本文是博客：“有限元模型中的奇异现象：如何处理模型中的红点”的后续内容，介绍了结构力学模型中出现奇异应力的时间和原因，并对奇异现象进行了一般性介绍。如果您是第一次了解该主题，建议先阅读这篇博客。有关如何处理奇异应力场的详细信息，请阅读本文。

进一步了解奇异应力场

首先，我们来详细分析一下奇异应力场及其与应力集中的关系。应力集中也出现在几何不连续处，二者有相似之处。应力集中与奇点的区别在于，前者的最大应力是有边界的。例如，您可以通过在有限元模型中使用足够精细的网格获得精确解。

通常，机械设计人员会通过引入一个半径尽可能大的圆角来减少应力集中。应力集中处的峰值应力通常用应力集中系数 与适当选定的名义应力的乘积描述。对于圆角，有时可以通过下列表达式获得 ：

式中, 是圆角半径， 是以圆角结束处缺口的特征长度。

该方程的背景是求解一个大平板中的椭圆孔处应力集中的解析解，其中 是椭圆较大的半轴的长度。

含一个椭圆孔的大平板。

对于大多数缺口，该表达式只能用于粗略计算 ,因为很难推导出特征长度。一个重要的事实是：小缺口处的峰值应力基本上是圆角半径平方根的倒数。相信任何尝试过减小局部应力集中的工程师都可能为这一事实而苦恼过，因为适度地增大圆角半径会使峰值应力更适度地减小。

极限应力集中发生在裂纹尖端，此处缺口半径无限小。在弹性固体中，裂纹尖端附近的应力场和应变场的解是众所周知的。它们与裂纹尖端距离的平方根（）成反比。应力场通常写成

式中，, , 和 分别是模式 I（开口）、模式 II（剪切）和模式 III（撕裂）的应力强度因子。函数 , , 和 由裂纹尖端周围极角 的三角函数组成。(更详细的定义请参见此处）。

一个令人惊讶的结论是，只要 离裂纹尖端足够近 ，裂纹尖端周围的应力场看起来是一样的，与裂纹的实际形状以及裂纹所在的成分无关。

在线性弹性断裂力学的假设条件下，模式 的断裂准则为 ，其中 是材料参数（称为 断裂韧性）。这样，就可以在不明确使用无限应力的情况下研究这种具有特殊奇异性的几何形状。这个思路将在下文中得到推广应用。

现在，考虑一种几何形状几乎是奇点的情况。也就是说，一个圆角或一个圆角半径很小的裂纹。本文将重点讨论这种情况。在距离较远处，我们无法真正区分缺口和奇点。接下来，我们将使用一个例子来解释这句话。

以一个处于拉伸状态的含缺口的长条几何的二维模型为例。通过在这个模型中沿左侧垂直边添加对称条件，也可以研究内部缝隙。

含缺口的长条几何结构的应力分布。该模型的参数与缺口深度 () 和缺口半径 () 有关。

首先，可以注意到，对于尖锐的裂纹，这种几何形状的应力强度因子可写成

是裂纹长度； 是外加应力（此处为 1 Pa）； 是长条宽度。函数 有多种表示方法。在此，我们使用以下表达式

这个表达式在本文被称作 裂纹解。

沿韧带（从切口尖端向 x 方向延伸）的应力分布图，适用于短切口和几种不同的切口半径。由于对称性，只有一个应力分量 c 不为零。

不同缺口半径下沿韧带的垂直应力与缺口尖端距离的函数关系。虚线表示相同深度的裂纹的理论值。

一个有趣的现象是，在特定情况下，应力场与裂纹解析解的应力场非常相似，即应力-距离对数图中的直线。在靠近缺口的地方，应力是有边界的，因为它是一个缺口，而不是裂纹。不出所料，峰值应力与 成正比。

在远离尖端的地方，裂纹的局部应力场解在任何情况下都是无效的，不管它是裂纹还是缺口。但在非常近和非常远之间的区域，无论是从观察的角度，还是从物理学和数学的角度来看，都无法真正推断出缺口尖端的真实形状。

为什么这一点很重要？如果知道缺口的形状，那么只要观察一定距离外的应力，就可以确定那里的应力。稍后将详细探讨这一想法。

下一步，我们将在同一图表中绘制大量具有不同缺口半径和切口长度的应力图。不过，现在的横轴通过缺口半径 进行了归一化处理。

不同缺口深度和半径下，沿韧带的垂直应力与缺口尖端距离的函数关系。

从图中可以看出，在距缺口尖端的距离小于尖端半径 0.7 时，进入恒定斜率区域。从我们的角度来看，这已经相当接近要求解的问题了。那么这个区域会延伸多长呢？这不是由缺口细节控制的，而是由几何尺寸控制的。通过另一个归一化曲线图，韧带长度 ()，可以得知这一信息。

与上图相同，但通过韧带长度对距离进行归一化处理。

因此得出以下结论，这种情况下的恒定斜率区域延伸到韧带的 10% 左右。再远一些，应力场就不再受裂纹解的控制，而是受更多全局属性控制。对于特定几何来说，这一区域的大小取决于该几何特有的长度尺度。

接下来，我们来研究是否可以用裂纹解中的应力场预测缺口尖端的峰值应力。先回到大平板上的椭圆孔。椭圆孔（宽度为，缺口半径为 ）的峰值应力与裂纹（长度为 ）的应力强度因子之比为

假定 ，则峰值应力可用应力强度系数表示为

这样，当计算出应力强度因子时，就可以用以下表达式确定圆形裂纹尖端的应力了。

其中，系数 是一个与配置相关的数量级为1的数字。我们可以在上面的例子中尝试这一假设。

下面绘图显示的表达式

为缺口半径与缺口深度的函数关系。使用了两种不同的几何形状：边缘缺口和中央狭缝。后一种情况是通过在模型中添加对称条件获得的。

使用有边缘缺口的几何得到的系数 。

使用中心狭缝的几何得到的系数 。

可以看出，只要缺口半径较小，两种情况下假定的乘数 的实际值都接近 1.2。缺口半径大、长度小的情况下，与裂纹的相似度就会降低。使用 进行简化是无效的。

为了绘制这些图，我们使用了 的解析值。在实际情况中，如果不知道这个值，则可以使用距缺口一定距离的解，通过数值计算确定 。

事实上，任何尖角都有一个应力场衰减为 的区域，其中 是与尖角的距离。到目前为止，我们已经看到理想的裂纹 。不同开口角度下的 值如下图所示。

不同开口角度下应力奇点衰减的幂次。突出显示了 45^°、90^°和 135^° 的值。

这条曲线是通过求解超越方程

, 为开口角度。

为了完整起见，我们可以在含内角的长条拉伸有限元模型中检验超越方程的解。该模型使用拐角的开口角度作为参数。

开口角度为 90^°时，含内角的模型中的 von Mises 应力 。

沿韧带的垂直应力。离尖角的距离通过韧带长度进行了归一化处理。虚线表示根据上述 p 值得出的理论解。

可以看出，应力-距离图中有一些几乎是直线的区域，在拐角附近与理论斜率非常接近。

另一种奇点是由材料不连续性引起的。在实践中，这通常与几何奇点同时出现。在此，我们仅研究长条在拉力作用下的纯材料不连续性。

一根下部比上部硬的长条杆的模型几何，绘制了载荷方向的应力。

从这第一幅图中就已经可以看出一些通用特性：

• 自由表面出现奇点。
• 硬质材料的应力高于相应位置的软质材料应力。

为了更深入地研究这个问题，我们可以绘制显示应力衰减与材料界面距离的函数关系的图。

沿自由边界加载方向上的应力与界面距离的函数关系图。实线表示软质材料的应力结果，虚线表示硬质材料的应力结果。参数 是软质材料与硬质材料的杨氏模量比值。

同样，可以在应力-距离对数图中发现一些直线，这表明应力随距离的变化而变化，如 。在两种材料中，幂 ‘’是相同的（用相同颜色表示的实线和虚线是平行）。奇点的强度受两种弹性模量的比值和泊松比值的控制。

观察上述（放大的）表面图中的变形形状，我们可以从物理角度对此进行解释：在相同载荷下，较软的材料比较硬的材料延伸得更多。也就是说，在软质材料中，载荷方向上的应变变大。这也意味着，在两种材料具有相同泊松比的情况下，横向收缩也会相应增大。不过，这种收缩会在两种材料的界面处受到抑制，从而产生局部应力奇点。

如果选择

这个奇点就会完全消失。

得出的结论是，在大多数情况下，材料变化会产生奇点。此外，在这种情况下，不连续性附近会有一个区域，应力会根据幂律衰减。

现在，我们已经研究了有限元仿真中最常见的奇点类型，并发现它们有一个共同的特性：奇点附近的应力与距离呈幂律关系。

焊缝评估

对焊缝进行设计以使其能够安全地应对失效是工程领域的一项重要功课。尽管在一般情况下不可能精确地进行应力评估，但已有大量研究致力于提供预测失效的系统方法。对于这种情况，造成问题的主要原因是焊缝的实际几何形状未知。根据确切的局部几何形状，焊缝可能会也可能不会引入应力奇点。更为复杂的是，焊缝中往往存在隐性缺陷。除了需要高质量焊缝的情况，在这种情况下可以对焊缝进行打磨，并采用某种无损检测方法进行检查。但大多数情况下，对焊缝进行详细的局部应力分析意义不大。

有三种不同局部几何形状的圆角焊缝。

COMSOL博客：“如何预测焊缝的疲劳寿命”介绍了焊缝的应力评估。

与其深入探讨焊缝分析的细节，不如探讨更有意思的焊缝设计理念：

• 计算指定位置的应力，而不是焊趾本身的应力。
• 确定该应力的允许值，这通常必须通过实验来完成。
• 允许的应力值取决于您同意评估应力的方式和位置，因此它不是真正的材料属性。

在使用纸和笔计算的年代，所有局部效应都被忽略了。允许的应力值必须考虑到这一点，因此往往偏低。现代基于有限元的方法考虑了部分应力集中（由整体几何形状引起的部分，但不包括局部焊缝几何形状）。因此，允许的应力值可以更高，但仍大大低于纯材料测试所显示的应力值。

在使用有限元计算时，壳模型通常会，而固体力学模型则会计算应力细节，而这些细节在进行焊接疲劳分析时是不需要的。

推荐方法

有限元模型可能包含奇点的原因很多，并且往往本质不同。例如:

• 正如本文开头提到的博客中所讨论的，边界条件会引起奇点。如果这种奇点给分析带来问题，可以通过完善边界条件来解决。
• 之所以引入尖角，是因为局部几何形状的尺度较小，在全局尺度上建立圆角模型并不合理。在这种情况下，并不存在真正的奇点，而是一个明确定义的应力集中。最精确的方法是使用子建模来确定局部应力状态。在全局模型中，可以利用应力集中附近幂律衰减应力场的振幅了解应力集中的位置。另一种方法是将近场应力场知识与应力场与局部应力集中相关的知识结合起来，从而得出局部应力集中的估计值。

您可以仿照焊接评估的方法，但要因地制宜。要做到这一点，需要有广泛的经验基础。以前的设计哪些失败了，哪些没有失败？然后，您需要对以前的设计进行分析，并尝试找到与经验相关的评估方法。

首先为这些设计建立有限元模型，并尝试确定一个区域，在该区域内的应力或应变场既不受局部缺口几何形状的控制，也不受整体几何形状的控制。至少在制定标准时，可能有必要使用子模型。

使用什么标准通常并不明显。由于您只是要进行相对比较，而不是将计算出的数字与任何物理强度值联系起来，因此有许多可能的选择。例如：

• 数量应易于计算。
• 该数量不应对分析中的不确定性过于灵敏。
• 如果可能，数量应与物理场相关。例如，如果材料是脆性材料，那么查看最大主应力或主应变可能比使用 von Mises 等效应力准则更好。
• 如果疲劳是一个问题，数量必须对逆载荷反灵敏。
• 如果可能，请选择应变准则而不是应力准则。因为应变是直接根据位移计算得出的。应力则是通过应变的组合计算得出的。这表示应变张量中一个不准确的分量将传播到应力张量中的所有元素。
• 在 COMSOL Multiphysics^® 软件中，您可以使用 安全 功能来评估大量不同的标准，包括用户定义的标准。

一般情况下，奇点的幂次是未知的。但我们知道，在某一区域，相关量的变化为

和 的值可以通过最小二乘法拟合或简单地使用应力应变对数-图中直线部分上的两点值来获得。由于 必须被看作某类奇点的恒定属性，因此计算出的值可用作方法有效性的检验。

在 已知的情况下，应将 的值与允许值进行比较。这与断裂力学中处理裂纹的方法类似。

百分比法

另一种获得允许应力水平的方法是将参考应力定义为在参考体积的给定部分（例如 5%）中超出的值。如果该参考应力低于允许值，则该设计被接受。使用这种方法，可以避免计算接近奇点的问题。只需计算出超过参考应力的体积即可，而该体积的边界在距奇点一定距离的地方，此处解可以很好地收敛。

这种方法看似简单，但应用起来却需要一定的标准化。其中一个问题就是如何确定参考体积。如果使用结构的总体积，那么只需在低应力区域添加更多材料就可以降低参考应力，这当然是不合理的。参考体积必须与奇点周围特定区域的大小等因素相关。另一个缺点是，优化方法可能会选择重新定位应力，从而使参考应力减小，而峰值应力增大。

同样，我们也只能对类似结构进行比较来确定。

现在，我们来讨论如何使用百分比法计算应力值。在 COMSOL Multiphysics^® 中，无法直接计算 5% 的应力值。下面介绍 3 种替代方法。

方法 1

如果只需要一次求值，最快的方法通常是手动迭代几次。您只需创建一个积分算子（例如，intop1），然后对 intop1(solid.mises>sRef)/intop1(1) 这样的表达式进行求值。通过多次改变参考应力 sRef，很快就能找到与给定百分比相对应的值。

方法 2

使用模型方法自动执行方法 1。

方法 3

您可以设置一个额外的方程，求解应力值，下文将对此进行说明。

待解方程如下：

是计算应力。它可能是如 von Mises 的等效应力、第一主应力或其他应力。当然，也可以使用相同的程序来计算应变或能量标准。用 表示参考体积， 为百分比。积分内的布尔表达式假定为 1 时为真，定义为 0 时为假。

