附动力学的速率常数，曲线斜率当然也会改变。测试线的可见度大约从每平方毫米 1·10⁸ 个粒子开始。

在各自的测试线表面的 IgMPos, IgGPos,和 AAPos 浓度是时间的函数。IgMPos 和 IgGPos 竞争同一个络合物标记，因此 AAPos 生长稍快。

因此，如果三条测试线的动力学相似，我们会看到第一、第二和第三条(对照)测试线的显示延迟。此外，每条测试线将在面向流动的边缘开始着色，测试线的尾部会稍晚显示。

如果我们将动力学调整为均相流动，均相模型显示出类似的结果。然而，此时的传输要快得多，因为反应位点遍布在连接板的整个厚度，测试线则横跨膜的厚度。反应物不必被运输到测试条的表面。这是一个更复杂的过程，其中动力学和质量传输都限制了测试线的显示。下图显示了对应于上述非均相流动的 IgMC 浓度。

当共轭区包含整个厚度的共轭标记，并且测试线存在于整个膜的厚度时，IgMC 的浓度。其结果与非均相情况类似。

下图揭示了测试线的真实情况。我们可以看到，它在流动方向上有一个小的倾斜，就开始几乎均匀地显现。当流动停止时，测试线两个边缘显出的颜色饱和度更高，因为会有更多的抗体-缀合物络合物通过扩散运输到这些边缘。

在 IgM 测试线上，每单位表面积的 IgM 络合物浓度厚度超过 10μm。曲线从 20 秒到 400s，增量为 20s。曲线从底部的 20s(低饱和度)开始，到顶部的 400s(高饱和度)结束。大约 260s 后，时步之间的曲线更接近，因为扩散是将抗体-络合物标记络合物运输到测试线区域的唯一方式，从而减慢了过程。

真实的情况可能介于同质和异质模型之间。我们可以认为，获得沿其宽度均匀着色的测试线的好方法是使检测体积接近测试条的表面。这样，传输可以在 x 和 y 方向发生，同时我们得到一个相对较大的反应区(见下图)。对于测试线来说，将反应区扩展到膜的整个厚度对测试并没有帮助，因为膜是不透明的。然而，将连接板的反应区分布在整个厚度上是有利的，因为这将使络合物标记和抗体之间的反应最大化。这样，络合物标记将尽可能多地吸附抗体。

在这种配置中，测试线的反应区不限于表面，也没有分布在膜的整个厚度，其厚度被限制在 15μm。膜不透明，并且几乎不透明，可见深度约为 10μm。有限的测试线厚度允许在测试线的整个宽度上传输，从而在膜的整个宽度上产生相对均匀的颜色饱和度。

结束语

样品在测试条上流动的间隔由吸收板的尺寸决定，吸收板的尺寸也决定了样品的尺寸。更有趣的是，该模型预测了样品在测试条上流动时流速的指数衰减，这对于该领域的科学家来说也是众所周知的，但可能并不完全明显。2D 模拟显示，测试条中的质量传输似乎很慢，在非均相流动情况下，速率决定了测试。流动似乎可以快速地将样品分布在测试条上。然而，吸附反应是如此缓慢，以至于在非均相情况下，质量传递仍然限制了抗体-抗原-纳米粒子复合物向测试线处的吸附表面扩散。在均相流动的情况下，吸附动力学的限制更大。然而，这当然与我们使用的输入数据有关。

为这篇博文中建立的模型仅是一个化学原理。如果要将它们用于测试条的实际开发，必须在获得化学和多孔材料的特性的输入数据上做更多的努力。然而，这些模型包含了重要的物理现象:相对详细的传输和反应描述。

模型改进的可能性：

• 考虑沿膜各处的吸附-解吸。文中我们假设所有物种自由传输，直到它们在测试线上被永久吸附。
• 建立更精确的两相流模型。我们使用了一个简单的多孔介质两相流模型。也可以使用基于相位场的更精确的模型。
• 使用科学文献中公布的特定测试的输入数据。我们对测试条组件中的所有板使用了相同的孔隙率和润湿特性。浓度和吸附动力学使用了产生合理结果的输入数据。然而，为了使用真实的浓度和动力学数据，应该进行文献检索。然而，这对于不同的新冠肺炎检测是不同的，因为每个制造商都有自己的样品制备和检测程序。这篇博文的目的仅仅是展示可能的建模方法，而不是发表科学论文。
• 网格收敛分析。这将显示您在模拟结果中可以预期的准确性。这已经部分完成，我们知道模型给出的数值误差相对较小。但是如果需要严格的精度，就不属于这篇博文的讨论范围了。

参考文献

1. L. Gutierrez, J. Beckford, and H. Alachkar, “Deciphering the TCR Repertoire to Solve the COVID-19 Mystery”, Trends in Pharmacological Sciences, vol. 41, no. 8, pp. 518–530, 2020, (https://www.cell.com/trends/pharmacological-sciences/fulltext/S0165-6147(20)30130-9),
2. D. Rath and B. Toley, “Modelling-Guided Design of Paper Microfluidic Networks – A Case Study of Sequential Fluid Delivery”, ChemRxiv, 2020, https://doi.org/10.26434/chemrxiv.12696545.v1.

下载模型

您是不是也想尝试模拟对 COVID-19 的快速检测？单击下面的按钮访问案例模型文件，自己动手模拟:

快速检测测试设备的成功研发使人们能够在关键的、并且无法封闭的社会领域进行接触追踪，例如医疗保健和食品供应行业。价格低廉的测试方法也使人们能够快速进行自我诊断，并在得知感染的情况下进行自我隔离。这也有助于减缓病毒的传播。韩国和德国已经成功地利用这种测试在更大范围内减缓了新冠肺炎在群体中的大流行 (参考文献1).

快速检测新冠肺炎的一种可能的测试手段是基于侧向层析测定法(LFA)，也称为侧向流免疫层析测定法(LFIA)或免疫层析试验。我们在超市就可以买到的标准验孕棒可能就是LFA最常见的一种应用。LFA 为许多疾病和病症提供了一种便宜的、相对可靠的、稳定的和易于使用的测试手段(参考文献2).

本文是系列博客（由两部分组成）的第一篇文章，下面我们将使用 COMSOL Multiphysics 软件来了解 LFA 设备的功能以及工程师在设计这些设备时可能遇到的挑战。

LFA 快速检测测试背后的原理

如果对这些快速检测测试背后的机制进行仔细研究，我们可以看到，这些测试设备是相当先进的，并且是一个非常强大的微型实验室。

快速检测测试装置示意图。这里为了显示测试装置的结构，膜和平板的厚度被放大了 5 倍。平板和膜的组装件称为测试条。

测试条由以下几部分组成(如上图所示):

• 样本板
• 连结板
• 膜
• 吸收板，也称为吸液板

测试条通常由不同的组件(板和膜)组装而成。测试条外有一层塑料保护壳 (参考文献3)。

测试板和膜是多孔结构的。孔壁应该会被样本液润湿。样本可以在被施加到测试条上之前制备，也可以在样本板中制备。通过将血液或唾液与缓冲液混合来获取样本。缓冲液可能含有参考抗体和其他化学物质，例如能够确保样本润湿不同组分孔壁的溶剂。

样本板用于接收样本液滴，并充当流动的分配器和过滤器。非常大的蛋白质和血液细胞会被截获在样本板的多孔结构中。此外，多孔结构确保了样本液体能够沿板的宽度均匀分布。一旦样本充满了样本板，它就会继续向连结板的方向流动，流动是由液体与孔壁的相互作用引起的毛细管力驱动的。

在连结板中，过滤后的样本会溶解试剂，即所谓的“连结标签”，这些试剂在制造过程中已经被施加到连结板上。标签通常附着在例如金纳米粒子表面的抗原上。抗原可能是一种在免疫系统中能引发抗体的蛋白质。这些标签可以附着在样本中的抗体上，形成抗体和连结标签的络合物。络合物会溶解在样本液中，它们可以由附着在患者抗体上的标签和附着在制备过程中混合在样本中的参考抗体上的标签组成。一旦样本液填满了连结板中的孔，就会继续到抵达膜的位置，再次由毛细管力驱动前进。

样本液继续流过膜。膜通常由多孔硝酸纤维素制成，但也可以使用其他材料制备。不同的蛋白质和化学物质也可能与多孔膜的孔壁产生相互作用。一些物质可能在孔壁上被吸附和解吸。这种相互作用倾向于沿着流道分离不同的物质，这取决于物质分子的大小以及它们与孔表面相互作用的亲和力。这种作用被称为“免疫层析”。