为了在计算时更容易处理缩放，最好将方程改写为

可以像第一种方法那样，使用积分算子计算积分。在 COMSOL Multiphysics^® 中使用 全局方程 节点实现该方程的直接方法如下所示：

遗憾的是，这样行不通。不等式是不可微的，因此无法形成雅可比矩阵。刚度矩阵将只包含该方程的零点。不过，可以通过手动引入有限差分导数来规避这个问题。该表达式较长，需要您对 COMSOL^® 中基于方程的建模有一定的了解，下面的附加信息部分将给出详细解释。

下图所示是一个修改后的全局方程，它可以解决如何找到能给出预期百分比的应力的问题。

这里，用户定义的参数 dS 是应力增量，在附加信息部分用 表示。

我们以上文的缺口板为例来说明这种方法。由于参考体积应与板的尺寸无关，可以在缺口周围选择一个圆。在这种情况下，圆的半径可以根据结构的以下特征长度来选择：

• 宽度: 1 m
• 最小裂缝长度: 0.1 m
• 最小韧带宽度: 0.3 m
• 最大切口半径: 0.01 m

基于缺口尖端周围半径为 0.05 m 的圆确定的参考体积将远离结构的边界，但也将远离缺口本身的细节。

在不同的狭缝深度和切口半径下，5% 的参考体积所超出的应力水平。

对于所有狭缝深度值，5% 应力基本上与切口半径无关。它只对切口深度敏感。这与基本原理是一致的：避免对局部（可能是奇异的）应力场细节的灵敏性。无论使用尖角还是圆角，都能得到相同的结果。从本质上讲，这种方法提供的信息与应力强度因子相同：它测量的是奇点的强度。如果对具有相同圆角类型的结构进行比较，这种方法可以成为应力奇点处理的标准。

附加信息

该表达式包含两个项：第一个项产生残差，第二个项产生雅可比矩阵。这是一种通常可用于高级建模的解决方案。例如，如果创建精确的雅可比函数成本较高，则可以使用类似的表达式将正确的残差与近似的雅可比函数结合起来。

在多个地方使用 nojac(expr) 算子，用于确保不产生给定表达式的雅可比贡献。

雅可比项乘以系数 (sRef-nojac(sRef))。由于这个表达式的求值总是为零，因此这部分表达式不会产生残差。 sRef 相对于自身的导数就是 1，而表达式的剩余部分就是导数的对称有限差分表达式。

式中， 是应力的有限变化，应选择尽可能小的变化量，同时还要保证 计算出的体积与 有明显差异。一个好的水平是，当一个单元上的应力变化在等值面附近为时，将得出参考应力 。

结束语

尽管从理论上讲，不可能对奇点处的梯度和通量（应变和应力）进行计算，但还是有一些系统的方法可以解决这个问题。不过，这些方法需要有足够的实验数据来解释所选择的临界量。

点击下面的按钮，下载本文中使用的模型。

编者注:原博客最初由 Pawan Soami 撰写，发布于 2018 年 12 月 6 日。现已更新以反映最新版本软件的特征与功能。

内容简介

1. 什么是复合材料？
2. 细观力学分析
3. 宏观力学分析
4. 经典层压板理论和物理场接口
5. 材料模型
6. 复合材料仿真的结果计算工具
7. 复合层压板的多物理场分析
8. 复合层压板的优化
9. 多尺度分析

什么是复合材料？

由于复合材料具有特定的力、热、电和磁性能，因此在不同领域有着许多潜在的应用。例如，一些行业正在开发具有传感、驱动、计算、通信和其他功能的“智能”复合材料。在结构工程中，复合材料比传统的整体式材料更坚固、更轻，因此得到了广泛的应用。在使用这些材料设计复合结构之前，工程师必须充分了解它们的性能。

使用复合材料的优势和面临的挑战

与传统材料相比，复合材料具有多项优势，例如：

• 高强度重量比
• 耐冲击性强
• 高抗疲劳性和抗腐蚀性
• 摩擦性和磨损性增强
• 低导热系数和低热膨胀系数
• 耐高温

由于复合材料由多种材料混合而成，因此在使用这些材料时也会遇到一些挑战，包括：

• 各向异性特征
• 复杂的损伤和失效模式
• 原材料和加工成本高昂
• 难以重复利用和处置
• 不同组件的连接性差

复合材料的应用领域

由于复合材料具有以上优点，因此被广泛应用于以下领域：

• 航空航天工程（如卫星的机翼、机身和结构板）
• 国防安全（例如，坦克和潜艇）
• 风力发电机(例如，叶片)
• 建筑和施工 (例如，门、面板、框架和桥梁)
• 化学工程（例如，压力容器、储存罐、管道和反应堆）
• 汽车和运输工具（例如，自行车和汽车零部件）
• 海洋和铁路运输（例如，船体和铁路部件）
• 消费品和体育用品（例如，网球拍和高尔夫球杆）
• 电子产品（例如，配电支柱和接线盒）
• 矫形辅助工具
• 安全设备

复合材料的类型及其分类

复合材料的分类方法有多种，其中的一种方法是根据构成类型（即基体和增强材料）进行分类。根据基体材料的类型，可以将复合材料分为以下几类：

• 聚合物基复合材料 (PMC)
• 金属基复合材料 (MMC)
• 陶瓷基复合材料 (CMC)
• 水泥基复合材料 (CeMC)

根据增强类型，可以将复合材料分为以下几类:

• 纤维复合材料
• 晶须复合材料
• 颗粒复合材料

纤维、晶须和颗粒复合材料示例

纤维增强复合材料

相较于其他层压复合材料，纤维增强聚合物是当今非常流行的一种复合材料。这些材料通常由作为主要承载元件的长纤维和周围用于支撑纤维并传递载荷的基体组成。纤维以指定的方向排列在材料的每一层（或薄层）。许多这样的薄层铺设在一起就形成了可用于构建结构部件的层压复合材料。工业用纤维通常由碳、玻璃、芳纶或硼制成。根据纤维材料的类型，目前业界最常用的两种纤维增强聚合物是碳纤维增强聚合物（CFRP）和玻璃纤维增强塑料（GFRP），也称为玻璃纤维。

虽然我们可以使用 复合材料模块分析任何各向异性层压复合材料，但在这篇博客中，我们将重点讨论单向纤维增强聚合物。

层压板类型

复合层压材料是指由两个或多个单向层/层/薄片按照指定的方式，以一致或变化的纤维取向铺设而成。薄片可以由相同或不同的材料制成，并且可以具有各自的厚度。铺设序列由相对于层坐标系第一个轴的每层纤维的取向定义。

反对称平衡层压板的铺设顺序（0/45/90/-45/0）。

根据铺设顺序，复合材料层压板可以分为以下几种类型:

• 斜角层压板 (例如， 45/30/-45/-30)
• 交叉层压板 (例如， 0/90/0/90)
• 对称层压板 (例如， 45/30/30/45)
• 反对称层压板 (例如， 45/30/-30/-45)

由于纤维、板层和层压板的几何比例完全不同，因此分析复合材料层压板面临很多困难。这也是我们要在细观力学、宏观力学，以及两种（或多种）不同尺度上执行分析的原因。

细观力学

细观力学分析侧重于复合材料的组成层水平。它考虑了组成材料、材料界面以及材料的内部排列。细观力学分析不仅可以计算均质化的材料特性，还有助于了解细观层面的应力、应变、非线性、失效和损伤等。基于细观力学的均质化分析方法可分为两大类：

1. 分析法（例如，混合规则）
2. 数值方法（例如，使用代表性体积单元 (RVE) 或重复单元 (RUC) 进行有限元分析）

在模型开发器树中的材料 节点下，多相材料 和有效材料 节点有多个用于分析计算有效性的混合规则。有效材料 节点内置于复合材料模块，具有以下混合规则：

1. 体积平均
2. 质量平均
3. 谐波体积平均
4. 谐波质量平均
5. 幂律
6. Heaviside 函数
7. Voigt–Reuss 模型
8. 修正的 Voigt–Reuss 模型
9. Chamis 模型
10. Halpin–Tsai 模型
11. Halpin–Tsai–Nielsen 模型
12. Hashin–Rosen 模型

显示了 混合规则选项的 有效材料特征设置窗口

要使用有限元方法数值计算均质材料特性，需要使用代表性体积单元或重复单元。对于周期性材料，代表性体积单元与重复单元相同，但对于非周期性材料，重复单元的概念无效，因此必须使用代表性体积单元材料子体积。

60％ 纤维体积分数的纤维复合材料层的晶胞。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，使用 固体力学 接口中的 单元周期性 节点进行基于细观力学的均质化。该接口有两种不同的边界条件：周期性 和均质。周期性 边界条件适用于周期性材料，需要使用重复单元材料子体积。对于非周期性材料，可以通过代表性体积单元材料子卷应用均质 边界条件。在这篇博客中，我们将重点讨论周期性单向纤维复合材料的均质材料特性。

我们从一个包含纤维和基体的晶胞几何结构开始分析。首先需要给出纤维和基体的材料属性。然后，可以使用单元周期性 节点中的操作按钮设置所需的模型节点和研究。自动创建的研究将计算均质材料的材料数据。

6 种不同载荷下，晶胞中的 von Mises 应力分布和变形。

你可以查看纤维复合材料的细观力学模型和复合材料气瓶的细观力学和应力分析案例模型，了解更多内容。

宏观力学分析

宏观力学分析基于均质材料确定复合结构的响应。层压板的均质材料特性可通过细观力学分析或实验方法获得。宏观力学分析的目的是计算层状结构在各种载荷和边界条件下的整体响应。宏观力学分析包括以下几个不同步骤。

复合材料仿真的预处理方法

模拟复合层压板, 需要指定以下几个特性:

• 层数
• 每一层的均质材料特性
• 层压板主要材料方向的定向
• 每一层厚度
• 铺设顺序

复合材料层压板的横截面显示了每一层的纤维厚度和取向。

要定义层压材料的属性，需要使用 多层材料 节点。在该节点中，可以添加所需的层数，输入内容可以直接输入表格，也可以从文本文件中加载。指定输入后，就可以预览层压材料的横截面和铺设顺序。您可以将包含层压板定义的多层材料保存在材料库中，方便后续加载使用。

多层材料节点示例。

使用 多层材料 节点定义层压材料后，就可通过 多层材料链接 或 多层材料堆叠 节点将其连接到几何边界。在此过程中，层压材料坐标系以及几何表面相对于层压材料的位置也会被定义。层压坐标系还能进一步用于解释铺设顺序，并创建多层局部坐标系。多层材料链接 和 多层材料堆叠节点还有更多的选项，可以将多层材料转换为对称、非对称或重复层材料。还包括模拟厚度在空间上变化的模型选项。多层材料堆叠 节点可用于区域建模，在不同的几何选择中，复合材料的铺设顺序会有所不同。

多层材料链接 和 多层材料堆叠 特征的应用示例。

请注意 单层材料 特征是为单层材料设计的特殊的 多层材料 特征。

经典层压板理论和物理场接口

现在，我们已经定义了层压板并将其添加到几何边界上。接下来，我们来介绍经典层压板理论。通常，我们会使用下列三种理论之一分析层压复合壳：

1. 等效单层（ESL）理论
   • 经典层压板理论（CLPT）
   • 一阶剪切变形层压板理论（FSDT）
   • 高阶剪切变形层压板理论
2. 三维弹性理论
   • 三维弹性理论
   • 分层理论
3. 多模型方法

一阶剪切变形等效单层理论: 壳接口

在一阶剪切变形等效单层理论中，计算整个层压板的均质材料特性，并仅在中面上求解方程。该理论采用类壳公式，自由度（DOF）为网格边界上的三个位移和三个旋转。该理论适用于薄至中等厚度的层压板，可用于计算总挠度、特征频率、临界屈曲载荷和面内应力等全局响应。与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论计算成本较低；但对于较厚的层压板，它需要一个剪切修正系数。

一阶剪切变形等效单层理论中的自由度节点。

在 COMSOL Multiphysics^® 中，壳 接口的 线弹性材料，多层；超弹性材料，多层 和 压电材料，多层 等多层材料特性都是基于 一阶剪切变形等效单层理论。此外，膜 接口中的线弹性材料，多层功能也是基于等效单层理论，可用于对弯曲刚度忽略不计的极薄复合薄膜进行建模。

在风力发电机复合材料叶片的应力和模态分析案例模型中，风力涡轮机复合叶片是使用 壳 接口模拟的。目标是找出在重力和离心力作用下叶片的表层和隔板的应力分布情况。

风力涡轮机复合叶片示例。叶片的表层和隔板的应力分布情况。

您可以查看以下示例，了解更多内容:

• 复合材料轮辋的应力和模态分析
• 复合材料气瓶的屈曲分析

分层理论: 多层壳接口

在这个理论中，方程也在厚度方向上求解。因此，它可用于非常厚的层压板，包括分层区域。该理论采用类似固体的表述方式，其中自由度以三个位移的形式分布在厚度方向上。该理论适用于中等厚度到较厚的层压板，可用于预测正确的层间应力和分层，并进行详细的损伤分析。与一阶剪切变形等效单层理论理论相比，它支持非线性材料模型，并且不需要剪切校正因子。

分层理论中的自由度节点。

从公式的角度来看，分层理论与三维弹性理论非常相似。但是，与后一种理论相比，它具有以下优点：

• 层压板坐标系和层局部坐标系容易定义
• 面内和面外形函数可以具有不同的阶次
• 无需构建具有许多薄层的三维几何结构
• 面内有限元网格划分独立于面外网格划分
• 分层和界面数据容易处理

在 COMSOL Multiphysics^® 中，多层壳 接口基于分层理论。简支复合材料层压板的弯曲案例模型中使用 多层壳 接口和 壳 接口对简支复合材料板进行了弯曲分析，目标是将两种接口得到的厚度应力与给定基准的三维弹性解进行比较。

简支复合板示例。左图：使用 多层壳 接口模拟的板中的 von Mises 应力分布。右图：厚度横向剪应力对比图。

你还可以查看复合材料层压板的强迫振动分析案例模型，了解另一个示例。

多模型法: 壳接口与多层壳接口耦合

多模型法是将等效单层理论与分层理论相结合，应用于复合材料几何结构的不同部位或不同层，以获得可接受的结果，并优化利用计算资源。除了 多层壳 和 壳 接口外，还需要使用 多层壳-壳连接 多物理场耦合节点将这两个不同的物理场接口在厚度方向上进行耦合。