在这幅图中，样本液体刚刚到达膜的位置。放大显示为一个边长约 1µm 的矩形。平均孔径约为 0.5µm。作为比较，膜的厚度为 125µm (参考文献3)。液体样本用浅蓝色表示。膜由固态网格组成，像骨架一样，孔占膜体积的 70%。样本液体润湿骨架结构的壁，即孔壁，并在毛细管作用力的驱动下沿蓝色箭头指示的方向进入充满空气的孔中。请注意，为了清晰起见，该图中测试条的厚度被放大了 5 倍。

一旦样本与测试线接触，其中的一种络合物中就可以附着到测试线区域中存在的特定表面物质上。这种表面物质可以是固定在测试线表面的抗体。每条测试线可以连接一种特定的络合物。注意，表面物质在测试线区域是静止的；它既不溶解也不会被样品运输。一旦络合物附着到测试线上，测试线的区域就会改变颜色。颜色显示出特定抗体的特定络合物已经附着到特定测试线上了。

膜中的最后一条测试线是控制线。由于参考抗体总是被混合到样本中，因此控制线应该总是能检测到参考抗体与结合化学物质的复合物的存在。如果控制线没有检测到这种复合物，那么这意味着样本没有以正确的方式通过测试条，所以该次测试应该被视为无效。

当样本充满膜后，它会继续流向吸收板，吸收板起到吸液芯的作用。吸收板吸收样本，这种吸力驱使样本通过测试条，直到吸收板内完全充满样本。

模型预览

在本系列的下一篇博文中，我们将展示LFA设备的两种模型。这些模型揭示了一些由从事这些测试设计的科学家通过实验观察到的特征。其中一个特征是：流动如何取决于液体样本孔隙体积的饱和度？敬请关注后续博文！

测试条中液体样本的扩散。模拟显示，一旦样本达到连接板的三分之一，样本就会形成均匀的速度分布。

参考文献

1. T. Kilic, R. Weissleder, and H. Lee, “Molecular and Immunological Diagnostic Tests of COVID-19: Current Status and Challenges”, iScience, vol. 23, no. 101406, 2020, (https://www.cell.com/iscience/pdf/S2589-0042(20)30596-4.pdf).
2. B.G. Andryukov, “Six decades of lateral flow immunoassay: from determining metabolic markers to diagnosing COVID-19”, AIMS Microbiology, vol. 6, no. 3, pp. 280–304, 2020, (https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/33134745/).
3. “Rapid Lateral Flow Test Strips, Considerations for Product Development”, Merck Millipore, 2013 EMD Millipore Corporation, Billerica, MA, USA.

病毒介于生命体和非生命体之间。它们具有 RNA 或 DNA，但不能自我复制，也不能在另一个活细胞外繁殖。

为了繁殖，病毒必须与活细胞接触，它必须适合宿主细胞的受体，并且必须打开宿主细胞的膜。然后，病毒可以注入其 RNA 或 DNA 并劫持宿主细胞的新陈代谢，以产生新的病毒粒子。

由于病毒粒子在活细胞外存活的能力非常有限，因此其传播的主要机制是通过活生物体之间的接触。如 SARS-CoV-2（导致新型冠状肺炎爆发的病毒，COVID-19），它必须在人与人之间直接或间接传播。世界卫生组织（WHO）已将 COVID-19 列为大流行病。

我们有可能了解大流行的进程吗？有多少人会被感染？有多少人会死亡？下面，让我们看看预测 COVID-19 传播的数学模型是什么样的。

COVID-19 的数学模型

所谓的 SEIR 模型是可以合理预测传染病在人与人之间传播的一种简单模型，该模型于 1920 左右首次公开发表（参考文献1 ）。此模型将受传染病影响的人群分为四类，分别用相应变量来描述每类人群的数目。

S =易感者

E =潜伏者

I =感染者

R =康复并具有免疫力的人

区间模型：个体以速率 β 从 S 流向区间 E ，以速率 ε 从 E 流向 I，以速率 γ 从 I 流向 R，还可以速率 α 从 I 流向 D（死亡）。这里假定 R 中的个体是免疫的，并且在模型计算时不会返回 S 。新生儿的流入量用 λ 表示，自然死亡率用 μ 表示。

变量 S，E，I 和 R 的单位为个体的数量。当易感者以某种形式接触了感染者，可能会成为潜伏者。成为潜伏者的概率，与人群中感染者的占比与易感者总数的乘积相关。经过简单的推导，易感人群被传染的速率为：

(1)

其中 β 是传染率。

β（单位：1人 /天）与基本传染数 R ₀和感染者具有传染性的平均天数（在被隔离或自我隔离之前）有关，n_id：

(2)

R ₀  称为基本传染数（无量纲），它描述了感染者在康复之前与易感人的每次接触（当人群中完全没有免疫力时）的疾病传播。任何缓解或隔离措施都旨在通过减少传染率 β 或及时隔离感染者，来降低传染数。

对于较短的（非季节性）流行病模拟，我们可以假设自然死亡和出生处于平衡的恒定人口。然后，随着新暴露病例的增加，易感个体的数量减少，其中 N 表示人口规模：

(3)

相应地，上述方程式右侧的项是方程式中潜伏者 E 的源项。但是，为描述从潜伏者转变为感染者的过程 E ，该方程式也具有负项。

(4)

此处，ε 表示一旦暴露就发展成传染性的速率，以 1 人/天为单位。该速率与潜伏期的长短成反比。

感染者的数量 I ，每天随着 ε  Ë 的增加而增加，但随着个体被隔离，康复个体或死亡个体的速度逐渐减少。系数 γ 表示人们被隔离或康复的比率。感染率与感染的天数成反比：

(5)

对于因感染病毒而死亡的比率 α I 的比率和感染变量 I ，还可以用以下方程表示：

(6)

对于变量R，可以用下列方程表示不再受感染的个体：

(7)

对于死亡人数 D ，可以用下列方程表示：

(8)

展平曲线

我们可以从一个简单的模型开始，其中不考虑潜伏者。即，易感者遇到感染者，不经过潜伏者，直接被感染。在我们的模型中，这将对应于非常大的 ε 值。然后，我们可以将其与 Michael Höhle 的博客文章进行比较，因为他已经求解了相同的数学模型（参考文献2）。输入数据如下：

N = 100 万个人

R ₀ = 2.25，基本传染数

Ñ _ID =5 天

最后，我们需要初始条件：

S ₀  = N –  I ₀，易感人群

I ₀  = 10 个感染者

在第一种情况下，Höhle 进行了模拟。在该模拟中，流行病得以继续发展而不采取社交限制措施。在第二种情况下，Höhle 假设在有 100 万人的城市中，当局采取了减少有效传染数的行动，例如，不允许进行大型人群聚会（举办体育赛事、音乐会等）。第一步是在疾病流行 28 天后，通过限制社交互动，将有效传染数减少到 1.35。当限制措施持续 5 周后，放松限制，有效传染数升高到1.8。下图显示了两种情况：情况1（不限制社交）和情况2（R ₀ 减少））。我们可以看到模拟结果与Höhle的结果非常吻合。

此处获得的结果与 Höhle 的结果非常吻合。在第 28 天采取社交限制措施后，新病例（绿色曲线）突然减少，当限制措施放松后，绿色曲线突然跃升。

根据第二种情况，Höhle 得出一个有趣的结论，为减少新增病例而采取的社交限制措施不仅减少了传染病流行期间新增病例的数量，而且还减少了整个流行病期间的感染者总数。 结果如下图所示。在第一种情况下，整个流行病期间被感染的人口比例为 85％，而在第二种情况下，这一比例仅为 68％。因此，采取社交限制措施不仅​​可以暂时减轻医疗保健系统的负担，而且还可以减少流行病患者的总数。

如果不采取任何措施，则被感染的人群比例为85％，这可以从恢复曲线中看到（红色，实心）。在采取措施的情况下，有68％被感染（红色，虚线）。

考虑不同人群分布的流行病发展过程计算

对于湖北，瑞典和美国，我们可以使用稍微更高级的模型，即所谓的Erlang–SEIR模型（参考文献3）。通过将 E 和 I 人群划分为子类，每个子类中个体的停留时间假设遵循 Erlang 分布，并且指定的平均停留时间与子隔间数 k ^E和k ^I 成正比，与子隔间 ε 和 γ 的传输速率成反比。该模型可以说明以下事实：不同子类之间的流量存在特定分布，例如，由于潜伏者在该国不同地区的不同时间进入，增加子类的数量会使分布集中在均值周围，实际上延缓了从 E到I 以及从 I到 R 和 D 的进程。

具有 E 和 I 子隔间的 Erlang–SEIR 模型。

COVID-19在中国湖北的传播模拟

假设死亡率为0.66％（参考文献4），感染者平均在第3天被隔离，从症状发作到死亡的平均时间为18天，我们就可以适应流行病的开始、传播，以及在Erlang分布中暴露状态下从湖北报告的数据的平均时间。