使用多模型方法分析复合材料叶片案例模型中通过耦合 多层壳 和 壳 接口模拟了一个复合材料叶片，目标是对比不同方法的求解时间。

使用不同方法计算的复合材料叶片中的 von Mises 应力分布。

选择合适的层压板理论

基于上述方法，你可以选择合适的层压板理论。一个简单的经验法则是选择基于层压长宽比，即层压板长度与层压板厚度的比值的层压板理论。

基于层压长宽比的两种层压理论的有效性范围。

材料模型

下表列出了在不同物理场接口中用于分析复合材料的材料模型和非弹性效应。

你也可以查看正交材料压力容器 – 壳版本和含压电材料的多层壳案例模型，了解更多内容。

损伤、脱层和首层失效理论

许多复合材料都是准脆性材料，在达到临界应力或应变水平后，初始弹性阶段随后进入非线性断裂阶段。当达到该临界值时，裂纹会逐渐扩展，直至材料断裂。裂纹增长导致的材料刚度下降可以通过多层壳和壳接口中的损伤功能进行模拟。目前有两种损伤模型可供选择：标量损伤模型和 Mazars 混凝土损伤模型。此外，还有几种应变软化损伤演变定律可供选择。为避免网格敏感性，可以选择裂纹带 或隐式梯度选项来使用空间正则化方法。

脱层或层间分离是层压复合材料的一种常见失效模式。包括载荷、材料缺陷和环境条件在内的各种因素都可能引发层间分离的发生和传播。要模拟脱层现象，可以使用 多层壳 接口中的 脱层 功能。脱层理论以内聚力模型（CZM）为基础，并包含多个牵引分离定律。要了解更多信息，请查看 COMSOL 案例库中的 复合材料层压板的混合模式脱层和层压壳中的渐进脱层案例模型。

多层壳 接口和 壳 接口的 安全 功能中提供了多种首层失效理论。具体来说，像 Tsai-Wu、Tsai-Hill、Hoffman、Hashin、Hashin-Rotem、Puck 和 LaRC03 等理论在复合材料仿真中非常有用。要了解更多信息，请参阅层压复合壳的失效预测案例模型。

屈曲

使用这两种层压理论中的任何一种都可能产生线性屈曲；不过，与分层理论相比，一阶剪切变形等效单层理论在寻找临界屈曲载荷系数方面更有效。它可以优化层叠结构，以使临界屈曲载荷最大化。更多信息，请参阅复合材料气瓶的屈曲分析案例模型。

多层材料连续性

如果在多层壳 接口所选的几何结构上激活了一个以上的单层材料、多层材料链接 或 多层材料堆叠，那么默认情况下，这些不同多层材料之间的 DOF 是断开的。使用 连续性 功能可以连接相邻的两个层状材料。利用该功能，你可以对层叠脱落情况进行建模。相关建模示例，请参阅 COMSOL 案例库中的复合板的削层案例模型。

当使用壳 或膜 接口时，DOF 只存在于中面上，因此它们在分层材料之间总是连接的。

在并排放置的两块层压板之间设置连续性的不同方法。

A, B, D 矩阵计算

标准刚度和柔度矩阵可通过 壳 接口中的 线性弹性材料，多层 节点进行计算。可用的四个刚度矩阵包括拉伸刚度矩阵 (A)、弯曲-拉伸刚度矩阵 (B)、弯曲刚度矩阵(D)和剪切刚度矩阵(As)。更多详情，请查看层压复合壳的材料特性案例模型。

有时，复合材料层压板的材料特性由 A、B 和 D 矩阵提供。在这种情况下，可以使用 壳 接口中的 截面刚度 材料特征。

复合材料仿真的结果计算工具

在进行宏观力学分析时，COMSOL Multiphysics® 中有多种功能可用于结果计算。下面我们将讨论其中的一些功能。

多层材料数据

由于几何结构只包含表面，多层材料 数据集用于显示有限厚度几何结构的模拟结果。使用该数据集，可以在法线方向上缩放层压板厚度，这对薄层压板非常有用。 多层材料 数据集还提供在以下位置进行计算的选项：

• 网格节点
• 界面
• 层中面

多层材料 数据集包括选择和取消选择多层材料链接或多层材料堆叠中的不同层的选项。其他一些数据集，如镜像、数组、三维截线，三维截点 和 旋转，也可以与 多层材料 数据集一起使用。

体绘图和表面绘图

多层材料 数据集可直接使用不同的体图、表面图、切面图等。

使用 多层材料 数据集绘制的各种结果图。

多层材料切面图

对于复合材料层压板，多层材料切面 绘图在制作切面时提供了更大的自由度。一些有用实例包括创建切面绘图：

• 通过一个或两个层
• 穿过多个（或所有）层（请注意，不需要在厚度方向上放置切面）
• 在层的特定位置，但不在中面上

使用 多层材料切面绘图创建的层压板每一层中面上的 Von Mises 应力。

全厚度图

该绘图用于确定不同量通过层压板厚度上的变化。你可以在边界上选择一个或多个几何点，也可以选择创建切截点数据集或直接输入点坐标。

层压板上某一点横向剪切应力在厚度方向的变化。

线图或点图

要创建特定变量的线图，需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截线 数据集。同样，要创建特定变量的点图，也需要使用基于 多层材料 数据集的 三维截点 数据集。另一种解决方案，可以将包含特殊算子的变量与 多层材料 或 解 数据集一起使用。

复合层压材料的多物理场分析

结构连接

在许多情况下，系统的结构分析需要使用不同的单元类型或物理场接口。下表列出了可用于连接不同结构物理场接口的多物理场耦合。

请参阅多层壳与实体和壳的连接案例模型，查看连接壳和结构单元的示例。

热膨胀

可以使用下列物理场接口模拟复合结构中的热膨胀：

• 壳传热
• 壳 或者多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 热膨胀，多层

有关建模示例，请参阅案例库中的层压复合壳的热膨胀案例模型。

焦耳热和热膨胀

复合结构中的焦耳热和热膨胀可以使用以下物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳传热
• 多层壳

不同物理场之间的耦合通过下列多物理场耦合节点来定义:

• 电磁热，多层壳
• 热膨胀，多层

声 – 复合材料的相互作用

声–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟:

• 压力声学
• 壳 或者 多层壳

声-结构边界 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

流体–复合材料的相互作用

流体–复合材料的相互作用可以通过以下物理场接口模拟：

• 层流
• 壳 或者多层壳

流-固耦合 多物理场节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

压电 – 复合材料的相互作用

压电 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 多层壳中的电流
• 壳 > 压电材料，多层 或者 多层壳压电材料

压电，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口的耦合。了解更多内容，请参见含压电材料的多层壳教程模型。

压阻 – 复合材料的相互作用

压阻 – 复合材料的相互作用可以使用以下物理场接口模拟:

• 多层壳中的电流压阻壳
• 多层壳

压阻，多层 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场之间的相互作用。

集总机械系统 – 复合材料的相互作用

集总机械系统 – 复合材料的相互作用可使用下列物理场接口模拟：

• 集总机械系统
• 多层壳

集总结构连接 多物理场耦合节点用于定义这两个物理场接口之间的相互作用。

复合层压板的优化

复合层压板是一种合成结构，总是有可能在每层材料、每层厚度和铺层顺序等方面对设计进行优化。利用 优化模块 的功能，可以对复合层压板的不同要素进行优化。要了解此类优化，请查看铺层顺序的优化案例模型，其中根据 Hashin 失效准则对复合层压板的铺层顺序进行了优化。

优化后的复合层压板示例。原始布局（线框）和优化布局（实体）的位移。

多尺度分析

复合材料既可以在宏观尺度上进行分析，也可以在细观尺度上进行分析，无论哪种分析都有其优点和局限性。通过宏观和细观分析，可以深入了解复合材料结构及其成分对宏观加载荷的响应。完整的多尺度分析包括宏观分析和每个材料点的细观分析，计算成本高昂。如果我们将分析限制为只包括几个关键材料点，就可以通过使用 固体力学 接口中的 单元周期性 功能和 多层壳 接口进行多尺度分析。

要查看多尺度分析的实际效果，请参阅失效的细观力学：复合材料结构的多尺度分析案例模型。在这个示例中，首先进行细观力学分析以获得均质材料属性，然后使用分层理论进行宏观力学分析以获得全局响应。最后一步是进行细观力学分析，计算局部应力场和应变场以及基于全局平均应变的失效风险。

多尺度分析示例。左图：基于宏观力学分析的复合材料圆柱体应力。右图：使用细观力学分析法测量不同材料点的应力。

下一步

使用复合材料模块，您可以设计、分析和优化由线性或非线性材料组成的多层复合材料结构。要了解有关复合材料模块的更多信息，请点击以下按钮联系 COMSOL。

理解平面周期性结构的衍射

本文，我们将以入射到具有无限周期的平面结构上的平面光波为例来说明。该平面上方和下方的介质可以具有不同的折射率，并假定为无损耗和无限域。在这些介质的交界面，可以存在材料性质和形状等复杂的周期性结构。入射到周期性结构上的光线至少会发生镜面反射；也会发生折射（也称为镜面透射），通常还会有一些损耗，因为电磁能会转化为热能。我们可以通过斯涅尔定律计算出反射角和折射角，但入射光在周期性结构中的反射、透射或损耗的部分需要通过数值分析计算。

以一定角度入射到平面周期性结构上的平面波。突出显示了周期性结构的一个基本单元。

如前所述，也存在高阶衍射的可能性。当周期性结构散射的光被相长干涉到不同的方向时，就会出现这种情况。下面展示了这种结果的一个示例。

入射到周期性基本单元的线性偏振平面波（黄色）示意图。在反射（红色）和透射（蓝色）中，入射光被散射成几个不同强度和偏振的衍射级。

要确定进入这些其他相似方向的光的比例，同样需要建立一个数值模型，但要了解光会散射到哪些方向，可以通过一种纯几何方法来实现，这种方法被称为埃瓦尔德球结构。在开始数值分析之前，熟悉这种方法是很有帮助的，这也是我们将在这篇文章中介绍的内容。埃瓦尔德球几何结构既可用于单向周期性平面结构，也可用于平面内的双向周期性结构。

单向周期性结构

例如光栅等某些平面周期性结构仅在一个方向上具有周期性变化，即该结构沿三维方向没有变化。当入射光在三维空间的法线平面上传播时，可以被简化模拟为沿一个方向具有周期性的二维平面。

以一定角度入射到单向周期性结构上的平面波，在结构或场中沿面外方向没有变化。突出显示了一个基本单元。

对于这些结构，我们只需考虑基本单元间距 ，并首先在 倒易空间中绘制一组晶格点，因此下图中的尺寸单位为逆长度。这些晶格点的连线对应于周期性结构的界面平面。晶格点之间的间距为 ，晶格点的索引从第四个晶格点 开始，可将其视看作位于基本单元的中间。然后，在晶格点连线的上方和下方绘制两个半圆。反射侧的半径为 ，透射侧的半径为 ，两侧的折射率分别为 和 ， 为自由空间波长。对于与法线夹角为 的入射光，这些圆的公共中心与晶格的第零个点偏移了 。位于这些半圆内的晶格点对应于可能的衍射级。

用于确定单向周期性平面结构的衍射级的几何结构，该结构受到以一定角度入射的平面波的照射。请注意半圆（白点）的中心是如何偏离第零晶格点的。

这种结构还可用于确定衍射的方向，并为每个方向分配一个索引。从半圆中心投影到晶格点的矢量对应于每个衍射级的 矢量。这些晶格点的索引在两侧的符号相反。指向第零个晶格点的箭头始终存在，代表镜面反射和透射。其他衍射级的存在取决于波长、折射率、间距和入射角度。COMSOL案例库中包含了两个建立此类模型的案例：使用 RF 模块的表面等离激元线光栅（RF）和使用波动光学模块的表面等离激元线光栅分析仪（波动光学）。

单向周期性平面结构各种衍射级的波矢量。请注意反射衍射级与透射衍射级之间索引符号的转换。

双向周期性结构

现在，我们来看看在两个方向上具有周期性的平面结构的衍射情况。下图显示了构建平面的矩形、菱形和六边形基本单元。这些单元由两个单元矢量定义： 和 ，它们从一个点开始，沿着相邻的边到达下一个顶点。虽然我们可以自由使用任何坐标和方向，但在本文中，我们将始终选择 向量与全局笛卡尔 x 轴对齐，并始终从光照方向俯视基本单元。此外，还有两个基向量 和 ，描述了基本单元在平面上的移动方式，用于构建平面。也就是说，要构建整个平面，需要在 的 基础上复制基本单元，而 和 的值可以是任意整数。这两个矢量的叉积大小可用于计算基本单元的面积：。

矩形、菱形和六边形基本单元构成了二维平面。单元矢量与单元的两条边相对应，而基矢量则描述了如何移动单元来构建平面。

这些基矢量用于定义两个倒易空间衍射矢量： 和 ，其中 是周期性平面的法向量，即 +z 轴。这些衍射矢量与基矢量垂直，并通过取整数和在周期性平面上创建衍射晶格：，晶格中的每个点对应于 和 方向上 和 的索引对。在基本单元的传输侧，点的位置相同，但索引对调，且符号相反。

在倒易空间绘制的衍射矢量和晶格点。

现在，我们可以在三维空间的周期性平面上将这些衍射点可视化，并在平面上方和下方添加一个半径等于材料中波矢量的半球。通过半球，我们可以得知在反射和透射中存在哪些衍射级。刚开始，我们以点 为半球中心，代表法向入射光线。

平面波光（黄色箭头）通常入射到一个周期性六边形单元上。衍射点绘制在周期性平面上，位于反射半球和透射半球内的突出点表示将出现的衍射级。

接下来，我们来看看入射仰角和入射方位角变化时的情况。考虑到我们习惯上选择保持 向量与球坐标的 +x 轴对齐，增大入射仰角意味着入射波矢量首先绕 –y 轴旋转；然后，入射方位角增大，入射波矢量随之绕 +z 轴旋转。因此，入射仰角从 开始，入射方位角从 开始，如下图所示。入射波矢量和周期性平面的法线定义了入射平面。当光从法线入射：，入射平面被定义为 xz 平面。

入射仰角和入射方位角表示入射波矢量（黄色）的一系列连续旋转，先是绕 –y 轴旋转，然后绕 +z 轴旋转。图中也显式了入射平面。

入射角的变化改变了半球中心的位置。从半球中心到 点的倒易空间距离为 ，该位置在平面内的移动量为 和 ，如下图所示。因此，仰角和方位角的变化往往会导致出现不同的衍射级。

以非零仰角和方位角入射的平面波光会移动半球的中心，从而产生不同的衍射级。

通过这些半球，我们还引导每个衍射级的波矢量。将衍射级点投影到半球上，会得到另一组点，而每个衍射级的波矢量等于从半球中心到这些投影点的矢量。

最后，通过这些矢量，我们还可以知道偏振状态。对于每个衍射级，偏振状态都会根据琼斯矢量的面内和面外分量表示。每个衍射级的平面都是波矢量和周期性平面的法矢量所描述的平面。对于所有衍射级，琼斯矢量的面外分量对应于电场平行于周期平面的波。

结论

综上所述，我们可以得出以下结论：使用埃瓦尔德球的几何构造可以理解平面性周期结构衍射，并且能够获知在反射和透射中会出现哪些较高的衍射级。我们还可以获知波矢量以及用于定义琼斯矢量方向的平面集。在求解数值模型时，会自动得到这些信息，因此这种几何构造并不是必须的，但它有助于我们建立理解和直觉。

进阶学习

如果您想开始学习高阶衍射建模，下面的示例模型是很好的起点，这些模型可以用 RF 模块或波动光模块建立。

• 使用RF模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅
  • 菲涅尔方程
  • 电波暗室的锥形吸波器建模
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 六边形光栅
• 使用波动光学模块建立的模型:
  • 表面等离激元线光栅分析仪
  • 菲涅尔方程
  • 六边形光栅
  • 六边形等离激元滤色镜
  • 频率选择表面周期性互补开口谐振环
  • 石墨烯超材料完美吸收器

目录

1. 简介
2. 终端功率激励
3. 规定电流激励
4. 为什么损耗会随频率变化?
5. 电压激励
6. 关于绝缘的重要说明
7. 连接到电路接口
8. 将固定功率输入模型
9. 总结

简介

如下图所示，有一个同轴电缆模型插入金属腔体内，该腔体内包含相对介电常数为 50 ，电导率为 30mS/m 的有损电介质。

同轴电缆插入一个包含有损介电材料的金属腔范例中。

在上一篇博客中，我们已经对这个模型进行了深入开发，并介绍了如何使用几种不同的建模方法来求解这个模型，所有这些方法在低频范围内几乎给出了相同的结果，但在更高的频率下可能会有差异。基于这些观察结果，我们将在 1-100 MHz 的频率范围内运行模型，并比较电流 物理场接口与电磁波 物理场接口的求解结果。就像我们之前观察到的结果一样，在这个频率范围内，我们应该能得到非常相近的解。在这两个接口中，我们将求解有损电介质和绝缘体内部的场，并假设金属同轴导体内部的集肤深度足够小，以便可以通过边界条件对其进行建模。

模型示意图。

上图突出显示了边界条件。施加了激励的内导体用红色虚线表示，该导体的所有边界都是电连接的。外导体和导电腔壁以及它们之间的绝缘体边界也是电连接的。这里的目标是进一步证明可以使用电流 物理场接口进行这类模拟。 不过，要正确使用这个接口，我们确实需要花点时间来了解各种激励选项。

终端功率激励

首先，我们用终端 类型的终端 边界条件激励模型，这使我们能够指定功率和特征阻抗。这个边界条件模拟了通过已知特征阻抗的无限无损传输线(如 50 欧姆同轴电缆)连接到电源的情况。无限远处的电源提供了一个具有恒定的周期平均功率的正弦信号。该信号沿着无损传输线传播，进入电流 模型，部分反射回传输线，部分在模型内消散。反射分量沿着无限无损传输线传播回来，不与电源相互作用。指定的功率必须始终大于或等于零，并且该功率将在模型内耗散，反射回被终止的终端，或传输到另一个边界条件。

终端 条件必须与另一个规定模型中某处电势的边界条件结合使用，通常是接地 边界条件。接地的概念，我们已经讨论过了，这里需要强调的是，任何一组电连接的边界都可以定义为接地边界条件。在这个模型中，我们将选择将接地定义为外导体和腔壁以及两者之间的边界。也就是说，外部导体和腔壁是电连接的，并且都保持在零电位。

显示了 终止类型的 电流终端条件的屏幕截图，输入了传输线和电源的阻抗。

考虑来自沿传输线的电源信号：部分信号将反射回电源，电源包含一个绝缘体或环行器以保护设备。理想情况下，这种反射最小，这样我们就可以将尽可能多的能量储存到被加热的材料中。反射的幅度由通过该边界条件自动计算的 S 参数量化。

电源类型的 同轴型电磁波，集总端口的屏幕截图，电缆阻抗可以直接规定，也可以从几何结构中计算得到。

我们将其与电磁波 公式中的等效边界条件进行比较。这里，我们考虑的是电连接域的边界集合。在频域模型中，有两组这样的边界：与腔壁电连接的外导体和如图所示的内导体。它们在同轴电缆内部的环形间隙中被分开，在这个环形边界上，我们应用了同轴 类型的集总端口，并再次指定了电源和电缆阻抗。物理解释和之前一样，这个边界条件也会计算 s 参数。

比较使用带功率激励的电流接口和 电磁波接口计算得到的损耗。

我们可以根据上图中损耗材料内沉积的热量来比较这两种方法。图片显示了在大部分频率范围内，两种方法的计算结果具有极好的一致性，但在更高的频率开始出现分歧，这是因为电流 接口仅考虑了电阻和电容效应，而电磁波 接口还额外考虑了感应效应。

理解电流 接口中功率 类型的终端 条件和电磁波 接口中集总端口 条件的物理解释很重要。使用这些条件是为了模拟与无限无损传输线的连接。在无限远处有一个电源沿着这条线发送波传播信号，该信号一部分在模型内以热量的形式消散，一部分反射回无限传输线，继续传播且不会干扰电源。当然，在现实中，反射信号会产生干扰，而高频系统在阻抗不匹配的情况下会有明显的反射，因此源将配置绝缘体或环行器，用于防止信号反射损坏电源。在较低的频率下，特征波长比整个系统的尺寸长得多，我们不能再从波的角度考虑激励，因此选择其他激励条件。

规定电流激励

选择用电流 类型的终端 激励电流 模型，对应用了已知电流的源进行模拟。尽管在物理上仍然有一条传输线连接信号源和模型，但我们不再考虑任何信号被反射回信号源。请注意，在频域模型中输入电流的负数或复数值是合理的。一个复数值，或者一个负数，仅仅意味着具有相移的激励，这篇文章中对此进行了详细描述。这个电流将流过模型，然后流过接地 边界条件或任何其他规定电势的边界条件。

电流类型的 电流终端条件屏幕截图。

电磁波 接口内的等效条件是电流类型的集总端口，如下面的截图所示。

带 电流激励的 同轴类型的 电磁波，集总端口的屏幕截图。

通过电流激励的结果比较。

两种方法的比较如上图所示，可以观察到结果非常一致。与之前使用功率激励的方法明显不同的是，损耗随频率的变化更加明显，这一点值得特别注意。

为什么损耗会随频率变化?

对于一个电流驱动的问题，峰值电流，我们可以从等式计算整个模型内的周期平均损耗

式中，从终端的角度来看， 是系统的阻抗。阻抗是终端，电流 类型和电磁波，集总端口 边界条件自动计算的输出之一。下表显示了频率范围内的值:

表格中列出了由两种公式计算的作为频率的函数的阻抗值。

可以从这些数据中观察到，阻抗的实部随着频率的增长而下降，而虚部变得更小。也就是说，该零件在更高的频率下损耗更少，电容更大。

我们应该寻找一个简单的说法来解释这种趋势，所以让我们忽略所有的几何复杂性，把这个模型单纯地看作是位于两个电极之间的单一材料来考虑。最简单的，我们可以将这种情况看作一个并联 RC 电路，电阻由材料电导率决定，电容由介电常数决定。通过这两条平行路径的电流，即材料电导率引起的传导电流和介电常数引起的位移电流，将随频率变化。在更高的频率下，相对于传导电流，位移电流会更多，因此阻抗的复部与阻抗的实部的幅值比增大。

通过对阻抗及其随频率变化的了解，我们还可以解释为什么功率激励在频率范围内表现不同。相反，功率激励代表一部分反射出模型，一部分吸收到模型中的输入信号。反射由 S 参数给出。对于单端口系统，电缆阻抗可以通过 和 计算:

并且，对于单端口系统，系统吸收的功率为

对于该系统，由于电缆与被加热材料样品之间存在高阻抗失配，大量入射功率将被反射回来。 如果改为通过规定电流源激励，就不用考虑由于阻抗失配引起的反射。所有的电流都将以传导电流或位移电流的形式流过材料，只有传导电流会产生热损耗。

考虑到这些方程和材料属性，我们现在应该理解为什么不同的激励条件会表现出不同的与频率成函数关系的热损耗。

电压激励

接下来,我们看看电压 类型的电流终端。该边界条件在直流和非常低的频率下具有明确的含义，例如，家用电源插座中的 60Hz 线路电压。然而，在更高的频率下，我们需要更仔细地考虑如何从电流 接口和电磁波 接口获得相同的结果。

屏幕截图显示了 电压类型的 电流终端条件。

电磁波物理场接口没有直接等效在整个表面上规定电压的边界条件；您只能将电场设置在两个表面之间的边界上，这在较高频率下没有非常好的物理解释。我们将先研究这种方法，然后再介绍第二种方法。

与电磁波接口中的电流、电压边界条件最接近的模拟是电场 边界条件，应用在与之前方法中的集总端口 相同的环形边界。在这个电场 边界条件下，我们应用这个表达式来表示产生相同电位差的电场分布。对于同轴电缆(与 z 轴对齐)，电介质内的解析电场为

这个表达式在有限元网格上进行评估，并且将随着网格的细化变得更加准确。边界条件的设置和示例网格如下面的屏幕截图所示。

电磁波接口中的 电场边界条件，以及可视化网格的屏幕截图。

虽然这种在电磁波 物理场接口规定电场的方法，是电流 物理场接口的电压 条件的最直接的类比，但很难在物理上解释，因此考虑替代方案可能会有所帮助。

电压条件的近似值也可以通过电压源的诺顿等效和使用集总端口，电流 类型，以及一个沿同轴电缆放置在较短的距离处的一个电阻相对较小的集总单元。然后调整施加的电流，使该集总单元上的电势近似等于我们想要的施加电压。

电磁波接口的 集总单元边界条件的屏幕截图。

使用电压激励时的结果比较。

如上图所示，我们可以评估这些方法的损耗并进行比较。同样，在很宽的频率范围内，两个结果也具有很好的一致性。即使在 100MHz，结果的差异也小于 3。 我们还可以根据阻抗和施加的峰值电压计算损耗:

关于绝缘的重要说明

在上一篇文章中，我们注意到，在功率激励的情况下，同轴导体内部及其周围的绝缘体材料可以从电流 模型中完全省略。对于所有不同的激励类型，值得检查这个结果。我们可以重新求解前面的所有方法，只在有损电介质中求解电流，然后比较结果，如下图所示。可以看出，不管是否建立绝缘模型，功率激励和电压激励显示非常相似的结果。然而，当通过电流激励时，由于从模型中省略了位移电流路径，在更高频率下，结果明显有差异。

求解绝缘体和电介质中的 电流 与只求解电介质中的 电流 时损耗的比较。结果的差异在电流激励下很明显，但在电压或功率激励下可以忽略不计。

连接到电流物理场接口

到目前为止，我们看到的电压和电流源条件是理想化的，因为我们忽略了源和模拟的系统之间的所有中间结构。但通常情况下，我们确实需要考虑一些重要的电气结构。我们可以在模型中包含这些结构的详细细节，但也可以简单的通过电流 物理场接口来实现，并且可以与电流 或电磁波 物理接口相耦合。

例如，假设我们要模拟一个简单的过滤器，如下图所示。正在模拟的是一个与系统串联的电容器、电感器和电阻连接的电压源。电流接口是建立在节点上，并在每个节点上计算电势。这些节点之间的电流是根据节点之间的阻抗计算的，这可以是电路 接口的任何特征，或者可以通过另一个物理场接口中的外部耦合 特征计算。在这个示例中，我们希望将模型放置在节点 3 和 4 之间。

连接到系统模型的电压源、电容器、电感器和电阻的电路图。

电流 接口到电路 接口的耦合是通过外部 I 终端 特征定义的。这将把电路 接口内的电势节点与电流 接口内的一组表面电势耦合起来，正如通过电流 接口的终端 边界条件所定义的那样。使用这种方法，模型中应该只有一个接地 条件，并且应该在电路 接口内。

电路类型的 终端条件。终端选定表面的电势将与电路的一个节点 电流耦合。

外部 I 终端特征指定了 电路节点与 终端电势之间的耦合。

在用电磁波 接口连接电路 时，耦合是通过外部 I vs U 特征定义的。这个特征将两个电路 节点之间的电势差与电磁波 接口的电路 类型的集总端口 之间的电位差相耦合。

电路类型的 集总端口。这个电势差将与电路接口的两个节点之间的电势差相耦合。

外部 I vs. U 特征将电势差与 电路的两个节点之间的 集总端口的电势差 相耦合。

添加电路 接口需要额外的计算成本，因为它通常需要使用直接 求解器来计算全耦合 的方程组(详细请参阅我们的知识库中的文章“理解全耦合与分离求解方法，及直接与迭代线性求解器之间的区别”)。这增加了内存需求和计算时间，结果如下图所示，两种方法之间的差异可以忽略不计。注意损耗与频率图中的峰值是由集总电感引起的。

当电容器、电感器和电阻被串联在电压源和模型之间时，损耗与频率的关系。

将固定功率输入模型

最后，假设您要对一个包含反馈环路的源建模，该反馈环路可以调整输入来输入固定功率。有几种方法可以实现这一点。我们先简要介绍两个内置选项并讨论它们的局限性，然后介绍第三种更通用的方法，该方法需要更多设置但具有更大的灵活性。

在电流，终端 边界条件，功率 选项下，通过在模型中引入一个额外的耦合方程来实现反馈，该方程将调整施加的电流，从而使指定的峰值至峰值功率输入模型中。也就是说，对于频域模型，终端内指定的任何功率都将是域内耗散功率的两倍。这个额外的、完全耦合的方程会产生一个非线性方程组，它是非对称和非线性的，这意味着收敛取决于初始值、缩放比例和求解器设置，并且需要完全耦合的直接求解器。 因此，它的计算量很大，应该仅用于模型中存在非常强的非线性的情况，例如等离子体建模。

在电磁波 物理场接口中，有一个终端边界条件和启用主动端口反馈 选项。这个端口边界条件可用于任何类型的波导或传输线。 这个边界条件对计算的要求较低。但是这两种方法都有一个缺点：在所有可能引入损耗的域和边界条件上，它们将指定的功率存储在整个模型中。

假设我们只想将输入的功率指定到模型的一个域（或边界）中。在这种情况下，我们需要使用不同的方法，引入一个全局方程，迭代地调整输入来获得理想的输出，就像这篇博客中所讨论的。

简单来说，无论要求解的是什么物理问题，使用这种方法都需要三个步骤:

1. 使用一个通过全局方程 定义的变量指定激励。
2. 为全局方程 写一个更新的表达式，它将在求解过程中迭代更新激励的大小。
3. 确保使用分离式求解器，以使全局方程 作为一个单独的步骤进行求解。

我们将详细研究在电流 接口中施加电流激励的例子，因为其他情况在设置上非常相似。

首先，施加的电流不是常数，而是通过变量指定，如下面的屏幕截图所示:

屏幕截图显示了一个指定为变量的电流。

接下来，通过全局方程 接口指定施加的电流的更新方程，如下图所示。

通过一个额外的 全局方程执行反馈方程。请注意，单位设置为安培。

迭代更新方程为:

I_applied-nojac(if(intopSample(ec.Qh)==0,10[mA],I_applied*sqrt(50[mW]/intopSample(ec.Qh)))).