2019年1月22日，当局实施了封锁措施，并在该月底进行了测量，结果显示基本传染数明显下降（参考文献5） 。

如果我们实施这样的封锁措施，并且如果我们将该限制措施的影响在1月23日开始生效，我们将获得以下结果。

该图为 COVID-19 死亡人数建模数据与湖北报道数据的比较。我们可以看到该模型与数据非常吻合，仅有 0.5~1 天的微小偏移。这个偏移可能来自于数据是以每日来统计的。小图以对数标度显示 y 轴的相同数据。

从上面的图表中可以看出，到2月2日，累积死亡人数呈对数图中的线性增长，直到大约400人死亡。2月3日之后，死亡人数的增长速度下降，因此增长不再是指数级的。这主要源于社交限制的措施。在这一阶段尚未发现具有免疫力病例的影响，这也将降低 COVID-19 的有效传染数。

下图显示了疫情进程中，潜伏者、传染者、康复者和死亡的人数情况。我们在如下几个时间点插入了额外的网格线：（1）在实施社交限制措施的1月23日；（2）1月26日中午，当感染人数达到上限时；和（3）2月3日，即死亡人数最多时。请注意，康复病例数是指不再具有传染性并且正在恢复的病例。在医院，此类患者要等一到两周后才能出院。

湖北疫情的发展。随着时间的推移，预计受感染的人数将接近 500,000 人。

通过参数估计得出的湖北数据的基本传染数为 3.03，高于 WHO 的报告，但仍在其他研究报告的范围内（参考文献6,7 ）。社交限制使有效传染数降低到约 0.56，这是我们通过拟合死亡曲线获得的。这个数字低于其他地方的报告，但与当地流行病的迅速结束相一致。

瑞典：保持社交距离

瑞典选择了与湖北和大多数其他国家不同的策略：限制社交互动，但与湖北实施的完全封锁相比，还相距甚远。建模过程与湖北也略有不同，主要是因为其最早的感染和潜伏病例均来自于意大利和奥地利的输入。我们使用了与冬季假期相关的输入案件的分布，这些案件在全国不同地区分布了三周。但是，在2月17日至3月1日的两周内，斯德哥尔摩地区的居民返回家园时，大多数旅行者很可能已受呈指数级增长的意大利爆发疫情感染。

以下是模拟死亡人数与报告的死亡人数比较。4月2日的病例数仍呈指数增长（对数图中呈线性）。

瑞典死于 COVID-19 的人数。第 33 天最新报告的值对应于 4月2日。小图为以对数刻度显示 y 轴的相同数据。

通过参数估计得到的瑞典数据，有效传染数为2.95，接近从湖北获得的数据（3.03）。输入病例总数约为500。

自3月16日左右以来，瑞典一直实施社交互动的限制，但主要是以建议的形式出现，可能没有立即产生效果，因此死亡人数尚未降低。我们在此模型中假设这些限制已于3月20日全面生效。

让我们假设两种情况：第一种情况，社交互动限制将有效传染数减少到基本传染数的0.35倍；第二种情况，有效传染数减少到基本传染数的0.30倍。第一种情况将有效传染数降低到1.03；也就是说，每个受感染的人平均感染1.03个人。第二种情况将有效传染数降低到0.88（低于1），这意味着十个受感染者中，只有九个（几乎）可以在恢复之前“替代”自己（平均）。

两种情况的限制措施幅度均不及湖北的限制幅度大，这是合理的假设，因为瑞典尚未实施全面封锁。

在第一种情况下，约有210万人被感染，约占人口的20％（请参见下图）。截至4月2日，已感染或已感染的人数将为280,000人，几乎是确诊病例的60倍。第二种情况导致截至4月2日，约有260,000人被感染，但是该流行病的进展速度大大减慢并受阻，导致在流行病消亡之前的某个时候，只有不到一百万的人被病毒感染。

两种情况下，瑞典累计感染总人数。这是在整个流行过程中将被感染的所有个人数的总和。

第一种情况下，最终死亡人数超过13,000。另外，严重疾病和每日死亡人数的峰值在4月21日达到峰值。如下图所示，每天的死亡人数将达到155例/天。第二种情况下，最终约有6500人死亡，并且死亡人数在4月15日左右达到峰值，每天约有115人死亡。

假设3月12日至3月16日左右采取的行动，瑞典的流行病预计发展情况。假设瑞典当局采取行动的效果不及湖北采取的行动有效。

在第一种情况下，瑞典的死亡人数将在4月27日左右达到峰值，在第二种情况下，死亡人数将在4月15日左右达到峰值。

只要略微加强“社交距离”，将有效传染数从1.03降低到0.88时，就可产生巨大变化。这意味着在整个流行病期间，将会减少6500人死亡。

美国：大规模隔离

在我们的研究中，假设美国的所有感染病例均来自国外，则感染个体的数量及其流入美国的数量是可根据当时美国境外感染者的分布情况进行参数估计。我们使用了截至3月31日的死亡人数来进行参数估计。与瑞典和湖北相比，美国的一个特殊问题是该流行病的区域差异更大，而且不同的州在不同时间，采取了不同的行动。

下图显示了截至3月31日（图表31天）的模拟死亡和报告死亡。同样，在这种情况下，我们看到死亡人数呈指数增长，与对数图上的线性增长相对应。

截至3月31日美国的模拟死亡人数和报告死亡人数。请注意，在对数图中，当死亡人数较小时，模型与报告的病例之间的偏差看起来较大数目下的更大。内嵌图为以对数标度显示 y 轴的相同数据。

通过参数估算得出的美国数据的基本传染数为 2.97，与瑞典（2.95）和中国湖北（3.03）的拟合值一致。那么，输入案件的总数将约为 8000 例。

同样在美国，我们可以假设两种情况：一种与瑞典的情况类似，社交限制措施将有效传染数减少到基本传染数的0.3倍（瑞典的数值），另一种情况将有效传染数减少到基本传染数的0.185倍（中国湖北的数值）。这也是合理的，因为美国实施了介于瑞典和湖北之间的限制措施。不是完全封锁，而是实施了比瑞典更严格的大规模隔离。这样得出的有效传染数分别为 0.89 和 0.55 。

第一种情况预测，在流行病消亡之前将有近2000万美国人受到感染（请参见下图）。到4月1日，受感染人数将达到600万。在第二种情况下，大约有500万人受到感染。这大约是所报告的确诊病例的25倍，这听起来还是很高，但并非不可能，因为仅对一小部分人群进行了检测。

两种情况下，美国累计的感染总数，这是在整个流行过程中将被感染的所有个人的总数。

在第一种情况下，美国的死亡人数为115,000（请参见下图）。感染人数最多的应该是3月24日左右。重症监护中的危重病例数将在4月9日。在第二个病例中，与湖北的限制相同，重症监护患者数将在4月1日左右达到峰值。流行病结束前的死亡人数约为33,000。

两种情况下的潜伏者、传染者，峰值人数和死亡病例，有效传染数降低至 0.89（第一种情况），有效传染数降低至 0.55（第二种情况）。

根据我们的模型，第一种情况下，美国的死亡人数将在4月15日左右达到峰值；第二种情况下，将在4月9日左右达到峰值。

在第一种情况下，每天的死亡人数将在 4 月 15 日左右达到高峰；在第二种情况下，每天的死亡人数在4月9日左右达到峰值。这分别对应于两种情况下每天的死亡人数分别低于1900或1300。我们可以看到，第二种情况下，每天的死亡人数更高。而且这个数字还会增加。如果我们将有效传染数减少到 1.04（减少 0.35 倍），即仅在上述案例1之上，那么在流行病结束之前，我们可能会有350,000 例死亡人数。该模型清楚地显示了社会限制措施的巨大影响，不仅减少了峰值死亡人数，而且在流行病结束之前，受感染个体的总数也大大减少。

如何使用模型

此处给出的结果不应解释为预测。它们是来自简化现实模型的结果。我们不考虑人口统计。例如，人口中的年龄分布对疾病的死亡率有很大的影响。

疫情进展处于不同阶段的被研究国家的地理差异也无法得到准确的解释。人们在一个国家不同地区之间的旅行方式也会影响这一流行病的进展。

此外，我们很难预测中国，瑞典和美国民众采取的行动对模型输入的影响。政府组织，例如中国疾病预防控制中心，瑞典公共卫生局和美国疾病控制中心（CDC），拥有更复杂的模型来说明年龄分布，流行病的发生地点，城市之间迁移的数据，国家之间迁移的数据以及其他人口统计数据。他们还拥有有关病毒和疾病本身的更好数据，例如在不同条件和年龄分布下的潜伏时间和繁殖数量。