这个等式使用了一个名为 intopSample() 的非局部耦合，计算了样本域内损耗的积分。该等式首先检查积分损耗是否为零（初始状态），如果处于初始状态，则该等式将电流设置为 10mA，否则将计算的耗散与 50 mW 的目标耗散进行比较，并对施加的电流进行缩放。因此，这个表达式既包含电流表达式的初始化，也包含更新的表达式。 因此，有必要确保使用分离式求解器，并且来自全局 ODE 和 DAE 接口的变量先被求解，如下面的截图所示。第二个分离步骤，求解电流 接口，然后可以使用计算效率高的迭代求解器。

分离式求解器设置。首先求解初始化和反馈方程，然后使用默认的迭代求解器求解物理场。

使用这种方法，电介质中的损耗在所有频率下均为 50mW，我们可以绘制施加的电压或电流，来获得耗散。

在样本域内将产生指定耗散的终端电流和终端电压。

结束语

我们对用于频域电流建模的几种激励方式进行了介绍，并将它们与电磁波 物理场接口的类似激励进行了比较。文章重点讨论了在系统的 1–100MHz 频率范围计算的结果，但我们的结论可以扩展到低于或高于该频率范围，具体取决于所讨论的情况。重点是理解激励选项之间的差异以及如何使用它们。点击下方的按钮可以获得相关模型文件。

带铜线和电容的电路板模型设置

假设你有一块 1.5mm 厚的印刷电路板（PCB），它类似于一个三明治结构，其底部是导电的基底层，顶部为 200µm 厚的覆铜层，中间是电介质。在这块电路板顶层的导线之间，焊接了几个表面贴装电容，如下图所示。其中一条铜走线被激励，由于三个电容器的电容不同，信号将在输出端之间被分割。在 100kHz 左右的工作频率下，集肤深度将与铜的厚度相当，因此我们应该对铜导体的体积以及电介质和空气的体积进行建模，以正确捕捉传输线的行为。(关于传输线建模的更多细节，请参阅我们学习中心的文章《TEM 和准 TEM 传输线建模》）。我们不想建立包含表面贴片电容的真实几何形状的模型，因此只在传输线间引入附加的耦合电容，以观测施加信号的变化。

图为一块具有 200um 厚的接地底板、铜迹线和连接铜迹线的三块表面贴片电容的 PCB 板模型。PCB 板上的其他结构不在建模范围内，铜迹线是阻抗已知的信号传输线。

由于导体内部存在明显的集肤效应和邻近效应，因此适用于磁场 接口。为了在这个接口中对电容器进行建模，我们使用了集总元件 功能，并将类型设置为用户定义。这个功能应该施加在一个矩形面上，为我们想引入集总元件的区域内架起一个桥梁。这个面需要在几何序列中被勾画出来。

我们需要在集总元件 功能中指定三个基于几何形状的输入端口，集总元件的输入方向必须是一与导体平行的矢量（如下图所示）。也就是说定义器件中流过的电流方向与这个矢量方向相同。集总端口的高度为导电域之间间隙的长度，可用进行电场积分以及计算电压降。集总端口宽度方向为矩形面的正交方向。

图中显示了选中用户定义选项并指定集总端口高度、宽度和方向的集总元件功能的界面。

除了几何集总元件的几何特征外，我们还需要指定元件随频率变化的阻抗。我们可以在用户定义、电容、电感器、平行 LC、串联 LC、平行 RLC 和串联 RLC 等效阻抗等内置选项之间切换。用户定义 选项允许输入一个与频率相关的复数表达式，这样做可以将一个任意的等效电路添加到一个频域模型中。

按照这个模型的激励，我们可以认为是在模拟 4 条阻抗已知的、连接接地平板和铜迹线的信号传输线。为此，我们可以使用集总端口 功能，并将其类型设置为用户定义。在使用和功能上，集总端口 功能与集总元件 功能几乎相同，唯一的不同是它允许施加激励并监测S参数。

集总端口的类型也可以被设置为电路，这样就可以通过电路 接口将任意复杂的集总电路元件组合引入模型中。对于频域模型，使用电路 类型在功能上与使用包含用户定义 的频率相关阻抗的集总元件 功能相同。另一方面，对于时域模型，需要使用电路 接口添加集总电容或电感。

在设置方面，需要注意模型的边界条件。我们只对电路板和传输线的一小部分进行建模，并将假设周围环境对建模域不产生影响；也就是说，我们将忽略周围结构的任何串扰。我们选择将模型放置在一个更大的空气域内，沿其外侧使用理想磁导体边界条件，模拟一个绝缘的外壳。关于这一点的深入讨论，请参阅我们的博客 “如何为线圈建模选择边界条件“。

评估结果

在 100kHz 的工作频率下求解这个模型后，我们可以评估 S 参数并绘制导体中的电流，如下图所示。观察集肤效应和由集总元件引入的电容耦合的电流的拆分情况。由模型结果可知，我们已经在模型表面利用集总元件实现了电流通路。

铜导线中的电流分布图。

在更高的频率下求解

如果将工作频率提高到 10MHz 会发生什么。在这个频率下，集肤深度大约是迹线厚度的 1/10，所以不再需要对铜迹线的内部体积进行建模。我们可以在铜迹线所有边界上使用过渡边界条件。这样做是合理的，具体原因请参阅博客 “如何模拟时变磁场中的导体“。通过只求解空气和电介质内的磁场，我们以较少的总自由度解决了问题。现在有可能将集总端口和集总元件从用户定义 类型切换到均匀 类型。由于施加这些边界的面现在两边都是导电边界，均匀 类型的设置将自动确定端口的宽度、高度和方向。

在更高的频率下，不需要对导体的内部进行建模，可以使用 过渡边界条件，表征电流在导体的表面流动。

求解更薄的导体层

在讨论的最后，让我们来看看如何对较薄的铜线进行建模。随着铜线厚度的减小，用于划分网格的结果单元变得更小，这就增加了计算成本。可以通过使用过渡边界条件 避免建立铜迹厚度的几何模型，可以将过渡边界条件 施加在内部边界上，也就是说，边界上的场是在两侧求解的。这使得我们可以将迹线建模为一个几何厚度为零的边界，这进一步减少了模型的自由度，尽管我们可能希望在迹线上有稍微精细的网格。在这样的模型中，不包括由于迹线的有限高度而产生的电容效应，但我们可以合理地假设它们很小。

过渡边界条件的用户界面截图，它根据材料属性和厚度计算内部边界的损耗。

使用 过渡性边界条件的结果。电流在几何厚度为零的表面上流动。

结束语

这篇博客，我们介绍了如何使用集总单元 功能结合固体导体建模，建立一个等效电路元件。然后，讨论了另外两种情况：当集肤深度非常小时，通过过渡边界条件 对固体导体建模，以及通过过渡边界条件 对非常薄的固体建模，所有这些都与集总单元功能相结合使用。这些建模技术对任何模拟电路板或想在其电磁模型中包含集总电路元件的应用都很有用。值得一提的是，以上技术不仅可以在 AC/DC 模块的磁场 公式中使用，也适用于 RF 模块的电磁波、频域 公式。

编者注：在之前的博客“屈曲，当结构突然倒塌时”中，我们介绍了屈曲分析的各个方面，并讨论了一些更专业的屈曲分析技术。这篇博客提供的信息适用于 COMSOL 软件 6.0 版本以前的用户。

包括几何缺陷

众所周知，由于存在几何缺陷，一些结构对屈曲的承载能力会显著降低。在现实生活中，结构中总会存在一些制造缺陷。另外，施工过程中的安装不完善，或者结构可能因服役载荷效应而发生变形。因此，考虑缺陷很重要。

对此，我们有不同的方法。对于一个简单的结构，例如单个支柱，可以将它假设为其他相似的几何形状。如果要将缺陷包含在模型中，可以直接创建包含该缺陷的几何结构，也可以先构建一个完美的几何结构，然后添加包含指定变形 节点的变形几何 接口。

对于更复杂的结构，一般很难创建包含缺陷的几何结构。一种解决方案是进行线性屈曲分析，然后使用一种或多种屈曲模式作为缺陷。这样做的前提是，结构对屈曲模式本身很敏感。

请注意，在研究缺陷的影响时，通常不能使用线性屈曲分析。需要逐步增加载荷，直到结构失效。变形是渐进的，因此失效准则通常是最大允许位移或应力。

从 COMSOL Multiphysics 6.0 版本开始，有一种可以自动设置基于屈曲模式缺陷研究的方法。让我们来看看如何设置这种研究。

基于缺陷建立研究的 7 个步骤

第 1 步：从线性屈曲分析开始

我们先从构建一个理想结构的普通线性屈曲分析开始。如果要在缺陷形状中包含比第一个屈曲模式更多的屈曲模式，就需要更改待求的屈曲模态数(默认值为 1)。

更改待求的屈曲模态的数量。

步骤 2：添加屈曲缺陷节点

现在，屈曲模式和相应的临界载荷因子已经设置好了，下一步是在定义 下添加一个屈曲缺陷 节点。

左图显示了如何添加 屈曲缺陷节点，右图显示了新添加节点的 设置窗口。

步骤 3：输入模式编号及它们的比例因子

现在需要调整添加的屈曲缺陷 节点的设置，包括输入模式编号和比例因子。要确定合适的比例因子，首先需要知道屈曲模式的最大挠度。屈曲模式的大小是任意的，因此求解器在求解时会成比例地缩小屈曲模式的位移大小，以方便计算。默认情况下，模式会被缩小，使最大位移为几何图形对角边界框长度的 10^-6 倍。

实际的缺陷大小应反映真实结构的几何质量。或者，缺陷的大小可以通过一些设计规范给出。假设真实的几何形状尺寸可能与理想形状相差 2mm，该几何尺寸为 1m。如果使用单屈曲模式，比例因子将为 2000。如果使用多种模式，那么为所有的模式都分配 2000 的比例因子可能是保守的，因为这些值会相加。这是不可忽略的，因为某些模式可能会在相反的方向上起作用。我们可能需要检查模式，甚至为其中一些模式分配负比例因子来获得预期的形状。

从上到下，前三个图显示了 Euler 2 悬臂梁的前三种屈曲模式，底部的图显示了这些模式的纯叠加。标记显示了最大垂直位移。（您可以通过从案例下载页面下载模型的 MPH 文件 euler2_buckling_imperfection.mph，尝试自己建模。）

步骤 4：配置变形几何体

接下来，我们来设置变形几何。首先，单击屈曲缺陷设置中的变形几何 上部的配置 按钮。

创建变形几何结构。

这样，特殊配置了指定变形 的变形几何 节点将被添加到模型开发器树中。

新添加的 指定变节点。

如果要更改包含的模式、比例因子或重新运行线性屈曲研究，则无需重复这个步骤。

步骤 5：创建加载参数

添加一个将充当载荷的乘数的参数，然后将该参数插入到用于线性屈曲分析的所有载荷特征中。

添加了一个新的参数 lf，并用作所有载荷的乘数。

接下来，在载荷参数 拉菜单中选择 If（载荷因子） 参数。

载荷因子已经选择好了。

步骤 6：配置新的屈曲研究

要为包含缺陷的增量分析创建研究，请单击屈曲缺陷分析中的非线性屈曲研究 上部的配置 按钮。

创建非线性屈曲研究。

现在，我们已经创建好了一个新研究，并进行了一些特殊设置：

• 包括几何非线性。
• 使用选定的载荷参数进行辅助扫描。
• 基于计算屈曲模式的最低临界载荷因子建立参数值列表。使用这些设置后，最大载荷比线性屈曲研究的预测值高出约 10%。

新研究的设置窗口。

步骤 7：运行研究

该研究在较高的载荷水平下可能无法收敛。这通常意味着到目前为止已经远远超过极限负载了，但中间步骤仍会被存储并可用于计算。

对于非线性屈曲分析，没有唯一的临界载荷。通常，需要根据载荷参数绘制相关的位移和应力曲线，并基于结构的物理特性使用失效准则。

下列示例与用于表示上述三种屈曲模式（长度为 2m 的悬臂梁）的 Euler 2 示例相同。假设最大允许的尖端位移为 10mm，最大允许的 von Mises 等效应力为 400 MPa。

显示载荷参数与位移和应力关系的曲线图。屈曲分析产生的临界载荷因子对水平轴进行了归一化处理。图中的标记点分别显示了失效准则的位移为 10mm，应力为 400 MPa。

下表显示了选择不同屈曲模式缩放时的临界载荷值的比较。

可以看出，中等水平的缺陷对实际选择生成模式的敏感性是有限的。

这个例子很简单，而且 Euler 支柱对缺陷不是很敏感。壳结构在这方面通常问题更大，所以接下来，我们来探讨一个壳示例。

一个更高级的示例

在这个示例中，考虑一个直径为 1.5m、高度为 2m 的钢圆柱体，其壁厚度为 10mm，并有两个厚度为 20mm 的加强环。使用轴对称壳单元进行分析。（您可以通过 COMSOL 案例下载页面下载相关的 MPH 文件 cylindrical_shell_buckling_cleared.mph，来探索这个模型。）

几何形状和载荷。圆柱体的下端是固定的。

许多屈曲模式具有相似的临界荷载因子。

前 5 种屈曲模式对应的临界荷载因子。

在这种情况下，检查不同的缺陷模式很重要。可以通过在模式编号上添加外部参数扫描来自动进行这项操作，如下图所示。

屈曲缺陷节点中的 模式选择表格。

关于这个表格，需要考虑以下信息：

•  将类型（mode==1）的布尔表达式作为过滤器，来检查哪种模式将使用缺陷。 mode 是扫描参数。
• 设计比例因子，使每种模式的峰值都变为 1 mm。
• 使用最大算子 maxop1（在非局部耦合 → 定义 下添加）获取每个屈曲模式在径向方向上的最大位移。
• withsol 算子的目的是从特定解中选取结果。在这个示例中，它被用来检索单个屈曲模式。（阅读 COMSOL 学习中心的文章 “withsol 算子的示例”，了解关于这个算子的更多信息。

现在，非线性分析包括将前 4 种模式的外部扫描作为缺陷，以及每种模式的载荷都会增加的相同的内部辅助扫描。由于任何非线性解都可能无法在较高载荷下收敛，因此必须设置参数化扫描，使整个分析不会因此而失败。

非线性研究和 参数化扫描节点。

在 参数化节点中， 必须将误差选项设置为 存储空解。

现在，我们可以绘制所有情况下的最大应力和位移的变化。

显示了位移和应力归一化处理后施加载荷的曲线图。

在这个示例中，允许的应力在所有情况下都是在相当低的外部载荷下被超过的。在线性区域已经能够看到这种情况。最终的结果是，这种结构将在屈曲发生之前由于塑性坍塌而失效。有可能通过在模型中加入塑性来完善分析。

从这个示例中，我们可以看到，使用非线性分析的变形很大程度上与实际的变形一致。

不同的缺陷在接近失效载荷时的变形（缩小了 5 倍）。颜色表示径向位移。

必须注意的是，不能完全假设轴对称壳的所有屈曲模式也是轴对称的。真正的第一屈曲模式不是轴对称的，看起来像这样：

使用完整的三维公式时的第一种屈曲模式。

活荷载和静荷载的组合

线性屈曲分析中的载荷因子可以被认为是相对于所施加载荷的一种安全系数。有时，只有某一组载荷可以变化，其他载荷具有明确定义的值，比如自重就是一个典型的例子。如果假设结构不会仅因重力而失效，那么需要回答的问题是：如果考虑部分承载能力已经被自重利用，服役载荷的安全因子是多少？

本文中将不变的荷载称为静荷载，会发生变化的载荷称为活荷载。 COMSOL Multiphysics 6.1 版本新增了分析活载荷与静荷载共同作用的功能。

需要注意的是，不可能首先计算静载荷利用了多少承载能力，然后相应地减少允许的活载荷。假设有两个独立的荷载， 和 ，并且对于每个荷载都有一个单独的屈曲临界值 和 。如果施加的载荷 是这两个载荷的线性组合，那么当 时，临界状态通常不会发生。

在仅具有活荷载的普通线性屈曲分析中，我们需要有任意活荷载水平的静荷载工况，通过特征值分析计算临界荷载因子和相应的振型。这非常简单，当添加线性屈曲研究时，研究序列就会生成。如果要进行也包括静载荷的类似分析，需要两个稳态的研究步骤 — 从这些步骤中得出的结果需要由特征值求解器以不同的方式加以考虑。这样的研究可以通过不同的方式建立。接下来，您将看到我们建议的工作流程的步骤。

设置一个包含静载荷研究的 7 个步骤

第 1 步：添加研究

正常添加线性屈曲 研究。

步骤 2：定义活荷载

像往常一样，用一个任意的荷载水平创建活荷载。

步骤 3：定义静载荷

使用载荷的实际值创建静载荷。最好同时选中载荷特征的线性屈曲 部分中的视为静载 复选框。严格来说，只有当一个载荷是随动型的时候才需要这样做（取决于变形）。如果要在载荷特征中显示线性屈曲 部分，请确保选中显示更多选项 下的高级物理场选项。

添加一个静载荷。

第 4 步：添加额外的研究步骤

在线性屈曲 步骤之前再插入一个稳态研究 步骤。

添加第二个稳态研究步骤。

第 5 步：在研究步骤中停用活荷载

在两个稳态研究步骤中的其中一个步骤中，我们需要同时分析两个载荷的影响。这与模型树的设置一样。

在另一个步骤中，应该只分析静载荷。这意味着我们必须禁用描述活载荷的所有载荷特征，进行这项任务最方便的是使用修改研究步骤的模型配置 选项。

图中 载荷1 已被禁用。

步骤 6：选择两个稳态解进行屈曲分析

在线性屈曲 研究步骤设置中，需要指定两个解。为此，首先需要为研究运行显示默认求解器。线性点是仅具有静载荷的研究，活荷载的解包含活荷载和静荷载的总和。

选择两个解。

第 7 步：运行全部研究

您可能想知道为什么两组载荷的静态解不是单独计算的。这是因为如果静态解是非线性的，那么给定的方法在静荷载解给出的应力状态下为屈曲分析提供了一个更加精确的线性点。

有关这类分析的示例，请查看静载作用下的桁架塔线性屈曲分析模型以及相关的应用程序文件。您可以在下文中找到这个模型和相关设置：

第一种屈曲模式。

在这个示例中，有两个效应会影响静载荷。除了自重外，支撑线中还有一个预紧力，会在塔的下部引起压应力。

结束语

最新版本的 COMSOL Multiphysics 能够建立高级屈曲研究，并且操作简单。单击下面的链接，进入 COMSOL 案例下载页面，尝试自己模拟文中讨论的模型：

• 静载作用下的桁架塔线性屈曲分析
• 具有初始缺陷的屈曲

背景知识

卫星热设计是一个具有挑战性的问题。一颗卫星是由许多对温度敏感的部件组成的。传感器、照相机、收音机、电子器件、电池、姿态控制系统和太阳能电池板都需要保持在一定的温度范围内，甚至卫星结构本身也必须保持在一定的温度范围内，以防止过度的热变形。许多组件都会散发热量，卫星也会经受来自环境的多种不同的红外(IR)热载荷。设计一颗卫星需要了解如何最好地将所有这些热量辐射出去，并使卫星保持在理想的工作条件下。

各种电子元件产生的热量通常很容易定义，但环境热载荷可能出奇地复杂。首先，在面向太阳的任意表面上，有直接入射的准直太阳光通量。其次，对于近地轨道上的卫星，入射到地球日光侧的太阳光通量会被漫反射到卫星朝向地球一侧的表面。这些反射的大小取决于地球的局部表面特性以及不断变化的大气条件。总的来说，漫反射太阳光通量大约是直接太阳光通量的三分之一，被称为反照率通量。当卫星进入日食时，这些直接的太阳光通量和反照率载荷下降为零，但有一个第三环境热源始终存在。地球是温暖的，相当于一个漫射器，其红外辐射的大小是纬度和经度的函数。

知道这些随时间变化的环境通量，以及它们在卫星表面的分布，是计算卫星温度所需要的输入，这涉及到求解固体部分的热传导和所有暴露表面的辐射。通常将这些环境通量分为两个波段：太阳波段和环境波段。这样做的原因是，太阳温度在 5780K 左右，主要发出短波长的辐射，而卫星和地球温度都在 300K 左右，主要发出长波长的红外辐射。这种划分是很重要的，因为为了热管理，卫星外部涂层的表面吸收性能往往是专门定制的，是波长的函数。例如，为了使卫星的工作温度尽可能低，一种方法是使用在太阳波段具有低吸收率(发射率)但在环境波段具有高发射率的表面涂层。

卫星在轨道上经历的辐射传热取决于它相对于地球和太阳的位置和方向。地球图片来源：可视地球和美国国家航空航天局。

一颗质量恒定的卫星围绕着一颗质量大得多的球形行星运行时，会沿着一条椭圆的路径，这条路径可以用开普勒轨道根数来描述，它描述了一个周期性的轨道。轨道根数被用来计算（通过中心方程）卫星在赤道坐标系（ECS）中的坐标。

在了解卫星随时间变化的位置的同时，也有必要了解它的方向性。这首先要通过一组卫星轴来定义卫星坐标系。根据任务参数，这些卫星轴是朝向特定方向的，如朝向地球、太阳、前进方向，或天球上的一个固定点。有时候也会想要改变这些轴的定义和它们的方向，例如为了使仪器朝向一个地理位置。卫星也可能围绕一个或多个轴缓慢旋转或相对快速地翻滚。方向的变化会影响热载荷以及卫星的阴影。例如，卫星上的一个突出物，如太阳能电池板或仪器，将对它后面的表面产生阴影。如果有旋转的太阳能电池板或其他铰接元件，这也将改变阴影和热载荷。另一方面，如果卫星在快速翻滚，这意味着环境热载荷是均匀的。

一旦获取了所有的任务参数，就有可能计算出所有的环境热载荷，然后就可以很直接地计算出卫星在一段时间内的温度曲线。现在，让我们看一下轨道热载荷 的用户界面，探索在设置卫星热分析时它是如何帮助输入数据的。

轨道热载荷用户界面概述

轨道热载荷 接口的工作方式与 COMSOL Multiphysics 产品库中的其他接口类似，并使用一致的工作流程。您可以从以下两个方面入手：

• 使用核心 CAD 建模功能或设计模块在软件中创建自己的结构 CAD 描述
• 导入一个 CAD 文件，例如 Parasolid^®、ACIS^® 或 STEP 文件

• 使用 LiveLink for CAD 产品之一，将 COMSOL^® 与您的 CAD 平台双向连接。

从这里开始，您将使用与其他工作流程类似的 CAD 简化和清理以及网格划分、求解和结果评价功能。因此，如果你已经是 COMSOL 用户，你将很快掌握这个新接口。

作为典型工作流程的一部分，轨道热载荷 接口分三个步骤使用，对应于三种不同的研究类型。首先，定义轨道根数、卫星轴和方向，并使用轨道计算 研究步骤解决一个或几个轨道周期的问题。这让我们在通过轨道热载荷 研究步骤计算所有环境来源的辐照度之前，快速验证任务参数。一旦这些辐照度被求解并存储，它们就被用来计算结构的温度和所有暴露表面之间随着时间推移的表面对表面辐射，使用轨道温度 研究步骤。对于每个轨道的环境热载荷相同的情况，可以只计算一个轨道的热载荷，并在热分析中及时重复计算。

轨道热载荷 接口可以单独用于计算环境热载荷，但更多的是与固体传热 和事件 接口一起使用。固体传热接口计算卫星固体结构内的温度分布，而事件 接口则跟踪日食和调整方向，以及任何其他状态的瞬时变化，如仪器的开启和关闭。

截图显示了轨道热载荷接口，以及三种相关的研究类型。

该接口的设置如上图所示，其与表面对表面辐射 接口的设置类似，但默认使用太阳光和环境 双波段模型。辐射总是存在于所有暴露的表面之间，包括卫星的外部和内部。

现在，让我们看一下接口内的默认功能。

首先，太阳属性 功能定义了入射的太阳光在 ECS 中的方向，以及太阳光通量。太阳方向 有四个预定义的选项。这些选项是根据地球的二分时刻和至点来定义的，这将控制太阳光矢量和太阳光通量。你也可以输入你自己的太阳光矢量，使它成为一个随时间变化的表达式。如果使用多波段光谱模型，太阳可以被看作是一个黑体发射器，在每个波段内有一个确定的通量，或者通过通量的分布作为波长的函数。通常把太阳当作黑体发射体就足够了，这是默认行为。

太阳属性特征指定了太阳光矢量的方向和太阳光通量。

接下来，行星属性 功能指定了计算轨道和日食所需的几个参数。开始时间的行星经度 使卫星下的行星定向，当以地面上的位置指定轨道机动时，或者当行星属性是纬度和经度的函数时，这很重要。辐射属性 部分可以用来启用反照率和行星红外载荷，反照率和行星红外通量 都可以成为经纬度的函数。这些数据可以从电子表格或图像数据中读入。行星是通过离散化处理的，即行星的可见部分被细分为一组具有相等角系数的斑块。当反照率或行星的红外特性变化很大时，以及对于低空轨道，可能需要更精细的离散化。

行星属性功能在启动时将行星定位在卫星下方，并描述行星的辐射属性。

下一个默认功能，轨道参数，提出了在六个开普勒轨道要素方面定义轨道的设置：半长轴、离心率、倾角、升交点经度、近心点角和起始时间的真近点角。圆形、赤道椭圆形 和赤道圆形 轨道也可以用一组减少的参数来定义。

轨道参数功能是用来输入轨道单元的。

航天器轴 特征定义了卫星坐标系的轴方向。这些轴可以在 CAD 坐标中指定，也可以选择卫星的一个面，在这种情况下，使用面的法线方向。当把仪器指向一个特定的方向时，这很有用。选择的次要指向方向不需要与主要方向垂直；采用次要矢量对主要方向的法线平面的投影。第三个轴完成了一个右手坐标系。可以定义不同的坐标系，与航天器方向 特征一起使用。

航天器轴 特征定义了主要和次要的指向性方向。

航天器方向 特征定义了航天器的主轴和次轴方向，以及围绕主轴、次轴和第三个方向的旋转（如果有的话）。方向可以是天顶/天底、太阳/与太阳相反、速度/与速度方向相反、轨道法向/与轨道法向相反、天体点或地面站中的任何一个。卫星将精确地朝向主轴方向并旋转，以使航天器的第二指向方向指向第二个方位方向。