但是，使用此处介绍的模型仍然有一定的借鉴意义。他们了解这种流行病的发展趋势。这些模型还直观地表明了保持社交距离和避免不必要的社交互动，可以降低 COVID-19 的有效传染数，减少重症监护患者的高峰期并减少总体流行影响。此外，各国和国际性组织的公共卫生相关部门，可将 Erlang–SEIR 模型作为重要的研究工具，并在此基础上开发更为细致和专业的数学模型，为各个国家和城市服务。

下载模型和应用文件

通过下面的按钮下载用于 COVID-19 流行模型的SEIR模型和演示应用程序。请注意，要访问MPH文件，您必须登录到 COMSOL Access 帐户并具有有效的软件许可证。

参考文献

1. H. Weiss, “The SIR model and the Foundations of Public Health”, MATerials MATemàtics, vol. 2013, no. 3, pp. 1–17, 2013.
2. M. Höhle, “Flatten the COVID-19 curve”, Theory meets practice…, 2020.
3. W.M. Getz and E.R. Dougherty, “Discrete Stochastic Analogs of Erlang Epidemic Models”, Journal of Biological Dynamics, vol. 12, pp.16–38, 2018.
4. R. Verity, L.C. Okell, I. Dorigatti, P. Winskill, C. Whittaker, et al., “Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis”, The Lancet Infectious Diseases, 2020.
5. A.J. Kucharski, T.W. Russell, C. Diamond, Y. Liu, J. Edmunds, S. Funk, R.M. Eggo, “Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study”, The Lancet Infectious Diseases, 2020.
6. R. Li, S. Pei, B. Chen, et at., “Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2)”, Science, 2020.
7. Y. Liu, A.A. Gayle, A. Wilder-Smith, and J. Rocklöv, “The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus”, Journal of Travel Medicine, vol. 27, no. 2, 2020.

请注意，这不是同行评审的出版物，也没有由任何流行病学家准备或与任何流行病学家商量或未根据任何流行病学标准进行准备。此外，未知的各种各样的情况可能会影响所讨论模型的准确性，尤其是关于将来的进展。

不同尺度的多相流建模

使用数学建模可以对不同尺度的多相流进行研究。最小尺度约几分之一微米，而最大尺度可达几米或几十米。由于尺度甚至可以相差大约八个数量级，最大尺度可能比最小尺度大一亿倍,在整个尺度范围内使用相同的力学模型，在数值上无法解析最小尺度到最大尺度的多相流。因此，多相流的建模通常分为不同的尺度。

在较小的尺度上，可以对相边界的形状进行详细建模；例如，气泡与液体之间的气液界面的形状。在软件中，这种模型称为分离多相流模型，通常使用表面追踪法来描述此类模型。

在较大尺度上，如果必须详细描述相边界，则模型方程无法求解。相反，可以使用场（例如体积分数）描述不同的相。分散多相流模型方程中，相间效应（例如表面张力、浮力和跨越相边界的传递）被视为源和汇。

分离多相流模型详细描述了相边界，分散多相流模型则只考虑分散在连续相中的一个相的体积分数。

上图显示了分离和分散多相流模型的主要区别。在上述两种示例中，均使用函数 Φ 来描述气相和液相。但是，在分离多相流模型中，不同相之间相互排斥，并存在一个清晰的相边界，在此边界上相场函数 Φ 发生突变。除了追踪相边界的位置以外，相场函数没有任何物理意义。

在分散多相流模型中，函数 Φ 描述了气相（分散相）和液相（连续相）的局部平均体积分数。通过平均体积分数可以在该区域的任一点顺利地找到介于 0 和 1 之间的值，这预示着在其他均质域中是存在少量还是大量气泡。也就是说，在分散多相流模型中，可以在同一时间和空间点上定义气相和液相；而在分离多相流模型中，在给定的时间和空间点上，只能定义气相或液相。

分离多相流模型

对于分离多相流的模拟，COMSOL Multiphysics® 软件提供了 3 种不同的界面追踪方法：

• 水平集法
• 相场法
• 移动网格法

水平集和相场都是基于场的方法，其中相之间的界面代表水平集或相场函数的等值面。移动网格法与上述两种方法完全不同，它将相界面模拟为分隔两个域的几何表面，每个域对应不同的相。

基于场的问题通常是在固定的网格上解决，而使用移动的网格可以解决移动网格问题。

下面的动画为一个T型微通道中生产乳液的模拟结果，该模型使用了相场法进行求解。在动画中，我们可以看到相边界与网格的平面和边缘不一致，相边界由相场函数的等值面表示。

在相场法和水平集法中，有限元网格不必与两个相的边界一致。

相反，下图显示了带有移动网格的上升气泡的验证模型。网格与相边界的形状保持一致，并且网格边缘与相边界重合。但是，移动网格模型也有缺点，即气泡的变形使两个次级气泡从母气泡分离。此时，必须将原始相边界划分为几个边界。该方法太复杂，并且尚未在 COMSOL® 软件中实现。因此，COMSOL® 软件中的移动网格法无法处理拓扑变化。而相场法不存在这个缺点，可以处理相边界形状的任何变化。

上升气泡的验证。当两个次级气泡脱离母气泡时，发生拓扑变化。

什么时候使用相场法和移动网格法？

对于给定的网格，移动网格法具有更高的精度。基于这一优势，我们可以直接在相边界上施加力和通量。基于相场的方法需要围绕相边界表面建立密集网格，以解析该表面的等值面。由于很难定义一个精确贴合等值面的自适应网格，因此通常必须在等值面周围建立大量密集网格。在具有相同精度的情况下，与移动网格相比，这样做会降低基于场的方法的表现。那么，什么时候使用这些不同的方法呢？

• 对于不希望发生拓扑变化的微流体系统，通常首选移动网格法；
• 如果需要拓扑变化，则必须使用相场法：
  • 当表面张力的影响较大时，首选相场法
  • 如果可以忽略表面张力，首选水平集法

分离多相流模型和湍流模型

在湍流模型中，由于仅解析平均速度和压力，流体的细节会丢失。从这一点来看，表面张力效应在流体的宏观描述中也变得不那么重要。由于湍流表面的流动也比较剧烈，因此几乎不可能避免拓扑变化。所以对于湍流模型和分离多相流模型的组合，最好使用水平集法。水平集法和相场法都可以与 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型结合使用，如下图和动画所示。

在COMSOL Multiphysics中，所有湍流模型都可以与相场法和水平集法相结合来模拟两相流。

将水平集法与 k-e 湍流模型相结合模拟反应堆中水和空气的两相流。

分散多相流模型

万一相边界过于复杂而无法解析，则必须使用分散多相流模型。

CFD 模块提供了 4 种不同的模型（原理上）：

• 气泡流模型
  • 适合高密度相中包含较小体积分数低密度相
• 混合模型
  • 适合连续相中包含较小体积分数的分散相（或几个分散相），其密度与一个或多个分散相相近
• 欧拉–欧拉模型
  • 适用于任何类型的多相流
  • 可以处理任何类型的多相流，且气体中有密集颗粒，例如流化床
• 欧拉–拉格朗日模型
  • 适合包含相对较少（成千上万，而不是数十亿）的气泡、液滴或悬浮颗粒流体
  • 适合气泡、颗粒、液滴或使用方程模拟的颗粒，该方程假定流体中每个颗粒的力平衡

什么时候使用不同的分散多相流模型？

气泡流模型

气泡流模型显然适用于液体中的气泡。由于忽略了分散相的动量贡献，因此该模型仅在分散相的密度比连续相小几个数量级时才有效。

混合物模型

混合物模型与气泡流模型相似，但考虑了分散相的动量贡献。它通常用于模拟分散在液相中的气泡或固体颗粒。混合物模型还可以处理任意数量的分散相。混合物模型和气泡流模型均假设分散相与连续相处于平衡状态，即分散相不能相对于连续相加速。因此，混合物模型无法处理分散在气体中的大固体颗粒。

当多相流混合物被迫通过孔口时，用混合物模型模拟了5种不同大小的气泡。流动中的剪切力导致较大的气泡破裂成较小的气泡。

欧拉–欧拉模型

欧拉-欧拉模型是最精确的分散多相流模型，也是用途最多的模型。它可以处理任何类型的分散多相流。它允许分散相加速，并且对不同相的体积分数没有限制。但是，它为每个相定义了一组 Navier-Stokes 方程。

在实践中，欧拉-欧拉模型仅适用于两相流，并且其计算成本（CPU 时间和内存）较高。因此，使用它也相对困难，并且需要良好的初始条件才能在数值解中收敛。

使用欧拉-欧拉多相流模型模拟流化床中固体颗粒的体积分数。

欧拉–拉格朗日模型

当连续流体中悬浮有一些（成千上万但不是十亿）非常小的气泡、液滴或颗粒时，我们也许可以使用欧拉–拉格朗日模型模拟多相流系统。该方法的优点是计算成本相对较低。从数值的角度来看，这些模型通常也“不错”。因此，当连续流体中分散相的颗粒数量相对较少时，优选欧拉–拉格朗日模型。