航天器方向特征与 航天器轴特征一起，定义了卫星在一段时间内的定位方式。

如果只有一个航天器轴 和航天器方向 特征，那么这些特征将在整个分析中使用。可以有这些特征的多个实例，并可以在它们之间进行切换，以引入各种轨道机动。为了在各种定义的组合之间进行切换，使用了生成事件接口 特征，它允许轨道机动的序列，例如在卫星处于射程内时指向一个特定的地理位置。

事件接口 还有另一个目的，在所有用例中都是持续的：追踪日食。卫星进入和离开日食的时间(如果它们发生的话)被用来向求解器表明热载荷正在发生变化。

生成事件接口特征将填充事件接口中的 轨道热载荷事件节点。始终考虑日食。

地面指向特征可用于设置额外的事件，根据不同的条件将卫星指向某个地理位置。

接口中的其余特征，即漫反射表面、初始值 和不透明度 特征，都与各种建模表面的发射和反射的建模有关。

从热建模的角度来看，一旦环境热载荷被计算出来，工作流程与任何其他涉及热传导和辐射的模型是相同的。轨道热载荷 接口解决了辐射传热问题，并与固体传热 接口相耦合，后者考虑了卫星固体结构内的热传导，也允许你定义体积或表面内的热载荷，这些热载荷可以是恒定的或时间变化的。除此之外，你还拥有传热模块的完整功能集，包括：

• 薄壁部件的传导传热
• 交界面处的接触热阻
• 相变材料
• 流体中的对流传热
• 集总热连接和组件

一旦完全定义了问题并解决了轨道热载荷以及温度问题，将得到一组默认的图表，也可以创建任何数量的其他数据的可视化图表。让我们看一下其中的一些…

显示围绕地球的轨道、太阳光矢量和卫星方向的图。地球图片来源：Visible Earth 和 NASA。

所有来自环境源的总辐照量，以及太阳矢量随时间变化和天底方向的图。

显示一个小卫星内几个部件的温度的图。一些外部表面被隐藏起来。

在几个轨道上收敛到周期性状态的几个组件的温度图。

结束语

有了新的轨道热载荷 接口，现在就可以快速建立一个在轨卫星的热模型，用于预测运行性能。该接口对于从事卫星规划和设计的工程师来说是一个很好的工具。对于那些想马上开始使用传热模块的用户，请看下面的例子：

• 轨道计算
• 轨道热载荷
• 航天器分析

LiveLink 是 COMSOL AB 的商标。Parasolid 是 Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. 或其在美国和其他国家的子公司的商标或注册商标。ACIS 是 Spatial Corporation 的注册商标。

在这篇博客中，我们将介绍表达式运算符 的工作原理，以及在使用 COMSOL Multiphysics^® 软件时如何在你的建模项目中使用这项功能。

表达式运算符

表达式运算符 节点是自 COMSOL Multiphysics 5.5 版本起引入的功能，右击模型开发器 中的 全局定义 或定义 节点，可以从变量实用程序 子菜单(通过选择显示更多选项 对话框中常规 下的变量实用程序 复选框激活)中获得。(当添加到全局定义 下时，表达式运算符 在整个模型中有效)。表达式运算符 节点的设置包括一个定义 部分，可以在其中定义运算符。下面是具体的操作步骤。

步骤 1：输入默认表达式

在表达式 字段中，输入默认表达式，该表达式在其选择上定义了表达式运算符（或者在全局定义 下添加时全局定义）。表达式可以包含任何常量、变量、函数和运算符，它们在要计算表达式运算符的上下文中是有效的。此外，它应该至少使用一个输入参数。请注意，默认表达式可以被子选择上的运算符贡献 节点所覆盖。

步骤 2：定义输入参数

在表达式 字段下面的表中，定义输入参数。在参数 列中键入参数的名称，并在维度 列中键入用于定义其维度 的单位;在参数类型 列中，从下拉列表中选择表达式 选项(默认设置)或值 选项。通过值传递输入参数意味着在将它作为数字插入运算符表达式之前，在调用表达式运算符的上下文中对它进行计算。由表达式传递的参数直接被替换到运算符表达式中。如果将参数作为参数传递给在不同上下文中计算其参数的耦合运算符，这可能会有所不同。例如，在一个参数中传递空间坐标变量时，必须小心，该参数被转发给作为表达式运算符定义一部分的积分 耦合。

步骤 3：输入名称

在名称 字段中，为表达式运算符输入一个合适的名称。它将是你在 COMSOL 模型中引用表达式运算符时使用的名称。

表达式运算符的优点

表达式运算符 对各种建模项目和方案都有好处。下面列出了一些具体的内容：

• 一旦定义表达式运算符并为它确定了描述性名称后，就可以在 COMSOL 模型中使用它来隐藏复杂的数学表达式。这意味着可以用速记的方式书写的表达式代替复杂的表达式。

• 表达式运算符 节点可以使用运算符贡献 子节点在模型几何图形的不同部分定义不同的表达式。可以将 运算符贡献 子节点添加到组件 节点下定义的表达式运算符 节点。对于每个这样的子节点，可以定义几何实体级别和选择使用它的几何实体。然后，可以在运算符贡献 子节点的表达式 字段中输入新的运算符 表达式。例如，表达式运算符 节点这一功能是解决多层壳接口后处理困难的好工具。对于这类后处理，能够使用单个运算符是有好处的，该运算符可以根据不同的选择扩展为不同的运算符。然后，它作为一个包装器，将合并不同域或其他几何实体上的不同运算符和表达式。

• 表达式运算符 还可以用来创建混合函数，这些函数混合了本地计算的参数和变量。

表达式运算符与分析函数

你可以把表达式运算符看作是一个参数化的变量，而不是一个分析函数。与分析函数相反，表达式运算符可以定义为仅在某些域中处于活动状态。根据定义，表达式运算符可以使用任何被定义的能计算出结果的表达式。

相反，分析函数应该是其参数的纯函数。由于它的全局性质，分析函数可用于定义模型参数;而表达式运算符不能。

使用表达式运算符的示例

这个示例演示了如何将表达式运算符 节点用于以下两个目的：

1. 根据表达式运算符的计算位置，将表达式作为参数替换为不同的运算符。在本示例中，它被用于绘制双镜对称。
2. 通过混合函数混合参数和变量，例如本示例中的运算符 phase(kx,ky)。

在这个示例中，固体力学 接口仅在模型几何图形的第一个象限(右上角)，也就是单位圆中定义。两个广义拉伸 运算符， yAxisMirror 以及 xAxisMirror，分别为 –x 和 –y 坐标，x 和 –y 坐标提供从源到目标的镜像操作。然后使用三个运算符贡献 子节点定义一个名为 doubleMirror 的表达式运算符，每个子节点分别在第二、第三和第四圆象限中提供双镜像转换 yAxisMirror(expr) 、xAxisMirror(yAxisMirror(expr)) 和 xAxisMirror(expr)。下图显示了第三象限的运算符贡献 子节点的设置：

第三象限中的 表达式运算符的定义。

下图显示了有效 von Mises 应力超过某个极限的区域：

超过应力极限的区域绘图。表达式运算符提供的双镜包括整个圆内的解决方案。

由于使用了表达式运算符，我们只需一个简洁的表达式，第一象限计算的解就可以在整个圆中被可视化为双镜图。

对于表达式运算符 的第二种使用方式，在整个几何体中定义了一个叫做 phase 的表达式运算符，并将参数和变量混合在一起，进行局部计算。表达式运算符 被定义为 exp(-i(kx*x+ky*y))，其中，kx 和  ky 是两个输入参数，前者代表波向量的 x 分量，后者代表 y 分量。它们也被定义为表达式，如下图中的设置窗口所示。

包含两个表达式参数的 phase 表达式运算符的 设置窗口。

相位的表达式 等效于使用 COMSOL Multiphysics 语法的数学表达式 。

你可以在曲面图中使用 phase 表达式运算符 来显示具有不同参数值的相位。下图显示相位 kx 设置为 5 ，相位 ky 设置为 20：

曲面绘图显示了使用 表达式运算符 的相位。

后续步骤

这篇博客解释了什么是表达式运算符 节点，以及如何在 COMSOL Multiphysics 中建模时利用它来发挥自己的优势。我们鼓励你练习使用这个功能来简化和改进你的 COMSOL 模型。如果您对这个主题有任何疑问，请通过以下按钮联系 COMSOL。

延伸阅读

想要了解有关 表达式运算符 节点的更多信息？查看我们的博客文章获取统计信息：计算标准偏差和其他统计数量，其中表达式运算符 用于简化在多个位置中使用的标准偏差的表达式。

编者注：这篇文章最初发布于 2016 年 1 月 21 日。现已经更新，用于反映声学模块中提供的新特性和功能。

倍频程的重要性

当讨论倍频程时，通常指的是一个频带，其中高频是低频的两倍。使用这个概念会使对数频率轴上产生等宽的频带。

对于声学和音频工程师来说，通过将信号能量分成倍频程或分数倍频程来表示声学响应，是非常常见的。这种可视化技术与标准中的规范密切相关，例如测量设备的工作方式(如声级计)。从生理学上讲，使用这种表示是源于人耳(通过听觉滤波器)在对数频率尺度上能够过滤和感知声音这一事实。同样，人耳对声音的大小也有对数敏感性，因此使用分贝(dB)来表示声压级。

接下来，您将会看到，绘制倍频带 图比简单地在倍频程中绘制声学响应包括更多的功能。

倍频带 图，一个简单而通用的声学专用图

COMSOL Multiphysics ^® 的附加产品——声学模块的倍频带 图包括专用于声学仿真的内置功能，可以帮助表示和分析频域数据。倍频带图是以 dB 为单位自动输出的，并带有多种格式选项。对于绘图的数据，我们可以使用任何全局量，或者轻松地在某一个点处获取它，或者在线、表面或体积上取平均值。

对于图表，我们可以选择结果的表示形式，使它们以频带（倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频程）或连续曲线的形式呈现。频带形式可以表示频带功率或频带平均功率谱密度(PSD)，而连续曲线可以表示 PSD 数据。我们还可以轻松地为响应曲线添加权重，可选择 Z-权重、A-权重、C-权重 或用户定义的权重。对于绘图的输入，可以对其进行修改来表示振幅(例如，压力的绝对值)、功率(例如，端口处入射或出射模式的功率或在一个表面上积分的强度)或者一个通用传递功能。

所有这些选择都可以帮助大大简化后处理。此外，使用这种绘图类型可以更轻松地将结果与测量数据进行比较，测量数据通常以倍频程或 1/3 倍频程给出。

下面的屏幕截图显示了 倍频带 图的用户界面 。下一节，我们将详细解释它的不同选项和设置。

倍频带图的用户界面(UI)。

不同选项和设置概述

几何实体层

通过几何实体层 下拉菜单，能够选择如何从模型中获取输入数据。如果数据可以直接从模型中的某一个点获取，那么也许在某一特定位置可以测量灵敏度。选择边、边界 或域，输入数据会被自动平均化。在平均过程中，压力或功率在转换为 dB 标尺之前就被平均化了。例如，当计算仿真耳中的响应时，这种方法很有用。这里，测量麦克风表面上的平均压力很容易被拾取。因此，无需在计算组中设置积分或平均算子，也无需执行表面平均化。

几何实体层 选择也可用于评估全局数量。例如，可以使用外场计算 算子来评估计算域之外的点的压力。

表达式类型

使用表达式类型 选择（在 y 轴数据部分），可以决定如何解释倍频带 图中的输入数据。这里共有三个可用的选项：大小、功率 和传递函数。

默认的选项是大小选择 这个选项时，表达式 字段中的输入将被视为复振幅 ，在声学应用中最常见的是压力。然后使用输入的值将声压级评估为

其中有效声压(RMS)由计算。将参考压力 输入到 参考幅值 字段中，并假定为 RMS 量。在大多数声学接口中，默认值为 phys.pref_SPL 在物理场接口级别的声压级设置中定义。默认值通常为 20 。例如，在定义传递函数时，参考幅值可以设置为入射平面波的 RMS 幅值， ，该平面波的峰值幅值为 ，并且在表达式 字段中的输入值可以是在表面上测量的平均压力。

第二个选项是功率。选择这个选项时，输入到表达式 字段中的绘图的输入值被假定为一个功率 。例如，可以由表面上声学强度的积分来计算该值。其计算公式为

其中参考功率 ，被输入参考功率 字段中。默认为phys.Pref_SWL，其值为 。

最后一个选择是 传递函数。这时，可以输入用户定义的任何传递函数 和参考水平 。其计算公式为

当结果绘制为倍频程、1/3 倍频程或 1/6 倍频带时，输入数据用于对频段内的功率进行积分，具体取决于您选择的形式。

绘制物理量 和权重

在 绘图 选项下，有两个下拉菜单提供了不同的数据格式选择，即物理量 和权重 下拉菜单。

使用物理量 下拉菜单，可以将频域数据绘制为连续功率谱密度、频带功率 或 频带平均功率谱密度。频带功率与频带平均谱密度的选择决定了频带功率求和及平均的执行方式。使用不同频段绘图时，可以选择 带类型 作为倍频，1/3 倍频 或1/6 倍频。最后一个选项仅使用带内数据，可以选择(默认)或取消选择。选择此选项时，只有位于给定频带内的数据点被用于数据的积分和插值。这个选项通常会影响低分辨率数据的结果(即每个频带中只有几个点)。

下图突出显示了三种不同的绘图样式。红色线条表示 1/3 倍频带功率数据，绿色线条表示倍频带功率数据，蓝色实线表示 1/3 倍频带平均功率谱密度(PSD)数据。(可以通过颜色和样式 部分更改条形图的格式。)该图是 扬声器驱动教程模型中的一个修改版本。

描绘不同绘图形式的图表。

最后，使用权重 选项，可以确定应用于数据的权重。这些选项包括：

• Z 权重(平面)：应用平均权重(默认选项)。
• A 权重：将 IEC 61672-1 标准 A 权重应用于数据。此权重用于解释人耳的感知响度。
• C 权重：将 IEC 61672-1 标准 C 权重应用于数据。此权重也可以解释人耳的感知响度，通常是非常响亮的噪声水平。
• 表达式：用户定义的值或表达式用于权重。在表达式 字段中，输入将增益定义为频率函数 的表达式 freq。以 dB 为单位提供的增益为 20·log10(expression)。