此外，还有一些方法可以使用欧拉-拉格朗日模型来模拟大量粒子，它们使用的相互作用项和体积分数可以模拟具有数十亿个粒子的系统。这些方法可以在 COMSOL Multiphysics 中实现，但在预定义的物理接口中无法实现。

附加的 CFD 模块和粒子追踪模块可在 COMSOL Multiphysics 中模拟欧拉-拉格朗日多相流模型。

混合物模型能够处理任何相的组合，并且计算成本较低。在大多数情况下，我们可以使用此模型模拟。对于流化床（具有高密度和高体积分数的大颗粒分散相）之类的系统，只能使用 Euler-Euler 模型模拟。

分散多相流模型和湍流模型

分散多相流模型本质上是近似的，并且也与近似的湍流模型非常吻合。可以在分散相和连续相之间以及在分散相中的气泡、液滴和颗粒之间引入相互作用。这些相互作用的起源可以是用湍流模型模拟的湍流。气泡流、混合物流和欧拉-拉格朗日多相流模型可以与 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型结合使用。仅针对具有可实现性约束的标准 k-e 湍流模型预定义了 Euler-Euler 多相流模型。

混合物模型可以与 COMSOL Multiphysics 中的任何湍流模型结合使用。

结语

即使可以使用超级计算机求解多相流数值模型方程，这也可能是一项非常艰巨的任务。如果没有计算能力的限制，则表面追踪方法将用于所有类型的混合。实际上，这些模型仅限于微流体以及用于黏性液体自由表面的研究。

分散多相流法允许研究包含数以亿计的气泡、液滴或颗粒的系统。但是，即使是最简单的分散多相流模型，也可以生成非常复杂且要求很高的模型方程。上述几种不同的模型非常适合描述特定的混合物，并能满足工程师和科学家以相对较高的精度和合理的计算成本研究多相流的要求。

我们将继续讨论有关多相流的模拟，敬请关注 COMSOL 博客更新！

数字孪生概念

传统的基于模型的设计需要进行模型验证和确认，这可以用来优化设备或过程的设计或运行。我们通常通过比较实验结果和模型结果并进行参数估计来验证模型。

数学建模和仿真广泛用于设备和过程设计。

数字孪生（也称为虚拟孪生）的概念涵盖了上述基于模型设计的验证和确认步骤。不同之处在于，数字孪生意味着模型与设备或过程之间的信息传递更加紧密，而且通常是实时性的。数字孪生概念可用于设备或过程的设计、制造和运行阶段，目的是基于虚拟空间中的模型来理解、预测、优化和控制真实系统。我们可以认为数字孪生模型适用于相对复杂且成本较高的系统。我们不太可能为传统汽车的每根排气管构建数字孪生模型或管理数字孪生模型实例，这可能不会带来投资回报。然而，电池组是一个成本相对较高的系统。

在本篇博客文章中，我们举例说明了数字孪生模型在 混合动力或电动汽车电池组的设计和运行阶段的应用。

电池组的数字孪生模型

下图显示包含真实空间中物理设备的数字孪生模型概念：一个带有传感器和控制系统的电池组。虚拟空间包含模型，本例中为电池组模型。数据和信息的传递将真实空间与虚拟空间联系起来（ 参考文献 1 ）。

混合动力汽车的电池组体现了数字孪生模型概念。

多物理场、多尺度和轻量化模型

虚拟空间包含真实过程的丰富表示，以非常高的保真度虚拟地模拟真实过程（ 参考文献 2 ）。不仅如此，当需要较小时间尺度的结果时，轻量化模型还可用于更快的交互，我们可以不断地校准这些轻量化模型，得到高保真的模型。

在电池组案例中，数字孪生模型可以是同样包含历史数据的 电池组多物理场和多尺度系统模型，轻量化模型可以是 电池组的集总和等效电路模型。历史数据可以包含特定电池组的测量数据，包括：

• 温度
• 荷电状态
• 阻抗谱
• 极化 （电流与电压的关系曲线）

它还可能包含来自同一模型的其他电池组的数据。特定电池组的数字孪生模型可称为该电池组模型的数字孪生模型实例。

数字孪生模型由一系列不同的模型构建而成，这些模型以极高的保真度一同模拟电池组的特性。

借助这些模型，我们可以使用测量数据和报告中的数据精确地表示电池组的内部条件，并提取模型中的参数。然后将这些模型用于预测电池组的运行情况，并计算可用于电池组控制的控制参数。

信息处理意味着发回控制参数，这些参数使电池组的运行适应电池的状态、驾驶员的驾驶状况以及当前的运行和驾驶条件，它还可以向电池组和驾驶员发回有关预计电池组未来运行状况和特性的报告。例如，如果存在温度过高的风险或者在电池的特定充电状态下，它可以发送在充电期间（制动期间）暂时限制最大电流的参数，还可以检测到异常电池组中的电池，并将其与电路断开。

机器学习、云计算和物联网

虚拟空间中的复杂模型可能需要功能强大的计算机才能足够快地生成实时有用的结果。这意味着数字孪生模型的大部分性能可能是由通过功能强大的服务器（例如，使用云计算）远程运行的进程提供的，而另外一些进程可能在汽车中安装的控制装置中本地运行。

例如，上述轻量化模型可直接用于电池组中的控制装置。为了保持这些轻量化模型的准确性，我们可以将控制参数与较大时间尺度上计算的更丰富模型的预测数据和结果进行比较，从而实时更新控制参数。更丰富的模型可以对电池的温度分布、充电状态以及其他电化学和物理参数进行详尽的物理描述。因此，数字孪生模型可以在不同组件部署于不同平台和位置的系统中产生。

部署在不同位置的多个组件和模型可能有助于创建数字孪生模型。

数字孪生模型与其实际对应物通常不是孤立的系统。在大多数情况下，它们是更大系统的一部分，这个系统可能还包含其他设备及相应的数字孪生模型。此外，为了优化、控制和预测设备的各个方面，真实设备可能具有多个数字孪生模型，称为数字孪生模型集合体。

举例来说，如果电池组的某些零件容易发生疲劳，我们可能想要为电池组的结构性能创建一个数字孪生模型。这可能只在更大的时间尺度上影响电池组的运行，因此这种数字孪生模型可以更松散地耦合到模拟电池组电性能的数字孪生模型中。电池组的数字孪生模型也可与混合动力汽车的发电机、电动机和内燃机的数字孪生模型交换信息。

真实系统可以与许多数字孪生模型互动，而这些数字孪生模型之间也可以互动。

较大系统中的不同部分和它们的数字孪生模型可能需要相互通信。此外，数字孪生模型可能需要从安装在不同物理位置的传感器和设备获取数据。 物联网（IoT）及相关技术可用于传感器、设备和产生数字孪生模型的计算机系统之间的通信。

机器学习（有时也称为人工智能或 AI）算法可用来训练数字孪生模型，以决定何时应查询不同设备或其他数字孪生模型的数据，何时应更新不同的控制参数，以及何时应更新数字孪生模型和真实系统的报告。因此，数字孪生模型、云计算、物联网 和人工智能 等术语是高效开发、设计、制造和运行高成本电池系统（如安装在电动汽车上的系统）的重要概念。

如何将 COMSOL Multiphysics® 模型并入数字孪生模型？

工程技术人员和科研人员可以使用 COMSOL Multiphysics® 软件创建极其精确的多物理场和多尺度模型。此外，该软件还能轻松组合轻量化模型，并根据较丰富模型预测的高保真特性持续更新轻量化模型。我们可以使用最先进的参数估计和优化方法不断验证模型。这种模型是数字孪生模型的关键组成部分。

为了使用 COMSOL Multiphysics 模型创建数字孪生模型，我们必须允许这些模型不断接收来自外部系统的测量数据和报告，然后将预测和控制参数传回该系统，最简单的方法是使用与 Java® 结合使用的 COMSOL API。

举个例子，COMSOL Multiphysics 模型文件可能包含代表数字孪生模型不同方面的多个模型组件。在电池组示例中，这些模型组件可以是三维高保真模型组件、微观尺度的精细电化学模型组件以及用于快速交互的集总模型组件。当模型保存为 Java® 模型文件时，我们可以从 Java® 程序中访问所有这些组件。包含在这种程序中的 Java® 模型文件可以与外部系统通信，比如通过使用动态链接库文件（dll 文件）来实现。借助 Java® 生态系统，你还可以将虚拟空间实现为一个网络服务（例如，运行在 Tomcat 内部的基于 Java® 的网络服务），该服务可以提供代表性状态传输（representation state transfer，简称 REST）API，用于与真实空间通信。

在真实空间与虚拟空间之间建立连接的另一种方法也可以通过 COMSOL Server 中的 App 和使用 COMSOL Compiler 创建的编译 App 获取。这里的限制在于，在 COMSOL Server 或已编译 App 中运行的仿真在执行过程中无法更新。但我们可以启动或重新启动执行程序，以根据事件触发的变化来更新真实物理设备和数字孪生模型；例如，文件中的更改、传感器触发的命令或操作员触发的事件。真实空间与虚拟空间之间的数据和控制参数可作为由这些事件触发的命令的结果来回发送。

结束语

数字孪生模型的概念在军事和空间应用之外刚刚开始变得切实可行，并且备受青睐。分析人员提出的一个问题是缺乏模型，以及缺乏产生高保真预测所需的建模和仿真知识（ 参考文献 3 ）。

许多数字孪生模型仅仅依靠对输入数据的统计处理以及对历史数据的查表来创建数字孪生模型。其缺点在于，我们很难了解和理解设备或过程中的真实情况。对于特定制造商的大量设备或过程，我们还需要非常大量的可靠数据；而对于大批量生产的成本较低的产品来说，这可能是一种可选的方法。

相比之下，多物理场模型在得到验证后即可用最少的数据在广泛的运行范围内保持精确。出于这些原因，包含某种基于模型描述的数字孪生模型是理想之选。对于电池组等高成本产品，尤其需要使用可靠的多物理场模型。

偏微分方程（Partial differential equation，简称 PDE）是表述物理定律的最精确方法（ 参考文献 4）。借助 COMSOL Multiphysics，我们能够使用基于 PDE 的多物理场模型，根据最精确的描述创建数字孪生模型。

参考文献

1. M. Grieves, “Digital Twin: Manufacturing Excellence through Virtual Factory Replication,” Michael W. Grieves, LLC, 2014.
2. E. Glaessgen and D. Stargel, “The Digital Twin Paradigm for Future NASA and U.S. Air Force Vehicles,” 53rd Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, 2012.
3. J. Voskuil, “Model-Based — The Digital Twin,” Jos Voskuil’s Weblog, 2 July 2018; https://virtualdutchman.com/2018/07/02/model-based-the-digital-twin/.
4. R. Feynman, Differential Calculus of Vector Fields, The Feynman Lectures on Physics, 1963–1965.

Oracle 和 Java 是 Oracle 和/或其附属公司的注册商标。

什么是数字孪生？

航空航天工业是最早使用数字孪生的行业之一。在一篇很有见地的论文中，Glaessgen 和 Stargel （参考文献1 ）阐释了数字孪生在飞行器认证和机队管理中的应用，可以实现“持续地预测飞行器或系统的健康状况、剩余使用寿命，以及任务成功概率。”对数字孪生的描述如下：“数字孪生是已建成飞行器或系统的一个集成的多物理场、多尺度、概率仿真，它借助了现有最佳的物理模型、传感器更新和机队历史等来反映其对应的孪生实体飞行物的寿命。”

“数字孪生”一词是由美国密歇根大学的 Michael Grieves 于2011年所创造的（参考文献2 ）。早在2002年，这一概念就已由 Grieves 提出，但后来又被称为“镜像空间模型”。根据 Grieves 给出的定义，数字孪生概念由真实空间和虚拟空间组成，其中虚拟空间包含了从真实空间收集到的所有信息，它还包含从微观层次到几何和宏观层次对物理设备或过程的高保真描述。数字孪生提供的这种描述应该“与物理孪生所提供的几乎没有区别。”（参考文献3 ）

M. Grieves 给出的一些定义

• 数字孪生原型（Digital twin prototype，DTP）：用于数字孪生实例的原型，精确的高保真模型通常是这样一个原型的组成部分。然而，这一原型还不（尚未）包括实测数据和来自特定物理设备的报告。
• 数字孪生实例（Digital twin instance，DTI）：包含特定产品、设备或过程的参数、控制参数、传感器数据和历史数据的数字孪生。例如，这样的实例可以对特定战斗机中的特定发动机进行寿命预测，如上文所述。
• 数字孪生聚合（Digital twin aggregate，DTA）：可能没有独立且唯一的数据结构的数字孪生集合。相反，DTI 这一组成部分可以相互查询数据。
• 数字孪生环境（Digital twin environment，DTE）：用于操作数字孪生的集成多域物理场应用空间。

数字孪生概念中一个重要的要求是，它应该是对真实物理产品、设备或过程的动态和持续更新的表示，而不应该是对真实空间的静态表达。真实空间和虚拟空间从产品、设备或过程的制造、操作到处置都是相互联系的。来自传感器的信息、来自用户的报告以及通过制造和操作过程收集的其他信息，都必须连续地传输到数字孪生中。可用于设计和操作真实设备的预测、控制参数和其他变量都必须从虚拟空间连续地传回真实空间。

与传统模型相比，数字孪生在真实空间和虚拟空间之间有着非常紧密的联系。

如果我们观察喷气式飞机在运行阶段（包括态势感知阶段）的情况，飞机的传感器和控制系统可能会不断地向数字孪生发送数据。此外，飞行员还可以发送数据和报告。数字孪生可以向飞机传回控制参数和报告。因此，数字孪生的某些方面可以实时运行，并部署在飞机的不同计算机系统中，而其他要求更高的任务可能无法在真实设备上实时运行。在任何情况下，真实空间和虚拟空间之间都存在着密切的联系。

系统、子系统和虚拟子空间

我们可以想象得到，喷气式飞机是一个极其复杂的系统，这种先进机器的高保真建模与仿真环境可能需要数百甚至上千个多物理场和多尺度模型才能准确描述。

例如，为了优化喷气飞机的性能，以及预测和控制燃烧的工作条件，喷气发动机可以用燃烧模型来描述。CFD 模型也可以与燃烧模型耦合，而燃烧模型又可以与燃料分配系统的管流模型耦合。而且，冷却系统可能需要一个特定的模型，其中管流模型可与固体传热和 CFD 耦合。此外，考虑到流场和流体所施加的力，多体动力学-流固耦合（fluid-structure interaction, FSI）模型可以预测和控制喷气发动机某些部件的运动；可以进行结构力学分析，并可将其与某些关键部件的精确微观材料模型耦合，这些关键部件则对疲劳和温度循环表现得敏感。这些模型可以连续地从以下条件获取数据：涡轮中的流量、气体混合物的成分、温度、喷气发动机的转数、振动、速度以及特定涡轮所有操作变量的历史数据——而且，仅涡轮就还有许多其他方面的数据。

通过 CFD 和传热分析，可以计算出涡轮定子上的应力和应变。这些应力使工程师能够估算出涡轮定子在因疲劳而面临故障风险之前可能承受的循环次数。数字孪生实例记录了温度循环次数，以及定子在使用寿命期间承受的最大应力和应变。

喷气式飞机的其他部件也需要同样准确的描述。飞行控制、液压、起落架和其他子系统可能有自己的数字孪生，而各数字孪生都由多物理场、多尺度模型、仿真数据、传感器数据和历史数据组成。

上图显示了战斗机中一些最重要的子系统。数字孪生由许多不同的子空间组成，而这些不同的子空间又包含飞机每个子系统的模型、仿真数据、实测数据和报告。此类系统可以用数字孪生聚合来描述。

因此，数字孪生可能由许多虚拟子空间和子系统组成，这些虚拟子空间和子系统可相互通信并查询信息，例如在数字孪生集合中。仿真数据管理系统可以协调不同的多物理场和多尺度模型之间的松散连接，如通过查询来自另一个子系统的更新信息来执行仿真。具有协同仿真功能的系统模型可用于运行需要不同子系统之间双向耦合的仿真。

高保真模型、传感器数据、历史数据和用户报告可用于产品、设备或过程的不同阶段的数字孪生。对于上述喷气式飞机的情况，数字孪生及其技术可应用于以下过程：设计、认证、制造、操作、态势感知和使用寿命预测。（参考文献1 ）

轻量级模型

高保真多物理场和多尺度模型可能需要计算机能力，并且可能需要很长的计算时间才能给出结果。然而，一些物理产品的系统可能需要实时的仿真数据；例如，用于上述喷气式飞机的控制系统和实时诊断。为了能够对来自真实系统的查询进行快速回复的目的，数字孪生必须包含能够提供快速回复的轻量级模型。

对这一简单的基准机翼剖面进行精确 CFD 仿真（LES），需要耗费数小时才能在相对强大的台式计算机上运行。而对真实机翼几何结构进行相应的仿真，则需要在超级计算机上耗费数小时的计算。这类精确的仿真只能用于验证一系列更简单的模型，比如湍流模型，再到可以实时运行的非常简单的集总模型。