下图中的两条曲线表示应用于一个平面的 0-dB 响应的 A-权重 和 C-权重。用户定义的线性加权为 用 1/3 倍频带表示(以红色显示)。

显示不同权重选项的图。

使用 倍频带 图：一个吸收式消声器示例

吸收式消声器教程模型（位于COMSOL案例库中的声学模块 > 汽车文件夹中）使用倍频带 图来描绘消声器系统的传输损耗。在这个版本的模型中，为表达式类型 选择传递函数选项。该图的输入是总入射功率与总出射功率的之比。这些单元是通过使用端口条件 下入射和出射模式的功率内置变量来计算的。

对于纯平面波传播(低于约 2500 Hz)，还有另一种方法可以在不使用端口功率变量的情况下绘制传输损耗。为此，需要将几何实体层 设置为边界 并选择出口边界编号 28。在表达式 字段中，输入 p_in（入射平面波的振幅），并在 参考幅值 字段中，输入 sqrt(0.5)*acpr.p_t。由于假设参考是 RMS 值，因此需要 sqrt(0.5) 系数（如下面的屏幕截图所示）。选择 连续功率谱密度 绘图样式并单击 绘图 按钮，就可以得到如下所示的带有衬垫的消声器的结果。

吸收式消声器的 倍频带图的绘图设置。

吸收式消声器的传输损耗比较图。

拓展资源

除了上面介绍示例模型之外，您还可以在 COMSOL 案例库中找到许多其他使用倍频带 图的教程模型。我们在下方列出了其中的一些教程模型，所有这些模型都可以从 COMSOL 案例库中下载。

• 扬声器驱动器
• 扬声器驱动器集总模型
• Brüel & Kjær 4134 电容麦克风
• 敞开式扬声器箱中驱动器

参考文献

1. IEC 61672-1 Electroacoustics — Sound level meters — Part 1: Specifications.

术语和定义

首先，我们来明确一些术语和定义。需要区分三个术语：傅里叶变换 (FT)、离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换。函数 的傅里叶变换由下式定义

式中， 和 分别是物理空间和傅里叶空间中的变量。当物理空间变量为时间 时，变量 称为频率。在光学中， 被称为空间频率，通常与波长和焦距成比例(我们将在后面讨论)，而 是用于描述感兴趣的光学结构附近位置的物理空间坐标。

在之前的博客：如何在 COMSOL Multiphysics 中实现傅里叶变换和如何由计算解实现傅里叶变换中，我们讨论了如何在 COMSOL^® 中进行傅里叶变换。我们可以使用一种数值方法，即通过基于辛普森法则的直接数值积分来进行傅里叶变换公式。在这篇博客的稍后部分，我们将其称为“通过数值积分进行的傅里叶变换”。

离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，是对一组离散的点进行运算。它在 COMSOL ^® 中定义为

快速傅里叶变换是计算 DFT 的一种有效算法。

请注意，傅里叶变换和离散傅里叶变换的定义是最通用的定义，但符号约定与 COMSOL 的波动方程符号约定 不一致，即 。当使用这些符号定义弗劳恩霍夫和菲涅耳衍射公式时，请注意不要弄错。符号不一致性不影响稳态解。

如何使用空间 FFT 特征

接下来，我们将演示如何在光学应用中使用新的 COMSOL^® 空间 FFT 特征。可以通过步骤 1 和 2 分别设置和实现 FFT 特征：

• 步骤1：准备数据集
  • 右键单击数据集 → 更多数据集 添加空间 FFT 数据集(定义傅里叶空间)
  • 选择合适的源数据集作为物理空间，然后进行变换
  • 将空间分辨率 设置为手动
  • 将采样分辨率 设置为适当的数字
  • 从空间布局 中选择使用补零，并将 x 填充 设置为适当的数字
  • 在傅里叶空间变量 中选择频率
  • 取消勾选屏蔽 DC
• 步骤2：使用 fft() 算子绘图
  • 在绘图设置中调整 x 轴数据的空间频率比例

矩形函数示例

矩形函数是光学应用中最常用的函数之一，因为它代表了一个硬边光阑。当存在硬边光阑时，总是涉及矩形函数的傅里叶变换。矩形函数的傅里叶变换可以很容易地通过手动计算，如下所示：

式中， 代表傅里叶变换算子， 是一个常数， 是 sinc 函数。

让我们看看如何在 COMSOL^® 中使用新的空间 FFT 特征计算此傅里叶变换。

矩形函数(左)及其傅里叶变换(右)的数据集设置示例。

矩形函数是定义 >函数 下的内置函数。点击创建绘图 按钮，会在结果下的数据库 节点为该函数自动创建一个新数据集。 默认情况下，范围和分辨率也是自动设置的。在进行快速傅里叶变换时，自己控制这些参数很重要。傅里叶空间分辨率由物理空间范围的倒数和物理空间数据的零填充确定。傅里叶空间范围由物理空间范围和傅里叶空间采样数决定。快速傅里叶变换结果的大小因物理空间范围和傅里叶空间采样数而异。下表是快速傅里叶变换参数表达式的汇总，包括与上图中显示的快速傅里叶变换设置对应的参数值。

参数	表达式	示例值
实际上的总范围		2
傅里叶空间采样数		16
补零		8
傅里叶空间总范围		8
傅里叶空间分辨率		1/4
傅里叶变换归一化因子		1/8

进行上述设置后，矩形函数 rect1(x) 如下图所示，其傅里叶变换的绝对值 abs(fft(rect1(x)) 由 FFT 特征计算。傅里叶空间总范围是 = 16/2 = 8，即从 -4 到 4。可以看到傅里叶空间的采样点总数为 = 32。

为什么是 ? 因为在补零中， 零被添加到物理空间数据的两侧。傅里叶空间分辨率为 8/32 = 0.25。在没有归一化的情况下，快速傅里叶变换运算结果因子为 。所以，我们需要将结果乘以 获得一个单位峰值。稍后，我们将对各种公式进行快速傅里叶变换，每个公式都有不同的乘法常数。因此，我们必须将快速傅里叶变换结果归一化。

矩形函数 = 1 及其傅里叶变换的绝对值，由快速傅里叶变换和上述设置确定。

在这个示例中，我们有意将采样数设置为较低的数字，以便可以参考前面的公式。不过，仍然可以看到傅里叶变换， 是用一个较好的近似值计算的。使用更加合适的参数，例如 = 3, = 128， = 512，我们可以得到以下理想的结果。将数值积分的傅里叶变换结果叠加以进行比较。当然，这两种方法的结果应该一致！

=1 时，由高分辨率的快速傅里叶变换确定的矩形函数的傅里叶变换绝对值和由数值积分确定的傅里叶变换绝对值的对比

在光学应用中进行傅里叶变换

现在，我们已经学习了如何为矩形函数(一维解析函数)设置和使用空间 FFT 特征。接下来，我们来看如何在一些实际光学应用示例中使用此特征。

在光学领域，将光电场的时间信号与其光谱(频率或波长)相关联的时频傅里叶变换可能更为大家所熟知。空间傅里叶变换用于从一个平面传播到另一个平面的电场的各种传播(变换)方法。在这个例子中，空间傅里叶变换将一个平面中电场的空间形状与另一个平面中的形状(称为空间频率)相关联。考虑一个入射到平面中扰动上的标量电场或矢量电场的分量，例如一个光圈或透镜，到达另一个平面，例如焦平面或像平面，如下图所示：

光学应用中传播(变换)方法的坐标系。

让我们来表征扰动后平面内的电场 。然后，根据不同的目标，使用四种传播方法中的一种来计算了另一个平面的电场 。下表总结了四种方法。这些公式由傅里叶变换的简单相位函数符号 表示。

理论	公式（简单符号）	应用
1. 夫琅禾费衍射理论		夫琅禾费衍射条件下的标量远场——观察者距离衍射物体*很远，用于孔径、光栅和傅里叶光学等应用。
2. 菲涅耳衍射理论		菲涅耳衍射条件**下的标量近场至远场，适用于低数值孔径 (NA) 透镜系统等应用。
3. 角谱法***		适用于任何系统（例如高数值孔径透镜系统）的严格单向标量场解决方案(不考虑反射)。
4. 部分相干理论(Schell 模型)****		非干扰或低干扰光源，例如 LED 和太阳光，使用在在夫琅禾费或菲涅耳衍射近似下的互相干函数的 Schell 模型假设。

脚注：

* 夫琅禾费衍射条件
** 菲涅耳衍射条件
*** 是方向余弦
**** 是部分相干强度， 是相干强度，并且 是互相干函数

夫琅禾费衍射

夫琅禾费衍射公式用于计算满足夫琅禾费条件时，从物体衍射的远场。

以下是完整的公式：

该公式用于计算孔径、光栅的远场和傅里叶光学焦平面内的场(参考文献 1)。该物体是一个具有均匀光照的方形孔径。孔径出口平面的电场是一个二维矩形函数，远场由快速傅里叶变换计算。这会形成一种熟悉的衍射图案，类似于从网状窗帘后面观察路灯时的景象。请注意，我们需要将图中的 x 轴数据缩放为 ，因为空间频率被缩放为 。 通过数值积分使用傅里叶变换计算二维傅里叶变换需要的时间较长，但快速傅里叶变换可以非常快速地完成这项工作。

方形孔径(左)及其衍射图案(右)。

模拟方形孔径的设置非常简单：

菲涅耳衍射

第二个应用，菲涅耳衍射公式，可用于计算远场以及近场干扰。这个近似值的完整公式为：

请注意，x 轴数据需要按因子 进行缩放。菲涅耳透镜模型应用了这种方法，通过波动光学，频域 接口计算透镜内部的电场。基于菲涅耳衍射公式通过数值积分进行傅里叶变换计算焦平面中的场。如下图所示，可以在该模型中使用 FFT 特征，并通过数值积分得到与傅里叶变换相同的结果。

菲涅耳透镜模型焦平面中的电场模。FFT 特征用于计算菲涅耳衍射公式，并与其他方法进行比较。

用于菲涅耳衍射公式的 FFT 特征的后处理设置。请注意，y 轴数据是标准化的，x 轴数据是按比例缩放的。

角谱法

第三个应用，角谱法，实现起来有点麻烦，因为它需要进行两次傅里叶变换，由其完整公式可以看出：

式中，

和 是方向余弦。

在前文提到的博客中，我们介绍了如何模拟大型光学器件；即可以使 用波动光学、频域 接口计算光学元件周围的小域，然后使用 弗劳恩霍夫或菲涅耳衍射公式，或者使用 波束包络 接口模拟整个域。然而，这两种方法仅适用于慢速（低 NA）透镜，因为快速（高 NA）透镜需要大量网格单元，而夫琅禾费和菲涅耳公式无法给出很好的近似值。波矢太陡，波束包络 接口无法对计算域进行网格划分。

模拟大型高数值孔径透镜的唯一方法是使用角谱法(ASM)。这是一种与夫琅禾费和菲涅耳衍射公式属于同一类型的数值传播方法。只要知道一个平面中的场，就可以计算另一个平面中的场。角谱法非常严格，因为它满足亥姆霍兹方程。可以结合波动光学模块使用该方法计算某个域中的场，然后使用角谱法将场传播到更远的平面。

下图中是一个高 NA 透镜 (NA=0.66) 的示例，它比 DVD 拾取透镜快得多。透镜半径为 16μm，后焦距(透镜第二面与焦平面之间的距离)为 10μm。结合使用 几何光学 接口与优化模块，对该透镜头进行了优化，使其在 0.66μm 的波长下具有衍射极限。透镜被特意设计得很小，使波动光学，频域 接口可以计算出严格的解以进行比较。我们将演示如何使用角谱法将场从该透镜的出射面传播到焦平面。

使用射线光学模块和优化模块(左)设计的 NA=0.66 透镜。使用 波动光学，频域接口(右)模拟的透镜的全波模拟。注意代表透镜出射平面的线，场从该平面传播到最右边的边缘，即焦平面。

NA=0.66 透镜光斑轮廓模型与使用菲涅耳衍射公式计算的结果比较；由波动光学，频域 接口计算的严格解；和使用角谱法计算的结果。请注意，对于这个透镜，菲涅耳衍射公式不再准确。(为了更好的比较，显示了 11μm 而不是 10μm 处的光斑轮廓。)

为了进行两次傅里叶变换，我们需要将第一次傅里叶变换存储在数据集中。这是因为 fft() 算子只是一个后处理算子，不是可以在物理设置中使用的通用算子，如 integrate算子。目前，在当前版本的 COMSOL Multiphysics 中（在未来版本中，fft() 算子将被提升为通用算子），我们仍然需要在第一次傅里叶变换的物理场设置中通过数值积分来使用傅里叶变换，然后将 fft() 算子用于后处理中的第二次傅里叶变换。边界常微分和微分代数方程 与分布式常微分方程 节点的接口被定义在透镜出射平面上，通过数值积分傅里叶变换执行第一次傅里叶变换，并将结果存储为函数 ，如下图所示：

使用角谱法时，第一个傅里叶变换的 边界常微分和微分代数方程设置的屏幕截图。请注意，我们通过透镜半径 D/2 对傅里叶空间进行了归一化，进行适当的缩放。

使用角谱法时，在后处理中进行第二次傅里叶变换的设置窗口屏幕截图。对于第二次傅里叶变换，注意方向余弦 在 y 轴数据中由归一化的 y 坐标表示，，x 轴数据中的归一化因子 1/wl 来自变量的微分 。另请注意，空间频率名称 y2 是在 空间 FFT 数据集中任意选择的。

值得一提的是，第二次傅里叶变换其实就是逆傅里叶变换，但是傅里叶变换的绝对值和逆傅里叶变换到常数之间没有区别。我们已经看到，使用角谱法给出了一个与亥姆霍兹解一样准确的结果，因此可以将这种方法用于其他高 NA 透镜系统，例如大型高 NA 菲涅尔透镜。

结束语

在这篇博客中，我们了解了设置空间 FFT 特征的基础知识，以及如何在一些重要的光学应用中使用此功能的示例。在本系列的下一篇博客中，我们将讨论第四个应用，即部分相干光束计算(使用的公式与文中第三个应用使用的公式相同)。

参考文献

1. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., Roberts and Company Publishers, 2005.
2. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th ed., McGraw-Hill, 1968.
3. A. C. Schell, “A technique for the determination of the radiation pattern of a partially coherent aperture,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 15, no. 1, pp. 187–188, 1967.