轻量级模型的缺点在于它们的有效性范围是有限的。数字孪生则可以通过使用高保真模型、传感器和操作范围的报告数据来持续验证轻量级模型，以此扩大其有效性范围。轻量级模型的更新可以是按计划执行的，而当操作范围接近以前验证过的范围之外时也可以触发更新。

轻量级模型的好处是显而易见的：速度很快。通过战斗机的例子就可以发现，轻量级模型能够嵌入到控制这些子系统的子系统和计算机中。这些模型的持续更新和验证可以借助传感器和报告数据来完成，也可以通过与空军设施的超级计算机进行高速通信来完成，其中高保真多物理场和多尺度模型同历史数据和传感器数据一起得到了部署。

炒作

通过以上讨论，我们可以得出结论：大量的传感器数据、历史数据、报告、仿真数据和控制参数都必须在真实空间和虚拟空间之间发送，并存储在一个统一的存储库中。针对军用，所有这些数据资料都将在一个封闭系统内进行传输，在该系统中，喷气式战斗机使用军事通信系统与空军设施内的超级计算机进行通信。针对民用，对通信和计算的需求解释了围绕物联网（internet of things， IoT）、5G 网络、机器学习和云计算连同数字孪生一起的炒作。封闭系统中的类似要求适用于军事用途。

这些技术与数字孪生概念相结合具有真正的价值。这不仅仅是炒作!

民用方面，物联网能够传输传感器数据，并将验证和控制数据传回设备中的嵌入式系统，这一点至关重要。机器学习，亦称人工智能，它可以用来决定何时查询或更新子系统、传感器和不同的模型，以保持数字孪生和物理设备或过程的高保真。云计算可用于求解复杂的模型方程、验证模型、过滤并处理实测数据、存储并处理历史数据，并根据用户或 AI 的命令查询不同的系统和子系统。因此，这个概念有其真正的价值，而不仅仅是炒作。

COMSOL Multiphysics® 和数字孪生

显而易见，COMSOL Multiphysics® 软件可以为数字孪生高保真描述的创建提供所需的多物理场和多尺度模型。此外，COMSOL® 软件还能够使用实测数据，并结合不同的参数估计、优化和控制方法来控制和验证这些模型。COMSOL Multiphysics 还提供了模型降阶方法（参考文献4 ）和集总模型方法，这些方法可用于生成并验证轻量级模型。

COMSOL Multiphysics 模型还可以包含多个模型组件，以便借助能实现非常紧密耦合的组件对系统进行建模。例如，一个系统模型可以是喷气式发动机的模型，其中包含一个用于燃料分配系统的管流模型组件、一个用于冷却系统的组件、一个或多个用于发动机不同部件的结构模型组件、燃烧和 CFD 模型组件。

在 COMSOL Multiphysics 中，借助 COMSOL API 与 Java® 一起使用 可以实现真实空间和虚拟空间之间的紧密连接。包含在模型中的 Java® 程序可以与外部系统进行通信，例如，通过使用动态链接库文件（dynamic link library files，dll-files）。得益于 Java® 生态系统，还可以将虚拟空间实现为 web 服务（比如运行在 Tomcat 中基于 Java® 的 web 服务），举例来说，这种 web 服务可以提供表征性状态转移应用程序接口（representation state transfer application programming interface，REST API），用于与真实空间进行通信。这将会是数字孪生环境的核心部分。

运行 Apache Tomcat 的 Web 服务提供了一个 REST API，可以用来在物理设备和 COMSOL App 之间建立起紧密连接，从而实现数字孪生的创建。涡轮图片由 Sanjay Acharya — Own work 提供，在 CC BY-SA 3.0 授权下使用，通过维基共享资源发布。

COMSOL Server 用来对模型和 App 进行管理，这些模型和 App 可用于查询输入文件或运算符更新所触发的仿真数据。此外，借助 COMSOL Compiler 编译的 App，可以用来接收输入数据，并以控制参数和报告的形式生成输出数据。COMSOL Server App 和编译的 App 中的唯一局限是：在执行过程中不能对输入进行更新（这两者与上面使用 COMSOL API for use with Java® 的示例截然相反，而后者则可以实时持续接收输入数据）。

输入在一开始执行就已经完成，而在执行过程中的输出可能是连续进行的。因此，COMSOL Server 和编译的 App 的典型用法是在功能相对强大的计算机上运行高保真度描述。这些 App 可以在数字孪生中进行查询，以生成用于验证可能嵌入到产品、设备或过程中的轻量级模型的数据。

结束语

从上面的讨论我们可以得出结论，数字孪生的概念不仅仅是炒作。在设计、制造、操作甚至是处理过程中，数字孪生能够理解、预测和优化产品、设备或过程，这便是其巨大的价值所在。例如，在战斗机的例子中，数字孪生会遵循其物理对应物的产品生命周期，以相对较低的成本交付设计、控制和运行参数，以及进行安全和寿命预测。

COMSOL Multiphysics、COMSOL Server 和 COMSOL Compiler 都可以提供多物理场、多尺度和轻量级模型，以及数字孪生的验证和控制方法，所有这些都可以通过真实的多物理场功能在真实空间和虚拟空间之间提供最高的保真度!

下一步

如需了解更多关于 COMSOL Multiphysics 模型和仿真 App 如何适用于贵单位的数字孪生的使用，以及评估本软件，请通过以下按钮与我们联系：

参考文献

1. E. Glaessgen and D. Stargel, “The Digital Twin Paradigm for Future NASA and U.S. Air Force Vehicles,” 53rd Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, 2012.
2. M. Grieves, “Origins of the Digital Twin Concept”, working paper, Florida Institute of Technology, 2016.
3. M. Grieves, “Digital Twin: Manufacturing Excellence through Virtual Factory Replication,” Michael W. Grieves, LLC, 2014.
4. D. Hartmann, M. Herz, and U. Wever, “Model Order Reduction a Key Technology for Digital Twins”, Reduced-Order Modeling (ROM) for Simulation and Optimization, pp. 167–179, Springer, 2018.

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科学、技术和传统

有限元法被数值分析界广泛用于研究流体流动的数值方法。在相关科学出版物中，有大量关于 CFD 和有限元法的描述，以及节点间断伽辽金（DG）法的最新研究，后者是一种采用不连续基函数的有限元法。

用于 CFD 仿真的商业软件包传统上基于有限体积法，这是因为基本上所有大型 CFD 商业软件包的来源都相同。业界对有限体积法投入了大量的精力和技术。现在，业界采用多种方法来高效、准确地计算结构化（例如六面体，即块体）和非结构化（例如四面体）网格的通量并进行积分。

也就是说，对于流体流动问题而言，有限体积法优于有限元法这一假设没有任何理论或实践支持。首先，存在许多不同的有限体积法和有限元法，其中一些方法在某些方面是相同的；其次，方法的实现对软件的实际使用有很大的影响。我们可以说，对于某些特定的问题，软件包 X 似乎比软件包 Y 更适用。不过，这并不是因为其中一个软件使用了有限元法，而另一个使用了有限体积法。下面我们来解释一下其中的原因。

有限元法 vs. 有限体积法：哪个最好？

数学模型和数值模型

我们先来看一个通用的数学模型：

(1)

(2)

其中， 表示微分算子， 表示因变量（解变量）， 表示源， 是描述初始条件的函数， 是一个算子， 是边界上的函数。在本例中，空间坐标 表示所有三个方向（x, y, 和 z ）。

数学模型可以描述流体流动等物理现象。在这种情况下，模型可以表示空间和时间中动量和质量的守恒。幸运的是，源于这种守恒定律的数学模型加上初始值和适当的边界条件后往往运行良好。这意味着存在唯一解，该解在问题取多个数据（例如，初始值、源项或边界条件）的情况下始终成立。

尽管一个问题存在唯一且稳定的解，但很难或者说几乎不可能解析化的找到这样的解，也就是说，可能很难找到用便于计算的算子（+、-、x、÷）描述的解析表达式。那么我们必须建立一个接近数学模型的数值模型，然后使用可在计算机程序中实现的数值方法 来求解数值模型方程。

有限元法和有限体积法是基于模型方程空间离散化的数值方法。对于常微分方程，时间离散化通常采用某种时间步格式来实现，上面定义的数学模型给出了如下数值模型：

(3)

(4)

其中， 表示离散化参数，比如有限元法或有限体积法中的网格单元或单元大小。

请注意，网格中的构建块在有限元法中称为element，在有限体积法中称为cell。

误差有多个源。截断误差 可以帮助我们辨别数值模型与数学模型的近似程度：

(5)

数值模型的 精确度 揭示截断误差随着 的减小而减小的速度。这意味着单元大小越小，数值模型与数学模型之间的差异就应该越小。如果截断误差随 减小，则数值模型是一致的。

解的离散化误差 为模型方程的精确解与数值解之差：

(6)

如果数值解随着减小而接近精确解，则可以认为数值方法收敛：

(7)

离散化的精确度 揭示数值解随着 减小收敛为精确解的速度。

(8)

值越大，近似值收敛得越快。
那么，有限元法与有限体积法在精确度上有什么内在的区别吗？通过增加基函数的阶数，理论上我们可以用有限元法达到任意精确度（在实践中，还有其他限制因素）。最常见的有限元法是二阶至三阶精度，而有限体积法是一阶至二阶精度。

两者有哪些相同点和不同点呢？

我们来看一个通量平衡方程，它是流体流动数学模型的基础：

(9)

在这个方程中， 表示守恒物理量，如动量或质量， 表示该量的通量，比如单位面积和单位时间内流过控制面的动量。

有限元法首先建立一个积分方程，方程用试函数 加权，然后通过对模型域进行积分来求平均值：

(10)

不过，在继续之前，我们要对 应用散度定理，从而得出如下表达式：

(11)

其中， 表示域 的边界， 表示域边界的法矢。对上述方程左边部分求积分得出：

(12)

这意味着，根据 方程 11，我们可以得到：

(13)

从而得出如下表达式：

(14)

我们可以将上面的方程 14 代入方程 10 的第二项，这样做是为了在积分方程中自然地包含通量边界条件，这种做法在随后的数值实现过程中带来好处，即通量矢量不必是可微分的，进而得出有限元法中的基础方程：

(15)

这就是所谓的弱形式。左边的第三项对 、 在域 边界上的通量进行积分。如果弱形式对大量的试函数 都成立，则它只与物理模型有关。常见的一种选择是使用多项式，但也可以是其他类型的函数。一个特例是常数试函数；例如， = 1。上面最后一个方程方程 15 变为：

(16)

这个关系式是有限体积法的基础。

至此，有限元法与有限体积法没有区别。如上所述，有限体积法的公式 方程 16 只是有限元法中使用的一般弱形式 方程 15 的特例。不同之处在于 方程 15 和 方程 16 的离散化。有限元法的依据是，选取有限数量的测试函数，并要求 方程 15 对所有函数都成立。有限体积法的依据是，选取有限数量的控制体积 ，并要求 方程 16 对所有控制体积都成立。如果我们使用三角剖分法作为这两种方法的基础，图 1 和图 2 分别显示了有限元和有限体积公式可能的离散形式。

我们观察最常见的有限元法会发现，试函数仅在节点（局部支持函数）附近是非零的，这意味着只需对这附近的element（这里是三角形）计算积分，比如下面图 1 中突出显示的域节点及其附近的灰色element。边界通量的贡献（ 方程 15 左边第三项）只需包含在边界上有面（三维）或边（二维）的element中，这是因为，element间边界贡献抵消了连续基函数。下面的图 1 显示了如何为域中的内部element（白色、灰色和绿色）以及边界上有面（三维）或边（二维）的element（浅蓝色）建立方程。对于图 1 域中突出显示的节点，只有周围的灰色element对（ 域上）域积分有贡献。对于边界上突出显示的节点，只有两个相邻的浅蓝色element对 域上的积分有边界通量贡献，而这两个浅蓝色element和浅绿色element对（ 域上）域积分都有贡献。

图 1. 内部element（白色和灰色）和边界上有面（三维）或边（二维）的element的域贡献。灰色六边形中间节点的基函数在所有周围element中（即在所有灰色element中）都有支持；边界处节点的基函数在浅蓝色element中有支持，在边界处有节点的任何element（如浅绿色element）中也有支持；通量的积分仅从边界上有边的element（浅蓝色element）获得贡献。

离散通量的域表达式 根据通量的本构关系得出，对流扩散方程（流体流动方程中的扩散项是动量传递的粘性项）就是一个例子。 方程 15 中通量的边界表达式根据特定模型的边界条件得出，然后，我们将这些表达式作为对上面图 1 中边界单元（浅蓝色）的贡献。

我们再观察常见的有限体积法，即cell中心法，会发现每个cell（三角形）都被视为一个单独的域。通量的边界项（方程 16 左边第二项）对所有cell（包括内部cell和边界上有面（三维）或边（二维）的cell）进行积分。通量的本构关系用于域的面或边，而边界条件用于边界上的面或边；参见下面的图 2。

图 2. 对所有cell面（三维）或边（二维）（包括内部cell和边界上有面或边的cell）上的通量求积分。

那么我们如何用两种不同的方法来表达 和 呢？

有限元法通常采用与试函数相同的基函数来近似求解。只要解的近似值有一个次数大于零的多项式，并且一阶导数可以近似导出，就不需要特别处理对流和扩散产生的通量。通量矢量也是一个局部多项式函数。

相反，在有限体积法离散化中，边界上的解没有很好地定义。该方法仅为每个cell定义解的值，通常解释为cell中心的值。因此，有限体积法需要通过某种重建方法来完成。通常，在考虑相邻cell值的情况下，使用局部插值方法；见图 3 中的示例。为了得到解和通量的高阶插值，需要考虑更多的cell值，这不仅非常复杂，而且会导致更少局部的方法。

图 3. 在以cell为中心的有限体积法中，通量矢量通过在以cell为中心的点之间插值来构建。

根据有限元法中采用的基函数和有限体积法中采用的通量构建类型，我们可以实现不同的精度。采用二阶精度法的粗化网格比采用一阶精度法的细化网格得到的解更精确。

有限元法的线性试函数和基函数通常需要采用二阶精度的方法。有限元法在离散化方面有较大的灵活性。例如，使用二次基函数相当简单，也不需要对解进行重建或插值。该方法本质上是非常对称的，边界上的通量边界条件可以通过自然、直接的方式施加。

有限元法的一个缺点是，对于连续试函数和基函数，没有局部守恒性，只能保证全局守恒。换句话说，只能保证域边界上的净通量是平衡的。另一个缺点是无法控制局部通量，这意味着稳定对流占主导地位的流动的离散化并不简单。在这种情况下，稳定意味着消除离散化产生的非物理振荡。对流占主导地位的流动的局部守恒和稳定性问题都可以通过直接或间接修改试函数，也就是修改弱形式来解决。不过，这些方法的计算量可能非常大。

如上文所述，有限体积法对应于分段常数有限元基函数，可能对通量采用高阶插值方案，这需要采用一阶或二阶精度方法。有限体积法的局部表述可以实现局部守恒，这是该方法极具吸引力的一个特征。这意味着每个cell的净通量都保证是平衡的，进而能够以自然、直接的方法来稳定对流占主导的流动问题的离散化。通过修改cell间边界上的通量可以自然地实现所谓的逆风稳定和其他稳定。逆风在对流通量方向的离散化中产生非对称性。

有限元法的好处是能够为不同阶数的基函数制定方法。高阶基函数给出了高阶、精确的方法，这有助于提高给定网格的精度。有限体积法采用零阶基函数，但可以对通量使用高阶插值方案，这也提高了精度。当使用高阶方法时，得到的系统变得更大，相同网格的求解时间增加，不过，精度也更高。因此，我们在比较性能时，必须在给定的精度条件下进行比较。用不同的方法以相同的精度测量解决流体流动问题所需的 CPU 时间和内存是比较不同方法性能的正确方式，而不是比较cell或element的数量。

有限元法的前景

COMSOL 软件主要采用有限元法解决 CFD 问题，这是我们的专长所在。在过去的 15 年中，研发团队在研究采用不连续试函数和基函数的有限元法方面取得了重大成就，也就是引言中提到的 DG 方法，这些方法中的试函数对于每个element来说都是局部的，弱形式的方程适用于每个element。局部守恒是自动实现的，高阶离散化非常简单，也不需要重建解，但零阶方法除外，零阶方法相当于有限体积法。此外，element边界上的局部通量是公式的自然组成部分，这意味着很容易实现稳定性。DG 方法的一个缺点是引入了相对大量的额外自由度，这就需要研究混合 DG 方法，在这种方法中，离散化更为精简，自由度更少。

关于有限元法和有限体积法的总结性思考

正如本文所述，有限体积法和有限元法都有各自的优缺点。要对大规模流体流动问题进行有效计算，还需要考虑其他许多重要方面：高效、稳定地处理时间步进；有效地实现隐式和在某种程度上呈显式的时间步进；求解大型线性方程组等等。未来，我们还有大量工作要做，仍然存在许多改进不同方法和技术的可能性！

我们 COMSOL 公司一直致力于采用有限元法提供最高效、最前沿的技术，同时致力于开发最好的通用方法——不仅适用于多物理场问题，而且适用于 CFD 等“单”物理场应用。

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